In November 1859, Bernhard Riemann
PersonBernhard RiemannGerman mathematician (1826–1866) whose short career reshaped geometry, analysis, and number theory. He invented the curved geometry that Einstein would later use for general relativity, defined the integral that bears his name, and in a single eight-page paper on primes posed the hypothesis that still resists every assault. He died of tuberculosis in Italy at thirty-nine.德国数学家（1826—1866），其短暂的学术生涯重塑了几何学、分析学与数论。他创立了爱因斯坦日后用于广义相对论的弯曲几何，定义了以其名字命名的积分，并在一篇仅八页的素数论文中提出了至今仍抵御一切攻势的猜想。他因肺结核病逝于意大利，年仅三十九岁。Matemático alemán (1826-1866) cuya breve carrera transformó la geometría, el análisis y la teoría de números. Inventó la geometría curva que Einstein emplearía más tarde para la relatividad general, definió la integral que lleva su nombre y, en un único artículo de ocho páginas sobre los números primos, planteó la hipótesis que aún resiste todo embate. Murió de tuberculosis en Italia a los treinta y nueve años.عالم رياضيات ألماني (1826–1866) أعادت مسيرته القصيرة تشكيل الهندسة والتحليل ونظرية الأعداد. ابتكر الهندسة المنحنية التي استخدمها أينشتاين لاحقًا في النسبية العامة، وعرّف التكامل الذي يحمل اسمه، وفي ورقة بحثية واحدة من ثماني صفحات حول الأعداد الأولية طرح الفرضية التي لا تزال تستعصي على كل محاولات الإثبات. توفي بمرض السل في إيطاليا عن تسعة وثلاثين عامًا.Matemático alemão (1826–1866) cuja breve carreira remodelou a geometria, a análise e a teoria dos números. Inventou a geometria curva que Einstein viria a utilizar na relatividade geral, definiu a integral que leva seu nome e, num único artigo de oito páginas sobre números primos, formulou a hipótese que ainda resiste a todos os ataques. Morreu de tuberculose na Itália, aos trinta e nove anos.जर्मन गणितज्ञ (1826–1866) जिनके संक्षिप्त कार्यकाल ने ज्यामिति, विश्लेषण और संख्या सिद्धांत को नया आकार दिया। उन्होंने वह वक्रित ज्यामिति प्रस्तुत की जिसका उपयोग आइंस्टीन ने आगे चलकर सामान्य सापेक्षता के लिए किया, उस समाकल को परिभाषित किया जो उनके नाम से जाना जाता है, और अभाज्य संख्याओं पर लिखे एक आठ-पृष्ठीय शोधपत्र में वह परिकल्पना प्रस्तुत की जो आज तक हर प्रयास के सामने अडिग है। उनतालीस वर्ष की आयु में इटली में क्षय रोग से उनका निधन हुआ।Matematikawan Jerman (1826–1866) yang kariernya singkat namun mengubah wajah geometri, analisis, dan teori bilangan. Ia menemukan geometri lengkung yang kelak digunakan Einstein untuk relativitas umum, mendefinisikan integral yang menyandang namanya, dan dalam satu makalah delapan halaman tentang bilangan prima mengajukan hipotesis yang hingga kini menolak setiap upaya pembuktian. Ia meninggal akibat tuberkulosis di Italia pada usia tiga puluh sembilan tahun.Mathématicien allemand (1826-1866) dont la brève carrière a remodelé la géométrie, l'analyse et la théorie des nombres. Il inventa la géométrie courbe qu'Einstein utilisera plus tard pour la relativité générale, définit l'intégrale qui porte son nom et, dans un unique article de huit pages sur les nombres premiers, formula l'hypothèse qui résiste encore à tous les assauts. Il mourut de la tuberculose en Italie à trente-neuf ans.ドイツの数学者(1826–1866)。短い生涯ながら、幾何学・解析学・数論を一変させた。後年アインシュタインが一般相対性理論で用いることになる曲がった幾何学を創始し、自らの名を冠する積分を定義し、素数に関するわずか八ページの論文の中で、今なおあらゆる挑戦を退ける予想を提起した。三十九歳のとき、イタリアで結核により没した。Немецкий математик (1826–1866), чья короткая карьера преобразила геометрию, анализ и теорию чисел. Он создал геометрию искривлённых пространств, которой Эйнштейн впоследствии воспользовался для общей теории относительности, определил интеграл, носящий его имя, и в единственной восьмистраничной работе о простых числах сформулировал гипотезу, которая по сей день сопротивляется любым попыткам её доказать. Умер от туберкулёза в Италии в тридцать девять лет.Deutscher Mathematiker (1826–1866), dessen kurze Laufbahn Geometrie, Analysis und Zahlentheorie umgestaltete. Er erfand jene gekrümmte Geometrie, derer sich Einstein später für die allgemeine Relativitätstheorie bedienen sollte, definierte das nach ihm benannte Integral und stellte in einer einzigen achtseitigen Arbeit über Primzahlen jene Vermutung auf, die bis heute jedem Beweisversuch standhält. Er starb mit neununddreißig Jahren in Italien an Tuberkulose.독일 수학자(1826~1866)로, 짧은 생애 동안 기하학, 해석학, 정수론을 재편했다. 훗날 아인슈타인이 일반 상대성이론에 사용하게 될 곡률 기하학을 창안했고, 자신의 이름이 붙은 적분을 정의했으며, 소수에 관한 단 8쪽짜리 논문에서 오늘날까지도 모든 공략을 견뎌내는 가설을 제시했다. 이탈리아에서 결핵으로 39세에 세상을 떠났다. was elected a corresponding member of the Berlin Academy of Sciences. As was customary, he submitted a short paper. It was eight pages long, titled *Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse* — "On the number of primes less than a given magnitude" — and almost nobody read it at the time. Riemann was thirty-three, tubercular, and uninterested in self-promotion. He never published another paper on the subject. Seven years later he was dead.
Buried in the middle of those eight pages is a single sentence in which Riemann remarks that a certain claim is "very probable," admits he cannot prove it, and moves on. That claim is now the most famous open problem in mathematics.
