#050 · Banach-Tarski Paradox

In 1924, two Polish mathematicians proved that a solid ball can be cut into five pieces and rearranged, with nothing but rotations, into two balls identical to the original. The proof is airtight. The pieces cannot be built.

In the spring of 1924, two mathematicians working at the University of Lwów submitted a five-page paper to Fundamenta Mathematicae. The title, in French, ran to seventeen words. The theorem inside ran to one. A solid ball in three-dimensional Euclidean space can be cut into a finite number of disjoint pieces and reassembled, using only rotations and translations, into two solid balls each identical to the original. The number of pieces can be as small as five.

Stefan Banach and Alfred Tarski were not joking. The proof is rigorous, has been checked a thousand times, and remains a standard exercise in graduate set theory. The pieces are not stretched. Nothing is added. The reassembly uses the same rigid motions that move a chess piece across a board. And yet at the end of the operation you have twice the volume you started with.

Doubling of a sphere, as per the Banach-Tarski Theorem Sean Kelly at English Wikipedia · BY-SA 3.0

The trick lies entirely in what counts as a "piece."

The Axiom of Choice

The construction depends on the Axiom of Choice — the principle that, given any collection of non-empty sets, you can pick one element from each, even if the collection is infinite and you cannot specify a rule for the picking. Most working mathematicians use the axiom without noticing. Adopt it, and you can prove the existence of objects you cannot describe: sets that are mathematically real but have no formula, no algorithm, no picture.

A polished wooden lecture table holds one perfectly smooth clay ball beside a stack of bla Illustration · AI-generated (FLUX.1-dev)

The Banach-Tarski pieces are such objects. They are non-measurable. The question "what is the volume of this set?" has no answer — not zero, not infinity, simply undefined. The function we call Lebesgue measure refuses to be defined on them. And once measure breaks, the conservation law that says "the parts add up to the whole" breaks with it.

Paradoxical decomposition F2 Paradoxical decomposition F2.png: David Benbennick derivativ · BY-SA 3.0

The mechanism, sketched a decade earlier by Felix Hausdorff, runs through the free group on two generators. Pick two rotations of the sphere, by carefully chosen angles, around two different axes. The sequences of these rotations never accidentally cancel; every distinct word of rotations gives a distinct result. That algebraic freedom lets you partition the sphere into pieces that can be rotated apart and back together in non-conservative ways. Banach and Tarski lifted the trick from the sphere onto the solid ball, and counted: five pieces suffice.

A Lwów mathematics study in the 1920s contains two identical solid wooden balls Illustration · AI-generated (FLUX.1-dev)

A paradox that isn't

The word "paradox" here is used in its older sense — a result so contrary to expectation that the natural response is to look for the bug. The bug is intuition. We expect cutting and rearranging to preserve volume because every example we have ever handled, every loaf and brick and apple, is made of measurable pieces. The Banach-Tarski decomposition uses pieces that no physical knife could produce. Each one is a dust of points, scattered through the ball in a pattern with no continuity, no shape, no edge.

You can refuse the conclusion by refusing the axiom. In 1970, Robert Solovay constructed a model of set theory in which every subset of Euclidean space is Lebesgue measurable and Banach-Tarski cannot occur. The model is consistent, assuming a mild large-cardinal hypothesis. Almost no working mathematician moves there. Giving up the Axiom of Choice costs far more, across the rest of mathematics, than the paradox costs to accept.

There is also no physical version, and there cannot be. The construction requires the infinitely divisible continuum, and matter is not infinitely divisible. The theorem describes an idealised mathematical ball; gold and apples are safe.

A close tabletop still life shows a sphere-shaped cloud of countless tiny colored beads su Illustration · AI-generated (FLUX.1-dev)

What we still don't know

We do not know whether five is the minimum in every reasonable sense. The classical proof needs five pieces, and Raphael Robinson showed in 1947 that four will not do for the ball. Five is sharp. But for higher-dimensional cousins and softer variants of the theorem, the optimal counts remain open.

An illustration of the effects of the Banach–Tarski Paradox. Benjamin D. Esham (bdesham) · Public domain

We do not fully understand where the paradox lives and where it doesn't. The Banach-Tarski phenomenon turns on the rotation group of three-dimensional space being what mathematicians call non-amenable, a structural property that fails in the plane. There is no two-dimensional Banach-Tarski; you cannot double a disk. The boundary between paradoxical and non-paradoxical groups has been mapped over the past century but is not finished.

On a plain workbench Illustration · AI-generated (FLUX.1-dev)

And we do not know what to make of the Axiom of Choice in the long run. Most of contemporary mathematics quietly assumes it. Constructive schools reject it. Banach-Tarski is the cleanest example of what the axiom buys you and what it costs — a kind of fee statement for the foundations.

A ball that doubles itself sits, harmless, inside a paper published a hundred years ago. It cannot be drawn. It cannot be built. In the strictest sense available to human reasoning, it is true.

1924年，两位波兰数学家证明，一个实心球体可以被切割成五个部分，并仅通过旋转重新组合，变成两个与原球体完全相同的球体。该证明无懈可击。但这些部分无法被制造出来。

1924年春，两位在University of Lwów工作的数学家向Fundamenta Mathematicae提交了一篇五页长的论文。论文法文标题长达十七个单词，而其中的定理却只有一个。一个三维欧几里得空间中的实心球体，可以被切割成有限个互不相交的部分，仅通过旋转和平移，即可重新组装成两个与原球体完全相同的实心球体。所需的部分最少可以仅为五个。

Stefan Banach和Alfred Tarski并非在开玩笑。该证明严谨可靠，历经千百次检验，至今仍是研究生集合论课程中的标准习题。这些部分没有经过拉伸，也没有添加任何物质。重新组装所采用的，正是那种将棋子在棋盘上移动的刚性运动。然而在操作完成后，你却得到了两倍于初始体积的物体。

其中的奥秘完全在于何为“部分”。

选择公理

这一构造依赖于Axiom of Choice——即如下原则：给定任何非空集合的集合，你总能从中选出每个集合的一个元素，即使该集合族是无限的，且你无法为这种选择指定任何规则。大多数数学家在工作中使用该公理时甚至毫无察觉。采纳它，你就能证明那些无法描述的对象的存在：它们在数学上是真实的，但却没有公式、没有算法、没有图像。

巴拿赫-塔斯基（Banach-Tarski）的各个部分就是这样的对象。它们是不可测的。“这个集合的体积是多少？”这个问题没有答案——既不是零，也不是无穷大，而是根本未定义。我们称之为Lebesgue measure的函数拒绝在其上进行定义。而一旦测度失效，那个“部分之和等于整体”的守恒定律也就随之崩塌了。

其机制由Felix Hausdorff在十年前勾勒出，并通过free group on two generators得以实现。在两个不同的轴上，选择经过精心计算的角度对球体进行两次旋转。这些旋转序列永远不会偶然抵消；每一个独特的旋转组合都会产生一个独特的结果。这种代数上的自由度让你能够将球体分割成若干部分，从而以非守恒的方式将其旋转开来再重新组合。巴拿赫和塔斯基将这一技巧从球体推广到了实心球，并进行了计数：五个部分足矣。

一个并非悖论的悖论

此处的“悖论”一词沿用了其古老的含义——一个如此违背预期的结果，以至于人们的第一反应是寻找其中的瑕疵。瑕疵在于直觉。我们期望切割和重排能够保持体积不变，是因为我们处理过的每一个例子，无论是面包、砖块还是苹果，都是由可测的部分组成的。巴拿赫-塔斯基分解所使用的部分，任何物理刀具都无法产生。每一部分都是点的尘埃，以一种既无连续性、也无形状、更无边缘的模式散布在球体内。

你可以通过拒绝该公理来拒绝这一结论。1970年，Robert Solovay构建了一个集合论模型，在该模型中，欧几里得空间的每一个子集都是勒贝格可测的，且巴拿赫-塔斯基现象不会发生。假设存在一个温和的大基数假设，该模型就是相容的。但几乎没有数学家会转向那个方向。在数学的其他领域中，放弃选择公理的代价，远比接受这一悖论的代价要大得多。

此外，它也不存在物理版本，且永远不可能存在。该构造要求无穷可分的连续统，而物质并非无穷可分。该定理描述的是一个理想化的数学球体；黄金和苹果是安全的。

我们仍未知晓的

我们不知道“五个”是否在任何合理意义上都是最小值。经典证明需要五个部分，而Raphael Robinson在1947年证明了对于球体而言，四个部分是行不通的。五个是确切的界限。但对于更高维度的同类问题以及该定理的其他柔性变体，最优数量仍然未知。

我们尚未完全理解该悖论在何处存在，在何处消亡。巴拿赫-塔斯基现象的核心在于，三维空间的旋转群是数学家所称的“非顺从群”（non-amenable），这是一种在平面上不成立的结构属性。不存在二维的巴拿赫-塔斯基；你无法将一个圆盘加倍。在过去的一个世纪里，这种介于悖论与非悖论群之间的界限已被绘制出来，但尚未完成。

我们也不知道从长远来看，该如何看待选择公理。当代数学大多默认接受它。而构造主义学派则拒绝它。巴拿赫-塔斯基是该公理所能换取的东西及其代价的最清晰例证——这简直是一份关于数学基础的费用清单。

一个能够自我加倍的球体，无害地静置于一百年前发表的一篇论文中。它无法被描绘，也无法被构建。但在人类理性所能及的最严谨意义上，它是真实的。

Em 1924, dois matemáticos polacos provaram que uma esfera sólida pode ser cortada em cinco peças e reorganizada, apenas através de rotações, em duas esferas idênticas à original. A prova é irrefutável. As peças não podem ser construídas.

