#284 · The Penrose Triangle

A triangle composed of three solid beams, each meeting the others at a perfect ninety-degree angle, cannot exist in three dimensions. Yet, as a two-dimensional drawing, it commands the eye to believe in its solidity, exposing the fragile machinery of human perception.

In 1934, an eighteen-year-old Swedish student named Oscar Reutersvärd sat in a Latin class, his attention diverted from grammar to the margins of his notebook. He was attempting to draw a star composed of twenty-pointed cubes. As he worked, he discovered that by stripping the figure down to its essentials, he could create a closed loop that defied the laws of three-dimensional geometry. He had produced a triangle of three beams that met at right angles, a figure he called the 'impossible tribar.' For two decades, the sketch remained a private curiosity, a mathematical ghost haunting a schoolboy's paper.

The figure remained largely unknown until the mid-1950s, when a young British physicist named Roger Penrose attended an exhibition by the Dutch artist M. C. Escher in Amsterdam. Inspired by Escher’s paradoxical architecture, Penrose spent the train journey home attempting to boil the concept of 'impossibility in its purest form' down to its simplest geometric expression. He independently rediscovered the triangle. Collaborating with his father, the psychiatrist Lionel Penrose, he published a formal analysis of the figure in the 1958 *British Journal of Psychology*, introducing the impossible object to the wider scientific community.

Three polished timber beams are arranged in forced perspective on a studio floor Illustration · AI-generated (FLUX.1-dev)

The architecture of a lie

The power of the Penrose triangle lies in a failure of global logic. When the eye examines any single corner of the triangle, the perspective cues are perfectly consistent. The beams appear to meet at ninety-degree angles, supported by shading and line-work that suggest depth and volume. The human brain is a 'lazy' geometer; it processes these local features first, accepting each junction as a valid three-dimensional structure. It is only when the visual system attempts to integrate these local truths into a single global whole that the structure collapses. The path that appears to go 'away' from the viewer at one corner somehow returns to the 'front' at the next.

A young student desk holds wooden drafting blocks arranged into an impossible-looking tria Illustration · AI-generated (FLUX.1-dev)

This creates a state of cognitive dissonance that the brain cannot easily resolve. Because we have evolved in a world governed by the rules of Euclidean space, our visual cortex is hard-wired to interpret two-dimensional lines as three-dimensional objects. We cannot 'unsee' the triangle's volume, even when we know it is a physical impossibility. Mathematicians have since described the triangle as a '1-cocycle' in cohomology—a way of measuring how local data fails to fit together on a global scale. It is a mathematical joke that the visual system is compelled to take seriously.

Realized in iron

While the triangle cannot exist as a solid, continuous object in three dimensions, artists and engineers have found ways to manifest it in the physical world through anamorphic trickery. In East Perth, Western Australia, a 13.5-metre steel sculpture of the 'Impossible Triangle' stands as a testament to this deception. From almost every angle, it appears as a messy, disjointed collection of bent girders. However, from one precise, marked vantage point, the beams align perfectly. The gap between the distant and near arms vanishes, and the eye is tricked into seeing the impossible loop snap into place.

A mid-century psychology laboratory table holds a small impossible-object model beside len Illustration · AI-generated (FLUX.1-dev)

M. C. Escher was among the first to receive a copy of the Penrose paper, and he utilized the triangle to create one of his most enduring works: *Waterfall* (1961). In the lithograph, two Penrose triangles are stacked to create a zigzagging aqueduct. Water flows away from the viewer along what appear to be level channels, only to fall from a height onto a waterwheel that sits at the start of the circuit. By meticulously applying the Penroses' geometric logic, Escher created a perpetual motion machine that looks entirely plausible at every step of its journey.

A stone aqueduct model carries a thin ribbon of water around corners that seem to climb an Illustration · AI-generated (FLUX.1-dev)

What we still don't know

We do not yet know the exact neural threshold where the brain's preference for local perspective overrides its recognition of global impossibility. While we can map the activity in the visual cortex, the precise mechanism that prevents the mind from simply 'rejecting' the image as a flat drawing remains a subject of ongoing research in neuro-aesthetics.

A large steel impossible-triangle sculpture stands in a plaza Illustration · AI-generated (FLUX.1-dev)

We do not know the full extent of 'impossible' geometries that might exist in higher-dimensional manifolds. While the Penrose triangle can be isometrically embedded in a five-dimensional space, the mathematical properties of more complex paradoxical shapes are still being charted by topologists.

Close camera view along one beam shows each corner appearing sensible in isolation while t Illustration · AI-generated (FLUX.1-dev)

And we do not know if there are other fundamental 'pure' impossible objects waiting to be discovered. The triangle, the stairs, and the trident may only be the most obvious examples of a much larger family of visual paradoxes that exploit the specific shortcuts our brains use to navigate the world.

The Penrose triangle is a reminder that our perception is not a direct window onto reality, but a reconstruction built on assumptions. It is a structure that lives only in the gap between the eye and the mind.

一个由三条实心梁组成的三角形，每条梁与其他两条都以完美的直角相交，不可能存在于三维空间中。然而，作为二维的图画，它却能吸引目光相信其立体性，揭示了人类感知机制的脆弱。

1934年，一位名叫Oscar Reutersvärd的18岁瑞典学生坐在拉丁语课堂上，注意力从语法转移到了笔记本的边缘。他正试图绘制一个由二十个棱角组成的星形。在绘制过程中，他发现如果将图形简化到其本质，就可以创造出一个违背三维几何法则的闭合回路。他创造出了一个三条梁在直角处交汇的三角形，他称之为“不可能三叉戟”。在接下来的二十年里，这个草图只是他私人收藏的奇思妙想，一个萦绕在学生纸张上的数学幽灵。

这个图形在很大程度上不为人知，直到20世纪50年代中期，一位名叫Roger Penrose的年轻英国物理学家在阿姆斯特丹参观了荷兰艺术家M. C. Escher的展览。受埃舍尔矛盾建筑的启发，彭罗斯在回家的火车上试图将“最纯粹形式的不可能性”简化为最简单的几何表达。他独立重新发现了这个三角形。与他的父亲——精神科医生Lionel Penrose合作，他在1958年的《英国心理学杂志》上发表了对这个图形的正式分析，向更广泛的科学界介绍了impossible object。

谎言的建筑

彭罗斯三角的魔力在于全局逻辑的失败。当眼睛审视三角形的任何一个角落时，透视线索都完全一致。梁似乎在90度角处交汇，阴影和线条暗示着深度和体积。人脑是一个“懒惰”的几何学家；它首先处理这些局部特征，接受每个连接点为有效的三维结构。只有当视觉系统试图将这些局部真理整合成一个整体时，结构才会崩溃。在某一角落似乎远离观察者的路径，以某种方式在下一个角落又回到了“前面”。

这创造了一种cognitive dissonance，而大脑难以轻易解决。由于我们生活在由Euclidean space规则支配的世界中，我们的视觉皮层被硬性编码为将二维线条解释为三维物体。即使我们知道这在物理上是不可能的，我们也不能“视而不见”三角形的体积。数学家后来将三角形描述为上同调中的“1-上闭链”——一种衡量局部数据在全局范围内无法拼接的方式。这是一个视觉系统被迫认真对待的数学玩笑。

铁铸的幻象

虽然三角形不能以一个完整的连续物体存在于三维空间中，艺术家和工程师们已经找到了通过变形透视在物理世界中实现它的方法。在西澳大利亚的东珀斯，一个13.5米高的“不可能三角形”钢铁雕塑矗立在那里，作为这种欺骗的见证。从几乎每一个角度看，它都呈现出一堆杂乱无章的弯曲梁。然而，从一个精确且标记好的有利位置观察时，这些梁会完美地对齐。远处与近处的间隙消失，眼睛被欺骗，看到不可能的回路突然就位。

M. C. 埃舍尔是最早收到彭罗斯论文副本的人之一，他利用这个三角形创作了他最持久的作品之一：《瀑布》（1961年）。在这幅石版画中，两个彭罗斯三角形堆叠在一起，形成了一个曲折的水渠。水沿着看似水平的渠道远离观众流动，然后从高处坠落到位于循环起点的水轮上。通过精心应用彭罗斯的几何逻辑，埃舍尔创造了一台看似每一步都完全合理的永动机。

我们仍不知道的事

我们尚未确切知道大脑在何处的局部透视偏好会压倒其对全局不可能性的认知。尽管我们可以绘制视觉皮层的活动情况，但阻止大脑简单地“拒绝”图像作为平面图的精确机制仍然是神经美学领域的持续研究主题。

我们不知道在更高维流形中可能存在的“不可能”几何的全部范围。虽然彭罗斯三角可以在五维空间中等距嵌入，但更复杂的悖论形状的数学特性仍在被拓扑学家绘制。

我们也不知道是否还有其他基本的“纯粹”不可能物体等待被发现。三角形、楼梯和三叉戟可能只是更大视觉悖论家族中最明显的例子，这些悖论利用了大脑在导航世界时使用的特定捷径。

彭罗斯三角提醒我们，我们的感知并不是通向现实的直接窗口，而是在假设基础上构建的重建。它只存在于眼睛和大脑之间的缝隙中。

Un triángulo compuesto por tres vigas sólidas, cada una encontrándose con las otras en un ángulo perfecto de noventa grados, no puede existir en tres dimensiones. Sin embargo, como dibujo bidimensional, manda al ojo a creer en su solidez, exponiendo la frágil maquinaria de la percepción humana.

