On a ruled table, a falling needle turns a circle into a count. Drop it often enough, count the crossings, and the old constant pi begins to appear from scratches, misses, and the narrow accident of angle.
In 1777, Georges-Louis Leclerc, Comte de BuffonPersonGeorges-Louis Leclerc, Comte de BuffonGeorges-Louis Leclerc, Comte de Buffon was an eighteenth-century French naturalist and mathematician, best known for his vast Histoire naturelle. His work ranged from zoology and geology to the mathematics of chance. In 1777 he published the needle problem that made random geometry a serious object of calculation.乔治-路易·勒克莱尔，布封伯爵是18世纪法国的博物学家和数学家，以其宏大的《自然史》最为著名。他的研究范围涵盖了动物学、地质学以及概率数学。1777年，他发表了“布丰投针问题”，使随机几何成为严肃的计算对象。Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon fue un naturalista y matemático francés del siglo XVIII, más conocido por su extensa Histoire naturelle. Su obra abarcó desde la zoología y la geología hasta las matemáticas de la probabilidad. En 1777 publicó el problema de la aguja, que convirtió la geometría aleatoria en un objeto serio de cálculo.جورج لويس لوكير، كونت دي بوفون كان عالم طبيعة ورياضيات فرنسي في القرن الثامن عشر، ويُعرف بشكل رئيسي بعمله الواسع "تاريخ طبيعي". امتدت أعماله من علم الحيوانات والجيولوجيا إلى رياضيات الحظ. نشر في عام 1777 مسألة الإبرة التي جعلت الهندسة العشوائية موضوعًا جادًا للحساب.Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon foi um naturalista e matemático francês do século XVIII, mais conhecido por sua vasta Histoire naturelle. Seu trabalho abrangia desde a zoologia e a geologia até a matemática da casualidade. Em 1777 publicou o problema da agulha, que tornou a geometria aleatória um objeto sério de cálculo.जीओर्ज-लुई लेक्लेर, काउंट डी बफ़ॉन अठारहवीं शताब्दी के फ़्रांसीसी प्राकृतिक विज्ञानी और गणितज्ञ थे, जिनके लिए उनकी विशाल "हिस्तोयर नैचुरेल" के कारण वे प्रसिद्ध हैं। उनका कार्य जीवविज्ञान और भूविज्ञान से लेकर संभाव्यता के गणित तक फैला हुआ था। 1777 में उन्होंने एक समस्या प्रकाशित की, जिसके कारण यादृच्छिक ज्यामिति गणना का गम्भीर विषय बन गई।Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon adalah seorang naturalis dan matematikawan Prancis abad keduabelas, yang paling dikenal karena karyanya yang luas, Histoire naturelle. Karyanya mencakup berbagai bidang, dari zoologi dan geologi hingga matematika peluang. Pada tahun 1777 ia menerbitkan masalah jarum yang membuat geometri acak menjadi objek serius dalam perhitungan.Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon, fut un naturaliste et mathématicien français du xviiie siècle, surtout connu pour son vaste ouvrage intitulé Histoire naturelle. Son œuvre s'étendait de la zoologie et de la géologie aux mathématiques du hasard. En 1777, il publia le problème de l'aiguille, qui fit de la géométrie aléatoire un objet sérieux de calcul.ジョルジュ＝ルイ・レクルール、バフオン男爵は18世紀のフランスの自然学者で、大規模な『自然史』で最も知られている。彼の研究は動物学や地質学から確率の数学に至るまで幅広かった。1777年、彼はランダム幾何学を真剣な計算対象とした針の問題を発表した。Жорж-Луи Леклерк, граф Бюффон, был французским натурописцем и математиком XVIII века, наиболее известным своей обширной «Натуральной историей». Его работы охватывали зоологию и геологию, а также математику вероятностей. В 1777 году он опубликовал задачу о игле, которая сделала случайную геометрию серьёзным объектом вычислений.Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon, war ein französischer Naturforscher und Mathematiker des 18. Jahrhunderts, am besten bekannt für sein umfassendes Werk Histoire naturelle. Seine Arbeit erstreckte sich von der Zoologie und Geologie bis hin zur Mathematik des Zufalls. 1777 veröffentlichte er das Nadelproblem, das die zufällige Geometrie zu einem ernstzunehmenden Gegenstand der Berechnung machte.조르주 루이 르클레르 코뮌 드 뷔퐁은 18세기 프랑스의 자연주의자이자 수학자로, 방대한 『자연사』로 가장 유명하다. 그의 연구 분야는 동물학과 지질학에서부터 확률의 수학에 이르기까지 폭넓었다. 1777년 그는 확률 기하학을 진지한 계산 대상으로 만든 핀 문제를 발표했다. set down a problem so slight it could be staged with a sheet of paper and a sewing needle. Draw parallel lines at equal distances. Let a needle fall at random. Ask for the chance that it crosses one of the lines. It was a parlour experiment with a hard edge: the answer contained piConceptpiPi is the ratio of a circle's circumference to its diameter, approximately 3.14159. It appears first as a fact of circular geometry, but it recurs through analysis, probability, physics and number theory. In Buffon's needle problem it arises from averaging all possible orientations of a line segment.圆周率π是一个圆的周长与直径的比值，约为3.14159。它最初作为圆的几何特性出现，但随后在分析学、概率论、物理学和数论中反复出现。在布丰投针问题中，它来源于对线段所有可能方向的平均计算。Pi es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, aproximadamente 3,14159. Aparece en un primer momento como un hecho de la geometría circular, pero vuelve a aparecer a lo largo del análisis, la probabilidad, la física y la teoría de números. En el problema de la aguja de Buffon surge al promediar todas las orientaciones posibles de un segmento de línea.العدد باي هو نسبة محيط الدائرة إلى قطرها، ويُقدر بحوالي 3.14159. يظهر لأول مرة كمعلومة هندسية تتعلق بالدوائر، لكنه يتكرر في التحليل والاحتمالات والفيزياء ونظرية الأعداد. في مسألة إبرة بوفون، يظهر من متوسط جميع الاتجاهات الممكنة لقطعة مستقيمة.Pi é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro, aproximadamente 3,14159. Aparece pela primeira vez como fato da geometria circular, mas recorre através da análise, probabilidade, física e teoria dos números. No problema da agulha de Buffon, surge a partir da média de todas as orientações possíveis de um segmento de reta.π एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात है, लगभग 3.14159। यह सर्वप्रथम वृत्तीय ज्यामिति के तथ्य के रूप में प्रकट होता है, लेकिन विश्लेषण, संभाव्यता, भौतिकी और संख्या सिद्धांत में इसकी पुनरावृत्ति होती है। बफ़ोन की सुई की समस्या में एक रेखाखंड की सभी संभावित दिशाओं के औसत से यह उत्पन्न होता है।