Na primavera de 1924, dois matemáticos trabalhando na University of Lwów submeteram um artigo de cinco páginas à Fundamenta Mathematicae. O título, em francês, estendia-se por dezessete palavras. O teorema contido nele resumia-se a uma. Uma esfera sólida no espaço euclidiano tridimensional pode ser cortada em um número finito de peças disjuntas e remontada, usando apenas rotações e translações, em duas esferas sólidas, cada uma idêntica à original. O número de peças pode ser tão pequeno quanto cinco.

Stefan Banach e Alfred Tarski não estavam brincando. A prova é rigorosa, foi verificada mil vezes e permanece um exercício padrão na teoria dos conjuntos de pós-graduação. As peças não são esticadas. Nada é adicionado. A remontagem utiliza os mesmos movimentos rígidos que deslocam uma peça de xadrez através de um tabuleiro. E, no entanto, ao final da operação, você tem o dobro do volume com o qual começou.

O truque reside inteiramente no que conta como uma "peça".

The Axiom of Choice

A construção depende do Axiom of Choice — o princípio de que, dada qualquer coleção de conjuntos não vazios, pode-se escolher um elemento de cada, mesmo que a coleção seja infinita e não se possa especificar uma regra para a escolha. A maioria dos matemáticos em atividade utiliza o axioma sem notar. Adote-o, e você poderá provar a existência de objetos que não consegue descrever: conjuntos que são matematicamente reais, mas não possuem fórmula, algoritmo ou representação visual.

As peças de Banach-Tarski são tais objetos. Elas são não mensuráveis. A pergunta "qual é o volume deste conjunto?" não tem resposta — nem zero, nem infinito, simplesmente indefinida. A função que chamamos de Lebesgue measure recusa-se a ser definida sobre elas. E uma vez que a medida se quebra, a lei de conservação que diz que "as partes somam o todo" quebra-se com ela.

O mecanismo, esboçado uma década antes por Felix Hausdorff, percorre o free group on two generators. Escolha duas rotações da esfera, por ângulos cuidadosamente selecionados, em torno de dois eixos diferentes. As sequências dessas rotações nunca se cancelam acidentalmente; cada palavra distinta de rotações resulta em um resultado distinto. Essa liberdade algébrica permite particionar a esfera em peças que podem ser rotacionadas separadamente e remontadas de maneiras não conservativas. Banach e Tarski elevaram o truque da esfera para a esfera sólida e contaram: cinco peças bastam.

A paradox that isn't

A palavra "paradoxo" aqui é usada em seu sentido mais antigo — um resultado tão contrário à expectativa que a resposta natural é procurar pelo erro. O erro é a intuição. Esperamos que cortar e rearranjar preserve o volume porque cada exemplo que já manuseamos, cada pão, tijolo e maçã, é feito de peças mensuráveis. A decomposição de Banach-Tarski usa peças que nenhuma faca física poderia produzir. Cada uma delas é uma poeira de pontos, espalhada pela esfera em um padrão sem continuidade, sem forma, sem borda.

Você pode recusar a conclusão recusando o axioma. Em 1970, Robert Solovay construiu um modelo de teoria dos conjuntos no qual todo subconjunto do espaço euclidiano é mensurável à Lebesgue e Banach-Tarski não pode ocorrer. O modelo é consistente, assumindo uma hipótese suave de grandes cardinais. Quase nenhum matemático em atividade se muda para lá. Abandonar o Axioma da Escolha custa muito mais, para o restante da matemática, do que o paradoxo custa para ser aceito.

Também não existe uma versão física, e não pode existir. A construção requer o contínuo infinitamente divisível, e a matéria não é infinitamente divisível. O teorema descreve uma esfera matemática idealizada; ouro e maçãs estão a salvo.

What we still don't know

Não sabemos se cinco é o mínimo em todo sentido razoável. A prova clássica precisa de cinco peças, e Raphael Robinson demonstrou em 1947 que quatro não bastariam para a esfera. Cinco é o limite exato. Mas, para primos de dimensões superiores e variantes mais suaves do teorema, as contagens ideais permanecem em aberto.

Não compreendemos totalmente onde o paradoxo vive e onde não. O fenômeno de Banach-Tarski baseia-se no fato de o grupo de rotação do espaço tridimensional ser o que os matemáticos chamam de não-amenável, uma propriedade estrutural que falha no plano. Não existe um Banach-Tarski bidimensional; não se pode dobrar um disco. A fronteira entre grupos paradoxais e não paradoxais foi mapeada ao longo do último século, mas não está finalizada.

E não sabemos o que pensar do Axioma da Escolha a longo prazo. A maior parte da matemática contemporânea assume-o silenciosamente. Escolas construtivistas rejeitam-no. Banach-Tarski é o exemplo mais claro do que o axioma lhe proporciona e do que custa — uma espécie de extrato de taxas para os fundamentos.

Uma esfera que se duplica permanece, inofensiva, dentro de um artigo publicado cem anos atrás. Não pode ser desenhada. Não pode ser construída. No sentido mais estrito disponível ao raciocínio humano, ela é verdadeira.

في عام 1924، أثبت عالما رياضيات بولنديان أنه يمكن تقطيع كرة صلبة إلى خمس قطع وإعادة ترتيبها، باستخدام التدوير فحسب، لتكوين كرتين متطابقتين تماماً للأصلية. البرهان محكم. غير أن القطع لا يمكن بناؤها.

في ربيع عام 1924، قدّم عالما رياضيات يعملان في University of Lwów ورقة بحثية من خمس صفحات إلى مجلة Fundamenta Mathematicae. كان عنوان الورقة، باللغة الفرنسية، يتألف من سبع عشرة كلمة، بينما لم تتجاوز المبرهنة الواردة فيها كلمة واحدة. تنص المبرهنة على أنه يمكن تقسيم كرة صلبة في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد إلى عدد محدود من القطع غير المترابطة، وإعادة تجميعها، باستخدام الدوران والإزاحة فقط، لتكوين كرتين صلبتين، كل منهما مطابقة تماماً للكرة الأصلية. ويمكن أن يكون عدد القطع قليلاً لا يتجاوز الخمس.

لم يكن Stefan Banach و Alfred Tarski يمزحان. فالبرهان صارم، وقد أُخضع للتحقق آلاف المرات، وما زال يمثل تمريناً قياسياً في نظرية المجموعات للمستوى الجامعي. فالقطع لا يتم تمديدها، ولا يُضاف إليها شيء، وتستخدم إعادة التجميع نفس حركات الأجسام الصلبة التي تحرك قطعة شطرنج عبر الرقعة. ومع ذلك، في نهاية العملية، ستحصل على ضعف الحجم الذي بدأت به.

تكمن الخدعة برمتها في ماهية ما يُعتبر "قطعة".

بديهية الاختيار

يعتمد هذا البناء على Axiom of Choice — وهو المبدأ الذي ينص على أنه عند وجود أي مجموعة من المجموعات غير الفارغة، يمكنك اختيار عنصر واحد من كل منها، حتى وإن كانت المجموعة لا نهائية ولا يمكنك تحديد قاعدة لهذا الاختيار. يستخدم معظم علماء الرياضيات العاملون هذه البديهية دون أن يلحظوا ذلك. فبمجرد تبنيها، يمكنك إثبات وجود أشياء لا يمكنك وصفها: مجموعات حقيقية رياضياً ولكن ليس لها صيغة، ولا خوارزمية، ولا صورة.

تُعد قطع باناخ-تارسكي من هذا النوع من الأشياء. فهي غير قابلة للقياس. والسؤال "ما هو حجم هذه المجموعة؟" لا يملك إجابة، لا صفر ولا ما لا نهاية، بل هو ببساطة غير محدد. فالدالة التي نسميها Lebesgue measure ترفض أن تكون معرفة عليها. وبمجرد أن ينهار مفهوم القياس، ينهار معه قانون الحفظ الذي يقول "الأجزاء تشكل الكل".

تجري الآلية، التي رسم ملامحها قبل عقد من الزمن Felix Hausdorff، عبر free group on two generators. اختر دورتين للكرة، بزوايا مختارة بعناية، حول محورين مختلفين. إن تسلسلات هذه الدورات لا تتلاشى مصادفة أبداً؛ فكل كلمة مميزة من الدورات تعطي نتيجة مميزة. تلك الحرية الجبرية تسمح لك بتقسيم الكرة إلى قطع يمكن تدويرها بعيداً عن بعضها وإعادتها معاً بطرق غير حافظة للحجم. وقد نقل باناخ وتارسكي هذه الخدعة من الكرة إلى الكرة الصلبة، وكانت النتيجة: خمس قطع تكفي.

مفارقة ليست بمفارقة

تُستخدم كلمة "مفارقة" هنا بمعناها القديم، أي نتيجة مخالفة للتوقعات لدرجة أن رد الفعل الطبيعي هو البحث عن الخطأ. والخطأ هنا هو الحدس. نحن نتوقع أن التقطيع وإعادة الترتيب يحفظان الحجم لأن كل مثال تعاملنا معه على الإطلاق، من رغيف خبز وطوبة وتفاحة، يتكون من قطع قابلة للقياس. يستخدم تفكيك باناخ-تارسكي قطعاً لا يمكن لأي سكين فيزيائي إنتاجها. فكل قطعة منها عبارة عن غبار من النقاط، متناثر عبر الكرة بنمط يفتقر إلى الاستمرارية، والشكل، والحدود.