En 1934, un estudiante sueco de dieciocho años llamado Oscar Reutersvärd se sentaba en una clase de latín, su atención desviada de la gramática hacia los márgenes de su cuaderno. Estaba intentando dibujar una estrella compuesta por cubos de veinte puntas. Mientras trabajaba, descubrió que al reducir la figura a sus esenciales, podía crear un bucle cerrado que desafiaba las leyes de la geometría tridimensional. Había producido un triángulo de tres vigas que se unían en ángulos rectos, una figura que llamó el "tribar imposible". Durante dos décadas, el boceto permaneció como una curiosidad privada, un fantasma matemático que acechaba en el papel de un estudiante.

La figura permaneció en gran medida desconocida hasta mediados de la década de 1950, cuando un joven físico británico llamado Roger Penrose asistió a una exposición del artista holandés M. C. Escher en Ámsterdam. Inspirado por la arquitectura paradójica de Escher, Penrose pasó el trayecto en tren intentando reducir el concepto de "imposibilidad en su forma más pura" a su expresión geométrica más simple. Redescubrió independientemente el triángulo. Colaborando con su padre, el psiquiatra Lionel Penrose, publicaron un análisis formal de la figura en el *British Journal of Psychology* de 1958, introduciendo el impossible object a la comunidad científica más amplia.

La arquitectura de una mentira

El poder del triángulo de Penrose radica en un fallo de la lógica global. Cuando el ojo examina cualquier esquina individual del triángulo, las pistas de perspectiva son perfectamente coherentes. Las vigas parecen unirse en ángulos de noventa grados, sostenidas por sombreado y trazos de línea que sugieren profundidad y volumen. El cerebro humano es un geómetra "perezoso"; procesa estas características locales primero, aceptando cada unión como una estructura tridimensional válida. Es solo cuando el sistema visual intenta integrar estas verdades locales en un todo global que la estructura colapsa. El camino que parece alejarse del espectador en una esquina, de alguna manera vuelve a la "frente" en la siguiente.

Esto crea un estado de cognitive dissonance que el cerebro no puede resolver fácilmente. Debido a que nos hemos evolucionado en un mundo gobernado por las reglas de Euclidean space, nuestra corteza visual está predispuesta a interpretar líneas bidimensionales como objetos tridimensionales. No podemos "dejar de ver" el volumen del triángulo, incluso cuando sabemos que es una imposibilidad física. Los matemáticos han descrito posteriormente el triángulo como un "1-cociclo" en cohomología: una forma de medir cómo los datos locales fallan al encajar en una escala global. Es un chiste matemático que el sistema visual se ve obligado a tomar en serio.

Realizado en hierro

Aunque el triángulo no puede existir como un objeto sólido y continuo en tres dimensiones, artistas e ingenieros han encontrado formas de manifestarlo en el mundo físico mediante trucos anamórficos. En East Perth, Australia Occidental, una escultura de acero de 13,5 metros del "Triángulo Imposible" se erige como testimonio de esta ilusión. Desde casi cualquier ángulo, parece una colección desordenada y desconectada de vigas dobladas. Sin embargo, desde un punto de vista preciso y señalado, las vigas se alinean perfectamente. El espacio entre las extremidades lejanas y cercanas desaparece, y el ojo es engañado para ver el bucle imposible encajar en su lugar.

M. C. Escher fue uno de los primeros en recibir una copia del artículo de Penrose, y utilizó el triángulo para crear una de sus obras más duraderas: *Waterfall* (1961). En la litografía, dos triángulos de Penrose se apilan para crear un acueducto en zigzag. El agua fluye lejos del espectador a lo largo de lo que parecen canales horizontales, solo para caer desde una altura sobre una rueda hidráulica que se encuentra al comienzo del circuito. Al aplicar minuciosamente la lógica geométrica de los Penrose, Escher creó una máquina de movimiento perpetuo que parece completamente plausible en cada paso de su trayectoria.

Lo que aún no sabemos

Aún no conocemos el umbral exacto en el que la preferencia del cerebro por la perspectiva local anula su reconocimiento de la imposibilidad global. Aunque podemos mapear la actividad en la corteza visual, el mecanismo preciso que impide que la mente simplemente "rechace" la imagen como un dibujo plano sigue siendo un tema de investigación en neuroestética.

No sabemos el alcance completo de las geometrías "imposibles" que podrían existir en variedades de dimensiones superiores. Aunque el triángulo de Penrose puede incrustarse isométricamente en un espacio de cinco dimensiones, las propiedades matemáticas de formas paradójicas más complejas aún están siendo mapeadas por los topólogos.

Y no sabemos si existen otros objetos fundamentales "puros" imposibles esperando a ser descubiertos. El triángulo, las escaleras y el garfio podrían ser solo los ejemplos más obvios de una familia mucho más amplia de paradojas visuales que explotan los atajos específicos que nuestro cerebro utiliza para navegar por el mundo.

El triángulo de Penrose es un recordatorio de que nuestra percepción no es una ventana directa hacia la realidad, sino una reconstrucción basada en suposiciones. Es una estructura que vive solo en el espacio entre el ojo y la mente.

Um triângulo composto por três vigas sólidas, cada uma encontrando as outras em um ângulo reto perfeito, não pode existir em três dimensões. No entanto, como uma representação bidimensional, ele comanda o olho a acreditar em sua solidão, revelando a frágil máquina da percepção humana.

Em 1934, um estudante sueco de dezoito anos chamado Oscar Reutersvärd sentou-se numa aula de latim, com a atenção desviada da gramática para as margens do seu caderno. Ele estava tentando desenhar uma estrela composta por cubos de vinte pontas. Enquanto trabalhava, descobriu que, ao reduzir a figura às suas essências, podia criar um circuito fechado que desafiava as leis da geometria tridimensional. Produziu um triângulo de três vigas que se encontravam em ângulos retos, uma figura a que chamou de "tribar impossível". Durante duas décadas, o esboço permaneceu uma curiosidade privada, um fantasma matemático assombrando o papel de um estudante.

A figura permaneceu amplamente desconhecida até meados da década de 1950, quando um jovem físico britânico chamado Roger Penrose assistiu a uma exposição do artista holandês M. C. Escher em Amsterdã. Inspirado pela arquitetura paradoxal de Escher, Penrose passou a jornada de trem para casa tentando reduzir o conceito de "impossibilidade em sua forma mais pura" à sua expressão geométrica mais simples. Ele redescobriu independentemente o triângulo. Colaborando com o seu pai, o psiquiatra Lionel Penrose, publicou uma análise formal da figura na edição de 1958 do *British Journal of Psychology*, introduzindo o impossible object à comunidade científica mais ampla.

A arquitetura de uma mentira

O poder do triângulo de Penrose reside numa falha da lógica global. Quando o olho examina qualquer canto individual do triângulo, as dicas perspectivas são perfeitamente consistentes. As vigas parecem se encontrar em ângulos de noventa graus, sustentadas por sombreamento e traçado de linhas que sugerem profundidade e volume. O cérebro humano é um "geômetra preguiçoso"; ele processa essas características locais primeiro, aceitando cada junção como uma estrutura tridimensional válida. É só quando o sistema visual tenta integrar essas verdades locais em uma única totalidade global que a estrutura colapsa. O caminho que parece "afastar-se" do observador num canto, de alguma forma, retorna ao "frente" no seguinte.

Isso cria um estado de cognitive dissonance que o cérebro não consegue resolver facilmente. Porque evoluímos num mundo regido pelas regras da Euclidean space, nossa córtex visual está programado para interpretar linhas bidimensionais como objetos tridimensionais. Não conseguimos "desenxergar" o volume do triângulo, mesmo quando sabemos que é uma impossibilidade física. Matemáticos descreveram desde então o triângulo como um "1-cociclo" na cohomologia — uma maneira de medir como dados locais falham em se ajustar em escala global. É uma brincadeira matemática que o sistema visual é compelido a levar a sério.

