Concept
Free group
In algebra, a group whose elements are finite sequences in a chosen set of generators and their inverses, with no relations other than cancelling a generator with its inverse. The free group on two generators contains, in a precise sense, two disjoint copies of itself — an algebraic doubling that drives the Banach-Tarski construction once it is realised concretely as a pair of rotations of a sphere.
在代数学中，自由群是指其元素为选定生成元及其逆元构成的有限序列的群，除了生成元与其逆元相抵消之外没有其他关系。由两个生成元生成的自由群，在精确的意义上，包含自身的两个不相交副本——一旦这种代数上的双倍关系以球面的两个旋转来实现，就推动了巴拿赫-塔斯基悖论的构建。
En álgebra, un grupo cuyos elementos son secuencias finitas de un conjunto de generadores y sus inversos, sin más relaciones que la cancelación de un generador con su inverso. El grupo libre con dos generadores contiene, en un sentido preciso, dos copias disjuntas de sí mismo; una duplicación algebraica que impulsa la construcción de Banach-Tarski al realizarse concretamente como rotaciones de una esfera.
الزمرة الحرة في الجبر هي زمرة تكون عناصرها عبارة عن متتاليات منتهية من مولدات مختارة ومعكوساتها، مع عدم وجود علاقات أخرى سوى إلغاء المولد مع معكوسه. تحتوي الزمرة الحرة ذات المولدين، بمعناه الدقيق، على نسختين منفصلتين من نفسها؛ وهو مضاعفة جبرية تقود بناء باناخ-تارسكي بمجرد تحقيقها بشكل ملموس كزوج من دوران الكرة.
Em álgebra, um grupo cujos elementos são sequências finitas em um conjunto escolhido de geradores e seus inversos, sem outras relações além do cancelamento de um gerador com seu inverso. O grupo livre com dois geradores contém duas cópias disjuntas de si mesmo — uma duplicação algébrica que impulsiona a construção de Banach-Tarski quando realizada concretamente como um par de rotações de uma esfera.
बीजगणित में, एक समूह जिसके तत्व जनरेटर के एक चुनिंदा सेट और उनके व्युत्क्रमों में परिमित अनुक्रम हैं, जिसमें जनरेटर को उसके व्युत्क्रम के साथ रद्द करने के अलावा कोई अन्य संबंध नहीं है, जिसे मुक्त समूह (free group) कहा जाता. दो जनरेटरों पर मुक्त समूह में इसके दो पृथक प्रतियां शामिल हैं - एक बीजगणितीय दोहरीकरण जो बानाच-टार्स्की के निर्माण को संचालित करता है।
Dalam aljabar, grup bebas adalah grup yang elemen-elemennya berupa urutan berhingga dari himpunan generator pilihan dan inversnya, tanpa hubungan lain selain pembatalan generator dengan inversnya. Grup bebas dengan dua generator memuat dua salinan terpisah dari dirinya sendiri — penggandaan aljabar yang mendorong konstruksi Banach-Tarski saat diwujudkan sebagai rotasi bola.
En algèbre, un groupe libre est un groupe dont les éléments sont des suites finites de générateurs et de leurs inverses, sans autres relations que la simplification d'un élément par son inverse. Le groupe libre à deux générateurs contient deux copies disjointes de lui-même, un doublement algébrique qui sous-tend la construction de Banach-Tarski lorsque ces éléments sont réalisés comme des rotations d'une sphère.
代数学において自由群とは、選択された生成元とその逆元からなる有限の並び（語）を要素とし、生成元と逆元の相殺以外の関係（結合規則）を持たない群のことである。2つの生成元による自由群は、厳密な意味で自身と互いに素な2つのコピーを含んでおり、この代数的な二重化が、球面の回転操作として具体化されたときにバナッハ＝タルスキの分割合同構成の原動力となる。
Свободная группа в алгебре — это группа, элементами которой являются конечные последовательности из набора образующих и их обратных, без каких-либо соотношений, кроме сокращения образующей с ее обратной. Свободная группа с двумя образующими содержит две непересекающиеся копии самой себя — алгебраическое удвоение, лежащее в основе построения Банаха-Тарского при реализации в виде вращений сферы.
In der Algebra eine Gruppe, deren Elemente endliche Sequenzen aus Erzeugern und ihren Inversen sind, ohne andere Relationen als die Kürzung eines Erzeugers mit seinem Inversen. Die freie Gruppe mit zwei Erzeugern enthält zwei disjunkte Kopien ihrer selbst — eine algebraische Verdopplung, die die Banach-Tarski-Konstruktion antreibt, sobald sie konkret als Rotationen einer Kugel realisiert wird.
대수학에서 자유군(free group)은 선택된 생성원(generator)들과 그 역원들로 만들어진 유한한 시퀀스들을 원소로 가지며, 생성원과 그 역원이 이웃해 상쇄되는 것 외에는 아무런 관계식도 가지지 않는 군이다. 두 개의 생성원으로 만들어지는 자유군은 수학적으로 자기 자신과 분리된 두 개의 복사본을 내부에 포함하는데, 이러한 대수적 복제 성질은 구면의 회전 변환으로 실현되었을 때 바나흐-타르스키 역설의 구성을 가능하게 하는 핵심 동력이 된다.