يمكنك رفض النتيجة برفض البديهية. ففي عام 1970، بنى Robert Solovay نموذجاً لنظرية المجموعات يكون فيه كل جزء فرعي من الفضاء الإقليدي قابلاً للقياس حسب ليبيج، وبذلك لا يمكن حدوث مفارقة باناخ-تارسكي. هذا النموذج متسق، بافتراض فرضية بسيطة عن الأعداد الكبيرة. ومع ذلك، لا يكاد يوجد عالم رياضيات يتبنى هذا المسار. فالتخلي عن بديهية الاختيار يكلف الرياضيات أكثر بكثير مما تكلفه قبول هذه المفارقة.

كما أنه لا توجد نسخة فيزيائية لهذه المفارقة، ولا يمكن أن توجد. فالبناء يتطلب استمرارية قابلة للانقسام إلى ما لا نهاية، والمادة ليست قابلة للانقسام إلى ما لا نهاية. تصف المبرهنة كرة رياضية مثالية؛ أما الذهب والتفاح ففي مأمن.

ما لا نزال نجهله

نحن لا نعرف ما إذا كانت الخمس قطع هي الحد الأدنى بكل المعاني المعقولة. فالبرهان الكلاسيكي يحتاج إلى خمس قطع، وقد أثبت Raphael Robinson في عام 1947 أن أربع قطع لا تكفي للكرة. فالرقم خمسة هو حد دقيق. ولكن بالنسبة للأبعاد الأعلى والمتغيرات الأكثر مرونة للمبرهنة، تظل الأعداد المثلى للقطع مسألة مفتوحة.

نحن لا نفهم تماماً أين تسكن هذه المفارقة وأين تغيب. فظاهرة باناخ-تارسكي تعتمد على كون مجموعة دورات الفضاء ثلاثي الأبعاد هي ما يسميه علماء الرياضيات "غير قابلة للتوافق" (non-amenable)، وهي خاصية هيكلية لا تتحقق في المستوى الثنائي الأبعاد. فلا وجود لمفارقة باناخ-تارسكي ثنائية الأبعاد؛ إذ لا يمكنك مضاعفة قرص. وقد جرى تحديد الحدود بين المجموعات المفارقة وغير المفارقة على مدار القرن الماضي ولكن لم يكتمل رسمها بعد.

كما أننا لا نعرف كيف نتعامل مع بديهية الاختيار على المدى الطويل. فمعظم الرياضيات المعاصرة تفترضها بهدوء، بينما ترفضها المدارس البنائية. تظل مفارقة باناخ-تارسكي أوضح مثال على ما تشتريه هذه البديهية وما تكلفه، وكأنها بيان رسوم لأسس الرياضيات.

كرة تضاعف نفسها تقبع، غير ضارة، داخل ورقة بحثية نُشرت قبل مئة عام. لا يمكن رسمها. لا يمكن بناؤها. ولكن بالمعنى الأدق المتاح للعقل البشري، هي حقيقة واقعة.

En 1924, dos matemáticos polacos demostraron que una esfera sólida puede cortarse en cinco piezas y reorganizarse, mediante simples rotaciones, en dos esferas idénticas a la original. La demostración es irrefutable. Las piezas son imposibles de construir.

En la primavera de 1924, dos matemáticos que trabajaban en la University of Lwów presentaron un artículo de cinco páginas en Fundamenta Mathematicae. El título, en francés, constaba de diecisiete palabras. El teorema que contenía, de una sola. Una bola sólida en el espacio euclídeo tridimensional puede cortarse en un número finito de piezas disjuntas y volver a ensamblarse, utilizando solo rotaciones y traslaciones, en dos bolas sólidas idénticas a la original. El número de piezas puede ser tan pequeño como cinco.

Stefan Banach y Alfred Tarski no estaban bromeando. La prueba es rigurosa, ha sido verificada mil veces y sigue siendo un ejercicio estándar en la teoría de conjuntos de posgrado. Las piezas no se estiran. No se añade nada. El reensamblaje utiliza los mismos movimientos rígidos que desplazan una pieza de ajedrez sobre un tablero. Y, sin embargo, al final de la operación, se obtiene el doble del volumen inicial.

El truco reside por completo en lo que se considera una "pieza".

The Axiom of Choice

La construcción depende del Axiom of Choice: el principio de que, dada cualquier colección de conjuntos no vacíos, se puede elegir un elemento de cada uno, incluso si la colección es infinita y no se puede especificar una regla para la elección. La mayoría de los matemáticos en activo utilizan el axioma sin darse cuenta. Adóptelo y podrá demostrar la existencia de objetos que no puede describir: conjuntos que son matemáticamente reales pero que no tienen fórmula, ni algoritmo, ni representación visual.

Las piezas de Banach-Tarski son tales objetos. Son no medibles. La pregunta "¿cuál es el volumen de este conjunto?" no tiene respuesta: no es cero, no es infinito, es simplemente indefinida. La función que llamamos Lebesgue measure se niega a ser definida sobre ellos. Y una vez que la medida se rompe, la ley de conservación que dice que "las partes suman el todo" se rompe con ella.

El mecanismo, esbozado una década antes por Felix Hausdorff, funciona a través del free group on two generators. Elija dos rotaciones de la esfera, mediante ángulos cuidadosamente seleccionados, alrededor de dos ejes diferentes. Las secuencias de estas rotaciones nunca se cancelan accidentalmente; cada palabra distinta de rotaciones da un resultado distinto. Esa libertad algebraica le permite dividir la esfera en piezas que pueden separarse mediante rotaciones y volver a unirse de formas no conservativas. Banach y Tarski trasladaron el truco de la esfera a la bola sólida y contaron: cinco piezas son suficientes.

A paradox that isn't

La palabra "paradoja" se utiliza aquí en su sentido más antiguo: un resultado tan contrario a las expectativas que la respuesta natural es buscar el error. El error es la intuición. Esperamos que cortar y reorganizar conserve el volumen porque cada ejemplo que hemos manejado, cada barra de pan, ladrillo o manzana, está hecho de piezas medibles. La descomposición de Banach-Tarski utiliza piezas que ningún cuchillo físico podría producir. Cada una es un polvo de puntos, disperso por la bola en un patrón sin continuidad, sin forma, sin borde.

Puede rechazar la conclusión rechazando el axioma. En 1970, Robert Solovay construyó un modelo de teoría de conjuntos en el que todo subconjunto del espacio euclídeo es medible según Lebesgue y el fenómeno de Banach-Tarski no puede ocurrir. El modelo es consistente, asumiendo una hipótesis de cardinales grandes moderada. Casi ningún matemático en activo se traslada allí. Renunciar al axioma de elección cuesta mucho más, en el resto de las matemáticas, de lo que cuesta aceptar la paradoja.

Tampoco existe una versión física, y no puede existir. La construcción requiere el continuo infinitamente divisible, y la materia no es infinitamente divisible. El teorema describe una bola matemática idealizada; el oro y las manzanas están a salvo.

What we still don't know

No sabemos si cinco es el mínimo en todo sentido razonable. La demostración clásica necesita cinco piezas, y Raphael Robinson demostró en 1947 que cuatro no bastan para la bola. Cinco es el número exacto. Pero para los primos de dimensiones superiores y variantes más flexibles del teorema, los recuentos óptimos siguen siendo una incógnita.

No entendemos completamente dónde reside la paradoja y dónde no. El fenómeno de Banach-Tarski depende de que el grupo de rotación del espacio tridimensional sea lo que los matemáticos llaman no amenazable, una propiedad estructural que no se cumple en el plano. No existe un Banach-Tarski bidimensional; no se puede duplicar un disco. La frontera entre grupos paradójicos y no paradójicos ha sido cartografiada durante el último siglo, pero aún no está terminada.

Y no sabemos qué pensar del axioma de elección a largo plazo. La mayor parte de las matemáticas contemporáneas lo asumen tácitamente. Las escuelas constructivistas lo rechazan. Banach-Tarski es el ejemplo más claro de lo que el axioma le compra y lo que le cuesta: una especie de factura por los fundamentos.

Una bola que se duplica a sí misma descansa, inofensiva, dentro de un artículo publicado hace cien años. No puede dibujarse. No puede construirse. En el sentido más estricto disponible para el razonamiento humano, es verdadera.

Pada 1924, dua matematikawan Polandia membuktikan bahwa sebuah bola padat dapat dipotong menjadi lima bagian dan disusun ulang, hanya dengan rotasi, menjadi dua bola yang identik dengan aslinya. Buktinya tak terbantahkan. Potongan-potongan itu mustahil untuk dibangun.

Pada musim semi tahun 1924, dua matematikawan yang bekerja di University of Lwów menyerahkan makalah lima halaman kepada Fundamenta Mathematicae. Judulnya, dalam bahasa Prancis, terdiri dari tujuh belas kata. Teorema di dalamnya hanya terdiri dari satu. Sebuah bola padat dalam ruang Euklides tiga dimensi dapat dipotong menjadi sejumlah bagian terputus yang terbatas dan dirakit kembali, hanya dengan rotasi dan translasi, menjadi dua bola padat yang masing-masing identik dengan bola aslinya. Jumlah potongan yang diperlukan bisa sesedikit lima.

