Riemann zeta function

对于实部大于一的复数 $s$，该函数由级数 $1 + 1/2^s + 1/3^s + \dots$ 定义，并通过解析延拓推广至整个复平面。欧拉曾就实变量 $s$ 对其加以研究；黎曼的延拓使其成为解析数论的核心对象。其零点编码着素数的分布规律。

La función definida para $s$ complejo con parte real mayor que uno mediante la suma $1 + 1/2^s + 1/3^s + \dots$, extendida por continuación analítica al resto del plano. Euler la había estudiado para $s$ real; la extensión de Riemann la convirtió en el objeto central de la teoría analítica de números. Sus ceros codifican la distribución de los primos.

الدالة المعرَّفة للأعداد المركبة ذات الجزء الحقيقي الأكبر من الواحد بالمجموع $1 + 1/2^s + 1/3^s + \dots$، والممتدَّة بالاستمرار التحليلي إلى بقية المستوي. كان أويلر قد درسها من أجل القيم الحقيقية لـ $s$؛ أما امتداد ريمان فقد حوّلها إلى الكائن المحوري في نظرية الأعداد التحليلية. وتشفِّر أصفارُها توزيعَ الأعداد الأولية.

A função definida, para $s$ complexo com parte real maior que um, pela soma $1 + 1/2^s + 1/3^s + \dots$, e estendida por continuação analítica ao restante do plano. Euler estudara-a para $s$ real; a extensão de Riemann transformou-a no objeto central da teoria analítica dos números. Seus zeros codificam a distribuição dos primos.

वह फलन जो वास्तविक भाग एक से अधिक वाले सम्मिश्र $s$ के लिए योग $1 + 1/2^s + 1/3^s + \dots$ द्वारा परिभाषित है, और विश्लेषणात्मक सतत्यापन द्वारा शेष समतल तक विस्तारित किया गया है। ऑयलर ने इसका अध्ययन वास्तविक $s$ के लिए किया था; रीमान के विस्तार ने इसे विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत का केंद्रीय विषय बना दिया। इसके शून्य अभाज्य संख्याओं के वितरण को कूटबद्ध करते हैं।

Fungsi yang didefinisikan untuk bilangan kompleks $s$ dengan bagian real lebih besar dari satu melalui jumlah $1 + 1/2^s + 1/3^s + \dots$, diperluas melalui kelanjutan analitik ke seluruh bidang. Euler telah mempelajarinya untuk $s$ real; perluasan oleh Riemann menjadikannya objek sentral dalam teori bilangan analitik. Nol-nolnya menyandikan distribusi bilangan prima.

La fonction définie pour les nombres complexes $s$ de partie réelle supérieure à un par la somme $1 + 1/2^s + 1/3^s + \dots$, prolongée par continuation analytique au reste du plan. Euler l'avait étudiée pour $s$ réel ; le prolongement de Riemann en a fait l'objet central de la théorie analytique des nombres. Ses zéros encodent la distribution des nombres premiers.

実部が1より大きい複素数$s$に対して級数$1 + 1/2^s + 1/3^s + \dots$で定義され、解析接続により平面の残りの部分へ拡張される関数。オイラーは実数$s$について研究したが、リーマンの拡張によってこれは解析的整数論の中心的対象となった。その零点は素数の分布を符号化する。

Функция, определяемая для комплексных $s$ с вещественной частью больше единицы суммой $1 + 1/2^s + 1/3^s + \dots$ и продолжаемая аналитически на остальную часть плоскости. Эйлер изучал её для вещественных $s$; продолжение, выполненное Риманом, превратило её в центральный объект аналитической теории чисел. Её нули кодируют распределение простых чисел.

Die für komplexe Zahlen $s$ mit Realteil größer als eins durch die Summe $1 + 1/2^s + 1/3^s + \dots$ definierte Funktion, durch analytische Fortsetzung auf den Rest der Ebene erweitert. Euler hatte sie für reelles $s$ untersucht; Riemanns Fortsetzung machte sie zum zentralen Objekt der analytischen Zahlentheorie. Ihre Nullstellen kodieren die Verteilung der Primzahlen.

실수부가 1보다 큰 복소수 $s$에 대하여 합 $1 + 1/2^s + 1/3^s + \dots$로 정의되고, 해석적 연속에 의하여 평면의 나머지 부분으로 확장되는 함수. 오일러는 실수 $s$에 대하여 이 함수를 연구하였고, 리만의 확장은 이를 해석적 수론의 중심 대상으로 만들었다. 그 영점들은 소수의 분포를 부호화한다.