Pi adalah rasio keliling lingkaran terhadap diameternya, sekitar 3,14159. Pi muncul pertama kali sebagai fakta dalam geometri lingkaran, tetapi muncul kembali dalam analisis, probabilitas, fisika, dan teori bilangan. Dalam permasalahan jarum Buffon, Pi muncul dari rata-rata semua orientasi yang mungkin dari sebuah segmen garis.Pi est le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre, environ 3,14159. Il apparaît d'abord comme une propriété géométrique des cercles, mais il se retrouve ensuite en analyse, en probabilité, en physique et en théorie des nombres. Dans le problème de l'aiguille de Buffon, il émerge en prenant la moyenne de toutes les orientations possibles d'un segment de droite.円周率（パイ）は、円の円周長とその直径の比であり、約3.14159である。これは最初に円形幾何学における事実として現れるが、解析学、確率論、物理学および数論においても繰り返し登場する。バッフォンの針の問題では、線分の可能なすべての方位を平均することによって現れる。Число π представляет собой отношение длины окружности к её диаметру, приблизительно 3,14159. Оно впервые появляется как геометрический факт, связанный с окружностью, но затем встречается в анализе, теории вероятностей, физике и теории чисел. В задаче Бюффона о булавле оно возникает при усреднении всех возможных ориентаций отрезка прямой.π ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser und beträgt ungefähr 3,14159. Es tritt zuerst als geometrische Eigenschaft von Kreisen auf, taucht jedoch wiederholt in der Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Physik und Zahlentheorie auf. Beim Buffonschen Nadelproblem entsteht es aus der Durchschnittsbildung aller möglichen Ausrichtungen eines Liniensegments.원주율(π)은 원의 둘레와 지름의 비율로, 약 3.14159이다. 원의 기하학적 성질로서 처음 등장하지만, 해석학, 확률론, 물리학, 수론 등 여러 분야에서 반복적으로 나타난다. 버프론의 바늘 문제에서는 선분의 가능한 모든 방향의 평균을 구하면서 등장한다..
Buffon was not trying to make a schoolroom trick. His Essai d'arithmetique morale belonged to a new unease about chance, utility and expectation, a period when probabilityConceptprobabilityProbability is the mathematics of uncertain events. It began with problems in games of chance and grew into a language for risk, evidence, physics and statistics. By the eighteenth century, mathematicians were extending it beyond dice and cards into continuous settings where outcomes form regions rather than countable cases.概率论是对不确定事件的数学研究。它最初起源于对机会游戏问题的研究，后来发展成为描述风险、证据、物理和统计学的一种语言。到18世纪时，数学家们已将其应用范围从骰子和纸牌扩展到连续情形，其中结果形成区域而非可数的情况。La probabilidad es la matemática de los eventos inciertos. Comenzó con problemas en juegos de azar y se convirtió en un lenguaje para el riesgo, la evidencia, la física y la estadística. Para el siglo XVIII, los matemáticos ya la estaban extendiendo más allá de los dados y las cartas hacia contextos continuos donde los resultados forman regiones en lugar de casos contables.الاحتمال هو رياضيات الأحداث غير المؤكدة. بدأ مع مشاكل في ألعاب المقامرة، وانتهى بتصبح لغة للخطر والدلائل والفيزياء والإحصاء. بحلول القرن الثامن عشر، كان الرياضياتيون يمتدون بها إلى ما وراء النرد والبطاقات إلى الأوضاع المستمرة حيث تشكل النتائج مناطق بدلًا من الحالات العدديّة.A probabilidade é a matemática dos eventos incertos. Começou com problemas em jogos de azar e evoluiu para uma linguagem para risco, evidência, física e estatística. Até o século XVIII, matemáticos estavam a estendê-la além dos dados e cartas para situações contínuas, onde os resultados formam regiões em vez de casos contáveis.संभाव्यता अनिश्चित घटनाओं की गणित है। इसकी शुरुआत संभावना के खेलों से हुई और यह जोखिम, साक्ष्य, भौतिकी और सांख्यिकी की भाषा में विकसित हुई। अठारहवीं शताब्दी तक, गणितज्ञ इसे पासे और ताश के पत्तों से आगे बढ़ाकर ऐसे निरंतर स्थितियों में लागू करने लगे जहां परिणाम क्षेत्र बनाते हैं जबकि गिने जा सकने वाले मामले नहीं।Probabilitas adalah matematika dari kejadian yang tidak pasti. Awalnya muncul dari masalah dalam permainan keberuntungan, lalu berkembang menjadi bahasa untuk risiko, bukti, fisika, dan statistik. Pada abad kedelapan belas, para matematikawan mulai mengembangkannya melebihi dadu dan kartu ke dalam konteks kontinu di mana hasilnya membentuk daerah daripada kasus yang dapat dihitung.La probabilité est la mathématique des événements incertains. Elle a débuté avec des problèmes liés aux jeux de hasard et s'est développée en un langage pour exprimer le risque, les preuves, la physique et la statistique. Dès le XVIIIe siècle, les mathématiciens l'étendaient au-delà des dés et des cartes vers des contextes continus où les résultats forment des régions plutôt que des cas dénombrables.確率とは、不確実な事象を扱う数学の分野である。当初は、賭け事の問題から始まり、やがてリスク、証拠、物理学、統計学を表現する言語として発展した。18世紀までに、数学者たちはサイコロやトランプの問題にとどまらず、結果が個別に数えられるケースではなく領域を形成する連続的な設定へとその応用範囲を広げていた。Вероятность — это математика неопределённых событий. Она возникла из задач, связанных с азартными играми, и превратилась в язык для описания риска, доказательств, физики и статистики. К XVIII веку математики уже применяли её за пределами игральных костей и карт в непрерывных ситуациях, где результаты образуют области, а не счётные случаи.Wahrscheinlichkeit ist die Mathematik unsicherer Ereignisse. Sie begann mit Problemen in Glücksspielen und entwickelte sich zu einer Sprache für Risiko, Beweise, Physik und Statistik. Bis ins achtzehnte Jahrhundert hinüber erweiterten Mathematiker sie jenseits von Würfeln und Karten auf kontinuierliche Bereiche, in denen Ergebnisse Regionen statt abzählbarer Fälle bilden.확률은 불확실한 사건의 수학이다. 확률은 기회의 게임에서의 문제에서 시작하여 위험, 증거, 물리학 및 통계학의 언어로 발전하였다. 18세기까지 수학자들은 주사위와 카드를 넘어서 연속적인 상황으로 확률을 확장하여, 결과가 개수를 세어 셀 수 있는 경우가 아니라 영역을 이루는 경우를 다루게 되었다. was moving from gambling tables into law, insurance and natural philosophy. The needle problem took chance off the dice and put it into space. Instead of asking how many faces a cube might show, it asked how a physical object could land in a continuous field of possible positions.