Stefan Banach dan Alfred Tarski tidak sedang bercanda. Buktinya sahih, telah diperiksa seribu kali, dan tetap menjadi latihan standar dalam teori himpunan tingkat pascasarjana. Potongan-potongan itu tidak diregangkan. Tidak ada yang ditambahkan. Perakitan ulang tersebut menggunakan gerakan kaku yang sama dengan yang menggerakkan bidak catur di atas papan. Namun, di akhir operasi tersebut, Anda memiliki dua kali lipat volume dari yang Anda miliki saat memulai.

Triknya sepenuhnya terletak pada apa yang dihitung sebagai "potongan".

Aksioma Pilihan

Konstruksi ini bergantung pada Axiom of Choice — prinsip bahwa, dengan diberikan koleksi himpunan tak kosong apa pun, Anda dapat memilih satu elemen dari masing-masing himpunan, meskipun koleksinya tak terhingga dan Anda tidak dapat menetapkan aturan untuk pemilihannya. Kebanyakan matematikawan yang bekerja menggunakan aksioma ini tanpa menyadarinya. Terapkanlah, dan Anda dapat membuktikan keberadaan objek-objek yang tidak dapat Anda deskripsikan: himpunan-himpunan yang secara matematis nyata tetapi tidak memiliki rumus, tidak memiliki algoritma, tidak memiliki gambar.

Potongan-potongan Banach-Tarski adalah objek-objek seperti itu. Mereka tidak dapat diukur. Pertanyaan "berapakah volume himpunan ini?" tidak memiliki jawaban — bukan nol, bukan tak hingga, hanya tidak terdefinisi. Fungsi yang kita sebut Lebesgue measure menolak untuk didefinisikan pada objek-objek tersebut. Dan begitu ukuran rusak, hukum kekekalan yang menyatakan "bagian-bagian itu membentuk keseluruhan" pun ikut rusak.

Mekanismenya, yang digambarkan satu dekade sebelumnya oleh Felix Hausdorff, berjalan melalui free group on two generators. Pilih dua rotasi bola, dengan sudut yang dipilih secara cermat, di sekitar dua sumbu yang berbeda. Urutan rotasi-rotasi ini tidak pernah secara kebetulan saling meniadakan; setiap kata rotasi yang berbeda memberikan hasil yang berbeda. Kebebasan aljabar itulah yang memungkinkan Anda mempartisi bola menjadi potongan-potongan yang dapat diputar secara terpisah dan disatukan kembali dengan cara yang tidak konservatif. Banach dan Tarski mengangkat trik tersebut dari bola ke bola padat, dan menghitung: lima potongan sudah cukup.

Paradoks yang bukan paradoks

Kata "paradoks" di sini digunakan dalam pengertian lamanya — hasil yang sangat bertentangan dengan ekspektasi sehingga respons alaminya adalah mencari letak kesalahannya. Kesalahannya adalah intuisi. Kita mengharapkan pemotongan dan penyusunan ulang akan mempertahankan volume karena setiap contoh yang pernah kita tangani, setiap roti, batu bata, dan apel, terbuat dari potongan yang dapat diukur. Dekomposisi Banach-Tarski menggunakan potongan yang tidak dapat dihasilkan oleh pisau fisik mana pun. Masing-masing adalah debu titik-titik, yang tersebar di seluruh bola dalam pola tanpa kontinuitas, tanpa bentuk, tanpa tepi.

Anda dapat menolak kesimpulannya dengan menolak aksiomanya. Pada tahun 1970, Robert Solovay membangun model teori himpunan di mana setiap subhimpunan ruang Euklides dapat diukur menurut Lebesgue dan Banach-Tarski tidak dapat terjadi. Model tersebut konsisten, dengan asumsi hipotesis kardinal besar yang ringan. Hampir tidak ada matematikawan yang bekerja yang beralih ke sana. Melepaskan Aksioma Pilihan menuntut biaya yang jauh lebih besar bagi matematika secara keseluruhan, dibandingkan biaya untuk menerima paradoks tersebut.

Juga tidak ada versi fisiknya, dan tidak mungkin ada. Konstruksi ini memerlukan kontinum yang dapat dibagi tanpa batas, dan materi tidak dapat dibagi tanpa batas. Teorema ini menggambarkan bola matematis yang ideal; emas dan apel aman.

Apa yang belum kita ketahui

Kita tidak tahu apakah lima adalah jumlah minimum dalam setiap pengertian yang masuk akal. Bukti klasik membutuhkan lima potongan, dan Raphael Robinson menunjukkan pada tahun 1947 bahwa empat tidak cukup untuk sebuah bola. Lima adalah angka yang tepat. Namun, untuk kerabat berdimensi lebih tinggi dan varian teorema yang lebih lunak, jumlah optimalnya masih terbuka untuk dikaji.

Kita tidak sepenuhnya memahami di mana paradoks ini hidup dan di mana tidak. Fenomena Banach-Tarski muncul karena grup rotasi ruang tiga dimensi adalah apa yang disebut matematikawan sebagai non-amenabel, sebuah properti struktural yang tidak berlaku pada bidang datar. Tidak ada Banach-Tarski dua dimensi; Anda tidak dapat melipatgandakan cakram. Batas antara grup yang paradoks dan yang tidak paradoks telah dipetakan selama satu abad terakhir namun belum selesai.

Dan kita tidak tahu apa yang harus dilakukan terhadap Aksioma Pilihan dalam jangka panjang. Sebagian besar matematika kontemporer secara diam-diam mengasumsikannya. Aliran konstruktif menolaknya. Banach-Tarski adalah contoh paling bersih tentang apa yang didapatkan dan apa yang harus dibayarkan dari aksioma tersebut — semacam pernyataan biaya bagi fondasi matematika.

Sebuah bola yang melipatgandakan dirinya sendiri duduk, tidak berbahaya, di dalam makalah yang diterbitkan seratus tahun lalu. Ia tidak dapat digambar. Ia tidak dapat dibangun. Dalam pengertian paling ketat yang tersedia bagi nalar manusia, hal itu benar.

En 1924, deux mathématiciens polonais ont prouvé qu'une boule pleine peut être découpée en cinq morceaux puis réassemblée, par de simples rotations, pour former deux boules identiques à l'originale. La démonstration est irréfutable. Les pièces, elles, ne peuvent être construites.

Au printemps 1924, deux mathématiciens travaillant à l'University of Lwów soumirent un article de cinq pages à Fundamenta Mathematicae. Le titre, en français, comptait dix-sept mots. Le théorème qu’il contenait n’en comptait qu’un seul. Une boule solide dans l'espace euclidien à trois dimensions peut être découpée en un nombre fini de morceaux disjoints et réassemblée, au moyen de simples rotations et translations, pour former deux boules solides, chacune identique à l'originale. Le nombre de morceaux peut être limité à cinq.

Stefan Banach et Alfred Tarski ne plaisantaient pas. La preuve est rigoureuse, a été vérifiée mille fois, et demeure un exercice classique de la théorie des ensembles de niveau master. Les morceaux ne sont pas étirés. Rien n'est ajouté. Le réassemblage utilise les mêmes mouvements rigides que ceux qui permettent de déplacer une pièce d'échecs sur un plateau. Et pourtant, à l'issue de l'opération, vous vous retrouvez avec deux fois le volume initial.

L'astuce réside entièrement dans ce qui compte comme un « morceau ».

The Axiom of Choice

La construction dépend de l'Axiom of Choice — le principe selon lequel, étant donné une collection d'ensembles non vides, vous pouvez choisir un élément dans chacun d'eux, même si la collection est infinie et qu'aucune règle ne permet de spécifier le choix. La plupart des mathématiciens en activité utilisent cet axiome sans même y penser. Adoptez-le, et vous pourrez prouver l'existence d'objets que vous ne pouvez décrire : des ensembles mathématiquement réels, mais sans formule, sans algorithme, sans représentation.

Les morceaux de Banach-Tarski sont de tels objets. Ils ne sont pas mesurables. La question « quel est le volume de cet ensemble ? » n'a pas de réponse — ni zéro, ni l'infini, simplement indéfini. La fonction que nous appelons Lebesgue measure refuse d'être définie sur eux. Et dès lors que la mesure fait défaut, la loi de conservation selon laquelle « les parties constituent le tout » s'effondre avec elle.

Le mécanisme, esquissé une décennie plus tôt par Felix Hausdorff, s'appuie sur le free group on two generators. Choisissez deux rotations de la sphère, selon des angles soigneusement sélectionnés, autour de deux axes différents. Les séquences de ces rotations ne s'annulent jamais par hasard ; chaque mot distinct formé par les rotations donne un résultat distinct. Cette liberté algébrique vous permet de partitionner la sphère en morceaux qui peuvent être écartés par rotation, puis réassemblés de manières non conservatives. Banach et Tarski ont transposé l'astuce de la sphère à la boule solide, et le compte est bon : cinq morceaux suffisent.