The problem is about prime numbers — 2, 3, 5, 7, 11, 13, and so on, the atoms of arithmetic. They look random. There is no formula that spits out the next one. But there is a pattern in the aggregate: as you walk up the number line, primes thin out at a predictable rate. A teenage Carl Friedrich Gauss
PersonCarl Friedrich GaussGerman mathematician (1777–1855), often ranked with Archimedes and Newton. His work touched number theory, statistics, astronomy, geodesy and electromagnetism. In 1831 he proved a restricted form of the honeycomb conjecture, showing the hexagon optimal among convex tilings. The full proof, removing the convexity restriction, eluded him and everyone after him for the better part of two centuries.卡尔·弗里德里希·高斯是德国数学家（1777—1855年），常与阿基米德和牛顿并列。他的研究涉及数论、统计学、天文学、大地测量学和电磁学。1831年，他证明了蜂巢猜想的一个受限形式，表明六边形在凸铺砖方式中是最优的。在近两个世纪的大部分时间里，高斯以及他之后的学者都未能给出免除凸性限制的完整证明。Matemático alemán (1777-1855), a menudo equiparado a Arquímedes y Newton. Su obra abarcó la teoría de números, la estadística, la astronomía, la geodesia y el electromagnetismo. En 1831 demostró una forma restringida de la conjetura del panal, demostrando que el hexágono es óptimo entre los teselados convexos. La prueba completa, eliminando la restricción de convexidad, se le resistió a él y a los demás durante casi dos siglos.كارل فريدريش غاوس هو عالم رياضيات ألماني (1777-1855)، يُصنف غالباً مع أرخميدس ونيوتن. شمل عمله نظرية الأعداد والإحصاء والفلك والجيوديسيا والكهرومغناطيسية. وفي عام 1831، أثبت صيغة مقيدة لتخمين قرص العسل، مبيناً أن الشكل السداسي هو الأمثل بين التبليطات المحدبة. لكن الإثبات الكامل، بإزالة قيد التحدب، استعصى عليه وعلى كل من جاء بعده لما يقرب من قرنين من الزمان.Matemático alemão (1777–1855), muitas vezes classificado ao lado de Arquimedes e Newton. Seu trabalho tocou a teoria dos números, estatística, astronomia, geodesia e eletromagnetismo. Em 1831, ele provou uma forma restrita da conjectura do favo de mel, mostrando que o hexágono é ideal entre ladrilhamentos convexos. A prova completa, removendo a restrição de convexidade, escapou dele e de todos depois dele por quase dois séculos.जर्मन गणितज्ञ (1777-1855), जिन्हें अक्सर आर्किमिडीज और न्यूटन के साथ स्थान दिया जाता है, जिन्हें कार्ल फ्रेडरिक गॉस (Carl Friedrich Gauss) कहा जाता है। उनका कार्य संख्या सिद्धांत, सांख्यिकी, खगोल विज्ञान, भूगणित और विद्युत चुंबकत्व को छूता था। 1831 में उन्होंने हनीकॉम्ब अनुमान के एक सीमित रूप को सिद्ध किया, जिसमें उन्होंने दिखाया कि उत्तल टाइलिंग में षट्भुज इष्टतम है।Matematikawan Jerman (1777–1855), sering disejajarkan dengan Archimedes dan Newton. Karyanya menyentuh teori bilangan, statistika, astronomi, geodesi, dan elektromagnetisme. Pada 1831 ia membuktikan bentuk terbatas dari konjektur sarang madu, menunjukkan bahwa segi enam adalah yang paling optimal di antara pengubinan konveks. Pembuktian penuh tanpa batasan konveksitas luput darinya dan ilmuwan setelahnya selama hampir dua abad.Mathématicien allemand (1777-1855), souvent classé aux côtés d'Archimède et de Newton. Ses travaux ont concerné la théorie des nombres, les statistiques, l'astronomie, la géodésie et l'électromagnétisme. En 1831, il a prouvé une version restreinte de la conjecture du nid d'abeilles, montrant l'optimalité de l'hexagone pour les pavages connexes. La preuve générale, sans cette restriction, lui a échappé, ainsi qu'à ses successeurs, pendant près de deux siècles.アルキメデスやニュートンと並び称されるドイツの数学者（1777〜1855年）。その研究分野は数論、統計学、天文学、測地学、電磁気学に及ぶ。1831年、凸多角形による平面充填という制限条件下において六角形が最適であることを示し、蜂の巣予想の限定的な証明を与えた。凸性制限を排した完全な証明は、彼も含め誰一人としてその後約2世紀にわたり到達できなかった。Немецкий математик (1777–1855), часто упоминаемый в одном ряду с Архимедом и Ньютоном. Его труды относятся к теории чисел, статистике, астрономии, геодезии и электромагнетизму. В 1831 году он доказал ограниченную форму гипотезы сотов, показав оптимальность шестиугольника среди выпуклых мозаик. Полное доказательство без ограничения выпуклости ускользало от него и его последователей почти два столетия.Deutscher Mathematiker (1777–1855), der oft mit Archimedes und Newton auf eine Stufe gestellt wird. Seine Arbeit berührte Zahlentheorie, Statistik, Astronomie, Geodäsie und Elektromagnetismus. 1831 bewies er eine eingeschränkte Form der Wabenvermutung und zeigte, dass das Sechseck unter konvexen Pflasterungen optimal ist. Der vollständige Beweis ohne Konvexitätsbeschränkung blieb ihm und allen Nachfolgern fast zwei Jahrhunderte lang verwehrt.아르키메데스, 뉴턴과 더불어 역사상 가장 위대한 수학자로 꼽히는 독일의 수학자(Carl Friedrich Gauss, 1777~1855)이다. 정수론, 통계학, 천문학, 측지학, 전자기학 등 다양한 학문 분야에 족적을 남겼다. 1831년 벌집 추측의 제한적 형태를 증명하여 볼록 다각형 타일링 조건 하에서는 정육각형이 최적임을 입증했다. 볼록성 제한을 없앤 일반적인 벌집 추측의 완전한 증명은 그의 사후 2세기 동안 아무도 규명해 내지 못했다. noticed in the 1790s that the number of primes below some large value $x$ is roughly $x/\ln x$. He could not prove it. The statement, eventually proved in 1896, became the Prime Number Theorem
ConceptPrime Number TheoremThe statement that the number of primes below a large value $x$ is asymptotic to $x/\ln x$. Conjectured by Gauss and Legendre at the end of the eighteenth century, it was proved independently in 1896 by Jacques Hadamard and Charles-Jean de la Vallée Poussin, both using properties of the Riemann zeta function. A truly elementary proof, free of complex analysis, was found by Erdős and Selberg in 1948.该定理指出，小于大数 $x$ 的素数个数渐近于 $x/\ln x$。该猜想由高斯和勒让德于十八世纪末提出，1896 年由雅克·阿达马和夏尔-让·德拉瓦莱·普桑各自独立证明，二人均借助于黎曼ζ函数的性质。1948 年，埃尔德什与塞尔伯格找到了一种真正意义上的初等证明，完全不依赖于复分析。El enunciado de que el número de primos menores que un valor grande $x$ es asintótico a $x/\ln x$. Conjeturado por Gauss y Legendre a finales del siglo XVIII, fue demostrado de forma independiente en 1896 por Jacques Hadamard y Charles-Jean de la Vallée Poussin, ambos utilizando propiedades de la función zeta de Riemann. Una demostración verdaderamente elemental, libre de análisis complejo, fue hallada por Erdős y Selberg en 1948.القول بأن عدد الأعداد الأولية الأصغر من قيمة كبيرة $x$ يقارب $x/\ln x$ مقاربةً. تكهَّن بها كلٌّ من غاوس ولوجاندر في أواخر القرن الثامن عشر، وأثبتها بصورة مستقلة كلٌّ من جاك هادامار وشارل-جان دو لا فاليه بوسان عام 1896، مستعينَين كلاهما بخصائص دالة زيتا لريمان. وقد توصَّل إردوش وسلبرغ عام 1948 إلى برهان أوّليّ بحق، خالٍ من التحليل العقدي.A afirmação de que o número de primos abaixo de um valor grande $x$ é assintótico a $x/\ln x$. Conjecturado por Gauss e Legendre no final do século XVIII, foi demonstrado independentemente em 1896 por Jacques Hadamard e Charles-Jean de la Vallée Poussin, ambos utilizando propriedades da função zeta de Riemann. Uma demonstração genuinamente elementar, isenta de análise complexa, foi obtida por Erdős e Selberg em 1948.