Prime Number Theorem

该定理指出，小于大数 $x$ 的素数个数渐近于 $x/\ln x$。该猜想由高斯和勒让德于十八世纪末提出，1896 年由雅克·阿达马和夏尔-让·德拉瓦莱·普桑各自独立证明，二人均借助于黎曼ζ函数的性质。1948 年，埃尔德什与塞尔伯格找到了一种真正意义上的初等证明，完全不依赖于复分析。

El enunciado de que el número de primos menores que un valor grande $x$ es asintótico a $x/\ln x$. Conjeturado por Gauss y Legendre a finales del siglo XVIII, fue demostrado de forma independiente en 1896 por Jacques Hadamard y Charles-Jean de la Vallée Poussin, ambos utilizando propiedades de la función zeta de Riemann. Una demostración verdaderamente elemental, libre de análisis complejo, fue hallada por Erdős y Selberg en 1948.

القول بأن عدد الأعداد الأولية الأصغر من قيمة كبيرة $x$ يقارب $x/\ln x$ مقاربةً. تكهَّن بها كلٌّ من غاوس ولوجاندر في أواخر القرن الثامن عشر، وأثبتها بصورة مستقلة كلٌّ من جاك هادامار وشارل-جان دو لا فاليه بوسان عام 1896، مستعينَين كلاهما بخصائص دالة زيتا لريمان. وقد توصَّل إردوش وسلبرغ عام 1948 إلى برهان أوّليّ بحق، خالٍ من التحليل العقدي.

A afirmação de que o número de primos abaixo de um valor grande $x$ é assintótico a $x/\ln x$. Conjecturado por Gauss e Legendre no final do século XVIII, foi demonstrado independentemente em 1896 por Jacques Hadamard e Charles-Jean de la Vallée Poussin, ambos utilizando propriedades da função zeta de Riemann. Uma demonstração genuinamente elementar, isenta de análise complexa, foi obtida por Erdős e Selberg em 1948.

यह कथन कि किसी बड़े मान $x$ से कम अभाज्य संख्याओं की संख्या स्पर्शोन्मुख रूप से $x/\ln x$ के बराबर होती है। अठारहवीं शताब्दी के अंत में गाउस और लेजांद्र द्वारा परिकल्पित, इसे 1896 में जाक आदामार और शार्ल-जां द ला वाले पूसैं द्वारा स्वतंत्र रूप से सिद्ध किया गया, और दोनों ने रीमान ज़ीटा फलन के गुणधर्मों का उपयोग किया। सम्मिश्र विश्लेषण से मुक्त एक वास्तव में प्रारंभिक प्रमाण 1948 में एर्डश और सेलबर्ग द्वारा खोजा गया।

Pernyataan bahwa banyaknya bilangan prima di bawah suatu nilai besar $x$ bersifat asimtotik terhadap $x/\ln x$. Dikonjekturkan oleh Gauss dan Legendre pada akhir abad kedelapan belas, pernyataan ini dibuktikan secara independen pada tahun 1896 oleh Jacques Hadamard dan Charles-Jean de la Vallée Poussin, keduanya menggunakan sifat-sifat fungsi zeta Riemann. Sebuah bukti yang benar-benar elementer, bebas dari analisis kompleks, ditemukan oleh Erdős dan Selberg pada tahun 1948.

L'énoncé selon lequel le nombre de nombres premiers inférieurs à une grande valeur $x$ est asymptotique à $x/\ln x$. Conjecturé par Gauss et Legendre à la fin du XVIIIe siècle, il fut démontré indépendamment en 1896 par Jacques Hadamard et Charles-Jean de la Vallée Poussin, tous deux à partir des propriétés de la fonction zêta de Riemann. Une démonstration véritablement élémentaire, exempte d'analyse complexe, fut trouvée par Erdős et Selberg en 1948.

大きな値 $x$ 以下の素数の個数が $x/\ln x$ に漸近するという主張。18世紀末にガウスとルジャンドルによって予想され、1896年にジャック・アダマールとシャルル・ジャン・ド・ラ・ヴァレ・プーサンによって、いずれもリーマンゼータ関数の性質を用いて独立に証明された。複素解析を用いない真に初等的な証明は、1948年にエルデシュとセルバーグによって与えられた。

Утверждение о том, что количество простых чисел, не превосходящих большое значение $x$, асимптотически равно $x/\ln x$. Сформулированная как гипотеза Гауссом и Лежандром в конце XVIII века, она была независимо доказана в 1896 году Жаком Адамаром и Шарлем Жаном де ла Валле Пуссеном, причём оба использовали свойства дзета-функции Римана. Подлинно элементарное доказательство, не прибегающее к комплексному анализу, было найдено Эрдёшем и Сельбергом в 1948 году.

Die Aussage, dass die Anzahl der Primzahlen unterhalb eines großen Wertes $x$ asymptotisch gleich $x/\ln x$ ist. Ende des achtzehnten Jahrhunderts von Gauß und Legendre vermutet, wurde sie 1896 unabhängig voneinander von Jacques Hadamard und Charles-Jean de la Vallée Poussin bewiesen, beide unter Verwendung von Eigenschaften der Riemannschen Zetafunktion. Ein wirklich elementarer Beweis ohne komplexe Analysis wurde 1948 von Erdős und Selberg gefunden.

큰 값 $x$ 이하의 소수 개수가 $x/\ln x$에 점근적으로 같다는 정리. 18세기 말 가우스와 르장드르가 추측하였고, 1896년 자크 아다마르와 샤를장 드 라 발레푸생이 리만 제타 함수의 성질을 이용해 각각 독립적으로 증명하였다. 복소해석을 사용하지 않는 진정한 의미의 초등적 증명은 1948년 에르되시와 셀베르그에 의해 발견되었다.