A paradox that isn't

Le mot « paradoxe » est ici employé dans son sens ancien — un résultat si contraire à l'attente que la réaction naturelle est de chercher l'erreur. L'erreur, c'est l'intuition. Nous nous attendons à ce que le découpage et le réassemblage conservent le volume parce que chaque exemple que nous avons manipulé, chaque miche de pain, chaque brique, chaque pomme, est constitué de morceaux mesurables. La décomposition de Banach-Tarski utilise des morceaux qu'aucun couteau physique ne pourrait produire. Chacun d'eux est une poussière de points, éparpillée dans la boule selon un motif sans continuité, sans forme, sans bord.

Vous pouvez rejeter la conclusion en rejetant l'axiome. En 1970, Robert Solovay a construit un modèle de la théorie des ensembles dans lequel chaque sous-ensemble de l'espace euclidien est mesurable au sens de Lebesgue et où le paradoxe de Banach-Tarski ne peut se produire. Ce modèle est cohérent, sous réserve d'une hypothèse modérée sur les grands cardinaux. Presque aucun mathématicien en activité ne travaille dans ce cadre. Abandonner l'Axiome du choix coûte bien plus cher, au reste des mathématiques, que ce que coûte l'acceptation du paradoxe.

Il n'existe pas non plus de version physique, et il ne peut en exister. La construction nécessite le continu infiniment divisible, or la matière ne l'est pas. Le théorème décrit une boule mathématique idéalisée ; l'or et les pommes sont en sécurité.

What we still don't know

Nous ne savons pas si cinq est le minimum dans tous les sens raisonnables du terme. La preuve classique nécessite cinq morceaux, et Raphael Robinson a démontré en 1947 que quatre ne suffisaient pas pour la boule. Cinq est un seuil optimal. Mais pour les cousins dans des dimensions supérieures et les variantes plus souples du théorème, les nombres optimaux restent à déterminer.

Nous ne comprenons pas pleinement où réside le paradoxe et où il ne réside pas. Le phénomène de Banach-Tarski découle du fait que le groupe des rotations de l'espace tridimensionnel est ce que les mathématiciens appellent non moyennable, une propriété structurelle qui fait défaut dans le plan. Il n'existe pas de Banach-Tarski bidimensionnel ; vous ne pouvez pas doubler un disque. La frontière entre les groupes paradoxaux et non paradoxaux a été cartographiée au cours du siècle dernier, mais le travail n'est pas terminé.

Et nous ne savons pas ce qu'il faut penser de l'Axiome du choix à long terme. La majeure partie des mathématiques contemporaines l'assume silencieusement. Les écoles constructivistes le rejettent. Banach-Tarski est l'exemple le plus pur de ce que l'axiome vous apporte et de ce qu'il vous coûte — une sorte de facture pour les fondations.

Une boule qui se dédouble repose, inoffensive, à l'intérieur d'un papier publié il y a cent ans. On ne peut la dessiner. On ne peut la construire. Au sens le plus strict qu'autorise le raisonnement humain, elle est vraie.

१९२४ में, दो पोलिश गणितज्ञों ने सिद्ध किया कि एक ठोस गेंद को पाँच टुकड़ों में काटकर, केवल घुमाव के माध्यम से, मूल के समान दो गेंदों में पुनर्गठित किया जा सकता है। यह प्रमाण अकाट्य है। इन टुकड़ों का निर्माण असंभव है।

1924 की वसंत ऋतु में, University of Lwów में कार्यरत दो गणितज्ञों ने Fundamenta Mathematicae को पाँच पृष्ठों का एक शोध पत्र सौंपा। फ्रेंच भाषा में लिखे गए इस शोध पत्र का शीर्षक सत्रह शब्दों का था, लेकिन इसमें वर्णित प्रमेय केवल एक शब्द में सिमट गया। तीन-आयामी यूक्लिडियन स्पेस में एक ठोस गेंद को असंबद्ध टुकड़ों की एक सीमित संख्या में काटा जा सकता है और केवल घूर्णन (rotations) तथा स्थानान्तरण (translations) का उपयोग करके, उसे दो ऐसी ठोस गेंदों में फिर से जोड़ा जा सकता है जो मूल गेंद के बिल्कुल समान हों। इन टुकड़ों की संख्या न्यूनतम पाँच हो सकती है।

Stefan Banach और Alfred Tarski मज़ाक नहीं कर रहे थे। यह प्रमाण कठोर है, जिसे हज़ारों बार जाँचा जा चुका है, और यह स्नातक स्तर के सेट थ्योरी (set theory) में एक मानक अभ्यास बना हुआ है। टुकड़ों को खींचा (stretch) नहीं जाता। इसमें कुछ भी बाहर से नहीं जोड़ा जाता है। पुनर्संयोजन में उन्हीं दृढ़ गतियों (rigid motions) का उपयोग होता है जो शतरंज की मोहरे को बोर्ड पर चलाने के काम आती हैं। और फिर भी, इस प्रक्रिया के अंत में आपके पास शुरुआती आयतन (volume) का दोगुना आयतन होता है।

इसकी पूरी चाल इस बात में निहित है कि हम "टुकड़ा" किसे कहते हैं।

The Axiom of Choice

यह निर्माण Axiom of Choice पर निर्भर करता है — यह सिद्धांत कि, यदि हमारे पास गैर-रिक्त सेटों (non-empty sets) का कोई भी संग्रह हो, तो हम प्रत्येक से एक तत्व चुन सकते हैं, भले ही वह संग्रह अनंत हो और हम उस चयन के लिए कोई नियम न बता सकें। अधिकांश कार्यरत गणितज्ञ बिना सोचे-समझे इस अभिगृहीत (axiom) का उपयोग करते हैं। इसे स्वीकार करते ही, आप ऐसी वस्तुओं के अस्तित्व को सिद्ध कर सकते हैं जिन्हें आप वर्णित नहीं कर सकते: ऐसे सेट जो गणितीय रूप से वास्तविक हैं लेकिन जिनका कोई सूत्र, कोई एल्गोरिदम या कोई चित्र नहीं है।

Banach-Tarski के टुकड़े ऐसी ही वस्तुएं हैं। वे गैर-मापने योग्य (non-measurable) हैं। "इस सेट का आयतन क्या है?" प्रश्न का कोई उत्तर नहीं है — न शून्य, न अनंत, बस अपरिभाषित। जिस फलन को हम Lebesgue measure कहते हैं, वह इन पर परिभाषित होने से इनकार कर देता है। और एक बार जब मापन का नियम टूटता है, तो संरक्षण का वह नियम भी उसके साथ टूट जाता है जो कहता है कि "भागों को जोड़ने पर पूर्ण प्राप्त होता है।"

यह तंत्र, जिसे एक दशक पहले Felix Hausdorff द्वारा रेखांकित किया गया था, free group on two generators के माध्यम से कार्य करता है। गोले के दो घूर्णनों को, दो अलग-अलग अक्षों के चारों ओर सावधानीपूर्वक चुने गए कोणों द्वारा चुनें। इन घूर्णनों के अनुक्रम कभी भी संयोग से रद्द नहीं होते; घूर्णनों का प्रत्येक विशिष्ट शब्द एक विशिष्ट परिणाम देता है। वह बीजगणितीय स्वतंत्रता आपको गोले को ऐसे टुकड़ों में विभाजित करने देती है जिन्हें अलग-अलग घुमाया जा सकता है और गैर-संरक्षी तरीकों से वापस जोड़ा जा सकता है। Banach और Tarski ने इस चाल को गोले से उठाकर ठोस गेंद पर लागू किया और गणना की: पाँच टुकड़े पर्याप्त हैं।

A paradox that isn't

यहाँ "विरोधाभास" (paradox) शब्द का प्रयोग अपने पुराने अर्थ में किया गया है — एक ऐसा परिणाम जो अपेक्षा के इतना विपरीत हो कि स्वाभाविक प्रतिक्रिया यह होती है कि उसमें कोई खोट ढूंढा जाए। खोट अंतर्ज्ञान (intuition) में है। हम उम्मीद करते हैं कि काटने और पुनर्व्यवस्थित करने से आयतन संरक्षित रहना चाहिए क्योंकि हमने अब तक जितने भी उदाहरण देखे हैं — हर रोटी, हर ईंट, हर सेब — वे सभी मापने योग्य टुकड़ों से बने हैं। Banach-Tarski का विघटन ऐसे टुकड़ों का उपयोग करता है जिन्हें कोई भौतिक चाकू उत्पन्न नहीं कर सकता। प्रत्येक टुकड़ा बिंदुओं की एक धूल है, जो गेंद के भीतर ऐसे पैटर्न में बिखरी हुई है जिसमें कोई निरंतरता, कोई आकार या कोई किनारा नहीं है।

आप अभिगृहीत (axiom) को अस्वीकार करके इस निष्कर्ष को अस्वीकार कर सकते हैं। 1970 में, Robert Solovay ने सेट थ्योरी का एक ऐसा मॉडल तैयार किया जिसमें यूक्लिडियन स्पेस का प्रत्येक उप-सेट (subset) लेबेग मापने योग्य है और Banach-Tarski की स्थिति घटित नहीं हो सकती। यह मॉडल सुसंगत है, बशर्ते एक हल्का 'लार्ज-कार्डिनल' परिकल्पना मान ली जाए। लगभग कोई भी कार्यरत गणितज्ञ उस रास्ते पर नहीं जाता। गणित के शेष हिस्सों में 'Axiom of Choice' को छोड़ने की कीमत, विरोधाभास को स्वीकार करने की कीमत से कहीं अधिक है।