यह कथन कि किसी बड़े मान $x$ से कम अभाज्य संख्याओं की संख्या स्पर्शोन्मुख रूप से $x/\ln x$ के बराबर होती है। अठारहवीं शताब्दी के अंत में गाउस और लेजांद्र द्वारा परिकल्पित, इसे 1896 में जाक आदामार और शार्ल-जां द ला वाले पूसैं द्वारा स्वतंत्र रूप से सिद्ध किया गया, और दोनों ने रीमान ज़ीटा फलन के गुणधर्मों का उपयोग किया। सम्मिश्र विश्लेषण से मुक्त एक वास्तव में प्रारंभिक प्रमाण 1948 में एर्डश और सेलबर्ग द्वारा खोजा गया।Pernyataan bahwa banyaknya bilangan prima di bawah suatu nilai besar $x$ bersifat asimtotik terhadap $x/\ln x$. Dikonjekturkan oleh Gauss dan Legendre pada akhir abad kedelapan belas, pernyataan ini dibuktikan secara independen pada tahun 1896 oleh Jacques Hadamard dan Charles-Jean de la Vallée Poussin, keduanya menggunakan sifat-sifat fungsi zeta Riemann. Sebuah bukti yang benar-benar elementer, bebas dari analisis kompleks, ditemukan oleh Erdős dan Selberg pada tahun 1948.L'énoncé selon lequel le nombre de nombres premiers inférieurs à une grande valeur $x$ est asymptotique à $x/\ln x$. Conjecturé par Gauss et Legendre à la fin du XVIIIe siècle, il fut démontré indépendamment en 1896 par Jacques Hadamard et Charles-Jean de la Vallée Poussin, tous deux à partir des propriétés de la fonction zêta de Riemann. Une démonstration véritablement élémentaire, exempte d'analyse complexe, fut trouvée par Erdős et Selberg en 1948.大きな値 $x$ 以下の素数の個数が $x/\ln x$ に漸近するという主張。18世紀末にガウスとルジャンドルによって予想され、1896年にジャック・アダマールとシャルル・ジャン・ド・ラ・ヴァレ・プーサンによって、いずれもリーマンゼータ関数の性質を用いて独立に証明された。複素解析を用いない真に初等的な証明は、1948年にエルデシュとセルバーグによって与えられた。Утверждение о том, что количество простых чисел, не превосходящих большое значение $x$, асимптотически равно $x/\ln x$. Сформулированная как гипотеза Гауссом и Лежандром в конце XVIII века, она была независимо доказана в 1896 году Жаком Адамаром и Шарлем Жаном де ла Валле Пуссеном, причём оба использовали свойства дзета-функции Римана. Подлинно элементарное доказательство, не прибегающее к комплексному анализу, было найдено Эрдёшем и Сельбергом в 1948 году.Die Aussage, dass die Anzahl der Primzahlen unterhalb eines großen Wertes $x$ asymptotisch gleich $x/\ln x$ ist. Ende des achtzehnten Jahrhunderts von Gauß und Legendre vermutet, wurde sie 1896 unabhängig voneinander von Jacques Hadamard und Charles-Jean de la Vallée Poussin bewiesen, beide unter Verwendung von Eigenschaften der Riemannschen Zetafunktion. Ein wirklich elementarer Beweis ohne komplexe Analysis wurde 1948 von Erdős und Selberg gefunden.큰 값 $x$ 이하의 소수 개수가 $x/\ln x$에 점근적으로 같다는 정리. 18세기 말 가우스와 르장드르가 추측하였고, 1896년 자크 아다마르와 샤를장 드 라 발레푸생이 리만 제타 함수의 성질을 이용해 각각 독립적으로 증명하였다. 복소해석을 사용하지 않는 진정한 의미의 초등적 증명은 1948년 에르되시와 셀베르그에 의해 발견되었다..
Riemann's eight-page paper went further. He took a function that the Swiss mathematician Euler had played with a century earlier — the sum $1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + \dots$ — and extended it from the real numbers into the complex plane. This is the Riemann zeta function
ConceptRiemann zeta functionThe function defined for complex $s$ with real part greater than one by the sum $1 + 1/2^s + 1/3^s + \dots$, extended by analytic continuation to the rest of the plane. Euler had studied it for real $s$; Riemann's extension turned it into the central object of analytic number theory. Its zeros encode the distribution of the primes.对于实部大于一的复数 $s$，该函数由级数 $1 + 1/2^s + 1/3^s + \dots$ 定义，并通过解析延拓推广至整个复平面。欧拉曾就实变量 $s$ 对其加以研究；黎曼的延拓使其成为解析数论的核心对象。其零点编码着素数的分布规律。La función definida para $s$ complejo con parte real mayor que uno mediante la suma $1 + 1/2^s + 1/3^s + \dots$, extendida por continuación analítica al resto del plano. Euler la había estudiado para $s$ real; la extensión de Riemann la convirtió en el objeto central de la teoría analítica de números. Sus ceros codifican la distribución de los primos.الدالة المعرَّفة للأعداد المركبة ذات الجزء الحقيقي الأكبر من الواحد بالمجموع $1 + 1/2^s + 1/3^s + \dots$، والممتدَّة بالاستمرار التحليلي إلى بقية المستوي. كان أويلر قد درسها من أجل القيم الحقيقية لـ $s$؛ أما امتداد ريمان فقد حوّلها إلى الكائن المحوري في نظرية الأعداد التحليلية. وتشفِّر أصفارُها توزيعَ الأعداد الأولية.A função definida, para $s$ complexo com parte real maior que um, pela soma $1 + 1/2^s + 1/3^s + \dots$, e estendida por continuação analítica ao restante do plano. Euler estudara-a para $s$ real; a extensão de Riemann transformou-a no objeto central da teoria analítica dos números. Seus zeros codificam a distribuição dos primos.वह फलन जो वास्तविक भाग एक से अधिक वाले सम्मिश्र $s$ के लिए योग $1 + 1/2^s + 1/3^s + \dots$ द्वारा परिभाषित है, और विश्लेषणात्मक सतत्यापन द्वारा शेष समतल तक विस्तारित किया गया है। ऑयलर ने इसका अध्ययन वास्तविक $s$ के लिए किया था; रीमान के विस्तार ने इसे विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत का केंद्रीय विषय बना दिया। इसके शून्य अभाज्य संख्याओं के वितरण को कूटबद्ध करते हैं।Fungsi yang didefinisikan untuk bilangan kompleks $s$ dengan bagian real lebih besar dari satu melalui jumlah $1 + 1/2^s + 1/3^s + \dots$, diperluas melalui kelanjutan analitik ke seluruh bidang. Euler telah mempelajarinya untuk $s$ real; perluasan oleh Riemann menjadikannya objek sentral dalam teori bilangan analitik. Nol-nolnya menyandikan distribusi bilangan prima.La fonction définie pour les nombres complexes $s$ de partie réelle supérieure à un par la somme $1 + 1/2^s + 1/3^s + \dots$, prolongée par continuation analytique au reste du plan. Euler l'avait étudiée pour $s$ réel ; le prolongement de Riemann en a fait l'objet central de la théorie analytique des nombres. Ses zéros encodent la distribution des nombres premiers.実部が1より大きい複素数$s$に対して級数$1 + 1/2^s + 1/3^s + \dots$で定義され、解析接続により平面の残りの部分へ拡張される関数。オイラーは実数$s$について研究したが、リーマンの拡張によってこれは解析的整数論の中心的対象となった。その零点は素数の分布を符号化する。Функция, определяемая для комплексных $s$ с вещественной частью больше единицы суммой $1 + 1/2^s + 1/3^s + \dots$ и продолжаемая аналитически на остальную часть плоскости. Эйлер изучал её для вещественных $s$; продолжение, выполненное Риманом, превратило её в центральный объект аналитической теории чисел. Её нули кодируют распределение простых чисел.Die für komplexe Zahlen $s$ mit Realteil größer als eins durch die Summe $1 + 1/2^s + 1/3^s + \dots$ definierte Funktion, durch analytische Fortsetzung auf den Rest der Ebene erweitert. Euler hatte sie für reelles $s$ untersucht; Riemanns Fortsetzung machte sie zum zentralen Objekt der analytischen Zahlentheorie. Ihre Nullstellen kodieren die Verteilung der Primzahlen.실수부가 1보다 큰 복소수 $s$에 대하여 합 $1 + 1/2^s + 1/3^s + \dots$로 정의되고, 해석적 연속에 의하여 평면의 나머지 부분으로 확장되는 함수. 오일러는 실수 $s$에 대하여 이 함수를 연구하였고, 리만의 확장은 이를 해석적 수론의 중심 대상으로 만들었다. 그 영점들은 소수의 분포를 부호화한다.. He then wrote down an exact formula for the count of primes below $x$, with an error term that depended on the *zeros* of the zeta function: the places where the function equals zero.