Realizado em ferro

Embora o triângulo não possa existir como um objeto sólido e contínuo em três dimensões, artistas e engenheiros encontraram maneiras de manifestá-lo no mundo físico através de enganos anamórficos. Em East Perth, Austrália Ocidental, uma escultura de aço de 13,5 metros do "Triângulo Impossível" ergue-se como um testemunho dessa ilusão. A partir de quase qualquer ângulo, parece uma coleção desordenada e desarticulada de vigas dobradas. No entanto, a partir de um ponto preciso e marcado, as vigas alinham-se perfeitamente. O espaço entre os braços distante e próximo desaparece, e o olho é enganado para ver o laço impossível encaixar-se perfeitamente.

M. C. Escher foi um dos primeiros a receber uma cópia do artigo de Penrose, e utilizou o triângulo para criar uma de suas obras mais duradouras: *Waterfall* (1961). Na litografia, dois triângulos de Penrose são empilhados para criar um aqueduto em zig-zag. A água flui longe do observador ao longo do que parecem ser canais nivelados, apenas para cair de uma altura sobre uma roda d'água que está no início do circuito. Ao aplicar com precisão a lógica geométrica dos Penrose, Escher criou uma máquina de movimento perpétuo que parece totalmente plausível em cada etapa do seu caminho.

O que ainda não sabemos

Ainda não sabemos o exato limiar neural onde a preferência do cérebro pela perspectiva local supera sua reconhecimento da impossibilidade global. Embora possamos mapear a atividade na córtex visual, o mecanismo preciso que impede a mente de simplesmente "rejeitar" a imagem como um desenho plano permanece um assunto de pesquisa contínua na neuro-estética.

Não sabemos a extensão total das geometrias "impossíveis" que podem existir em variedades de dimensões superiores. Embora o triângulo de Penrose possa ser incorporado isometricamente num espaço de cinco dimensões, as propriedades matemáticas de formas paradoxais mais complexas ainda estão sendo mapeadas pelos topólogos.

E não sabemos se existem outros objetos fundamentais "puros" impossíveis à espera de serem descobertos. O triângulo, as escadas e o tridente podem ser apenas os exemplos mais óbvios de uma família muito maior de paradoxos visuais que exploram os atalhos específicos que nossos cérebros utilizam para navegar pelo mundo.

O triângulo de Penrose é um lembrete de que nossa percepção não é uma janela direta sobre a realidade, mas uma reconstrução construída sobre pressupostos. É uma estrutura que vive apenas no espaço entre o olho e a mente.

مثلث يتكون من ثلاثة أضلاع صلبة، كل منها يلتقي مع الآخر بزاوية قائمة مثالية، لا يمكن أن يُوجد في ثلاثة أبعاد. ومع ذلك، كرسم ثنائي الأبعاد، يجذب العين ليؤمن بصلابته، مُظهراً الآلية الهشة ل восприاء الإنسان.

في عام 1934، جلس طالب سويدي يبلغ من العمر ثمانية عشر عامًا يُدعى Oscar Reutersvärd في فصل لاتيني، وانتُزعت انتباهه من القواعد نحو حواف دفتر ملاحظاته. كان يحاول رسم نجمة تتكون من مكعبات ذات عشرين جانبًا. بينما كان يعمل، اكتشف أنه من خلال تبسيط الشكل إلى جوهره، يمكنه إنشاء حلقة مغلقة تتعارض مع قوانين الهندسة ثلاثية الأبعاد. فقد أنتج مثلثًا يتكون من ثلاثة أعمدة تلتقي في زوايا قائمة، وهو شكل أطلق عليه اسم "المثلث الثلاثي المستحيل". واستمر هذا الرسم كمعلومة خاصة لعشرين عامًا، كهالة رياضية تطارد ورقة طالب مدرسي.

ظل الشكل غير معروف تقريبًا حتى منتصف الخمسينيات من القرن العشرين، عندما حضر فيزيائي بريطاني شاب يُدعى Roger Penrose معرضًا للفنان الهولندي M. C. Escher في أمستردام. وقد ألهمه معمارية إسشِر المتناقضة، فقضى رحلة القطار إلى المنزل محاولًا تبسيط مفهوم "الاستحالة في أبسط أشكالها" إلى تعبير هندسي بسيط. وقد اكتشف المثلث بشكل مستقل. وبعمله مع والده، طبيب الأعصاب Lionel Penrose، نشر تحليلًا رسميًا للشكل في مجلة *العلوم النفسية البريطانية* لعام 1958، مقدّمًا impossible object إلى المجتمع العلمي الأوسع.

بنية الهرطقة

تُكمن قوة مثلث بِنروز في فشل المنطق العام. عندما تفحص العين أي زاوية واحدة من المثلث، فإن إشارات المنظور متسقة تمامًا. تظهر الأعمدة وكأنها تلتقي في زوايا قائمة، مع ظلال وخطوط تشير إلى العمق والحجم. الدماغ البشري هو "هندسة كسولة"؛ فهو يعالج هذه الميزات المحلية أولاً، ويقبل كل تلاقح كهيكل ثلاثي الأبعاد مشروع. وتكون هيكلية المنظور مُهددة فقط عندما يحاول النظام البصري دمج هذه الحقيقة المحلية إلى كيان عام واحد، حيث ينهار الشكل. المسار الذي يبدو أنه يبتعد عن المشاهد من زاوية واحدة، يعود بطريقة ما إلى "الواجهة" في الزاوية التالية.

هذا يخلق حالة من cognitive dissonance التي لا يستطيع الدماغ حلها بسهولة. لأننا تطورنا في عالم يُحكى فيه بقوانين Euclidean space، فإن قشرة الدماغ البصرية مبرمجة على تفسير الخطوط ثنائية الأبعاد كأجسام ثلاثية الأبعاد. لا يمكننا "إلغاء رؤية" حجم المثلث، حتى عندما نعرف أنه مستحيل فيزيائيًا. وقد وصف الرياضيون المثلث لاحقًا بأنه "1-cocycle" في المجموعة التماثلية، وهو وسيلة لقياس كيفية فشل البيانات المحلية في التكامل على نطاق واسع. إنه نكتة رياضية يُجبر النظام البصري على أخذها على محمل الجد.

مُحقق في الحديد

بينما لا يمكن أن يُوجد المثلث كجسم متصل في ثلاثة أبعاد، وجد الفنانون والمهندسون طرقًا لتجسيده في العالم المادي من خلال خدعة الأنايمورفيك. في إست بيرث، غرب أستراليا، يقف نحت فولاذي بطول 13.5 متر من "المثلث المستحيل" كشهادة على هذه الخدعة. من كل زاوية تقريبًا، يبدو كمجموعة فوضوية من القضبان المطوية. ومع ذلك، من نقطة واحدة دقيقة مُحددة، تتوافق الأعمدة تمامًا. تختفي الفجوة بين الأطراف البعيدة والقريبة، وتخدع العين في رؤية الحلقة المستحيلة تُنجز تكاملها.

كان م. سي. إسشِر من أوائل من تلقى نسخة من ورقة بِنروز، وقام باستخدام المثلث لخلق أحد أعماله التي عاشت لسنوات: *النهر* (1961). في الرسم بالحفر على الحجر، تُوضع مثلثان من بِنروز فوق بعضهما لتشكيل نظام مائي متعرج. تتدفق المياه بعيدًا عن المشاهد عبر قنوات تبدو مستوية، لتسقط من ارتفاع على عجلة مائية تقع في بداية الدائرة. وبتطبيق دقيق على منطق بِنروز الهندسي، أنشأ إسشِر آلة حركة دائمة تبدو تمامًا ممكنة في كل خطوة من رحلتها.

ما لا نزال لا نعرفه

لا نزال لا نعرف العتبة العصبية الدقيقة التي يُفضل فيها الدماغ المنظور المحلي إدراكه للاستحالة العامة. في حين يمكننا رسم النشاط في القشرة البصرية، فإن الآلية الدقيقة التي تمنع العقل من رفض الصورة ببساطة كرسم مسطح، ما زالت موضوع بحث مستمر في علم الجماليات العصبية.

لا نعرف أيضًا مدى اتساع "الهندسة المستحيلة" التي قد توجد في الأسطح ذات الأبعاد الأعلى. في حين يمكن إدراج مثلث بِنروز في فضاء خماسي الأبعاد بشكل متساوي، فإن الخصائص الرياضية للأجسام المتناقضة المعقدة ما زالت تُرسم على يد علماء الطوبولوجيا.

وأيضًا لا نعرف إن كان هناك أجسام "نقيّة" مستحيلة أخرى تنتظر الاكتشاف. قد يكون المثلث، والسلالم، والرمح الثلاثي مجرد أمثلة بارزة لعائلة أوسع بكثير من الهرطقات البصرية التي تستغل الاختصارات المحددة التي تستخدمها عقولنا للتنقل في العالم.

مثلث بِنروز هو تذكير بأن إدراكنا ليس نافذة مباشرة على الواقع، بل هو بناء مُعاد تكوينه بناءً على افتراضات. إنه هيكل يعيش فقط في الفجوة بين العين والعقل.