इसका कोई भौतिक संस्करण भी नहीं है, और हो भी नहीं सकता। इस निर्माण के लिए अनंत रूप से विभाज्य सातत्य (continuum) की आवश्यकता होती है, और पदार्थ अनंत रूप से विभाज्य नहीं है। यह प्रमेय एक आदर्श गणितीय गेंद का वर्णन करता है; सोना और सेब सुरक्षित हैं।

What we still don't know

हम यह नहीं जानते कि क्या हर उचित अर्थ में पाँच ही न्यूनतम संख्या है। शास्त्रीय प्रमाण के लिए पाँच टुकड़ों की आवश्यकता होती है, और Raphael Robinson ने 1947 में दिखाया था कि गेंद के लिए चार टुकड़े पर्याप्त नहीं होंगे। पाँच सटीक संख्या है। लेकिन प्रमेय के उच्च-आयामी स्वरूपों और अन्य भिन्नताओं के लिए, इष्टतम संख्याएँ अभी भी अज्ञात हैं।

हम पूरी तरह से यह नहीं समझते कि यह विरोधाभास कहाँ रहता है और कहाँ नहीं। Banach-Tarski की घटना इस तथ्य पर निर्भर करती है कि तीन-आयामी स्थान का घूर्णन समूह (rotation group) वह है जिसे गणितज्ञ गैर-अमेनएबल (non-amenable) कहते हैं, जो एक ऐसी संरचनात्मक विशेषता है जो समतल (plane) में विफल हो जाती है। दो-आयामी Banach-Tarski संभव नहीं है; आप एक डिस्क को दोगुना नहीं कर सकते। विरोधाभासी और गैर-विरोधाभासी समूहों के बीच की सीमा को पिछली एक सदी में मानचित्रित किया गया है, लेकिन यह कार्य पूर्ण नहीं हुआ है।

और हम यह भी नहीं जानते कि लंबे समय में 'Axiom of Choice' का क्या करना है। समकालीन गणित का अधिकांश हिस्सा चुपचाप इसे मान लेता है। रचनात्मक स्कूल इसे अस्वीकार करते हैं। Banach-Tarski इस बात का सबसे स्पष्ट उदाहरण है कि यह अभिगृहीत आपको क्या देता है और इसकी क्या कीमत चुकानी पड़ती है — यह आधारभूत सिद्धांतों के लिए एक प्रकार का शुल्क विवरण है।

स्वयं को दोगुना करने वाली एक गेंद, सौ साल पहले प्रकाशित एक शोध पत्र के भीतर सुरक्षित बैठी है। इसे बनाया नहीं जा सकता। इसका रेखांकन नहीं किया जा सकता। मानवीय तर्क के लिए उपलब्ध सबसे कठोर अर्थ में, यह सत्य है।

В 1924 году два польских математика доказали, что сплошной шар можно разрезать на пять частей и, используя только вращения, собрать из них два шара, идентичных исходному. Это доказательство безупречно. Сами же фигуры построить невозможно.

Весной 1924 года два математика, работавшие в University of Lwów, представили в Fundamenta Mathematicae пятистраничную статью. Название на французском языке растянулось на семнадцать слов. Теорема, изложенная внутри, — на одно. Сплошной шар в трехмерном евклидовом пространстве можно разрезать на конечное число непересекающихся частей и заново собрать, используя только повороты и параллельные переносы, в два сплошных шара, каждый из которых идентичен исходному. Количество частей может быть равно пяти.

Stefan Banach и Alfred Tarski не шутили. Доказательство строгое, оно было проверено тысячи раз и остается стандартным упражнением в курсе теории множеств для аспирантов. Части не растягиваются. Ничего не добавляется. При пересборке используются те же движения твердого тела, что и при перемещении шахматной фигуры по доске. И все же в конце операции вы получаете объем вдвое больше того, с которого начинали.

Весь секрет заключается исключительно в том, что именно считается «частью».

Аксиома выбора

Конструкция опирается на Axiom of Choice — принцип, согласно которому из любого набора непустых множеств можно выбрать по одному элементу из каждого, даже если набор бесконечен, а правило для выбора указать невозможно. Большинство работающих математиков используют эту аксиому, не замечая ее. Примите ее — и вы сможете доказать существование объектов, которые не в силах описать: множеств, математически реальных, но не имеющих ни формулы, ни алгоритма, ни визуального образа.

Части Банаха — Тарского — именно такие объекты. Они неизмеримы. На вопрос «каков объем этого множества?» ответа нет — не ноль, не бесконечность, просто неопределенность. Функция, которую мы называем Lebesgue measure, отказывается определяться на них. А когда ломается мера, ломается и закон сохранения, гласящий, что «части в сумме дают целое».

Механизм, намеченный десятилетием ранее Felix Hausdorff, проходит через free group on two generators. Выберите два поворота сферы на тщательно подобранные углы вокруг двух разных осей. Последовательности этих поворотов никогда случайно не сокращаются; каждое различное «слово» из поворотов дает различный результат. Эта алгебраическая свобода позволяет разбить сферу на части, которые можно раздвинуть поворотами, а затем собрать обратно неконсервативными способами. Банах и Тарский перенесли этот трюк со сферы на сплошной шар и подсчитали: пяти частей достаточно.

Парадокс, который таковым не является

Слово «парадокс» здесь используется в своем первоначальном значении — результат, настолько противоречащий ожиданиям, что естественной реакцией будет поиск ошибки. Ошибка кроется в интуиции. Мы ожидаем, что разрезание и перестановка сохраняют объем, потому что каждый пример, с которым мы имели дело — каждая буханка, кирпич или яблоко, — состоит из измеримых частей. Разложение Банаха — Тарского использует части, которые не смог бы получить ни один физический нож. Каждая из них — это пыль из точек, рассеянная по шару в виде узора без непрерывности, без формы, без края.

Вы можете отвергнуть вывод, отвергнув аксиому. В 1970 году Robert Solovay построил модель теории множеств, в которой каждое подмножество евклидова пространства лебегово измеримо, и парадокс Банаха — Тарского возникнуть не может. Эта модель непротиворечива, если допустить гипотезу о существовании слабого большого кардинального числа. Почти никто из математиков не переходит к ней. Отказ от аксиомы выбора стоит остальной математике гораздо дороже, чем принятие парадокса.

Физической версии этого явления также не существует и быть не может. Для конструкции требуется бесконечно делимый континуум, а материя бесконечно делимой не является. Теорема описывает идеализированный математический шар; золото и яблоки в безопасности.

Чего мы до сих пор не знаем

Мы не знаем, является ли число пять минимумом во всех разумных смыслах. Классическое доказательство требует пяти частей, а Raphael Robinson в 1947 году показал, что четырех частей для шара недостаточно. Пять — точная оценка. Но для многомерных аналогов и более мягких вариантов теоремы оптимальные числа остаются открытым вопросом.

Мы не до конца понимаем, где парадокс существует, а где нет. Феномен Банаха — Тарского обусловлен тем, что группа вращений трехмерного пространства является, как говорят математики, неаменабельной — это структурное свойство, которое не выполняется на плоскости. Двумерного парадокса Банаха — Тарского не существует; нельзя удвоить диск. Граница между парадоксальными и непарадоксальными группами изучается уже столетие, но она до сих пор не описана полностью.

И мы не знаем, что в конечном счете делать с аксиомой выбора. Большая часть современной математики молчаливо принимает ее. Конструктивистские школы отвергают ее. Парадокс Банаха — Тарского — самый чистый пример того, что аксиома дает и во сколько обходится — своего рода квитанция об оплате основ математики.

Шар, который удваивает сам себя, безобидно покоится в статье, опубликованной сто лет назад. Его нельзя нарисовать. Его нельзя построить. В самом строгом смысле, доступном человеческому разуму, это истина.

1924年、二人のポーランド人数学者が、ある一つの球体を五つの断片に切り分け、ただ回転させるだけで元の球体と全く同じ二つの球体に再構成できることを証明した。その証明は完璧だ。だが、その断片を実際に構築することはできない。

1924年の春、University of Lwówに所属する2人の数学者が、5ページからなる論文をFundamenta Mathematicaeに投稿した。フランス語で記されたその論文のタイトルは17語に及んだが、その中に含まれる定理はわずか1語で説明がつくものだった。三次元ユークリッド空間内の固形球は、有限個のバラバラな断片に切り分け、回転と平行移動のみを用いて再配置することで、元の球と全く同じ固形球2つに組み立て直すことができる。この断片の数は、最小で5つで足りる。

Stefan BanachとAlfred Tarskiは、決して冗談を言っていたわけではない。この証明は厳密であり、これまでに千回以上も検証され、現在も大学院における集合論の標準的な演習問題として扱われている。断片は引き伸ばされるわけではない。何も加えられてもいない。この組み立てには、チェスの駒を盤上で動かすのと同じ剛体運動が用いられている。それにもかかわらず、操作の終了時には、最初よりも2倍の体積が存在しているのである。

このトリックの肝は、すべて「断片」として何を数えるかという点にある。

選択公理

この構成はAxiom of Choice（選択公理）に依存している。これは、空ではない集合の集まりが与えられたとき、たとえその集まりが無限であっても、そして選択のルールを具体的に指定できなくても、各集合から要素を1つずつ選び出すことができるという原理である。ほとんどの数学者は、気づかないうちにこの公理を使用している。この公理を採用することで、数学的には実在するが、数式やアルゴリズム、あるいは図として描き出すことのできない対象——すなわち、記述不可能な対象の存在を証明できるのである。