The critical line
Most of the zeros are boring. The zeta function vanishes at every negative even integer ($-2, -4, -6, \dots$); these are called trivial. The interesting zeros — the non-trivial ones — sit somewhere in a vertical strip of the complex plane. Riemann conjectured that every one of them lies on a single vertical line, the one where the real part equals one half. That is the Riemann Hypothesis. One sentence. No proof.
The consequences, if it is true, are exact. The primes are distributed as smoothly as it is possible to be. The error term in the Prime Number Theorem becomes sharp. Hundreds of theorems across number theory, currently published with the words "assuming RH," become unconditional in a single afternoon.
Progress has been agonising. In 1914 G. H. Hardy
PersonG. H. HardyEnglish mathematician (1877–1947), based at Cambridge and Oxford, who in 1914 proved that infinitely many zeros of the zeta function lie on the critical line. He famously toasted his enemies, including the Riemann Hypothesis, and once sent a postcard to a friend claiming he had proved it, to ensure that God — whom he disbelieved in but distrusted — would not let him drown on the ferry home.英国数学家（1877—1947），先后任教于剑桥与牛津，于1914年证明了ζ函数有无穷多个零点位于临界线上。他以举杯祝敌人不幸而闻名，黎曼猜想即在其敌人之列；他曾从渡轮上寄给朋友一张明信片，声称自己已证明该猜想，借此确保上帝——一位他既不相信、又不信任的神——不会让他在归途的渡轮上溺亡。Matemático inglés (1877-1947), afincado en Cambridge y Oxford, que en 1914 demostró que una infinidad de ceros de la función zeta se sitúan sobre la recta crítica. Acostumbraba brindar por sus enemigos, entre ellos la hipótesis de Riemann, y en cierta ocasión envió a un amigo una postal en la que afirmaba haberla demostrado, para asegurarse de que Dios —en quien no creía pero del que desconfiaba— no permitiera que se ahogara en el ferri de vuelta a casa.عالم رياضيات إنجليزي (1877–1947)، عمل في كامبريدج وأكسفورد، أثبت عام 1914 أن عدداً لا نهائياً من أصفار دالة زيتا تقع على الخط الحرج. اشتهر بأنه كان يرفع نخبه لأعدائه، ومنهم فرضية ريمان، وأرسل ذات مرة بطاقة بريدية إلى صديق يزعم فيها أنه أثبتها، ليضمن أن الله — الذي لم يكن يؤمن به لكنه كان يرتاب منه — لن يدعه يغرق في عبّارة العودة إلى الديار.Matemático inglês (1877–1947), radicado em Cambridge e Oxford, que em 1914 provou que infinitos zeros da função zeta se encontram sobre a reta crítica. Brindava notoriamente aos seus inimigos, incluindo a Hipótese de Riemann, e certa vez enviou um cartão-postal a um amigo afirmando tê-la demonstrado, para garantir que Deus — em quem não acreditava, mas de quem desconfiava — não o deixasse afogar-se no barco de volta para casa.अंग्रेज़ गणितज्ञ (1877–1947), जिन्होंने कैम्ब्रिज और ऑक्सफ़र्ड में कार्य किया, और जिन्होंने 1914 में सिद्ध किया कि ज़ीटा फलन के अनंत शून्य क्रांतिक रेखा पर स्थित हैं। वे अपने शत्रुओं के नाम पर — जिनमें रीमान परिकल्पना भी शामिल थी — पान उठाने के लिए प्रसिद्ध थे, और एक बार उन्होंने एक मित्र को पोस्टकार्ड भेजकर दावा किया कि उन्होंने इसे सिद्ध कर लिया है, ताकि ईश्वर — जिस पर वे विश्वास नहीं करते थे किंतु जिस पर अविश्वास भी करते थे — उन्हें घर लौटती नौका में डूबने न दे।Matematikawan Inggris (1877–1947), yang berkarya di Cambridge dan Oxford, yang pada 1914 membuktikan bahwa terdapat tak hingga banyaknya nol fungsi zeta yang terletak pada garis kritis. Ia terkenal mengangkat gelas untuk musuh-musuhnya, termasuk Hipotesis Riemann, dan suatu kali mengirim kartu pos kepada seorang teman yang menyatakan bahwa ia telah membuktikannya, demi memastikan agar Tuhan — yang tidak ia percayai namun tidak ia percayai pula niat baiknya — tidak akan membiarkannya tenggelam di feri pulang.Mathématicien anglais (1877-1947), établi à Cambridge et à Oxford, qui démontra en 1914 qu'une infinité de zéros de la fonction zêta se trouvent sur la droite critique. Il portait des toasts célèbres à ses ennemis, dont l'hypothèse de Riemann, et envoya un jour à un ami une carte postale affirmant qu'il l'avait démontrée, afin que Dieu — auquel il ne croyait pas mais qu'il se méfiait — ne le laissât pas se noyer sur le ferry du retour.イギリスの数学者（1877–1947）。ケンブリッジ大学およびオックスフォード大学に在籍し、1914年にゼータ関数の零点のうち無限個が臨界線上に存在することを証明した。リーマン予想を含む「敵」に乾杯することで知られ、あるときには帰路のフェリーで溺死しないよう、信じてはいないが警戒していた神への牽制として、同予想を証明したと主張する葉書を友人に送ったという逸話を残している。Английский математик (1877–1947), работавший в Кембридже и Оксфорде, в 1914 году доказавший, что на критической прямой лежит бесконечно много нулей дзета-функции. Он демонстративно поднимал тосты за своих врагов, включая гипотезу Римана, и однажды отправил другу открытку, в которой утверждал, что доказал её, — чтобы Бог, в которого он не верил, но которому не доверял, не позволил ему утонуть на пароме по пути домой.Englischer Mathematiker (1877–1947), tätig in Cambridge und Oxford, der 1914 bewies, dass unendlich viele Nullstellen der Zetafunktion auf der kritischen Geraden liegen. Er pflegte bekanntermaßen auf seine Feinde anzustoßen, darunter die Riemannsche Vermutung, und schickte einst einem Freund eine Postkarte mit der Behauptung, er habe sie bewiesen, um sicherzugehen, dass Gott — an den er nicht glaubte, dem er aber misstraute — ihn auf der Fährüberfahrt nach Hause nicht ertrinken lassen würde.영국의 수학자(1877–1947)로 케임브리지와 옥스퍼드에서 활동했으며, 1914년에 제타 함수의 영점 가운데 무한히 많은 수가 임계선 위에 놓인다는 사실을 증명하였다. 그는 리만 가설을 비롯한 자신의 적들에게 건배하기로 유명했고, 한번은 친구에게 가설을 증명했다고 적은 엽서를 보냈는데, 이는 자신이 믿지는 않으나 경계하던 신이 귀가 길의 페리에서 자신을 빠져 죽게 두지 않도록 하기 위함이었다. proved that infinitely many of the zeros lie on the critical line. He did not prove they all do. Later work, by Atle Selberg