Un triangle composé de trois poutres solides, chacune rencontrant les autres à angle droit parfait, ne peut exister en trois dimensions. Et pourtant, en tant que dessin bidimensionnel, il commande le regard à croire en sa solidité, exposant la fragile machinerie de la perception humaine.

En 1934, un étudiant suédois de dix-huit ans nommé Oscar Reutersvärd était assis en cours de latin, son attention détournée de la grammaire vers les marges de son cahier. Il essayait de dessiner une étoile composée de cubes à vingt pointes. Alors qu’il travaillait, il découvrit qu’en réduisant la figure à ses éléments essentiels, il pouvait créer une boucle fermée qui défiait les lois de la géométrie tridimensionnelle. Il avait produit un triangle de trois poutres se rencontrant à angle droit, une figure qu’il appela le « tribarre impossible ». Pendant deux décennies, le croquis resta une curiosité privée, un fantôme mathématique hantant le papier d’un collégien.

La figure resta largement inconnue jusqu’aux années 1950, lorsque un jeune physicien britannique nommé Roger Penrose assista à une exposition de l’artiste néerlandais M. C. Escher à Amsterdam. Inspiré par l’architecture paradoxale d’Escher, Penrose passa le trajet en train pour rentrer chez lui à tenter de réduire le concept d’« impossibilité dans sa forme la plus pure » à son expression géométrique la plus simple. Il redécouvrit indépendamment le triangle. En collaboration avec son père, le psychiatre Lionel Penrose, il publia une analyse formelle de la figure dans le *British Journal of Psychology* de 1958, introduisant le impossible object à la communauté scientifique plus large.

L’architecture d’un mensonge

Le pouvoir du triangle de Penrose réside dans un échec de la logique globale. Quand l’œil examine n’importe quel coin du triangle, les indices de perspective sont parfaitement cohérents. Les poutres semblent se rencontrer à angle droit, soutenues par des ombres et des lignes qui suggèrent profondeur et volume. Le cerveau humain est un géomètre « paresseux » ; il traite d’abord ces caractéristiques locales, acceptant chaque jonction comme une structure tridimensionnelle valide. Ce n’est que lorsque le système visuel tente d’intégrer ces vérités locales en un tout global que la structure s’effondre. Le chemin qui semble s’éloigner du spectateur d’un côté revient mystérieusement à l’avant du triangle au coin suivant.

Cela crée un état de cognitive dissonance que le cerveau ne peut pas facilement résoudre. Puisque nous avons évolué dans un monde régi par les règles de la Euclidean space, notre cortex visuel est câblé pour interpréter des lignes en deux dimensions comme des objets tridimensionnels. Nous ne pouvons pas « défaire » la perception du volume du triangle, même si nous savons qu’il est physiquement impossible. Depuis, les mathématiciens ont décrit le triangle comme un « 1-cocycle » en cohomologie — une manière de mesurer comment les données locales échouent à s’ajuster à l’échelle globale. C’est une blague mathématique que le système visuel est forcé de prendre au sérieux.

Réalisé en fer

Bien que le triangle ne puisse pas exister comme objet solide et continu en trois dimensions, des artistes et des ingénieurs ont trouvé des moyens de le manifester dans le monde physique par le biais de trompe-l’œil anamorphiques. À East Perth, en Australie-Occidentale, une sculpture en acier de 13,5 mètres du « Triangle Impossible » sert de témoignage à cette supercherie. Vue presque sous n’importe quel angle, elle apparaît comme une collection désordonnée et disjointe de poutres pliées. Cependant, depuis un point de vue précis et marqué, les poutres s’alignent parfaitement. L’écart entre les bras éloignés et proches disparaît, et l’œil est trompé en voyant la boucle impossible s’emboîter.

M. C. Escher fut l’un des premiers à recevoir une copie du papier de Penrose, et il utilisa le triangle pour créer l’une de ses œuvres les plus durables : *La Cascade* (1961). Dans la lithographie, deux triangles de Penrose sont empilés pour créer un aqueduc en zigzag. L’eau s’écoule loin du spectateur le long de canalisations qui semblent être à niveau, pour finalement tomber d’une hauteur sur une roue à aubes située au début du circuit. En appliquant rigoureusement la logique géométrique des Penrose, Escher créa une machine à mouvement perpétuel qui semble entièrement plausible à chaque étape de son parcours.

Ce que nous ne savons toujours pas

Nous ne savons pas encore le seuil exact du cerveau où sa préférence pour la perspective locale l’emporte sur sa reconnaissance de l’impossibilité globale. Bien que nous puissions cartographier l’activité du cortex visuel, le mécanisme précis qui empêche l’esprit de simplement « rejeter » l’image comme un dessin plat reste un sujet de recherche en cours en neuro-esthétique.

Nous ne savons pas l’étendue exacte des géométries « impossibles » qui pourraient exister dans des variétés de dimensions supérieures. Bien que le triangle de Penrose puisse être isométriquement plongé dans un espace à cinq dimensions, les propriétés mathématiques de formes paradoxales plus complexes sont encore étudiées par les topologues.

Et nous ne savons pas s’il existe d’autres objets fondamentalement « purs » impossibles en attente d’être découverts. Le triangle, les escaliers et le trident ne seraient peut-être que les exemples les plus évidents d’une famille bien plus vaste de paradoxes visuels qui exploitent les raccourcis spécifiques que notre cerveau utilise pour naviguer dans le monde.

Le triangle de Penrose est un rappel que notre perception n’est pas une fenêtre directe vers la réalité, mais une reconstruction bâtie sur des hypothèses. C’est une structure qui n’existe qu’à la frontière entre l’œil et l’esprit.

三つの実体的な梁からなる三角形が、それぞれが他のものと完全な九十度の角で交わっているとしたら、それは三次元では存在しえない。だが、二次元の図として描かれたその形は、目を欺き、その実体を信じ込ませる。そこには、人間の知覚の脆い仕組みが明らかになる。

1934年、スウェーデンの18歳の学生Oscar Reutersvärdは、ラテン語の授業でノートの余白に気を取られ、文法から注意が逸れていた。彼は20本の角を持つ立方体からなる星を描こうとしていた。作業を進める中で、彼はその図形を本質にまで還元することで、3次元幾何学の法則に背く閉じたループを作り出せることに気づいた。彼は直角で交差する3つの梁からなる三角形を描き出し、これを「不可能な三脚（impossible tribar）」と名付けた。このスケッチは20年間、学校の生徒の紙にうごめく数学の幽霊として、私的な好奇心の対象であり続けた。

この図形は、広く知られることなく、1950年代半ばまで存在を忘れられたままであった。その頃、若いイギリスの物理学者Roger Penroseは、アムステルダムで開催されたオランダの画家M. C. Escherの展示会を訪れた。エッシャーの矛盾に満ちた建築に感銘を受けたペンローズは、帰宅する列車の旅中、不可能性を「純粋な形」にまで還元した最も単純な幾何学的表現を試みた。彼は独立してその三角形を再発見し、精神科医である自身の父Lionel Penroseと協力して、1958年の『ブリティッシュ・ジャーナル・オブ・サイコロジー』にその図形の公式な分析を発表し、impossible objectを広く科学界に紹介した。

謊言の建築

ペンローズ三角形の力は、全体論的な論理の失敗にある。目が三角形のどの角を検討しても、透視のヒントは完全に一貫している。梁は90度の角で交差しており、影付けや線の使い方は深さと体積を示唆している。人間の脳は「怠惰な」幾何学者である。この局所的な特徴を最初に処理し、それぞれの接続部を有効な3次元構造として受け入れる。構造が崩壊するのは、視覚系がこれらの局所的な真実を一つの全体として統合しようとするときである。ある角から「遠ざかっている」ように見える経路が、次の角でなぜか「前面」に戻ってしまうのだ。

これは脳が容易に解決できないcognitive dissonanceの状態を生み出す。我々はEuclidean spaceの法則で支配される世界で進化してきたため、視覚皮質は2次元の線を3次元の物体として解釈するようにハードコードされている。物理的に不可能であることを知っているにもかかわらず、三角形の体積を「見過ごせない」のである。以降、数学者たちはこの三角形を「1-コサイクル」としてコホモロジーの文脈で記述し、局所的なデータが全体のスケールで整合しなくなる測定方法として捉えるようになった。視覚系が真剣に受け取らざるを得ない数学的ジョークである。

鉄で具現化されたもの

この三角形は、3次元空間で固体かつ連続的な存在としては現実には存在できない。しかし、アネモルフィックなトリックを通じて、アーティストやエンジニアはこの図形を物理的に具現化する方法を見つけ出した。西オーストラリア州のイーストパースには、「不可能な三角形」を模した13.5メートルのスチール製彫刻が、この欺瞞への証として建っている。ほぼすべての角度から見ると、それは乱雑で不連続な曲がった構造物の集まりに過ぎない。しかし、特定の正確な位置から見ると、梁は完璧に整列する。遠くの腕と近い腕の間のギャップが消え、目は不可能なループがぴたりと合うように錯覚させる。