Take the simplest case. The lines are separated by a distance d. The needle has length l, no longer than d. Once it lands, two quantities matter: the distance x from its centre to the nearest line, and the acute angle theta that the needle makes with the ruled lines. The needle crosses if x is no greater than half its projected height: (l/2) sin theta.
A linen-covered eighteenth-century writing desk holds a sheet of paper ruled with evenly sIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
The area under the sine
The calculation is short, but it changed the kind of object probability could be. The centre of the needle may lie anywhere from 0 to d/2 away from the nearest line. The angle may lie anywhere from 0 to pi/2. These two variables make a rectangle of possibilities. Inside it is the curved region where x <= (l/2) sin theta. Its area is the integral of (l/2) sin theta from 0 to pi/2, which is simply l/2.
Divide that favourable area by the whole rectangle, (d/2)(pi/2), and the probability of a crossing is 2l/(pi d). If the needle is exactly as long as the spacing between the lines, l = d, the expression contracts to 2/pi. A round constant has entered through the back door, not because anyone measured a circle, but because all orientations of the needle have to be counted.
A human hand releases a slender metal needle above a wooden surface featuring parallel inlIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
That was the small birth of geometric probabilityConceptgeometric probabilityGeometric probability studies chance by measuring lengths, areas, volumes or other geometric sets of possible outcomes. Buffon's needle is its classic early example: the answer comes from comparing a favourable region under a sine curve with a rectangle of all possible needle positions and angles.几何概率通过测量长度、面积、体积或其他几何集合的可能结果来研究概率。布丰的投针问题是其经典的早期例子：答案来自于将正弦曲线下的有利区域与所有可能的针的位置和角度所组成的矩形进行比较。La probabilidad geométrica estudia el azar midiendo longitudes, áreas, volúmenes u otros conjuntos geométricos de resultados posibles. La aguja de Buffon es su ejemplo clásico temprano: la respuesta proviene al comparar una región favorable bajo una curva seno con un rectángulo que contiene todas las posiciones y ángulos posibles de la aguja.تدرس الاحتمالات الهندسية الاحتمال من خلال قياس الطول أو المساحة أو الحجم أو مجموعات هندسية أخرى من النتائج الممكنة. تُعد مسألة إبرة بوفون مثالاً كلاسيكياً مبكرًا: حيث يُستنتج الجواب من خلال مقارنة منطقة مواتية تحت منحنى الجيب بمستطيل يمثل جميع مواقف الإبرة الممكنة وزواياها.A probabilidade geométrica estuda a chance medindo comprimentos, áreas, volumes ou outros conjuntos geométricos de resultados possíveis. A agulha de Buffon é seu exemplo clássico inicial: a resposta surge ao comparar uma região favorável sob uma curva senoidal com um retângulo contendo todas as posições e ângulos possíveis da agulha.ज्यामितीय संभाव्यता परिणामों के संभावित समुच्चय के रूप में लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन या अन्य ज्यामितीय समुच्चय के मापन द्वारा संभावना का अध्ययन करती है। बफ़न की सुई इसका एक प्रारंभिक उदाहरण है: उत्तर एक साइन वक्र के तहत एक लाभप्रद क्षेत्र की तुलना सभी संभावित सुई स्थितियों और कोणों के एक आयत के साथ करके प्राप्त होता है।Probabilitas geometris mempelajari peluang dengan mengukur panjang, luas, volume, atau himpunan geometris lain dari hasil yang mungkin. Contoh klasik awalnya adalah jarum Buffon: jawabannya diperoleh dengan membandingkan daerah yang menguntungkan di bawah kurva sinus dengan persegi panjang yang mencakup semua posisi dan sudut jarum yang mungkin.La probabilité géométrique étudie le hasard en mesurant des longueurs, des aires, des volumes ou d'autres ensembles géométriques d'événements possibles. L'aiguille de Buffon en est un exemple classique du début de cette discipline : la réponse provient d'une comparaison d'une région favorable sous une courbe sinus avec un rectangle contenant toutes les positions et angles possibles de l'aiguille.幾何確率論は、長さや面積、体積、あるいはその他の幾何的集合を測定することによって確率を研究する。バッフォンの針問題はその古典的な初期の例である。この問題の答えは、正弦曲線の下にある有利な領域を、針の位置と角度のすべての可能な長方形領域と比較することによって得られる。Геометрическая вероятность изучает вероятность, измеряя длины, площади, объемы или другие геометрические множества возможных исходов. Примером классической ранней задачи является игла Бюффона: ответ находится путем сравнения благоприятной области под синусоидальной кривой с прямоугольником всех возможных положений и углов иглы.Die geometrische Wahrscheinlichkeit untersucht das Zufallsereignis durch die Messung von Längen, Flächen, Volumina oder anderen geometrischen Mengen möglicher Ergebnisse. Das „Nadelproblem“ von Buffon ist ihr klassisches frühes Beispiel: die Lösung ergibt sich aus dem Vergleich einer günstigen Region unter einer Sinuslinie mit einem Rechteck aller möglichen Nadelpositionen und Winkel.기하 확률은 길이, 면적, 부피 또는 다른 기하학적 집합의 가능한 결과를 측정함으로써 확률을 연구한다. 버퐁의 바늘은 이 분야의 고전적인 초기 예시로, 정현 곡선 아래의 유리한 영역을 바늘의 가능한 모든 위치와 각도를 포함하는 직사각형과 비교함으로써 답을 얻는다.. Ordinary discrete probability can count cases: heads or tails, six sides of a die, fifty-two cards. Buffon's problem required a measure over a continuum. It asked how much of a geometric space corresponded to success. Later mathematicians would make that language more formal, but the essential move is already there in the needle: replace counting by area, and chance becomes geometry.