PersonAtle SelbergNorwegian-American mathematician (1917–2007) at the Institute for Advanced Study in Princeton. He proved that a positive fraction of zeta zeros lie on the critical line, gave the elementary proof of the Prime Number Theorem, and introduced the trace formula bearing his name. He won the Fields Medal in 1950.挪威裔美国数学家(1917–2007),供职于普林斯顿高等研究院。他证明了黎曼ζ函数有正比例的零点位于临界线上,给出了素数定理的初等证明,并引入了以其名字命名的迹公式。1950年获菲尔兹奖。Matemático noruego-estadounidense (1917-2007) del Institute for Advanced Study en Princeton. Demostró que una fracción positiva de los ceros de la función zeta se encuentra sobre la línea crítica, dio la demostración elemental del teorema de los números primos e introdujo la fórmula de la traza que lleva su nombre. Obtuvo la Medalla Fields en 1950.عالم رياضيات نرويجي-أمريكي (1917–2007) عمل في معهد الدراسات المتقدمة في برينستون. أثبت أن نسبة موجبة من أصفار دالة زيتا تقع على الخط الحرج، وقدّم البرهان الأوّلي لمبرهنة الأعداد الأولية، وأدخل صيغة الأثر التي تحمل اسمه. حاز ميدالية فيلدز عام 1950.Matemático norueguês-americano (1917–2007) do Institute for Advanced Study, em Princeton. Demonstrou que uma fração positiva dos zeros da função zeta se encontra sobre a reta crítica, apresentou a prova elementar do Teorema dos Números Primos e introduziu a fórmula do traço que leva seu nome. Recebeu a Medalha Fields em 1950.नॉर्वेजियन-अमेरिकी गणितज्ञ (1917–2007), प्रिंसटन स्थित इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडी में कार्यरत। उन्होंने सिद्ध किया कि ज़ीटा फलन के शून्यों का एक धनात्मक अंश क्रांतिक रेखा पर स्थित होता है, अभाज्य संख्या प्रमेय की प्रारंभिक उपपत्ति प्रस्तुत की, तथा अपने नाम से प्रसिद्ध ट्रेस सूत्र का प्रवर्तन किया। उन्हें 1950 में फील्ड्स पदक से सम्मानित किया गया।Matematikawan Amerika kelahiran Norwegia (1917–2007) di Institute for Advanced Study di Princeton. Ia membuktikan bahwa sebagian positif dari nol-nol fungsi zeta terletak pada garis kritis, memberikan bukti elementer Teorema Bilangan Prima, dan memperkenalkan rumus jejak yang menyandang namanya. Ia memenangkan Medali Fields pada tahun 1950.Mathématicien norvégo-américain (1917-2007) à l'Institute for Advanced Study de Princeton. Il démontra qu'une proportion positive des zéros de la fonction zêta se situent sur la droite critique, donna la preuve élémentaire du théorème des nombres premiers et introduisit la formule des traces qui porte son nom. Il reçut la médaille Fields en 1950.ノルウェー系アメリカ人の数学者(1917–2007)。プリンストン高等研究所に在籍した。リーマンゼータ関数の零点のうち正の割合が臨界線上に存在することを証明し、素数定理の初等的証明を与え、彼の名を冠する跡公式を導入した。1950年にフィールズ賞を受賞した。Норвежско-американский математик (1917–2007), работавший в Институте перспективных исследований в Принстоне. Доказал, что положительная доля нулей дзета-функции лежит на критической прямой, дал элементарное доказательство теоремы о распределении простых чисел и ввёл формулу следа, носящую его имя. В 1950 году получил Филдсовскую премию.Norwegisch-amerikanischer Mathematiker (1917–2007) am Institute for Advanced Study in Princeton. Er bewies, dass ein positiver Anteil der Nullstellen der Zetafunktion auf der kritischen Geraden liegt, lieferte den elementaren Beweis des Primzahlsatzes und führte die nach ihm benannte Spurformel ein. 1950 erhielt er die Fields-Medaille.노르웨이계 미국인 수학자(1917~2007)로 프린스턴 고등연구소에서 활동했다. 제타 함수 영점의 양의 비율이 임계선 위에 있음을 증명했고, 소수 정리의 초등적 증명을 제시했으며, 자신의 이름이 붙은 대각합 공식을 도입했다. 1950년 필즈상을 수상했다. in the 1940s and Norman Levinson in the 1970s, showed that at least a positive fraction — by current estimates more than forty per cent — sit on the line. Computers have checked the first ten trillion zeros directly. Every one is on the line, to within the precision of the calculation. None of this is a proof. A single rogue zero, hiding billions of digits out, would suffice to demolish the conjecture.
Why anyone cares
In 1900 David Hilbert
PersonDavid HilbertGerman mathematician (1862–1943) who set the agenda for early twentieth-century mathematics with his list of 23 unsolved problems in 1900. His foundational programme sought a complete, consistent, finitely-checkable axiom system for all of mathematics. Gödel's 1931 paper showed the programme as originally stated was impossible. Hilbert never publicly accepted the verdict.德国数学家（1862—1943），1900年提出23个未解难题，为二十世纪初的数学研究确立了议程。其奠基性纲领旨在为整个数学建立一套完备、相容且可有限步骤检验的公理体系。哥德尔1931年的论文表明，按最初表述的该纲领无法实现。希尔伯特从未公开承认这一结论。Matemático alemán (1862-1943) que fijó la agenda de las matemáticas de comienzos del siglo XX con su lista de 23 problemas no resueltos en 1900. Su programa fundacional buscaba un sistema axiomático completo, consistente y verificable de manera finita para toda la matemática. El artículo de Gödel de 1931 demostró que el programa, tal como se había formulado originalmente, era imposible. Hilbert nunca aceptó públicamente el veredicto.عالم رياضيات ألماني (1862–1943) رسم أجندة الرياضيات في مطلع القرن العشرين بقائمته المؤلفة من 23 مسألة غير محلولة عام 1900. سعى برنامجه التأسيسي إلى إرساء منظومة بديهيات كاملة ومتسقة وقابلة للتحقق بخطوات منتهية لجميع فروع الرياضيات. أثبتت ورقة غودل عام 1931 استحالة البرنامج بصيغته الأصلية. لم يُقرّ هيلبرت علنًا بهذا الحكم قط.Matemático alemão (1862–1943) que definiu a agenda da matemática do início do século XX com sua lista de 23 problemas não resolvidos em 1900. Seu programa fundacional buscava um sistema axiomático completo, consistente e finitamente verificável para toda a matemática. O artigo de Gödel de 1931 mostrou que o programa, tal como originalmente formulado, era impossível. Hilbert nunca aceitou publicamente o veredicto.जर्मन गणितज्ञ (1862–1943) जिन्होंने 1900 में 23 अनसुलझी समस्याओं की अपनी सूची से बीसवीं सदी के आरंभिक गणित का एजेंडा निर्धारित किया। उनके आधारभूत कार्यक्रम का उद्देश्य समस्त गणित के लिए एक पूर्ण, संगत और परिमित रूप से जाँचने योग्य अभिगृहीत प्रणाली प्राप्त करना था। गोडेल के 1931 के शोधपत्र ने दिखाया कि कार्यक्रम अपने मूल रूप में असंभव था। हिल्बर्ट ने इस निर्णय को कभी सार्वजनिक रूप से स्वीकार नहीं किया।Matematikawan Jerman (1862–1943) yang menetapkan agenda matematika awal abad kedua puluh melalui daftarnya berisi 23 masalah yang belum terpecahkan pada tahun 1900. Program fondasionalnya berupaya menghasilkan sistem aksioma yang lengkap, konsisten, dan dapat diperiksa secara finit untuk seluruh matematika. Makalah Gödel tahun 1931 menunjukkan bahwa program tersebut, sebagaimana dirumuskan semula, tidak mungkin tercapai. Hilbert tidak pernah secara terbuka menerima putusan itu.Mathématicien allemand (1862-1943) qui fixa le programme des mathématiques du début du XXe siècle avec sa liste de 23 problèmes non résolus en 1900. Son programme fondationnel visait un système d'axiomes complet, cohérent et vérifiable de manière finitaire pour l'ensemble des mathématiques. L'article de Gödel en 1931 montra que le programme, tel qu'il avait été initialement formulé, était impossible. Hilbert n'accepta jamais publiquement ce verdict.