M・C・エッシャーは、ペンローズの論文のコピーを受け取った最初の人物の一人であり、彼はこの三角形を用いて最も記憶に残る作品の一つ『滝』（1961年）を制作した。このリトグラフでは、2つのペンローズ三角形が積み重なってジグザグ状の水路を形成している。水は視聴者から遠ざかって見える水平な水路に沿って流れ、ある高さから水車に落下し、その水車は回路の始まりの位置にある。ペンローズたちの幾何学的論理を丁寧に適用することで、エッシャーはその旅程のどの段階でも完全に現実的に見える永続運動機を創造した。

まだわかっていないこと

脳が局所的な透視を好む傾向が、全体的な不可能性の認識を上回る正確な神経的な閾値は、まだわかっていない。視覚皮質の活動を地図化することはできるが、脳が単に「画像を平面図として拒絶」しない仕組みの正確なメカニズムは、神経美学の分野で今もなお研究が続いている。

高次元多様体に存在する「不可能」な幾何学の全範囲についても、我々はまだ知らないことが多い。ペンローズ三角形は5次元空間に等長的に埋め込むことができるが、より複雑な矛盾した形状の数学的性質は、トポロジストたちによってまだ完全に明らかにされていない。

そして、他の基本的な「純粋」不可能な対象がまだ発見待ちである可能性についても、我々は知らない。三角形、階段、三叉戟は、脳が世界をナビゲートするために用いる特定のショートカットを悪用する、はるかに広範な視覚的パラドックスの家族の中でも、最も明白な例に過ぎないかもしれない。

ペンローズ三角形は、我々の知覚が現実への直接的な窓ではないことを思い出させてくれる。それは、目と心の間の隙間にだけ存在する構造なのである。

Sebuah segitiga yang terdiri dari tiga balok padat, masing-masing bertemu yang lain pada sudut sembilan puluh derajat yang sempurna, tidak mungkin ada dalam tiga dimensi. Namun, sebagai gambar dua dimensi, ia memerintah mata untuk percaya pada kepadatannya, mengungkap mesin rapuh dari persepsi manusia.

Pada tahun 1934, seorang siswa Swedia berusia delapan belas tahun bernama Oscar Reutersvärd duduk dalam kelas bahasa Latin, perhatiannya teralih dari tata bahasa ke ujung-ujung buku catatannya. Ia sedang berusaha menggambar sebuah bintang yang terdiri dari kubus-kubus berpoin dua puluh. Saat ia bekerja, ia menemukan bahwa dengan menghilangkan gambar tersebut hingga ke intinya, ia dapat menciptakan sebuah lingkaran tertutup yang melanggar hukum geometri tiga dimensi. Ia telah menghasilkan segitiga tiga balok yang bertemu pada sudut siku-siku, sebuah bentuk yang ia sebut sebagai "tribar yang mustahil." Selama dua dekade, sketsa ini tetap menjadi hal pribadi, sebuah fantasma matematika yang menghantui kertas seorang siswa.

Gambar ini tetap relatif tidak dikenal hingga pertengahan tahun 1950-an, ketika seorang fisikawan muda Inggris bernama Roger Penrose menghadiri pameran karya seniman Belanda M. C. Escher di Amsterdam. Terinspirasi oleh arsitektur paradoks Escher, Penrose menghabiskan perjalanan kereta pulangnya untuk berusaha memurnikan konsep "tidak mungkin dalam bentuk paling murni" hingga ekspresi geometris yang paling sederhana. Ia secara independen menemukan kembali segitiga tersebut. Dengan bekerja sama dengan ayahnya, seorang psikiater bernama Lionel Penrose, ia mempublikasikan analisis formal tentang bentuk tersebut di *British Journal of Psychology* tahun 1958, memperkenalkan impossible object kepada komunitas ilmiah yang lebih luas.

Arsitektur sebuah kebohongan

Kekuatan segitiga Penrose terletak pada kegagalan logika global. Ketika mata mengamati sudut mana pun dari segitiga tersebut, petunjuk perspektif tampak konsisten secara sempurna. Balok-balok tampak bertemu pada sudut sembilan puluh derajat, didukung oleh bayangan dan garis yang menunjukkan kedalaman dan volume. Otak manusia adalah seorang 'geometer yang malas'; ia memproses fitur-fitur lokal terlebih dahulu, menerima setiap persimpangan sebagai struktur tiga dimensi yang valid. Baru ketika sistem visual mencoba mengintegrasikan kebenaran-kebenaran lokal ini menjadi satu keseluruhan global, struktur tersebut runtuh. Jalur yang tampaknya menjauh dari pengamat di satu sudut, secara aneh kembali ke 'depan' di sudut berikutnya.

Ini menciptakan keadaan cognitive dissonance yang sulit dipecahkan oleh otak. Karena kita berevolusi di dunia yang diatur oleh hukum Euclidean space, korteks visual kita terkunci untuk menginterpretasikan garis dua dimensi sebagai objek tiga dimensi. Kita tidak bisa 'tidak melihat' volume segitiga tersebut, bahkan ketika kita tahu bahwa itu adalah kemustahilan fisik. Matematikawan kemudian menggambarkannya sebagai '1-cocycle' dalam kohomologi—sebuah cara mengukur bagaimana data lokal gagal disatukan pada skala global. Ini adalah lelucon matematika yang sistem visual dipaksa untuk menganggapnya serius.

Terwujud dalam besi

Meskipun segitiga ini tidak dapat ada sebagai objek padat dan kontinu dalam tiga dimensi, para seniman dan insinyur menemukan cara untuk menghadirkannya di dunia nyata melalui trik anamorfik. Di East Perth, Western Australia, sebuah patung baja 13,5 meter dari 'Segitiga Tidak Mungkin' berdiri sebagai bukti dari kebohongan ini. Dari hampir setiap sudut, tampaknya sekumpulan besi bengkok yang tidak terkoordinasi. Namun, dari satu titik pengamatan yang tepat dan ditandai, balok-balok tersebut sejajar secara sempurna. Celah antara lengan jauh dan dekat menghilang, dan mata tertipu melihat lingkaran mustahil itu terbentuk.

M. C. Escher adalah salah satu orang pertama yang menerima salinan karya Penrose, dan ia memanfaatkan segitiga tersebut untuk menciptakan salah satu karyanya yang paling bertahan lama: *Waterfall* (1961). Dalam lukisan lithografi tersebut, dua segitiga Penrose ditumpuk untuk menciptakan aqueduct yang berbentuk zig-zag. Air mengalir menjauh dari pengamat melalui saluran yang tampaknya datar, hanya untuk jatuh dari ketinggian ke roda air yang berada di awal sirkuit. Dengan menerapkan logika geometris Penrose secara teliti, Escher menciptakan mesin gerak abadi yang tampak sangat masuk akal di setiap langkah perjalanannya.

Apa yang masih belum kita ketahui

Kita belum mengetahui ambang batas saraf yang tepat di mana preferensi otak terhadap perspektif lokal mengatasi pengenalan kemustahilannya secara global. Meskipun kita bisa memetakan aktivitas di korteks visual, mekanisme pasti yang mencegah pikiran untuk sederhana saja 'menolak' gambar sebagai gambar datar tetap menjadi subjek penelitian berkelanjutan dalam neuro-estetika.

Kita tidak mengetahui secara pasti seberapa luas geometri 'tidak mungkin' yang mungkin ada di manifold berdimensi lebih tinggi. Meskipun segitiga Penrose dapat diembed secara isometris dalam ruang lima dimensi, sifat matematis bentuk paradoks yang lebih kompleks masih dalam proses dipetakan oleh topolog.

Dan kita tidak tahu apakah ada objek 'tidak mungkin' dasar lain yang menunggu untuk ditemukan. Segitiga, tangga, dan trident mungkin hanya contoh paling jelas dari keluarga yang jauh lebih luas dari paradoks visual yang memanfaatkan jalan pintas khusus yang otak kita gunakan untuk menavigasi dunia.

Segitiga Penrose adalah pengingat bahwa persepsi kita bukanlah jendela langsung ke realitas, tetapi rekonstruksi yang dibangun berdasarkan asumsi. Ini adalah struktur yang hanya hidup di celah antara mata dan pikiran.

Ein Dreieck aus drei festen Balken, die jeweils in einem perfekten rechten Winkel aufeinander treffen, kann nicht in drei Dimensionen existieren. Und dennoch, als zweidimensionales Bild verlangt es dem Auge nach, seine Festigkeit zu glauben, und enthüllt so das fragile Mechanismus der menschlichen Wahrnehmung.