Throwing for pi
The formula can be turned around. If n needles are dropped and h cross a line, then h/n estimates the crossing probability. Rearranging gives pi approximately equal to 2ln/(dh). The arithmetic is almost offensively simple. The labour is in making the falls genuinely random and in accepting how slowly randomness pays its debts.
A close macro view shows one metal needle crossing a deep groove in a wooden board while aIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Nineteenth-century experimenters tried anyway. The Swiss astronomer Rudolf Wolf reported 5,000 throws around 1850 and obtained a value near 3.1596. A. Hall published an experimental determination in 1873. In 1901 Mario LazzariniPersonMario LazzariniMario Lazzarini was an Italian mathematician associated with a celebrated 1901 report on Buffon's needle. He claimed to have estimated pi as 355/113 from 3,408 needle drops, an accuracy so striking that later writers have questioned whether the experiment was stopped, selected or intended as a mathematical joke.马里奥·拉扎里尼是一位意大利数学家，因1901年关于布丰针问题的著名报告而知名。他声称通过3408次投针实验，将圆周率π估算为355/113，其精度之高令人惊讶，后来的作者因此质疑该实验是否被人为停止或选择性记录，甚至可能是出于数学玩笑的目的而设计的。Mario Lazzarini fue un matemático italiano asociado con un celebrado informe de 1901 sobre la aguja de Buffon. Afirmó haber estimado pi como 355/113 tras 3 408 lanzamientos de agujas, una precisión tan notable que escritores posteriores se han preguntado si el experimento fue interrumpido, seleccionado o si se pretendía como una broma matemática.مARIO لازاريني هو عالم رياضيات إيطالي تربطه صلة بالรายงาน المشهور لعام 1901 حول إبرة بوفون. فقد زعم أنه حسب قيمة باي على أنها 355/113 من خلال 3408 تجربة إسقاط إبرة، ودقة هذا التقدير كانت هائلة لدرجة أن المؤلفين اللاحقين شككوا فيما إذا تم إيقاف التجربة، أو اختيار النتائج، أو أن التجربة كانت مزحة رياضية مقصودة.Mario Lazzarini foi um matemático italiano associado a um celebrado relatório de 1901 sobre o problema da agulha de Buffon. Ele alegou ter estimado pi como 355/113 a partir de 3.408 lançamentos de agulhas, uma precisão tão notável que escritores posteriores questionaram se o experimento foi interrompido, selecionado ou se destinava a ser uma brincadeira matemática.मारियो लाज़ारिनी एक इतालवी गणितज्ञ थे जो बफ़न की सुई पर 1901 की प्रसिद्ध रिपोर्ट से जुड़े हुए थे। उन्होंने 3,408 सुई गिराने के बाद दावा किया कि वे pi को 355/113 के रूप में अनुमानित कर सकते हैं, जो इतनी शानदार सटीकता के साथ है कि बाद के लेखकों ने यह सवाल उठाया है कि क्या प्रयोग बंद कर दिया गया था, चयनित किया गया था या गणितीय उपहास के रूप में निर्धारित किया गया था।Mario Lazzarini adalah seorang matematikawan Italia yang dikaitkan dengan laporan terkenal tahun 1901 mengenai jarum Buffon. Ia mengklaim telah memperkirakan nilai pi sebagai 355/113 dari 3.408 kali melemparkan jarum, sebuah akurasi yang begitu mengejutkan sehingga penulis-penulis selanjutnya mempertanyakan apakah eksperimen tersebut dihentikan, disaring, atau dimaksudkan sebagai lelucon matematis.Mario Lazzarini fut un mathématicien italien associé à un célèbre rapport de 1901 sur l’aiguille de Buffon. Il affirma avoir estimé pi comme étant égal à 355/113 à partir de 3 408 lancers d’aiguille, une précision si remarquable que des auteurs ultérieurs se sont interrogés sur le fait de savoir si l’expérience avait été arrêtée, sélectionnée ou conçue comme une plaisanterie mathématique.マリオ・ラザリニは、1901年のバッフォンの針に関する著名な報告書に関連したイタリアの数学者である。彼は3,408回の針を落とす実験を通じて、円周率を355/113と推定した。その精度は際立っており、後年の研究者はこの実験が終了した時点で結果が選定されたのか、あるいは単なる数学的ジョークであったのかを疑問視している。Марио Лазарини — итальянский математик, связанный с известным докладом 1901 года о игле Бюффона. Он утверждал, что оценил число пи как 355/113, используя 3408 бросков иглы, что настолько удивительно точно, что позднейшие авторы поставили под сомнение, не было ли эксперимент остановлен, подобран или же задуман как математический шут.Mario Lazzarini war ein italienischer Mathematiker, der mit einem berühmten Bericht von 1901 über das Nadelproblem von Buffon in Verbindung gebracht wird. Er behauptete, er habe π durch 355/113 aus 3408 Nadelwürfen geschätzt, eine Genauigkeit, die so bemerkenswert ist, dass spätere Autoren sich gefragt haben, ob das Experiment beendet, ausgewählt oder als mathematischer Witz gemeint war.마리오 라자리니(Mario Lazzarini)는 버논의 바늘(Buffon's needle)에 관한 1901년 유명한 보고서와 관련된 이탈리아 수학자이다. 그는 3,408번의 바늘 던지기 실험을 통해 원주율을 355/113으로 추정하였다. 이는 놀랄 만큼 정확한 수치로, 후에 이 실험이 중단되었거나 일부러 선택되었거나, 혹은 수학적 농담이 의도되었는지에 대해 의문을 제기하는 이들이 있었다. claimed something much sharper: 3,408 tosses of needles 25 millimetres long on lines 30 millimetres apart, producing 355/113, the famous six-decimal approximation 3.1415929.
