Axiom of Choice

选择公理是集合论的奠基性原理，由恩斯特·策梅洛于1904年提出：对于任意一个由非空集合组成的集族，都可以从每个集合中选择且仅选择一个元素，即使该集族是无限的且没有给出明确的选择规则。它独立于策梅洛-弗兰克尔集合论的其他标准公理，是现代数学许多领域的基础，也产生巴拿赫-塔斯基悖论作为代价。

Principio fundamental de la teoría de conjuntos, formulado por Ernst Zermelo en 1904: de cualquier colección de conjuntos no vacíos, se puede elegir un único elemento de cada uno, incluso si la colección es infinita y no se da regla de selección. Independiente de los demás axiomas de Zermelo-Fraenkel, sustenta gran parte de la matemática moderna y produce la paradoja de Banach-Tarski.

بديهية الاختيار هي مبدأ أساسي في نظرية المجموعات صاغه إرنست زيرميلو عام 1904: من أي مجموعة من المجموعات غير الخالية، يمكن اختيار عنصر واحد من كل منها، حتى لو كانت المجموعة لانهائية ولم يتم تحديد قاعدة اختيار. وهي مستقلة عن البديهيات القياسية الأخرى لنظرية مجموعات زيرميلو-فرانكل، وتكمن وراء مجالات واسعة من الرياضيات الحديثة وتنتج مفارقة باناخ-تارسكي.

Um princípio fundamental da teoria dos conjuntos, formulado por Ernst Zermelo em 1904: de qualquer coleção de conjuntos não vazios, pode-se selecionar um único elemento de cada um, mesmo se a coleção for infinita e nenhuma regra de escolha for dada. Independente dos outros axiomas padrão da teoria Zermelo-Fraenkel, fundamenta grande parte da matemática moderna e produz o paradoxo de Banach-Tarski.

सेट सिद्धांत का एक मूलभूत सिद्धांत, जिसे 1904 में अर्न्स्ट ज़र्मेलो द्वारा तैयार किया गया था: गैर-खाली सेटों के किसी भी संग्रह से, प्रत्येक से एक तत्व का चयन किया जा सकता है, भले ही संग्रह अनंत हो, जिसे पसंद का स्वयंसिद्ध (Axiom of Choice) कहा जाता है। यह ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के अन्य स्वयंसिद्धों से स्वतंत्र है। यह बानाच-टार्स्की विरोधाभास उत्पन्न करता है।

Aksioma pilihan adalah prinsip dasar teori himpunan, dirumuskan oleh Ernst Zermelo pada 1904: dari kumpulan himpunan tak kosong, kita dapat memilih satu elemen dari setiap himpunan, bahkan jika kumpulan itu tak terhingga dan tanpa aturan pemilihan khusus. Terlepas dari aksioma standar Zermelo-Fraenkel lainnya, prinsip ini mendasari matematika modern dan menghasilkan paradoks Banach-Tarski.

Principe fondamental de la théorie des ensembles, formulé par Ernst Zermelo en 1904 : pour toute collection d'ensembles non vides, il est possible de choisir un élément dans chacun d'eux, même si la collection est infinie et sans règle de choix explicite. Indépendant des autres axiomes de Zermelo-Fraenkel, il sous-tend de larges pans des mathématiques modernes et engendre le paradoxe de Banach-Tarski.

選択公理は、1904年にエルンスト・ツェルメロによって定式化された集合論の基本原理である。「空でない集合を任意に集めた集まりがあるとき、それぞれの集合から要素を1つずつ選んで新しい集合を作ることができる」というもので、無限集合において選択規則が与えられない場合でも適用される。ツェルメロ＝フレンケル集合論の他の公理から独立しており、バナッハ＝タルスキのパラドックスをもたらす。

Аксиома выбора — фундаментальный принцип теории множеств, сформулированный Эрнстом Цермело в 1904 году: из любого семейства непустых множеств можно выбрать по одному элементу из каждого множества, даже если семейство бесконечно и правило выбора не задано. Независимая от других аксиом Цермело-Френкеля, она лежит в основе математики и порождает парадокс Банаха-Тарского.

Ein grundlegendes Prinzip der Mengenlehre, 1904 von Ernst Zermelo formuliert: Aus jeder Familie von nichtleeren Mengen lässt sich ein Element aus jeder Menge auswählen, selbst wenn die Familie unendlich ist und keine Auswahlregel existiert. Unabhängig von den Standardaxiomen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, begründet es Teile der modernen Mathematik und führt zum Banach-Tarski-Paradoxon.

선택 공리(Axiom of Choice)는 1904년 에른스트 체르멜로가 공식화한 집합론의 기본 원리이다. 비어 있지 않은 집합들의 임의의 모임에 대해, 모임이 무한하고 개별 원소를 고르는 특별한 규칙이 주어지지 않더라도 각 집합에서 원소를 정확히 하나씩 선택하여 새로운 집합을 만들 수 있다는 주장이다. 체르멜로-프렝켈 집합론의 다른 표준 공리들과 독립적이며 바나흐-타르스키 역설을 유도한다.