ドイツの数学者(1862–1943)。1900年に発表した23の未解決問題の一覧によって、20世紀初頭の数学の方向性を定めた。彼の基礎論プログラムは、数学全体について完全かつ無矛盾で有限的に検証可能な公理系を打ち立てることを目指した。1931年のゲーデルの論文は、当初提示されたままの形ではこのプログラムが実現不可能であることを示した。ヒルベルトはこの判決を公には決して受け入れなかった。Немецкий математик (1862–1943), задавший повестку математики начала XX века своим списком из 23 нерешённых проблем 1900 года. Его программа обоснования математики ставила целью построение полной, непротиворечивой и финитно проверяемой аксиоматической системы для всей математики. Работа Гёделя 1931 года показала, что программа в её первоначальной формулировке невыполнима. Гильберт публично так и не признал этот вердикт.Deutscher Mathematiker (1862–1943), der mit seiner Liste von 23 ungelösten Problemen im Jahr 1900 die Agenda der Mathematik des frühen zwanzigsten Jahrhunderts setzte. Sein grundlagentheoretisches Programm zielte auf ein vollständiges, widerspruchsfreies und finit prüfbares Axiomensystem für die gesamte Mathematik. Gödels Arbeit von 1931 zeigte, dass das Programm in seiner ursprünglichen Fassung unmöglich war. Hilbert hat dieses Urteil nie öffentlich akzeptiert.독일 수학자(1862–1943)로, 1900년 23개의 미해결 문제 목록을 발표하며 20세기 초 수학의 의제를 설정하였다. 그의 기초론 강령은 모든 수학에 대한 완전하고 무모순이며 유한적으로 검증 가능한 공리계를 추구하였다. 1931년 괴델의 논문은 본래 제시된 형태의 이 강령이 불가능함을 보였다. 힐베르트는 끝내 이 판결을 공개적으로 받아들이지 않았다. gave a famous lecture in Paris listing twenty-three problems he wanted the new century to solve. The Riemann Hypothesis was number eight. He is supposed to have said that if he were revived after a thousand-year sleep, his first question would be whether it had been proved.
In 2000 the Clay Mathematics Institute
InstitutionClay Mathematics InstituteA private non-profit foundation established in 1998 in Cambridge, Massachusetts, by businessman Landon Clay to promote mathematical research. In 2000 it announced seven Millennium Prize Problems — the unsolved questions judged most important to the discipline — each carrying a million-dollar prize. One, the Poincaré conjecture, has been solved. The Navier–Stokes existence and smoothness problem has not.一家私立非营利基金会，由商人兰登·克莱（Landon Clay）于1998年在马萨诸塞州剑桥市创立，旨在推动数学研究。2000年，该基金会公布了七项"千禧年大奖难题"——被认为是该学科最重要的未解难题——每项悬赏一百万美元。其中一项，庞加莱猜想，已被解决。纳维–斯托克斯方程解的存在性与光滑性问题尚未解决。Fundación privada sin ánimo de lucro establecida en 1998 en Cambridge, Massachusetts, por el empresario Landon Clay para promover la investigación matemática. En 2000 anunció los siete Problemas del Milenio —las cuestiones no resueltas consideradas más importantes para la disciplina—, cada uno con un premio de un millón de dólares. Uno, la conjetura de Poincaré, ha sido resuelto. El problema de la existencia y suavidad de las ecuaciones de Navier-Stokes no lo ha sido.مؤسسة خاصة غير ربحية أُسِّست عام 1998 في كامبريدج بولاية ماساتشوستس على يد رجل الأعمال لاندون كلاي بهدف دعم البحث الرياضي. وفي عام 2000 أعلنت عن مسائل جوائز الألفية السبع — وهي المسائل غير المحلولة التي رُئي أنها الأهم في هذا الحقل — مع تخصيص جائزة قدرها مليون دولار لكل منها. حُلَّت إحداها، وهي حدسية بوانكاريه. أما مسألة وجود حلول معادلات نافيي–ستوكس وسلاستها فلا تزال دون حل.Fundação privada sem fins lucrativos, estabelecida em 1998 em Cambridge, Massachusetts, pelo empresário Landon Clay para promover a pesquisa matemática. Em 2000, anunciou sete Problemas do Prémio Millennium — as questões em aberto consideradas as mais importantes da disciplina —, cada um com um prémio de um milhão de dólares. Um deles, a conjectura de Poincaré, foi resolvido. O problema da existência e suavidade de Navier–Stokes não.१९९८ में कैम्ब्रिज, मैसाचुसेट्स में व्यवसायी लैंडन क्ले द्वारा गणितीय अनुसंधान को बढ़ावा देने के लिए स्थापित एक निजी गैर-लाभकारी फाउंडेशन। २००० में इसने सात मिलेनियम पुरस्कार समस्याएँ घोषित कीं — विषय की दृष्टि से सबसे महत्वपूर्ण मानी जाने वाली अनसुलझी समस्याएँ — जिनमें से प्रत्येक पर दस लाख डॉलर का पुरस्कार रखा गया। इनमें से एक, पोंकारे अनुमान, हल हो चुका है। नेवियर–स्टोक्स अस्तित्व एवं सहजता समस्या अब तक अनसुलझी है।Sebuah yayasan nirlaba swasta yang didirikan pada 1998 di Cambridge, Massachusetts, oleh pengusaha Landon Clay untuk mempromosikan penelitian matematika. Pada tahun 2000 yayasan ini mengumumkan tujuh Masalah Hadiah Milenium — pertanyaan-pertanyaan tak terpecahkan yang dinilai paling penting bagi disiplin tersebut — masing-masing menyandang hadiah satu juta dolar. Salah satunya, konjektur Poincaré, telah terpecahkan. Masalah keberadaan dan kemulusan Navier–Stokes belum.Fondation privée à but non lucratif créée en 1998 à Cambridge, dans le Massachusetts, par l'homme d'affaires Landon Clay pour promouvoir la recherche mathématique. En 2000, elle annonça sept problèmes du prix du millénaire — les questions non résolues jugées les plus importantes de la discipline —, chacun assorti d'un prix d'un million de dollars. L'un d'eux, la conjecture de Poincaré, a été résolu. Le problème de l'existence et de la régularité des solutions des équations de Navier-Stokes ne l'a pas été.1998年にマサチューセッツ州ケンブリッジで実業家ランドン・クレイによって設立された、数学研究の振興を目的とする私立の非営利財団。2000年に、同分野で最も重要と判断された未解決問題である7つのミレニアム懸賞問題を発表し、それぞれに100万ドルの賞金が懸けられている。そのうちポアンカレ予想は解決済みである。ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさに関する問題は未解決である。Частный некоммерческий фонд, основанный в 1998 году в Кембридже, штат Массачусетс, бизнесменом Лэндоном Клэем для содействия математическим исследованиям. В 2000 году объявил семь «Задач тысячелетия» — нерешённых вопросов, признанных наиболее важными для дисциплины, — за решение каждой из которых назначен приз в миллион долларов. Одна из них, гипотеза Пуанкаре, решена. Задача о существовании и гладкости решений уравнений Навье — Стокса остаётся нерешённой.Eine private gemeinnützige Stiftung, gegründet 1998 in Cambridge, Massachusetts, vom Geschäftsmann Landon Clay zur Förderung der mathematischen Forschung. Im Jahr 2000 schrieb sie sieben Millennium-Probleme aus – die als bedeutendsten geltenden ungelösten Fragen der Disziplin –, jedes mit einem Preisgeld von einer Million Dollar dotiert. Eines, die Poincaré-Vermutung, wurde gelöst. Das Problem der Existenz und Glattheit der Navier-Stokes-Gleichungen ist es nicht.1998년 매사추세츠주 케임브리지에서 사업가 랜던 클레이가 수학 연구를 진흥하기 위해 설립한 민간 비영리 재단. 2000년에 학문에서 가장 중요하다고 판단되는 미해결 문제 일곱 개를 밀레니엄 문제로 발표했으며, 각 문제마다 100만 달러의 상금이 걸려 있다. 그중 푸앵카레 추측은 해결되었으나, 나비에-스토크스 방정식의 해의 존재성과 매끄러움 문제는 아직 해결되지 않았다. picked seven open problems and put a million dollars on each. The Riemann Hypothesis is the only one of the seven that also appears on Hilbert's list. The others have mostly stayed unsolved too; one, the Poincaré conjecture, was settled by Grigori Perelman, who declined the money.
