Harmonic series

调和级数是指无穷和 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …，其各项无限趋近于零，但其部分和却无限增长。尼科尔·奥雷姆在14世纪通过将项分组为越来越大的块（每组的和至少为二分之一）证明了其发散性。该级数的增长是呈对数级的：前n项的和大约为 ln(n) + 0.577。要达到部分和为100，需要超过10的43次方项。

La serie armónica es la suma infinita 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..., cuyos términos tienden a cero pero cuyas sumas parciales crecen sin límite. Nicole Oresme demostró su divergencia en el siglo XIV agrupando términos en bloques que sumaban al menos un medio. El crecimiento es logarítmico: la suma de los primeros n términos es aprox. ln(n) + 0,577. Llegar a 100 requiere más de 10⁴³ términos.

المتسلسلة التوافقية هي المجموع اللانهائي (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)، حيث تتقلص حدودها نحو الصفر ولكن مجاميعها الجزئية تنمو دون حدود. أثبت نيكول أورسم تباعدها في القرن الرابع عشر عن طريق تجميع الحدود في كتل متوسعة، مجموع كل منها لا يقل عن النصف. النمو لوغاريتمي: مجموع أول (n) حدود هو تقريباً (ln(n) + 0.577). الوصول إلى مجموع جزئي قدره 100 يتطلب أكثر من 10⁴³ حداً.

A série harmônica é a soma infinita 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …, cujos termos encolhem em direção a zero, mas cujas somas parciais crescem sem limite. Nicole Oresme provou sua divergência no século XIV ao agrupar termos em blocos, cada um somando pelo menos um meio. O crescimento é logarítmico: a soma dos primeiros n termos é aproximadamente ln(n) + 0,577. Alcançar uma soma de 100 requer mais de 10⁴³ termos.

अनंत योग 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …, जिसके पद शून्य की ओर सिकुड़ते हैं लेकिन जिसके आंशिक योग बिना किसी सीमा के बढ़ते हैं, जिसे हार्मोनिक श्रृंखला (harmonic series) कहा जाता है। निकोल ओरेस्मे ने चौदहवीं शताब्दी में प्रत्येक समूह का योग कम से कम आधा करके इसके विचलन को साबित किया। आंशिक योग 100 तक पहुँचने में 10⁴³ से अधिक पद लगते हैं।

Deret harmonik adalah jumlah tak terhingga 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..., dengan nilainya menyusut mendekati nol tetapi jumlah parsialnya tumbuh tanpa batas. Nicole Oresme membuktikan divergensi deret ini pada abad ke-14 dengan mengelompokkan suku-suku menjadi blok yang tumbuh, masing-masing berjumlah minimal setengah. Pertumbuhannya logaritmik: jumlah n suku pertama mendekati ln(n) + 0,577.

La série harmonique est la somme infinie 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …, dont les termes tendent vers zéro mais dont les sommes partielles croissent vers l'infini. Nicole Oresme a prouvé sa divergence au XIVe siècle en regroupant ses termes par blocs valant au moins un demi. La croissance est logarithmique : la somme des n premiers termes vaut environ ln(n) + 0,577. Dépasser la somme 100 requiert plus de 10⁴³ termes.

調和級数とは、無限和 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … のことである。その各項はゼロに向かって減少するが、部分和は上限なく発散する。14世紀にニコル・オレームは、項をグループ分けして各グループの和が少なくとも1/2以上になるようにすることで、この級数の発散を証明した。その増加は対数的であり、最初のn项の和はおよそ ln(n) + 0.577 である。部分和が100に達するには10の43乗を超える項が必要となる。

Гармонический ряд — бесконечная сумма 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..., члены которой стремятся к нулю, но частичные суммы растут безгранично. Николай Орезм доказал его расходимость в XIV веке, сгруппировав члены в расширяющиеся блоки, каждый из которых давал в сумме не менее 1/2. Рост логарифмический: сумма первых n членов составляет примерно ln(n) + 0,577. Чтобы сумма достигла 100, требуется более 10⁴³ членов.

Die harmonische Reihe ist die unendliche Summe 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …, deren Glieder gegen Null streben, deren Partialsummen jedoch unbeschränkt wachsen. Nicole Oresme bewies ihre Divergenz im 14. Jahrhundert, indem er Glieder in Blöcken zusammenfasste, die jeweils mindestens ein Halb ergaben. Das Wachstum ist logarithmisch: Die Summe der ersten n Glieder beträgt etwa ln(n) + 0,577.

조화급수(harmonic series)는 각 항이 0에 수렴하지만 부분합은 무한히 발산하는 무한급수 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … 이다. 14세기에 니콜 오렘은 각 항들을 점차 커지는 블록으로 묶어 각 블록의 합이 최소 1/2 이상이 되도록 유도함으로써 이 급수의 발산성을 최초 증명했다. 부분합의 증가율은 로그형(logarithmic)으로, 첫 n개 항의 합은 대략 ln(n) + 0.577이다. 부분합이 100에 도달하려면 10의 43승 개 이상의 항이 필요하다.