Lazzarini's result has always looked too polished. With his ratio l/d = 5/6, the formula becomes especially friendly to 355/113, and later statisticians have treated the report with suspicion: perhaps stopped at a convenient moment, perhaps selected, perhaps written with a wink for schoolteachers rather than as sober measurement. The point is not that Buffon's formula fails. It is that physical randomness is a poor servant when asked for too many decimal places.
Still, the act mattered. To estimate pi by counting needle crossings is to compute with chance. Long before electronic computers, Buffon's table offered an analogue simulation: a stochastic machine made of wood, ink and falling metal.
From needles to Monte Carlo
In the late 1940s, the phrase Monte Carlo methodConceptMonte Carlo methodThe Monte Carlo method uses repeated random sampling to estimate quantities that are hard to compute directly. The name was coined in the mid-twentieth century during work at Los Alamos, but its ancestry reaches back to experiments such as Buffon's needle, where chance is used as a calculating device.蒙特卡罗方法利用重复的随机抽样来估算难以直接计算的数量。这一名称诞生于二十世纪中期洛斯阿拉莫斯的研究工作，但它的起源可以追溯到布丰针实验等早期实验，在这些实验中，概率被用作计算工具。El método Monte Carlo utiliza muestreo aleatorio repetido para estimar cantidades que resultan difíciles de calcular directamente. El nombre fue acuñado a mediados del siglo veinte durante trabajos en Los Alamos, pero su ascendencia se remonta a experimentos como la aguja de Buffon, donde el azar se emplea como dispositivo de cálculo.تستخدم طريقة مونتي كارلو أخذ العينات العشوائية المتكررة لتقدير الكميات التي من الصعب حسابها مباشرة. سُمِّيت الطريقة بهذا الاسم في منتصف القرن العشرين أثناء العمل في لوس ألاموس، لكن جذورها تعود إلى تجارب مثل عود بافون، حيث تُستخدم الفرصة كجهاز حسابي.O método Monte Carlo utiliza amostragem aleatória repetida para estimar quantidades difíceis de serem calculadas diretamente. O nome foi cunhado na segunda metade do século XX durante trabalhos em Los Alamos, mas sua ascendência remonta a experimentos como a agulha de Buffon, nos quais o acaso é usado como um dispositivo de cálculo.मॉन्टे कार्लो विधि के उपयोग से द्वारा सीधे गणना करने में कठिन मात्राओं का अनुमान बनाया जाता है। इसका नाम मध्य बीसवीं शताब्दी में लॉस एलमोस में कार्य के दौरान रखा गया था, लेकिन इसकी वंशवृति बफोन की सुई जैसे प्रयोगों तक पहुंचती है, जहां अवसर के उपयोग की गणना करने की एक युक्ति के रूप में की गई थी।Metode Monte Carlo menggunakan pengambilan sampel acak berulang untuk memperkirakan kuantitas yang sulit dihitung secara langsung. Nama ini diciptakan pada pertengahan abad kedua puluh selama pekerjaan di Los Alamos, tetapi asal usulnya dapat dilacak kembali ke eksperimen seperti jarum Buffon, di mana kebetulan digunakan sebagai alat perhitungan.La méthode Monte Carlo utilise un échantillonnage aléatoire répété pour estimer des quantités difficiles à calculer directement. Le nom a été forgé au milieu du vingtième siècle lors des travaux à Los Alamos, mais ses origines remontent à des expériences telles que l'aiguille de Buffon, où le hasard est utilisé comme dispositif de calcul.モンテカルロ法は、直接計算するのが困難な数量を推定するために、繰り返し無作為サンプリングを行う手法である。この名称は20世紀半ばにロスアラモスでの研究中に造られたが、その起源はバッフォンの針などの実験にまで遡り、これらは確率を計算装置として用いるものである。Метод Монте-Карло использует многократное случайное выборочное исследование для оценки величин, которые сложно вычислить напрямую. Название метода появилось в середине двадцатого века во время работ в Лос-Аламосе, но его происхождение связано с такими экспериментами, как игла Бюффона, где случайность используется как вычислительное устройство.Die Monte-Carlo-Methode verwendet wiederholte zufällige Stichproben, um Größen zu schätzen, die sich direkt schwer berechnen lassen. Der Name wurde Mitte des zwanzigsten Jahrhunderts während der Arbeit am Los Alamos National Laboratory geprägt, doch ihre Ursprünge reichen bis zu Experimenten wie dem Nadelproblem von Buffon zurück, bei dem das Zufallsprinzip als Rechenhilfe eingesetzt wird.몬테카를로 방법은 직접 계산하기 어려운 수량을 추정하기 위해 반복적인 확률적 표본추출을 사용한다. 이 방법의 이름은 20세기 중반 로스앨러모스에서의 연구 중 지어졌지만, 그 기원은 버퐁의 바늘 실험과 같이 확률을 계산 도구로 활용한 이전의 실험들로까지 거슬러 올라간다. acquired its modern meaning at Los Alamos, where John von NeumannPersonJohn von NeumannHungarian-American polymath (1903–1957) who made foundational contributions to set theory, quantum mechanics, game theory, computing, and nuclear weapons design. Present at the 1930 Königsberg conference where Gödel first hinted at incompleteness, he was reportedly the only attendee who grasped the result on the spot and independently derived the second incompleteness theorem within weeks.匈牙利裔美国博学者（1903—1957），在集合论、量子力学、博弈论、计算与核武器设计等领域作出奠基性贡献。1930 年哥廷根会议上，哥德尔首次暗示不完备性结果时他在场，据称是当场唯一领会其要义的与会者，并在数周内独立推导出第二不完备性定理。Polímata húngaro-estadounidense (1903-1957) que realizó contribuciones fundamentales a la teoría de conjuntos, la mecánica cuántica, la teoría de juegos, la computación y el diseño de armas nucleares. Presente en la conferencia de Königsberg de 1930, donde Gödel insinuó por primera vez la incompletitud, fue, según se dice, el único asistente que captó el resultado en el acto y dedujo de forma independiente el segundo teorema de incompletitud en cuestión de semanas.