Im Jahr 1934 saß ein achtzehnjähriger schwedischer Student namens Oscar Reutersvärd in einem Lateinkurs, seine Aufmerksamkeit abgelenkt vom Grammatikunterricht zu den Randnotizen seines Notizbuchs. Er versuchte, einen Stern aus zwanzigspitzigen Würfeln zu zeichnen. Während er arbeitete, stellte er fest, dass er durch das Reduzieren der Figur auf ihre wesentlichen Elemente eine geschlossene Schleife schaffen konnte, die den Gesetzen der dreidimensionalen Geometrie Hohn sprach. Er hatte ein Dreieck aus drei Balken geschaffen, die sich in rechten Winkeln trafen, eine Figur, die er das „unmögliche Tribar“ nannte. Für zwei Jahrzehnte blieb die Skizze eine private Kuriosität, ein mathematischer Geist, der ein Schulheft heimsuchte.

Die Figur blieb weitgehend unbekannt, bis Mitte der 1950er Jahre ein junger britischer Physiker namens Roger Penrose eine Ausstellung des niederländischen Künstlers M. C. Escher in Amsterdam besuchte. Inspiriert von Eschers paradoxer Architektur versuchte Penrose während der Zugfahrt nach Hause, das Konzept der „Unmöglichkeit in ihrer reinsten Form“ auf ihre einfachste geometrische Ausdrucksform zu reduzieren. Er entdeckte unabhängig davon das Dreieck erneut. In Zusammenarbeit mit seinem Vater, dem Psychiater Lionel Penrose, veröffentlichte er 1958 in der *British Journal of Psychology* eine formale Analyse der Figur und stellte das impossible object der breiteren wissenschaftlichen Gemeinschaft vor.

Die Architektur einer Lüge

Die Kraft des Penrose-Dreiecks liegt in einem Scheitern der globalen Logik. Wenn das Auge jeden einzelnen Winkel des Dreiecks untersucht, sind die perspektivischen Hinweise perfekt konsistent. Die Balken scheinen sich in rechten Winkeln zu treffen, unterstützt durch Schattierungen und Linien, die Tiefe und Volumen suggerieren. Das menschliche Gehirn ist ein „faules“ Geometer; es verarbeitet diese lokalen Merkmale zuerst und akzeptiert jeden Anschluss als gültige dreidimensionale Struktur. Erst, wenn das visuelle System versucht, diese lokalen Wahrheiten zu einer einzigen globalen Einheit zusammenzufügen, bricht die Struktur zusammen. Der Weg, der vom Betrachter weg zu führen scheint, kehrt auf seltsame Weise am nächsten Winkel wieder an die „Vorderseite“ zurück.

Dies schafft einen Zustand von cognitive dissonance, den das Gehirn nicht leicht auflösen kann. Da wir in einer Welt mit den Regeln der Euclidean space evolviert haben, ist unser Sehstamm so verdrahtet, dass er zweidimensionale Linien als dreidimensionale Objekte interpretiert. Wir können das Volumen des Dreiecks nicht „nicht sehen“, selbst wenn wir wissen, dass es eine physische Unmöglichkeit ist. Mathematiker haben seither das Dreieck als „1-Cocycle“ in der Kohomologie beschrieben – eine Art, zu messen, wie lokale Daten auf globaler Ebene nicht zusammenpassen. Es ist ein mathematischer Witz, den das visuelle System gezwungen ist, ernst zu nehmen.

Realisiert aus Eisen

Obwohl das Dreieck nicht als festes, kontinuierliches Objekt in drei Dimensionen existieren kann, haben Künstler und Ingenieure Wege gefunden, es durch anamorphe Täuschungen in die physische Welt zu übertragen. In East Perth, Westaustralien, steht eine 13,5 Meter große Stahlskulptur des „Unmöglichen Dreiecks“ als Zeugnis für diese Täuschung. Aus fast jedem Winkel betrachtet, erscheint sie als unordentliche, zerstückelte Sammlung gebogener Stahlträger. Doch aus einem einzigen, präzisen, markierten Blickwinkel richten sich die Balken perfekt aus. Die Lücke zwischen den fernen und nahen Armen verschwindet, und das Auge wird getäuscht, das unmögliche Loop zu sehen, das plötzlich in Ordnung erscheint.

M. C. Escher war einer der Ersten, der eine Kopie des Penrose-Artikels erhielt, und er nutzte das Dreieck, um eines seiner anhaltendsten Werke zu schaffen: *Wasserfall* (1961). In der Lithografie sind zwei Penrose-Dreiecke übereinander gestapelt, um einen wellenförmigen Aquädukt zu bilden. Wasser fließt vom Betrachter weg entlang scheinbar ebener Kanäle, nur um von einer Höhe auf eine Wasserrad zu fallen, das am Anfang des Kreislaufs steht. Durch sorgfältige Anwendung der geometrischen Logik der Penroses schuf Escher eine Perpetuum mobile-Maschine, die in jedem Schritt ihrer Reise völlig plausibel aussieht.

Was wir noch nicht wissen

Wir wissen noch nicht genau, welcher neuronale Schwellenwert dafür sorgt, dass das Gehirn seine Vorliebe für lokale Perspektive gegenüber seiner Erkenntnis globaler Unmöglichkeit übernimmt. Während wir die Aktivität im visuellen Cortex kartieren können, bleibt das genaue Mechanismus, der dem Geist verhindert, das Bild einfach als flaches Gemälde abzulehnen, ein Forschungsgegenstand der Neuroästhetik.

Wir wissen nicht, in welchem Maße „unmögliche“ Geometrien in höherdimensionalen Mannigfaltigkeiten existieren könnten. Während das Penrose-Dreieck in einem fünfdimensionalen Raum isometrisch eingebettet werden kann, werden die mathematischen Eigenschaften komplexerer paradoxer Formen noch von Topologen kartografiert.

Und wir wissen nicht, ob es noch andere grundlegende „reine“ unmögliche Objekte gibt, die auf Entdeckung warten. Das Dreieck, die Stufen und der Stab könnten nur die offensichtlichsten Beispiele einer viel größeren Familie visueller Paradoxien sein, die die spezifischen Abkürzungen nutzen, die unser Gehirn nutzt, um die Welt zu durchqueren.

Das Penrose-Dreieck ist eine Erinnerung daran, dass unsere Wahrnehmung kein direktes Fenster auf die Realität ist, sondern eine Rekonstruktion, die auf Annahmen beruht. Es ist eine Struktur, die nur im Abstand zwischen Auge und Geist existiert.

Треугольник, составленный из трёх сплошных балок, каждая из которых встречается с другими под идеальным прямым углом, не может существовать в трёх измерениях. И всё же, как двумерный рисунок, он заставляет глаз поверить в его объёмность, открывая хрупкий механизм человеческого восприятия.

В 1934 году восемнадцатилетний шведский студент по имени Oscar Reutersvärd сидел на латинском уроке, его внимание отвлечено от грамматики к краям записной книжки. Он пытался нарисовать звезду, состоящую из двадцатиугольных кубов. Работая над этим, он обнаружил, что, упрощая фигуру до её сущности, он может создать замкнутую петлю, которая нарушает законы трёхмерной геометрии. Он создал треугольник из трёх балок, соединённых под прямыми углами, фигуру, которую он назвал «невозможным трибаром». В течение двадцати лет эскиз оставался личной тайной, математическим призраком, преследующим страницы школьника.

Эта фигура оставалась в основном неизвестной до середины 1950-х годов, когда молодой британский физик по имени Roger Penrose посетил выставку голландского художника M. C. Escher в Амстердаме. Вдохновлённый парадоксальной архитектурой Эшера, Пенроуз провёл всю дорогу домой, пытаясь свести понятие «невозможности в её чистейшей форме» к самой простой геометрической форме. Он независимо открыл треугольник. Работая вместе со своим отцом, психиатром Lionel Penrose, он опубликовал формальный анализ фигуры в 1958 году в *Британском журнале психологии*, представив impossible object широкому научному сообществу.

Архитектура лжи

Сила треугольника Пенроуза заключается в неудаче глобальной логики. Когда глаз рассматривает любой отдельный угол треугольника, перспективные подсказки идеально согласованы. Балки кажутся соединёнными под прямыми углами, поддерживаемыми тенями и линиями, которые указывают на глубину и объём. Мозг человека — «ленивый» геометр; он сначала обрабатывает эти локальные особенности, принимая каждое соединение за действительную трёхмерную структуру. Лишь тогда, когда визуальная система пытается интегрировать эти локальные истины в единое целое, структура рушится. Путь, который кажется уходящим от наблюдателя на одном углу, каким-то образом возвращается на «переднюю» часть на следующем.

Это создаёт состояние cognitive dissonance, которое мозг не может легко разрешить. Поскольку мы эволюционировали в мире, подчиняющемся законам Euclidean space, наша визуальная кора жёстко запрограммирована интерпретировать двумерные линии как трёхмерные объекты. Мы не можем «не видеть» объём треугольника, даже зная, что это физически невозможно. Математики с тех пор описали треугольник как «1-кокогомологию» в когомологии — способ измерения того, как локальные данные не могут соединиться на глобальном уровне. Это математический шут, который визуальная система вынуждена воспринимать серьёзно.