バナッハ＝タルスキーの断片とは、まさにそのような対象である。これらは非可測である。「この集合の体積はいくらか」という問いに答えはない。ゼロでも無限大でもなく、単に定義不能なのである。我々がLebesgue measure（ルベーグ測度）と呼ぶ関数は、それらの集合に対して定義されることを拒む。そして測度が崩壊すれば、「部分の和は全体に等しい」という保存則も同時に崩壊する。

Felix Hausdorffが10年前に概説したこのメカニズムは、free group on two generators（自由群）を通じて機能する。球の2つの回転を、異なる軸の周りで慎重に選ばれた角度で選択する。これらの回転の連鎖は、決して偶然に打ち消し合うことはない。回転のあらゆる独特な語（word）は、独特な結果を生み出すのである。その代数的自由度のおかげで、球を断片へと分割し、回転させて引き離し、再び非保存的な方法で組み立て直すことができる。バナッハとタルスキーはこのトリックを球から固形球へと応用し、5つの断片で十分であることを示した。

パラドックスではないパラドックス

ここでの「パラドックス」という言葉は、より古風な意味で使われている。それは、あまりに期待に反する結果であるため、自然な反応として「どこか間違いがあるはずだ」と探したくなるような結果のことである。その間違いとは、直感である。我々は、切断して並べ替えても体積は保存されるものと期待する。なぜなら、我々がこれまで扱ってきたあらゆる例——パンも、レンガも、リンゴも——すべてが可測な断片からできているからである。バナッハ＝タルスキーの分解が用いる断片は、いかなる物理的なナイフによっても作り出せない。それらはそれぞれが点の塵であり、連続性も形も境界もないパターンとして球の中に散らばっているのである。

公理を拒否することで、この結論を拒むことはできる。1970年、Robert Solovayは、ユークリッド空間のあらゆる部分集合がルベーグ可測であり、バナッハ＝タルスキーが起こり得ない集合論のモデルを構築した。このモデルは、穏やかな大きな基数仮説を前提とすれば整合的である。しかし、ほとんどの数学者はそちらへは向かわない。数学の他の分野全体において、選択公理を放棄することの代償は、このパラドックスを受け入れる代償よりもはるかに大きいからである。

また、物理的なバージョンは存在せず、存在することも不可能である。この構成には無限に分割可能な連続体が必要であるが、物質は無限には分割できない。この定理は理想化された数学的な球を描写しているに過ぎず、金やリンゴは安全である。

未知の領域

5という数が、あらゆる合理的な意味において最小であるかどうかは分かっていない。古典的な証明には5つの断片が必要であり、Raphael Robinsonは1947年に、球に対しては4つでは不十分であることを示した。5という数は鋭い（最小である）。しかし、より高次元の類似体や、より柔らかい変種の定理については、最適な断片の数は未解決のままである。

我々は、このパラドックスがどこに存在し、どこに存在しないのかを完全には理解していない。バナッハ＝タルスキー現象は、三次元空間の回転群が数学者の言う「非順応的（non-amenable）」であることに起因しているが、この構造的性質は平面では成り立たない。二次元のバナッハ＝タルスキーは存在しない。円盤を倍にすることはできないのである。パラドックスが生じる群と生じない群の境界は、この1世紀にわたって地図化されてきたが、まだ完成には至っていない。

そして、選択公理の行く末をどう捉えるべきかも分かっていない。現代数学の大部分は、黙ってこれを受け入れている。構成主義の学派はそれを拒絶する。バナッハ＝タルスキーは、この公理が我々に何をもたらし、何が代償となるかを示す——いわば数学の基礎に対する請求書のような——最も鮮明な例である。

倍になる球は、100年前に出版された論文の中に、無害な状態で鎮座している。それを描くことはできない。作ることもできない。人間の理性が到達しうる最も厳密な意味において、それは真実である。

Im Jahr 1924 bewiesen zwei polnische Mathematiker, dass sich eine massive Kugel in fünf Teile zerschneiden und durch bloße Drehungen so neu anordnen lässt, dass zwei zur ursprünglichen identische Kugeln entstehen. Der Beweis ist lückenlos. Die Teile lassen sich nicht konstruieren.

Im Frühjahr 1924 reichten zwei Mathematiker, die an der University of Lwów arbeiteten, einen fünfseitigen Artikel bei Fundamenta Mathematicae ein. Der Titel, auf Französisch verfasst, umfasste siebzehn Wörter. Das Theorem darin bestand aus einem einzigen. Eine massive Kugel im dreidimensionalen euklidischen Raum kann in eine endliche Anzahl disjunkter Teile zerlegt und durch bloße Drehungen und Verschiebungen wieder zu zwei massiven Kugeln zusammengesetzt werden, die beide mit dem Original identisch sind. Die Anzahl der Teile kann dabei so gering wie fünf sein.

Stefan Banach und Alfred Tarski machten keine Scherze. Der Beweis ist rigoros, wurde tausendfach überprüft und bleibt eine Standardübung in der Mengenlehre für Fortgeschrittene. Die Teile werden nicht gedehnt. Nichts wird hinzugefügt. Das Zusammensetzen erfolgt durch dieselben starren Bewegungen, mit denen man eine Schachfigur über ein Brett schiebt. Und doch hat man am Ende des Vorgangs das doppelte Volumen des Ausgangszustands.

Der Trick liegt einzig darin, was als „Teil“ zählt.

The Axiom of Choice

Die Konstruktion beruht auf dem Axiom of Choice – dem Prinzip, dass man aus jeder Sammlung nichtleerer Mengen jeweils ein Element auswählen kann, selbst wenn die Sammlung unendlich ist und man keine Regel für die Auswahl angeben kann. Die meisten praktizierenden Mathematiker verwenden das Axiom, ohne es zu bemerken. Akzeptiert man es, kann man die Existenz von Objekten beweisen, die man nicht beschreiben kann: Mengen, die mathematisch real sind, aber keine Formel, keinen Algorithmus und kein Bild besitzen.

Die Banach-Tarski-Stücke sind solche Objekte. Sie sind nicht messbar. Die Frage „Welches Volumen hat diese Menge?“ hat keine Antwort – nicht null, nicht unendlich, schlicht undefiniert. Die Funktion, die wir Lebesgue measure nennen, lässt sich auf sie nicht anwenden. Und sobald das Maß versagt, bricht auch das Erhaltungsgesetz zusammen, das besagt, dass „die Teile zusammen das Ganze ergeben“.

Der Mechanismus, der ein Jahrzehnt zuvor von Felix Hausdorff skizziert wurde, beruht auf der free group on two generators. Man wähle zwei Drehungen der Kugel um zwei verschiedene Achsen mit sorgfältig gewählten Winkeln. Die Abfolgen dieser Drehungen heben sich niemals zufällig auf; jedes unterschiedliche Wort von Drehungen ergibt ein unterschiedliches Resultat. Diese algebraische Freiheit erlaubt es, die Sphäre in Teile zu zerlegen, die auf nicht-konservative Weise auseinandergedreht und wieder zusammengefügt werden können. Banach und Tarski übertrugen den Trick von der Sphäre auf die massive Kugel und zählten nach: Fünf Stücke genügen.

A paradox that isn't

Das Wort „Paradoxon“ wird hier in seinem älteren Sinne verwendet – als ein Resultat, das so sehr den Erwartungen widerspricht, dass die natürliche Reaktion darin besteht, nach dem Fehler zu suchen. Der Fehler liegt in der Intuition. Wir erwarten, dass Schneiden und Umordnen das Volumen bewahrt, weil jedes Beispiel, das wir je gehandhabt haben – jedes Brot, jeder Ziegelstein, jeder Apfel – aus messbaren Stücken besteht. Die Banach-Tarski-Zerlegung verwendet Stücke, die kein physisches Messer erzeugen könnte. Jedes ist ein Staub aus Punkten, der so durch die Kugel verstreut ist, dass er keinem stetigen Muster, keiner Form und keiner Kante folgt.

Man kann die Schlussfolgerung ablehnen, indem man das Axiom ablehnt. Im Jahr 1970 konstruierte Robert Solovay ein Modell der Mengenlehre, in dem jede Teilmenge des euklidischen Raums Lebesgue-messbar ist und Banach-Tarski nicht auftreten kann. Das Modell ist konsistent, sofern man eine milde Großkardinal-Hypothese annimmt. Fast kein praktizierender Mathematiker wechselt dorthin. Das Axiom der Wahl aufzugeben, kostet im Rest der Mathematik weit mehr, als das Paradoxon zu akzeptieren.

Es gibt zudem keine physikalische Version, und es kann sie auch nicht geben. Die Konstruktion erfordert das unendlich teilbare Kontinuum, und Materie ist nicht unendlich teilbar. Das Theorem beschreibt eine idealisierte mathematische Kugel; Gold und Äpfel sind sicher.

What we still don't know

Wir wissen nicht, ob fünf in jedem vernünftigen Sinne das Minimum ist. Der klassische Beweis benötigt fünf Teile, und Raphael Robinson zeigte 1947, dass vier für die Kugel nicht ausreichen. Fünf ist scharf. Doch für höherdimensionale Verwandte und weichere Varianten des Theorems bleiben die optimalen Anzahlen offen.