The strangest development came not from number theory at all. In 1972, the young number theorist Hugh Montgomery was visiting the Institute for Advanced Study in Princeton. Over tea he described to the physicist Freeman Dyson
PersonFreeman DysonBritish-American theoretical physicist (1923–2020), long resident at the Institute for Advanced Study. He unified the rival formulations of quantum electrodynamics in the late 1940s and worked across nuclear engineering, astrobiology, and pure mathematics. His 1972 tea-time conversation with Hugh Montgomery linked the spacing of Riemann zeros to the statistics of random matrices, opening a bridge between number theory and quantum physics.英裔美籍理论物理学家（1923—2020），长期任职于普林斯顿高等研究院。20世纪40年代末，他统一了量子电动力学的几种相互竞争的表述，研究领域横跨核工程、天体生物学与纯数学。1972年，他在下午茶时间与休·蒙哥马利的一次交谈，将黎曼零点的间距与随机矩阵的统计规律联系起来，在数论与量子物理之间架起了一座桥梁。Físico teórico británico-estadounidense (1923-2020), residente durante muchos años en el Institute for Advanced Study. Unificó las formulaciones rivales de la electrodinámica cuántica a finales de la década de 1940 y trabajó en ingeniería nuclear, astrobiología y matemática pura. Su conversación a la hora del té con Hugh Montgomery en 1972 vinculó la distribución de los ceros de Riemann con la estadística de matrices aleatorias, abriendo un puente entre la teoría de números y la física cuántica.فيزيائي نظري بريطاني-أمريكي (1923–2020)، أقام طويلاً في معهد الدراسات المتقدمة. وحَّد في أواخر الأربعينيات الصياغات المتنافسة للديناميكا الكهربائية الكمومية، وعمل في الهندسة النووية وعلم الأحياء الفلكي والرياضيات البحتة. ربطت محادثته مع هيو مونتغمري في وقت الشاي عام 1972 بين تباعد أصفار ريمان وإحصاءات المصفوفات العشوائية، فاتحةً جسراً بين نظرية الأعداد والفيزياء الكمومية.Físico teórico britânico-americano (1923–2020), residente por muito tempo no Institute for Advanced Study. Unificou as formulações rivais da eletrodinâmica quântica no final da década de 1940 e atuou em engenharia nuclear, astrobiologia e matemática pura. Sua conversa, durante o chá, com Hugh Montgomery em 1972 ligou o espaçamento dos zeros de Riemann à estatística de matrizes aleatórias, abrindo uma ponte entre a teoria dos números e a física quântica.ब्रिटिश-अमेरिकी सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी (1923–2020), जो लंबे समय तक इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडी में निवासी रहे। उन्होंने 1940 के दशक के उत्तरार्ध में क्वांटम विद्युतगतिकी के परस्पर प्रतिद्वंद्वी सूत्रीकरणों को एकीकृत किया, तथा नाभिकीय अभियांत्रिकी, खगोलजीवविज्ञान और शुद्ध गणित में भी कार्य किया। 1972 में ह्यू मॉन्टगोमरी के साथ चाय-समय की उनकी बातचीत ने रीमान शून्यों के अंतराल को यादृच्छिक आव्यूहों की सांख्यिकी से जोड़ा, जिसने संख्या सिद्धांत और क्वांटम भौतिकी के बीच एक सेतु खोल दिया।Fisikawan teoretis Inggris-Amerika (1923–2020), yang lama menetap di Institute for Advanced Study. Ia menyatukan formulasi-formulasi elektrodinamika kuantum yang saling bersaing pada akhir 1940-an dan berkarya di bidang teknik nuklir, astrobiologi, serta matematika murni. Percakapan saat minum teh pada 1972 dengan Hugh Montgomery menghubungkan jarak antar nol Riemann dengan statistik matriks acak, membuka jembatan antara teori bilangan dan fisika kuantum.Physicien théoricien anglo-américain (1923-2020), longtemps en poste à l'Institute for Advanced Study. Il unifia à la fin des années 1940 les formulations rivales de l'électrodynamique quantique et travailla aussi bien en génie nucléaire qu'en astrobiologie et en mathématiques pures. Sa conversation autour d'un thé en 1972 avec Hugh Montgomery établit un lien entre l'espacement des zéros de Riemann et la statistique des matrices aléatoires, ouvrant un pont entre la théorie des nombres et la physique quantique.英国系アメリカ人の理論物理学者(1923–2020年)。長年プリンストン高等研究所に在籍した。1940年代後半に量子電磁力学の競合する諸定式化を統合し、原子力工学、宇宙生物学、純粋数学にまたがる業績を残した。1972年のティータイムにヒュー・モンゴメリーと交わした会話は、リーマンゼータ零点の間隔をランダム行列の統計と結びつけ、数論と量子物理学を架橋する道を切り拓いた。Британско-американский физик-теоретик (1923–2020), много лет работавший в Институте перспективных исследований. В конце 1940-х годов объединил конкурирующие формулировки квантовой электродинамики, а также занимался ядерной техникой, астробиологией и чистой математикой. В 1972 году в ходе разговора за чаем с Хью Монтгомери он связал распределение нулей Римана со статистикой случайных матриц, перекинув мост между теорией чисел и квантовой физикой.Britisch-amerikanischer theoretischer Physiker (1923–2020), langjährig am Institute for Advanced Study tätig. In den späten 1940er Jahren vereinheitlichte er die konkurrierenden Formulierungen der Quantenelektrodynamik und arbeitete darüber hinaus in der Kerntechnik, der Astrobiologie und der reinen Mathematik. Sein Teestunden-Gespräch mit Hugh Montgomery im Jahr 1972 verknüpfte die Abstände der Riemann-Nullstellen mit der Statistik zufälliger Matrizen und schlug damit eine Brücke zwischen Zahlentheorie und Quantenphysik.영국계 미국인 이론물리학자(1923–2020)로, 오랜 기간 프린스턴 고등연구소에 재직했다. 1940년대 후반에 양자전기역학의 경쟁하던 정식화들을 통일했으며, 핵공학, 우주생물학, 순수수학 등 여러 분야에 걸쳐 연구를 수행했다. 1972년 휴 몽고메리와 나눈 티타임 대화는 리만 영점의 간격을 무작위 행렬의 통계와 연결지어, 정수론과 양자물리학 사이에 다리를 놓았다. a statistical pattern he had found in the spacing of zeta zeros. Dyson recognised it immediately: it was the same pattern that governs the energy levels of heavy atomic nuclei, the eigenvalues of a random Hermitian matrix. Number theory and quantum physics, two fields that had no business talking to each other, were apparently describing the same object.
