Concept
Peano arithmetic
The standard first-order axiomatisation of the natural numbers, formulated by Giuseppe Peano in 1889. Its axioms describe zero, the successor function, addition, multiplication, and induction. Strong enough to express almost all elementary number theory, it is also strong enough to fall under Gödel's incompleteness theorems — there are arithmetical truths it cannot prove.
自然数的标准一阶公理化系统，由朱塞佩·皮亚诺于1889年提出。其公理刻画了零、后继函数、加法、乘法与归纳法。该系统足以表达几乎全部初等数论，同时也足够强大，以致受制于哥德尔不完备性定理——存在它无法证明的算术真理。
La axiomatización estándar de primer orden de los números naturales, formulada por Giuseppe Peano en 1889. Sus axiomas describen el cero, la función sucesor, la adición, la multiplicación y la inducción. Lo bastante potente como para expresar casi toda la teoría elemental de números, también lo es para caer bajo los teoremas de incompletitud de Gödel: existen verdades aritméticas que no puede demostrar.
التَّأْسيس البَدَهي القياسي من الرتبة الأولى للأعداد الطبيعية، الذي صاغه جوزيبه بيانو عام 1889. تَصِف بدهياته الصفرَ ودالةَ التالي والجمعَ والضربَ والاستقراء. وهو من القوة بحيث يَقدِر على التعبير عن كل نظرية الأعداد الأولية تقريبًا، كما أنه من القوة بحيث يقع تحت طائلة مبرهنتَي عدم الاكتمال لغوديل — إذ توجد حقائق حسابية يعجز عن إثباتها.
A axiomatização de primeira ordem padrão dos números naturais, formulada por Giuseppe Peano em 1889. Seus axiomas descrevem o zero, a função sucessor, a adição, a multiplicação e a indução. Forte o bastante para exprimir quase toda a teoria elementar dos números, é também forte o bastante para recair sob os teoremas da incompletude de Gödel — há verdades aritméticas que ela não consegue demonstrar.
प्राकृतिक संख्याओं का मानक प्रथम-कोटि अभिगृहीतीकरण, जिसे 1889 में ज्यूज़ेप्पे पियानो ने सूत्रबद्ध किया। इसके अभिगृहीत शून्य, अनुवर्ती फलन, योग, गुणन और आगमन का वर्णन करते हैं। यह लगभग समस्त प्रारंभिक संख्या सिद्धांत को अभिव्यक्त करने के लिए पर्याप्त सशक्त है, और इतना सशक्त भी कि गोडेल के अपूर्णता प्रमेयों के दायरे में आ जाता है — कुछ ऐसे अंकगणितीय सत्य हैं जिन्हें यह सिद्ध नहीं कर सकता।
Aksiomatisasi orde-pertama standar untuk bilangan asli, dirumuskan oleh Giuseppe Peano pada tahun 1889. Aksioma-aksiomanya mendeskripsikan nol, fungsi suksesor, penjumlahan, perkalian, dan induksi. Cukup kuat untuk mengungkapkan hampir seluruh teori bilangan elementer, ia juga cukup kuat untuk tunduk pada teorema ketaklengkapan Gödel — terdapat kebenaran-kebenaran aritmetika yang tak dapat dibuktikannya.
Axiomatisation du premier ordre standard des entiers naturels, formulée par Giuseppe Peano en 1889. Ses axiomes décrivent le zéro, la fonction successeur, l'addition, la multiplication et l'induction. Assez puissante pour exprimer presque toute la théorie élémentaire des nombres, elle l'est aussi suffisamment pour tomber sous le coup des théorèmes d'incomplétude de Gödel : il existe des vérités arithmétiques qu'elle ne peut démontrer.
自然数に対する標準的な一階の公理化であり、1889年にジュゼッペ・ペアノによって定式化された。その公理は、零、後者関数、加法、乗法、および帰納法を規定する。初等整数論のほぼすべてを表現できるほど強力である一方、ゲーデルの不完全性定理の適用対象となるほど強力でもあり、証明できない算術的真理が存在する。
Стандартная аксиоматизация натуральных чисел первого порядка, сформулированная Джузеппе Пеано в 1889 году. Её аксиомы описывают нуль, функцию следования, сложение, умножение и индукцию. Будучи достаточно сильной, чтобы выразить почти всю элементарную теорию чисел, она также достаточно сильна, чтобы попасть под действие теорем Гёделя о неполноте, — существуют арифметические истины, которые она не способна доказать.
Die standardmäßige erststufige Axiomatisierung der natürlichen Zahlen, 1889 von Giuseppe Peano formuliert. Ihre Axiome beschreiben die Null, die Nachfolgerfunktion, Addition, Multiplikation und Induktion. Sie ist stark genug, um nahezu die gesamte elementare Zahlentheorie auszudrücken, und zugleich stark genug, um den Gödelschen Unvollständigkeitssätzen zu unterliegen — es gibt arithmetische Wahrheiten, die sie nicht beweisen kann.
자연수에 대한 표준적인 1차 공리화로, 1889년 주세페 페아노가 정식화하였다. 그 공리들은 0, 후속자 함수, 덧셈, 곱셈, 그리고 귀납법을 기술한다. 초등 정수론의 거의 전부를 표현할 수 있을 만큼 강력하지만, 동시에 괴델의 불완전성 정리의 적용을 받을 만큼 강력하기도 하다 — 즉, 이 체계가 증명할 수 없는 산술적 진리들이 존재한다.