Реализованный в железе

Хотя треугольник не может существовать как сплошной, непрерывный объект в трёх измерениях, художники и инженеры нашли способы проявить его в физическом мире с помощью амбразурных трюков. В восточном Перте, Западная Австралия, 13,5-метровая стальная скульптура «Невозможного треугольника» стоит как доказательство этой обманки. С почти любого угла она выглядит как беспорядочная, несвязанная коллекция изогнутых балок. Однако с одного точного, обозначенного ракурса балки идеально совпадают. Пространство между дальними и близкими концами исчезает, и глаз обманывается, чтобы увидеть невозможный цикл, который встает на место.

М. К. Эшер был одним из первых, кто получил копию статьи Пенроуза, и он использовал треугольник, чтобы создать одну из своих самых известных работ: *Водопад* (1961). В литографии два треугольника Пенроуза уложены, чтобы создать зигзагообразный акведук. Вода течёт от наблюдателя по тем каналам, которые кажутся ровными, а затем падает с высоты на водяную мельницу, расположенную в начале цикла. Тщательно применяя геометрическую логику Пенроузов, Эшер создал вечный двигатель, который выглядит полностью правдоподобным на каждом этапе своего пути.

То, чего мы всё ещё не знаем

Мы ещё не знаем точного нейронного порога, на котором предпочтение мозга локальной перспективе превосходит его осознание глобальной невозможности. Хотя мы можем отслеживать активность в визуальной коре, точный механизм, который мешает разуму просто «отвергнуть» изображение как плоский рисунок, остаётся предметом изучения в нейроэстетике.

Мы не знаем полного масштаба «невозможных» геометрий, которые могут существовать в многомерных многообразиях. Хотя треугольник Пенроуза может быть изометрически встроен в пятимерное пространство, математические свойства более сложных парадоксальных форм всё ещё изучаются топологами.

И мы не знаем, есть ли другие фундаментальные «чистые» невозможные объекты, которые ждут своего открытия. Треугольник, лестница и трезубец могут быть лишь самыми очевидными примерами гораздо более обширной семьи визуальных парадоксов, которые используют конкретные сокращения, которые наш мозг использует для навигации в мире.

Треугольник Пенроуза напоминает нам, что наше восприятие не является прямым окном в реальность, а является воссозданием, построенным на предположениях. Это структура, которая существует только в промежутке между глазом и разумом.

तीन ठोस बीमों से बना एक त्रिभुज, जिसमें प्रत्येक अन्य के साथ एक पूर्ण नौसी डिग्री के कोण पर मिलता है, तीन आयामों में मौजूद नहीं हो सकता। फिर भी, दो-आयामी चित्रण के रूप में, यह आँखों को अपनी ठोसता में विश्वास करने के लिए आह्वान करता है, मानवीय धारणा की टूटी-फूटी मशीनरी को उजागर करता है।

1934 में, एक अठारह वर्षीय स्वीडिश छात्र, Oscar Reutersvärd लैटिन की एक कक्षा में बैठा, अपने ध्यान को व्याकरण से अपने नोटबुक के किनारों की ओर खींच लिया गया। वह एक ऐसे तारे का चित्रण कर रहा था जो बीस बिंदुओं वाले घनों से बना हो। जैसे-जैसे वह काम कर रहा था, उसने पाया कि आकृति को उसके आवश्यक तत्वों तक कम करके वह एक बंद लूप बना सकता है जो त्रि-आयामी ज्यामिति के नियमों को तोड़ देता है। उसने एक त्रिभुज बनाया जिसमें तीन बीम हैं जो समकोण पर मिलते हैं, जिसे उसने 'असंभव त्रिभुज' कहा। दो दशकों तक, यह रेखाचित्र एक निजी रहस्य बना रहा, एक गणितीय भूत जो एक छात्र के कागज को घेरे रहता था।

अधिकांश रूप से यह आकृति अज्ञात रही जब तक कि मध्य 1950 के दशक में, एक युवा ब्रिटिश भौतिकविद, Roger Penrose अम्स्टरडम में डच कलाकार M. C. Escher के एक प्रदर्शनी में शामिल नहीं हुआ। एशर की विरोधाभासी वास्तुकला से प्रेरित होकर, पेनरोज घर की यात्रा के दौरान 'असंभव के शुद्ध रूप' की अवधारणा को अपनी सरलतम ज्यामितीय अभिव्यक्ति तक कम करने का प्रयास कर रहा था। उसने स्वतंत्र रूप से त्रिभुज की खोज की। अपने पिता, मनोचिकित्सक Lionel Penrose के साथ सहयोग करके, उसने 1958 के *ब्रिटिश जर्नल ऑफ़ प्साइकोलॉजी* में आकृति के एक औपचारिक विश्लेषण को प्रकाशित किया, जिसमें impossible object को वैज्ञानिक समुदाय के लिए प्रस्तुत किया गया।

झूठ की वास्तुकला

पेनरोज त्रिभुज की शक्ति एक वैश्विक तर्क की विफलता में निहित है। जब आंख त्रिभुज के किसी भी एक कोने की ओर देखती है, तो परस्पेक्टिव के संकेत पूरी तरह से संगत होते हैं। बीम 90-डिग्री के कोण पर मिलते हुए प्रतीत होते हैं, जिनका समर्थन छायांकन और रेखा-कार्य द्वारा गहराई और आयतन के संकेत देता है। मनुष्य का मस्तिष्क एक 'लालची' ज्यामितिक है; यह पहले इन स्थानीय विशेषताओं को प्रक्रिया करता है और प्रत्येक जंक्शन को एक वैध त्रि-आयामी संरचना के रूप में स्वीकार करता है। यह तभी होता है जब दृश्य प्रणाली इन स्थानीय सत्यों को एक एकल वैश्विक पूर्ण में समाहित करने का प्रयास करती है कि संरचना टूट जाती है। वह रास्ता जो एक कोने से दर्शक से 'दूर' जाने लगता है, कुछ कारणवश अगले कोने पर 'सामने' लौट आता है।

यह एक cognitive dissonance की स्थिति बनाता है जिसे मस्तिष्क आसानी से हल नहीं कर सकता। क्योंकि हमने एक ऐसे दुनिया में विकसित किया है जिसके नियमों के अनुसार Euclidean space है, हमारा दृश्य निर्माण दो-आयामी रेखाओं को तीन-आयामी वस्तुओं के रूप में व्याख्या करने के लिए ठीक से संकेतित है। हम त्रिभुज के आयतन को 'अदृश्य नहीं' कर सकते, भले ही हम जानते हैं कि यह एक भौतिक असंभवता है। गणितज्ञों ने बाद में त्रिभुज को सहसंगति में एक '1-कोसाइकल' के रूप में वर्णित किया है—एक तरीका जो स्थानीय डेटा के वैश्विक पैमाने पर फिट होने की विफलता को मापता है। यह एक गणितीय जोक है जिसे दृश्य प्रणाली गंभीरता से ले रही है।

लोहे में अभिव्यक्त

हालांकि त्रिभुज तीन आयामों में एक ठोस, निरंतर वस्तु के रूप में अस्तित्व में नहीं हो सकता, कलाकारों और इंजीनियरों ने अनमोर्फिक धोखा के माध्यम से इसे भौतिक दुनिया में अभिव्यक्त करने के तरीके ढूंढ निकाले हैं। पूर्वी पर्थ, पश्चिमी ऑस्ट्रेलिया में, 'असंभव त्रिभुज' की 13.5 मीटर की एक स्टील की स्थापना इस धोखे के प्रमाण के रूप में खड़ी है। लगभग हर कोण से, यह एक अव्यवस्थित, असंगत बिस्तर के टुकड़ों के संग्रह के रूप में प्रतीत होता है। हालांकि, एक निश्चित, चिह्नित दृष्टिकोण से, बीम पूरी तरह से संरेखित हो जाते हैं। दूर और निकट के हाथों के बीच का अंतर लुप्त हो जाता है, और आंख असंभव लूप को स्थापित होते देखने में धोखा खाती है।

एम.सी. एशर पेनरोज के पेपर की एक प्रति प्राप्त करने वाले पहलों में शामिल थे, और उन्होंने त्रिभुज का उपयोग करके अपने सबसे टिकाऊ कार्यों में से एक बनाया: *वॉटरफॉल* (1961)। लिथोग्राफ में, दो पेनरोज त्रिभुजों को एक झुकाव वाले जल नाली के रूप में ढाला गया है। पानी दर्शक से दूर ऐसे चैनलों के साथ बहता है जो समतल प्रतीत होते हैं, लेकिन फिर एक ऊंचाई से एक पानी के पहिए पर गिर जाता है जो चक्र के शुरूआत के स्थान पर स्थित है। पेनरोज की ज्यामितीय तर्क को ध्यानपूर्वक लागू करके, एशर ने एक निरंतर गति की मशीन बनाई जो अपनी यात्रा के प्रत्येक चरण में पूरी तरह से संभावनापूर्ण प्रतीत होती है।