Wir verstehen noch nicht vollständig, wo das Paradoxon existiert und wo nicht. Das Banach-Tarski-Phänomen beruht darauf, dass die Rotationsgruppe des dreidimensionalen Raums das ist, was Mathematiker als nicht-auflösbar (non-amenable) bezeichnen – eine strukturelle Eigenschaft, die in der Ebene fehlt. Es gibt kein zweidimensionales Banach-Tarski; man kann eine Kreisscheibe nicht verdoppeln. Die Grenze zwischen paradoxen und nicht-paradoxen Gruppen wurde im Laufe des letzten Jahrhunderts kartiert, ist aber noch nicht vollständig erfasst.

Und wir wissen auf lange Sicht nicht, was wir vom Auswahlaxiom halten sollen. Die meisten Bereiche der zeitgenössischen Mathematik setzen es stillschweigend voraus. Konstruktive Schulen lehnen es ab. Banach-Tarski ist das sauberste Beispiel dafür, was das Axiom einem einbringt und was es kostet – eine Art Gebührenbescheid für die Grundlagen.

Eine Kugel, die sich selbst verdoppelt, ruht harmlos in einem vor hundert Jahren veröffentlichten Aufsatz. Sie kann nicht gezeichnet werden. Sie kann nicht gebaut werden. Im strengsten Sinne, der menschlichem Denken zugänglich ist, ist sie wahr.

1924년, 두 명의 폴란드 수학자는 하나의 공을 다섯 조각으로 잘라 회전시키는 것만으로도 원래와 똑같은 공 두 개를 만들 수 있다는 것을 증명했다. 그 증명은 완벽하다. 그러나 그 조각들은 실재할 수 없다.

1924년 봄, University of Lwów에서 연구하던 두 수학자가 Fundamenta Mathematicae에 5쪽 분량의 논문을 제출했다. 프랑스어로 작성된 제목은 17단어에 달했지만, 그 안에 담긴 정리는 단 한 문장이었다. 3차원 유클리드 공간에 있는 단단한 공 하나를 유한한 개수의 서로 겹치지 않는 조각으로 자른 뒤, 회전과 평행이동만을 사용하여 원래의 공과 완전히 똑같은 공 두 개로 다시 조립할 수 있다는 내용이었다. 조각의 개수는 5개면 충분했다.

Stefan Banach와 Alfred Tarski는 농담을 하는 것이 아니었다. 이 증명은 엄밀하며 수천 번 검증되었고, 오늘날 대학원 집합론에서 표준적인 연습 문제로 남아 있다. 조각들을 늘리거나 줄이지도 않았다. 무엇 하나 더해진 것도 없다. 재조립 과정은 체스 말을 판 위에서 움직일 때와 똑같은 강체 운동을 사용한다. 그런데도 작업이 끝나면 처음 부피의 두 배가 되는 결과를 얻게 된다.

이 마술의 비결은 전적으로 무엇을 '조각'으로 간주하느냐에 달려 있다.

선택 공리

이 구성은 Axiom of Choice에 의존한다. 이는 공집합이 아닌 집합들의 모임이 주어졌을 때, 그 모임이 무한하더라도 각각의 집합에서 하나의 원소를 선택하는 규칙을 명시할 수 없어도 각 집합에서 원소를 하나씩 골라낼 수 있다는 원리다. 대부분의 수학자들은 이 공리를 별다른 의식 없이 사용한다. 이를 받아들이면 설명할 수는 없지만 존재하는 대상, 즉 수학적으로는 실재하지만 공식도, 알고리즘도, 그림도 없는 집합들의 존재를 증명할 수 있다.

바나흐-타르스키의 조각들이 바로 그러한 대상이다. 이들은 측정 불가능하다. "이 집합의 부피는 얼마인가?"라는 질문에는 답이 없다. 0도, 무한대도 아니며 그저 정의되지 않을 뿐이다. 우리가 Lebesgue measure라 부르는 함수는 이들에 대해 정의되기를 거부한다. 측도가 깨지는 순간, "부분을 합치면 전체가 된다"는 보존 법칙도 함께 무너진다.

10년 전 Felix Hausdorff가 개략적으로 제시했던 이 메커니즘은 free group on two generators을 통해 작동한다. 구의 회전 두 개를 서로 다른 두 축을 중심으로 신중하게 선택된 각도만큼 회전시킨다고 하자. 이 회전들의 배열은 우연히 상쇄되는 일이 없으며, 회전으로 이루어진 모든 개별적인 단어는 각각 고유한 결과를 낳는다. 이러한 대수적 자유로 인해 구를 조각들로 분할할 수 있고, 이 조각들을 비보존적인 방식으로 회전시켜 따로 떼어 냈다가 다시 합칠 수 있게 된다. 바나흐와 타르스키는 이 비법을 구에서 단단한 공으로 확장했고, 그 결과 5개의 조각이면 충분하다는 것을 밝혀냈다.

역설이 아닌 역설

여기서 '역설(paradox)'이라는 단어는 예전의 의미로 사용되었다. 즉, 기대와 너무나 반대되어 자연스러운 반응으로 오류를 찾게 만드는 결과를 의미한다. 오류는 우리의 직관에 있다. 우리는 자르고 재배치하는 행위가 부피를 보존할 것이라고 기대하는데, 이는 우리가 다루어 온 모든 예시, 즉 빵이나 벽돌, 사과와 같은 모든 것이 측정 가능한 조각들로 이루어져 있기 때문이다. 바나흐-타르스키 분해는 물리적인 칼로는 결코 만들어낼 수 없는 조각들을 사용한다. 각 조각은 연속성도, 형태도, 경계도 없는 패턴으로 공 전체에 흩뿌려진 점들의 먼지와 같다.

공리를 거부함으로써 이 결론을 부정할 수도 있다. 1970년, Robert Solovay는 유클리드 공간의 모든 부분집합이 르베그 측정 가능하며 바나흐-타르스키 현상이 발생하지 않는 집합론의 모델을 구성했다. 이 모델은 완만한 대기수 가설(large-cardinal hypothesis)을 가정할 때 일관성을 유지한다. 그러나 실제로 활동하는 거의 모든 수학자들은 그런 방식으로 이동하지 않는다. 선택 공리를 포기하는 것은 나머지 수학 전반에 걸쳐 이 역설을 받아들이는 것보다 훨씬 더 큰 대가를 치러야 하기 때문이다.

또한, 이 역설에 대한 물리적 구현은 존재하지 않으며 존재할 수도 없다. 이 구성은 무한히 나눌 수 있는 연속체를 요구하지만, 물질은 무한히 나눌 수 없기 때문이다. 이 정리는 이상적인 수학적 공을 묘사할 뿐이며, 금과 사과는 안전하다.

여전히 알지 못하는 것들

우리는 모든 합리적인 의미에서 5가 최소 개수인지 알지 못한다. 고전적인 증명은 5개의 조각을 필요로 하며, Raphael Robinson은 1947년에 공을 재조립하는 데 4개로는 부족하다는 것을 보여주었다. 5라는 수치는 확고하다. 그러나 더 높은 차원의 사촌 격인 문제들이나 이 정리의 더 유연한 변형들에 대해서는 최적의 조각 개수가 여전히 밝혀지지 않았다.

우리는 이 역설이 어디에서 발생하고 어디에서는 발생하지 않는지 완전히 이해하지 못하고 있다. 바나흐-타르스키 현상은 3차원 공간의 회전군이 수학자들이 '비가해(non-amenable)'라고 부르는 성질을 갖기 때문에 나타나는데, 이 구조적 성질은 평면에서는 성립하지 않는다. 2차원 바나흐-타르스키는 존재하지 않으며, 원판의 부피를 두 배로 늘릴 수는 없다. 역설적인 군과 그렇지 않은 군 사이의 경계는 지난 세기 동안 지도화되었지만, 아직 완성되지 않았다.

그리고 우리는 장기적으로 선택 공리를 어떻게 다루어야 할지 모른다. 현대 수학의 대부분은 이를 묵묵히 가정한다. 구성주의 학파는 이를 거부한다. 바나흐-타르스키는 선택 공리가 우리에게 무엇을 제공하고 무엇을 대가로 요구하는지를 보여주는 가장 명쾌한 예시이며, 수학의 기초를 다지기 위해 치러야 할 일종의 수수료 명세서와 같다.

스스로 두 배가 되는 공 하나가 100년 전 출판된 논문 속에 무해하게 자리 잡고 있다. 그것은 그릴 수도 없고, 만들 수도 없다. 인간의 추론이 도달할 수 있는 가장 엄밀한 의미에서, 그것은 사실이다.

Banach-Tarski Paradox

The Axiom of Choice

A paradox that isn't

What we still don't know

选择公理

一个并非悖论的悖论

我们仍未知晓的

The Axiom of Choice

A paradox that isn't

What we still don't know

بديهية الاختيار

مفارقة ليست بمفارقة

ما لا نزال نجهله

The Axiom of Choice

A paradox that isn't

What we still don't know

Aksioma Pilihan

Paradoks yang bukan paradoks

Apa yang belum kita ketahui

The Axiom of Choice

A paradox that isn't

What we still don't know

The Axiom of Choice

A paradox that isn't

What we still don't know

Аксиома выбора

Парадокс, который таковым не является

Чего мы до сих пор не знаем

選択公理

パラドックスではないパラドックス

未知の領域

The Axiom of Choice

A paradox that isn't

What we still don't know

선택 공리

역설이 아닌 역설

여전히 알지 못하는 것들

Mentioned in this article

Sources