What we still don't know
We do not know whether the hypothesis is true. The numerical evidence is overwhelming, but mathematics has been embarrassed by overwhelming numerical evidence before; Littlewood proved in 1914 that another plausible-looking conjecture about primes fails, the first counterexample lying somewhere beyond $10^{300}$.
We do not know what kind of mathematical object the zeta zeros really are. The Hilbert–Pólya conjecture
ConceptHilbert–Pólya conjectureThe folklore proposal, attributed to David Hilbert and George Pólya, that the imaginary parts of the non-trivial zeros of the zeta function are the eigenvalues of some self-adjoint operator — that is, of a quantum-mechanical system. Such an operator, if found, would force the zeros onto the critical line and prove the Riemann Hypothesis. The operator has never been identified.由大卫·希尔伯特与乔治·波利亚提出的民间猜想认为,黎曼ζ函数非平凡零点的虚部即为某个自伴算子——亦即某个量子力学系统——的本征值。倘若此类算子得以构造,便可迫使零点落于临界线上,从而证明黎曼猜想。该算子至今尚未被找到。La propuesta folclórica, atribuida a David Hilbert y George Pólya, según la cual las partes imaginarias de los ceros no triviales de la función zeta son los valores propios de algún operador autoadjunto —es decir, de un sistema mecánico-cuántico—. Tal operador, de hallarse, forzaría a los ceros a situarse sobre la línea crítica y demostraría la hipótesis de Riemann. El operador nunca ha sido identificado.الفرضية الفولكلورية المنسوبة إلى ديفيد هلبرت وجورج بوليا، والتي تقول إن الأجزاء التخيلية للأصفار غير التافهة لدالة زيتا هي القيم الذاتية لمؤثر مرافق ذاتيًا ما — أي لمنظومة ميكانيكية كمومية. ومثل هذا المؤثر، إن وُجد، سيُجبر الأصفار على الوقوع على الخط الحرج ويُثبت فرضية ريمان. لم يُعثر على هذا المؤثر قط.A proposta folclórica, atribuída a David Hilbert e George Pólya, de que as partes imaginárias dos zeros não triviais da função zeta são os autovalores de algum operador autoadjunto — isto é, de um sistema mecânico-quântico. Tal operador, se encontrado, forçaria os zeros à reta crítica e provaria a Hipótese de Riemann. O operador nunca foi identificado.डेविड हिल्बर्ट और जॉर्ज पोल्या को आरोपित लोककथात्मक प्रस्ताव, जिसके अनुसार ज़ीटा फलन के अतुच्छ शून्यों के काल्पनिक भाग किसी स्व-संलग्न (self-adjoint) संकारक के — अर्थात्, किसी क्वांटम-यांत्रिक तंत्र के — अभिलक्षणिक मान (eigenvalues) हैं। ऐसा संकारक, यदि प्राप्त हो जाए, तो शून्यों को क्रांतिक रेखा पर बाध्य कर देगा और रीमान परिकल्पना को सिद्ध कर देगा। यह संकारक आज तक पहचाना नहीं जा सका है।Dugaan folklor, yang dikaitkan dengan David Hilbert dan George Pólya, bahwa bagian imajiner dari nol-nol non-trivial fungsi zeta merupakan nilai eigen dari suatu operator self-adjoint — yakni, dari suatu sistem mekanika kuantum. Operator semacam itu, jika ditemukan, akan memaksa nol-nol tersebut berada pada garis kritis dan membuktikan Hipotesis Riemann. Operator tersebut belum pernah berhasil diidentifikasi.La proposition folklorique, attribuée à David Hilbert et George Pólya, selon laquelle les parties imaginaires des zéros non triviaux de la fonction zêta seraient les valeurs propres d'un certain opérateur auto-adjoint — c'est-à-dire d'un système de mécanique quantique. Un tel opérateur, s'il était découvert, contraindrait les zéros à se situer sur la droite critique et démontrerait l'hypothèse de Riemann. L'opérateur n'a jamais été identifié.ダフィット・ヒルベルトとジョージ・ポリアに帰せられる民間伝承的予想で、ゼータ関数の非自明な零点の虚部は、ある自己共役作用素、すなわちある量子力学系の固有値であるとするもの。そのような作用素が発見されれば、零点は臨界線上にあることが強制され、リーマン予想が証明されることになる。当該作用素はいまだ同定されていない。Фольклорное предположение, приписываемое Давиду Гильберту и Дьёрдю Пойа, согласно которому мнимые части нетривиальных нулей дзета-функции суть собственные значения некоторого самосопряжённого оператора — то есть квантовомеханической системы. Такой оператор, если бы он был найден, вынуждал бы нули лежать на критической прямой и доказывал бы гипотезу Римана. Этот оператор до сих пор не выявлен.Der folkloristische, David Hilbert und George Pólya zugeschriebene Vorschlag, dass die Imaginärteile der nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion die Eigenwerte eines selbstadjungierten Operators – also eines quantenmechanischen Systems – seien. Ein solcher Operator würde, falls gefunden, die Nullstellen zwangsläufig auf die kritische Gerade legen und damit die Riemannsche Vermutung beweisen. Der Operator wurde bislang nicht identifiziert.다비트 힐베르트와 게오르크 폴리아의 것으로 전해지는 민간 전승적 추측으로, 제타 함수의 비자명 영점들의 허수부가 어떤 자기수반 연산자, 즉 양자역학적 계의 고윳값이라는 제안이다. 그러한 연산자가 발견된다면 영점들은 임계선 위로 강제되어 리만 가설이 증명될 것이다. 해당 연산자는 지금까지 밝혀진 바 없다. suggests they are the spectrum of some self-adjoint operator — some quantum-mechanical system whose energy levels happen to encode the primes. Nobody has found the operator.
We do not know whether a proof is even achievable with current tools. Some mathematicians suspect the problem is genuinely beyond present-day techniques and will require an idea nobody has had yet. Others suspect it is independent of standard set-theoretic axioms, provable neither true nor false from what we already accept.
What we do know is that the zeros keep marching up the critical line, in their strange unevenly-spaced rhythm, and that somewhere out past the trillions a counterexample may or may not be waiting. The line itself does not care.