जो हम अभी भी नहीं जानते

हम अभी तक यह नहीं जानते कि मस्तिष्क का ठीक न्यूरल थ्रेशोल्ड कहां है जहां स्थानीय परस्पेक्टिव का विश्वास वैश्विक असंभवता की पहचान को ओवरराइड करता है। जबकि हम दृश्य निर्माण में गतिविधि का मानचित्रण कर सकते हैं, दिमाग के ठीक उस तंत्र की जो चित्र को सरल रूप से 'एक फ्लैट ड्राइंग के रूप में अस्वीकृत करने से रोकता है, अभी भी न्यूरो-एस्थेटिक्स में जारी अनुसंधान का विषय है।

हम उन असंभव ज्यामितियों की पूरी श्रेणी को अभी तक नहीं जानते जो उच्च-आयामी मानकों में अस्तित्व में हो सकती हैं। जबकि पेनरोज त्रिभुज को पांच-आयामी अंतरिक्ष में एक आइसोमेट्रिक रूप में एम्बेड किया जा सकता है, अधिक जटिल विरोधाभासी आकृतियों के गणितीय गुण अभी टॉपोलॉजिस्ट द्वारा चित्रित किए जा रहे हैं।

और हम नहीं जानते कि क्या अन्य मूलभूत 'शुद्ध' असंभव वस्तुएं खोजे जाने के इंतजार में हैं। त्रिभुज, सीढ़ियां और त्रिशूल केवल एक बड़े परिवार के सबसे अधिक उभरे उदाहरण हो सकते हैं जो दृश्य विरोधाभासों के रूप में हमारे द्वारा दुनिया को नेविगेट करने के विशेष शॉर्टकट का उपयोग करते हैं।

पेनरोज त्रिभुज हमारे अनुभव की एक याद दिलाता है कि यह वास्तविकता पर एक प्रत्यक्ष खिड़की नहीं है, बल्कि धारणाओं पर आधारित एक पुनर्निर्माण है। यह एक ऐसी संरचना है जो केवल आंख और मन के बीच के अंतर में जीवित रहती है।

세 개의 단단한 보로 이루어진 삼각형이 세 변이 모두 완벽한 직각으로 만나도록 3차원 공간에 존재할 수는 없다. 그러나 이는 2차원의 그림으로 표현될 때 눈을 속여서 고체의 실재성을 믿게 만들며, 인간의 인식 기계가 얼마나 취약한지를 드러낸다.

1934년, 스웨덴의 18세 학생 Oscar Reutersvärd은 라틴어 수업 중 문법보다는 노트의 여백에 주의가 가셨다. 그는 20개의 꼭짓점을 가진 입체 별을 그리려고 시도했다. 작업을 하던 중 그는 그 도형을 본질로 축소시켜 3차원 기하학의 법칙을 거스르는 닫힌 루프를 만들 수 있다는 것을 발견했다. 그는 직각으로 만나는 세 개의 빔으로 이루어진 삼각형을 만들었으며, 이 도형을 '불가능한 삼각형'이라고 불렀다. 이 스케치는 20년 동안 개인적인 호기심으로 남아 학생의 종이 위를 맴도는 수학적 유령이 되었다.

이 도형은 중반 1950년대까지 널리 알려지지 않았다. 그때 영국의 젊은 물리학자 Roger Penrose은 암스테르담에서 네덜란드 예술가 M. C. Escher의 전시회를 보았다. 에셔의 역설적인 건축에 영감을 받아, 펜로즈는 집으로 가는 기차 여행 중 '불가능의 순수한 형태'를 가장 간단한 기하학적 표현으로 줄이려고 시도했다. 그는 독립적으로 이 삼각형을 다시 발견했으며, 정신과 의사인 아버지인 Lionel Penrose와 협력하여 1958년 *브리티시 저널 오브 심리ולוגיה*에 이 도형에 대한 공식 분석을 발표함으로써 impossible object를 더 넓은 과학 공동체에 소개했다.

거짓의 건축학

펜로즈 삼각형의 힘은 전역적 논리의 실패에 있다. 눈이 삼각형의 어느 한 모서리를 살펴보아도 관점의 단서는 완벽하게 일관된다. 그 빔들은 90도 각도로 만나 보이는 것으로, 그림의 그림자와 선들이 깊이와 부피를 나타내는 듯하다. 인간의 뇌는 '게으른' 기하학자이다. 이 지역적 특성을 먼저 처리하고 각 연결부를 유효한 3차원 구조로 받아들인다. 단지 시각 시스템이 이러한 지역적 진실들을 하나의 전역적 전체로 통합하려 할 때 구조가 무너진다. 한 모서리에서 시청자에게 '멀어지는' 경로가 다음 모서리에서 다시 '앞'으로 돌아오게 된다.

이러한 상황은 뇌가 쉽게 해결할 수 없는 cognitive dissonance 상태를 만든다. 우리는 Euclidean space의 법칙으로 지배되는 세계에서 진화했기 때문에, 시각 피질은 2차원의 선들을 3차원의 물체로 해석하도록 고정되어 있다. 우리는 삼각형의 부피를 '보지 않으려' 해도, 그것이 물리적으로 불가능하다는 것을 알면서도, 그렇게 할 수 없다. 이후 수학자들은 이 삼각형을 코호몰로지에서 '1-코사이클'로 설명했다. 즉 지역적 데이터가 전역적으로 맞지 않는 방식을 측정하는 수학적 농담이다. 이 시각 시스템은 이 농담을 진지하게 받아들일 수밖에 없다.

철로 실현된 것

이 삼각형은 3차원 공간에서 고체이고 연속적인 물체로 존재할 수 없지만, 예술가와 공학자들은 아나모르픽 속임수를 통해 이 도형을 물리적으로 표현할 방법을 찾았다. 오스트레일리아 서부의 이스트 퍼스에 13.5미터 크기의 '불가능한 삼각형' 철제 조각이 세워져 있다. 거의 모든 각도에서 보면 이 조각은 꼬인 보강재들의 어지럽고 끊어진 집합처럼 보인다. 그러나 정확히 하나의 특정한, 표시된 시점에서 빔들은 완벽하게 일치한다. 멀리 떨어진 팔과 가까운 팔 사이의 간격이 사라지고, 눈은 불가능한 루프가 마침내 맞물리는 것처럼 속는다.

M.C. 에셔는 펜로즈의 논문 사본을 가장 먼저 받은 인물들 중 하나였으며, 그는 이 삼각형을 이용해 가장 오래 기억되는 작품 중 하나인 1961년의 *워터폴*을 창조했다. 이 리토그래프에서는 두 개의 펜로즈 삼각형이 겹쳐져 삐죽삐죽한 수로를 만든다. 물은 시청자에게 수평으로 보이는 수로를 따라 멀어져 흐르다가, 결국 높은 곳에서 물레방아에 떨어진다. 펜로즈의 기하학적 논리를 정밀하게 적용함으로써, 에셔는 각 단계에서 완전히 설득력 있는 영구 운동 기계를 만들어냈다.

여전히 우리가 모르는 것들

우리는 아직 뇌가 지역적 관점을 선호하는 경향이 전역적 불가능성을 인식하는 능력을 언제 어떻게 무시하게 되는 정확한 신경학적 임계점을 모른다. 우리는 시각 피질의 활동을 맵핑할 수는 있지만, 뇌가 단순히 '그림'으로 이미지를 거부하지 못하게 하는 정확한 메커니즘은 신경미학 분야에서 여전히 연구되고 있다.

우리는 고차원 매니폴드에 존재할 수 있는 '불가능한' 기하학의 전체 범위도 아직 모르고 있다. 펜로즈 삼각형은 5차원 공간에 등거리적으로 매장될 수 있지만, 더 복잡한 역설적인 형상들의 수학적 성질은 여전히 위상수학자들에 의해 탐사되고 있다.

그리고 우리는 여전히 다른 근본적인 '순수' 불가능한 물체들이 존재할 수 있는지도 모른다. 삼각형, 계단, 삼지창은 우리가 세상을 탐색하는 데 사용하는 특정한 단축 경로를 악용하는 훨씬 더 큰 시각 역설 가족 중 가장 눈에 띄는 예일 뿐일 수 있다.

펜로즈 삼각형은 우리의 인식이 현실에 대한 직접적인 창문이 아니라 가정들 위에 구축된 재구성이라는 것을 상기시켜 주는 것이다. 이 구조는 눈과 마음 사이의 간격에서만 존재하는 것이다.

The Penrose Triangle