عالم موسوعي مجري-أمريكي (1903–1957) قدّم إسهامات تأسيسية في نظرية المجموعات وميكانيكا الكم ونظرية الألعاب والحوسبة وتصميم الأسلحة النووية. حضر مؤتمر كونيغسبرغ عام 1930 حيث ألمح غودل لأول مرة إلى نظرية عدم الاكتمال، ويُقال إنه كان الحاضر الوحيد الذي استوعب النتيجة على الفور، واستنتج بشكل مستقل نظرية عدم الاكتمال الثانية في غضون أسابيع.Polímata húngaro-americano (1903–1957) que deu contribuições fundamentais à teoria dos conjuntos, à mecânica quântica, à teoria dos jogos, à computação e ao projeto de armas nucleares. Presente na conferência de Königsberg de 1930, onde Gödel insinuou pela primeira vez a incompletude, foi, segundo relatos, o único participante a captar o resultado imediatamente e a deduzir de forma independente o segundo teorema da incompletude em poucas semanas.हंगेरियाई-अमेरिकी बहुश्रुत विद्वान (1903–1957) जिन्होंने समुच्चय सिद्धांत, क्वांटम यांत्रिकी, खेल सिद्धांत, संगणन और परमाणु हथियार अभिकल्पना में आधारभूत योगदान दिए। 1930 के कोनिग्सबर्ग सम्मेलन में उपस्थित, जहाँ गोडेल ने पहली बार अपूर्णता का संकेत दिया था, वे कथित रूप से एकमात्र ऐसे श्रोता थे जिन्होंने उसी क्षण इस परिणाम को समझ लिया और कुछ ही सप्ताहों के भीतर स्वतंत्र रूप से द्वितीय अपूर्णता प्रमेय की व्युत्पत्ति कर ली।Polimat Hungaria-Amerika (1903–1957) yang memberikan kontribusi fundamental pada teori himpunan, mekanika kuantum, teori permainan, komputasi, dan desain senjata nuklir. Hadir pada konferensi Königsberg 1930 ketika Gödel pertama kali mengisyaratkan ketidaklengkapan, ia dilaporkan sebagai satu-satunya peserta yang langsung memahami hasil tersebut di tempat dan secara independen menurunkan teorema ketidaklengkapan kedua dalam hitungan minggu.Polymathe américano-hongrois (1903-1957) qui apporta des contributions fondamentales à la théorie des ensembles, à la mécanique quantique, à la théorie des jeux, à l'informatique et à la conception des armes nucléaires. Présent à la conférence de Königsberg de 1930 où Gödel évoqua pour la première fois l'incomplétude, il fut, dit-on, le seul participant à saisir le résultat sur-le-champ et à dériver indépendamment le second théorème d'incomplétude en l'espace de quelques semaines.ハンガリー系アメリカ人の博学者（1903–1957）。集合論、量子力学、ゲーム理論、計算機科学、核兵器設計に基礎的な貢献をなした。1930年のケーニヒスベルク会議に出席し、ゲーデルが不完全性を初めて示唆した際、その結果をその場で把握した唯一の参加者であったと伝えられ、数週間のうちに第二不完全性定理を独自に導出した。Венгеро-американский эрудит (1903–1957), внёсший фундаментальный вклад в теорию множеств, квантовую механику, теорию игр, вычислительную технику и конструирование ядерного оружия. Присутствовал на Кёнигсбергской конференции 1930 года, где Гёдель впервые намекнул на неполноту; по имеющимся свидетельствам, он был единственным из участников, кто сразу осознал результат, и в течение нескольких недель самостоятельно вывел вторую теорему о неполноте.Ungarisch-amerikanischer Universalgelehrter (1903–1957), der grundlegende Beiträge zur Mengenlehre, Quantenmechanik, Spieltheorie, Informatik und zum Entwurf von Kernwaffen leistete. Anwesend auf der Königsberger Tagung 1930, auf der Gödel erstmals die Unvollständigkeit andeutete, soll er der einzige Teilnehmer gewesen sein, der das Ergebnis sofort erfasste, und leitete innerhalb weniger Wochen unabhängig den zweiten Unvollständigkeitssatz her.헝가리계 미국인 박학다식가(1903–1957)로, 집합론, 양자역학, 게임이론, 컴퓨팅, 핵무기 설계에 기초적인 기여를 했다. 1930년 쾨니히스베르크 회의에서 괴델이 불완전성을 처음 시사했을 때 참석했으며, 그 자리에서 결과를 즉시 이해한 유일한 참석자였다고 전해지고, 몇 주 만에 독자적으로 제2 불완전성 정리를 도출했다., Stanisław UlamPersonStanisław UlamStanisław Ulam was a Polish-American mathematician who worked at Los Alamos after the Second World War. He helped shape the modern Monte Carlo method, using random sampling to study problems in nuclear physics and computation. His career also touched set theory, topology, cellular automata and the design of early thermonuclear weapons.斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆（Stanisław Ulam）是一位波兰裔美国数学家，第二次世界大战后在洛斯阿拉莫斯工作。他帮助创立了现代蒙特卡洛方法，利用随机抽样研究核物理和计算中的问题。他的职业生涯还涉及集合论、拓扑学、细胞自动机以及早期热核武器的设计。Stanisław Ulam fue un matemático polaco-estadounidense que trabajó en Los Alamos tras la Segunda Guerra Mundial. Ayudó a desarrollar el moderno método Monte Carlo, que utiliza muestreo aleatorio para estudiar problemas de física nuclear y cálculo. Su carrera también abarcó la teoría de conjuntos, la topología, las máquinas celulares y el diseño de armas termonucleares tempranas.كان ستانيسلاف أولام عالم رياضيات بولندي-أمريكي عمل في لوس ألموس بعد الحرب العالمية الثانية. ساعد في تشكيل الطريقة الحديثة لمنطقة مونتي كارلو، باستخدام العينات العشوائية لدراسة المشكلات في الفيزياء النووية والحساب. شملت مسيرته المهنية أيضًا نظرية المجموعات والטופولوجيا والآلات الخلوية التلقائية والتصميم المبكر للأسلحة الحرارية النووية.Stanislaw Ulam foi um matemático polonês-americano que trabalhou em Los Alamos após a Segunda Guerra Mundial. Ele ajudou a desenvolver o método Monte Carlo moderno, usando amostragem aleatória para estudar problemas na física nuclear e computação. Sua carreira também abrangeu a teoria dos conjuntos, a topologia, os autômatos celulares e o desenho das primeiras armas termonucleares.