Concept
Goodstein's theorem
A 1944 result by Reuben Goodstein about sequences of natural numbers that grow astronomically before eventually terminating at zero. The theorem is true and provable using transfinite induction, but Laurie Kirby and Jeff Paris showed in 1982 that it cannot be proven within Peano arithmetic. It remains the cleanest naturally-occurring example of a Gödel-style undecidable statement.
鲁本·古德斯坦(Reuben Goodstein)于1944年得出的一个结果,涉及一类自然数序列:它们在最终归零之前会以天文级速度增长。该定理为真,且可借助超限归纳法予以证明,但劳里·柯比(Laurie Kirby)与杰夫·帕里斯(Jeff Paris)于1982年证明,它无法在皮亚诺算术内部得到证明。它至今仍是哥德尔式不可判定命题中最为简洁、且自然出现的例子。
Un resultado de 1944 de Reuben Goodstein sobre sucesiones de números naturales que crecen astronómicamente antes de terminar finalmente en cero. El teorema es verdadero y demostrable mediante inducción transfinita, pero Laurie Kirby y Jeff Paris demostraron en 1982 que no puede probarse dentro de la aritmética de Peano. Sigue siendo el ejemplo más limpio de aparición natural de un enunciado indecidible al estilo de Gödel.
نتيجةٌ توصّل إليها روبن غودشتاين عام 1944 حول متتاليات من الأعداد الطبيعية تنمو بصورة فلكية قبل أن تنتهي في نهاية المطاف إلى الصفر. النظرية صحيحة وقابلة للإثبات باستخدام الاستقراء اللامتناهي، غير أن لوري كيربي وجيف باريس أثبتا عام 1982 أنّه لا يمكن إثباتها داخل حساب بيانو. وتبقى أنظف مثال طبيعي النشأة على عبارة غير قابلة للبت من النمط الذي وصفه غودل.
Um resultado de 1944 de Reuben Goodstein sobre sequências de números naturais que crescem astronomicamente antes de eventualmente terminarem em zero. O teorema é verdadeiro e demonstrável usando indução transfinita, mas Laurie Kirby e Jeff Paris mostraram em 1982 que ele não pode ser demonstrado dentro da aritmética de Peano. Permanece o exemplo mais límpido de ocorrência natural de uma afirmação indecidível ao estilo de Gödel.
रूबेन गुडस्टीन का 1944 का परिणाम, जो प्राकृतिक संख्याओं के उन अनुक्रमों के बारे में है जो अंततः शून्य पर समाप्त होने से पहले खगोलीय रूप से बढ़ते हैं। यह प्रमेय सत्य है और परिमित-अतिक्रमी आगमन (ट्रांसफाइनाइट इंडक्शन) का प्रयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, परंतु लॉरी किर्बी और जेफ पेरिस ने 1982 में दिखाया कि इसे पीआनो अंकगणित के भीतर सिद्ध नहीं किया जा सकता। यह गोडेल-शैली के अनिर्णेय कथन का अब तक का सबसे स्वच्छ, स्वाभाविक रूप से प्रकट होने वाला उदाहरण बना हुआ है।
Sebuah hasil tahun 1944 oleh Reuben Goodstein mengenai barisan bilangan asli yang tumbuh secara astronomis sebelum akhirnya berakhir di nol. Teorema ini benar dan dapat dibuktikan menggunakan induksi transfinit, tetapi Laurie Kirby dan Jeff Paris menunjukkan pada tahun 1982 bahwa teorema ini tidak dapat dibuktikan di dalam aritmetika Peano. Teorema ini tetap menjadi contoh paling murni dari pernyataan tak terputuskan bergaya Gödel yang muncul secara alami.
Un résultat établi en 1944 par Reuben Goodstein concernant des suites d'entiers naturels qui croissent de manière astronomique avant de finir par se terminer à zéro. Le théorème est vrai et démontrable au moyen de l'induction transfinie, mais Laurie Kirby et Jeff Paris ont montré en 1982 qu'il ne peut être démontré dans l'arithmétique de Peano. Il demeure l'exemple naturel le plus net d'un énoncé indécidable à la manière de Gödel.
1944年にロイベン・グッドスティーンが示した、自然数列が天文学的に増大した末についには零で停止することに関する結果。定理自体は真であり、超限帰納法を用いれば証明可能だが、1982年にローリー・カービーとジェフ・パリスは、これがペアノ算術の枠内では証明不可能であることを示した。自然に現れるゲーデル流の決定不能命題として、現在に至るまで最も明快な例となっている。
Результат Рубена Гудстейна 1944 года о последовательностях натуральных чисел, которые астрономически возрастают, прежде чем в конечном счёте обратиться в ноль. Теорема истинна и доказуема с помощью трансфинитной индукции, однако Лори Кирби и Джефф Пэрис показали в 1982 году, что она недоказуема средствами арифметики Пеано. Она остаётся наиболее наглядным естественно возникающим примером недоказуемого утверждения в духе Гёделя.
Ein Ergebnis von Reuben Goodstein aus dem Jahr 1944 über Folgen natürlicher Zahlen, die astronomisch wachsen, um schließlich bei null zu enden. Der Satz ist wahr und mittels transfiniter Induktion beweisbar, doch Laurie Kirby und Jeff Paris zeigten 1982, dass er innerhalb der Peano-Arithmetik nicht bewiesen werden kann. Er bleibt das prägnanteste natürlich auftretende Beispiel einer unentscheidbaren Aussage im Sinne Gödels.
1944년 루빈 굿스타인이 발표한 결과로, 천문학적으로 증가하다가 결국 0에서 종결되는 자연수 수열에 관한 정리이다. 이 정리는 참이며 초한 귀납법을 사용해 증명할 수 있으나, 1982년 로리 커비와 제프 패리스는 이것이 페아노 산술 내에서는 증명될 수 없음을 보였다. 괴델식 결정 불가능 명제의 가장 깔끔한 자연 발생 사례로 남아 있다.