स्टैनिस्लाव उलाम एक पोलिश-अमेरिकी गणितज्ञ थे जिन्होंने द्वितीय विश्व युद्ध के बाद लॉस एलमोस में काम किया। उन्होंने आधुनिक मॉन्टे कार्लो विधि का विकास किया, जिसमें नाभिकीय भौतिकी और कंप्यूटेशन में समस्याओं के अध्ययन के लिए यादृच्छिक नमूना लेने का उपयोग किया गया। उनके करियर में समुच्चय सिद्धांत, टोपोलॉजी, सेलुलर ऑटोमेटा और प्रारंभिक थर्मोन्यूक्लियर हथियारों के डिज़ाइन को भी छू लिया।Stanisław Ulam adalah seorang matematikawan Polandia-Amerika yang bekerja di Los Alamos setelah Perang Dunia Kedua. Ia membantu membentuk metode Monte Carlo modern, yang menggunakan sampel acak untuk mempelajari masalah dalam fisika nuklir dan komputasi. Kariernya juga meliputi teori himpunan, topologi, otomata seluler, serta desain senjata termonuklir awal.Stanisław Ulam fut un mathématicien polonais-américain qui travailla à Los Alamos après la Seconde Guerre mondiale. Il contribua à l'élaboration de la méthode moderne de Monte Carlo, utilisant l'échantillonnage aléatoire pour étudier des problèmes de physique nucléaire et de calcul. Sa carrière toucha également la théorie des ensembles, la topologie, les automates cellulaires et la conception des premières armes thermonucléaires.スタニスワフ・ウラムは第二次世界大戦後にロスアラモスで研究したポーランド出身のアメリカ人数学者である。モンテカルロ法の現代的な形を築くのに貢献し、核物理および計算における問題を確率的サンプリングによって研究した。彼の研究分野は集合論、位相幾何学、セル・オートマトンおよび初期の熱核融合兵器の設計にも及んでいる。Станислав Улам — польский и американский математик, работавший в Лос-Аламосе после Второй мировой войны. Он помог сформировать современный метод Монте-Карло, используя случайную выборку для изучения проблем в ядерной физике и вычислениях. Его карьера также касалась теории множеств, топологии, клеточных автоматов и разработки ранних термоядерных оружий.Stanisław Ulam war ein polnisch-amerikanischer Mathematiker, der nach dem Zweiten Weltkrieg am Los Alamos National Laboratory arbeitete. Er trug wesentlich zur Entwicklung der modernen Monte-Carlo-Methode bei, bei der zufällige Stichproben zur Untersuchung von Problemen in der Kernphysik und der Berechnung eingesetzt werden. Seine Karriere umfasste zudem die Mengenlehre, Topologie, zelluläre Automaten und das Design früher thermonuklearer Waffen.스테파니우 슐람(Stanisław Ulam)은 제2차 세계대전 이후 로스앨러모스에서 일한 폴란드계 미국 수학자였다. 그는 핵물리학과 계산 문제를 연구하기 위해 무작위 표집을 사용하는 현대 몬테카를로 방법의 발전에 기여했다. 그의 경력은 집합론, 위상수학, 세포 자동기 및 초기 열핵무기 설계에도 걸쳐졌다., Nicholas MetropolisPersonNicholas MetropolisNicholas Metropolis was a Greek-American physicist and computing pioneer at Los Alamos. He worked on early electronic computation and gave the Monte Carlo method its casino-derived name. His later work on sampling algorithms became central to computational physics, statistics and many forms of simulation.尼古拉斯·梅特罗波利斯（Nicholas Metropolis）是一位希腊裔美国物理学家，也是洛斯阿拉莫斯的计算机先驱。他从事早期电子计算的研究，并为蒙特卡洛方法起了这个源自赌场名称的方法。他后来在抽样算法方面的研究成为计算物理、统计学以及多种模拟方法的核心。Nicholas Metrópolis fue un físico y pionero de la computación griego-estadounidense que trabajó en Los Álamos. Trabajó en cálculos electrónicos tempranos y dio al método Monte Carlo su nombre derivado del casino. Su trabajo posterior sobre algoritmos de muestreo se convirtió en fundamental para la física computacional, la estadística y muchas formas de simulación.كان نيكولاس متروبوليس فيزيائيًا أمريكيًا من أصل يوناني وواحدًا من رواد الحواسيب في لوس ألاموس. عمل على الحوسبة الإلكترونية المبكرة وأعطى للطريقة الإحصائية "مونتي كارلو" اسمها المشتق من الكازينو. ساهمت أعماله اللاحقة على خوارزميات أخذ العينات في تشكيل جوهر الفيزياء الحاسوبية والإحصاء والكثير من أشكال المحاكاة.Nicholas Metropolis foi um físico e pioneiro da computação grego-americano que trabalhou no Laboratório de Los Alamos. Trabalhou na computação eletrônica inicial e deu ao método Monte Carlo seu nome derivado de cassino. Seu trabalho posterior sobre algoritmos de amostragem tornou-se central para a física computacional, estatística e muitas formas de simulação.निकोलस मेट्रोपोलिस एक यूनानी-अमेरिकी भौतिकविद और लॉस एलमोस में कम्प्यूटिंग के प्रारंभिक दौर के विशिष्ट व्यक्ति थे। उन्होंने प्रारंभिक इलेक्ट्रॉनिक कम्प्यूटेशन पर कार्य किया और मोंटे कार्लो विधि का उस जुए के नाम पर आधारित नाम दिया। उनके बाद के कार्य नमूना एल्गोरिदम पर केंद्रित थे, जो भौतिकी के कम्प्यूटेशनल, सांख्यिकी और अनेक प्रकार की सिमुलेशन में केंद्रीय भूमिका निभाते हैं।Nicholas Metropolis adalah seorang fisikawan dan pelopor komputasi berkebangsaan Yunani-Amerika yang bekerja di Los Alamos. Ia meneliti komputasi elektronik awal dan memberi nama metode Monte Carlo dengan sebutan yang berasal dari kasino. Karyanya kemudian tentang algoritma pengambilan sampel menjadi pusat dalam fisika komputasi, statistik, dan berbagai bentuk simulasi.Nicholas Metropolis fut un physicien grec-américain et un pionnier de l'informatique à Los Alamos. Il travailla sur les premiers calculs électroniques et donna à la méthode Monte Carlo son nom inspiré des casinos. Son travail ultérieur sur les algorithmes d'échantillonnage devint central en physique computationnelle, en statistique et dans de nombreuses formes de simulation.ニコラス・メトロポリスは、ギリシャ系アメリカ人の物理学者で、ロスアラモスで活躍した計算機科学の先駆者である。彼は初期の電子計算機の開発に携わり、「モンテカルロ法」というカジノ由来の名称を考案した。その後、サンプリングアルゴリズムに関する研究は、計算物理学、統計学およびさまざまなシミュレーションにおいて中心的な役割を果たすことになった。Николас Метрополис был греко-американским физиком и пионером вычислительной техники в Лос-Аламосе. Он работал над ранними электронными вычислениями и дал методу Монте-Карло его название, происходящее от казино. Его более поздняя работа по алгоритмам выборки стала центральной для вычислительной физики, статистики и многих видов моделирования.Nicholas Metropolis war ein griechisch-amerikanischer Physiker und Pionier der Informatik am Los Alamos National Laboratory. Er arbeitete an frühen elektronischen Rechenverfahren und gab der Monte-Carlo-Methode ihren namensgebenden Bezug zum Casino. Seine späteren Arbeiten zu Sampling-Algorithmen wurden zentral für die theoretische Physik, Statistik und viele Formen der Simulation.니콜라스 메트로폴리스는 그리스계 미국인 물리학자이자 로스앨러모스에서 활동한 컴퓨팅 분야의 선구자였다. 그는 초기 전자 계산기에 참여했으며, 몬테카를로 방법에 도박장에서 유래된 이름을 붙였다. 이후 그가 개발한 샘플링 알고리즘은 계산 물리학, 통계학 및 다양한 시뮬레이션 분야의 핵심이 되었다. and others used random sampling to attack problems too tangled for direct calculation. Neutrons moving through matter, high-dimensional integrals, branching chains of possible futures: these were not needle-on-paper problems, but they shared the same wager. Sample the space honestly enough, and a quantity hidden in the geometry will begin to show itself.
A nineteenth-century wooden experiment table is covered with many scattered brass needlesIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Buffon's needle is therefore both ancestor and warning. It demonstrates the Monte Carlo instinct with almost no machinery, but it also shows the cost. Random estimates converge at a rate proportional to one over the square root of the number of trials. To gain one extra decimal place, one needs not ten times as many throws but roughly a hundred times as many. A million needles would still be a clumsy way to learn what a circumference already knows.
The method survived because pi was never the real prize. The important fact was that a probability could stand in for an integral. Buffon's crossing count measures the area under a sine curve without drawing that area directly. Modern simulations do the same in more forbidding spaces, where the integral may have thousands of dimensions and no human picture at all.
A tidy tabletop reconstruction uses a set of identical metal needles and a board with grooIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
What the needle leaves open
The word random does more work than it first appears to. Buffon's derivation assumes that the centre position and the angle are uniformly distributed. A human hand dropping a needle may favour certain angles; a board may have edges; a needle may bounce, roll, or catch.
There is also the question of what Buffon actually did, as opposed to what he proved. Stories about loaves of bread dropped over a tiled floor have circulated for generations, but the documentary footing is thin. The mathematics is firmer than the anecdote.
A mid-century laboratory tabletop uses diceIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Lazzarini remains another open case. His 1901 numbers are famous partly because they are so good, and suspect for the same reason. A result can be mathematically compatible with an experiment and still be historically hard to trust.
The deeper uncertainty is philosophical. When a deterministic world supplies a scatter of outcomes, where exactly does chance enter: in ignorance, in physical disorder, or in the model we choose to impose? Buffon's needle does not settle the question. It gives it a clean floor and a line to cross.
A fallen needle has no idea what pi is. It lands, or it misses. Only after many such indifferent motions does the circle announce itself, quietly, in the ledger of crossings.
1777年，Georges-Louis Leclerc, Comte de BuffonPersonGeorges-Louis Leclerc, Comte de BuffonGeorges-Louis Leclerc, Comte de Buffon was an eighteenth-century French naturalist and mathematician, best known for his vast Histoire naturelle. His work ranged from zoology and geology to the mathematics of chance. In 1777 he published the needle problem that made random geometry a serious object of calculation.乔治-路易·勒克莱尔，布封伯爵是18世纪法国的博物学家和数学家，以其宏大的《自然史》最为著名。他的研究范围涵盖了动物学、地质学以及概率数学。1777年，他发表了“布丰投针问题”，使随机几何成为严肃的计算对象。Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon fue un naturalista y matemático francés del siglo XVIII, más conocido por su extensa Histoire naturelle. Su obra abarcó desde la zoología y la geología hasta las matemáticas de la probabilidad. En 1777 publicó el problema de la aguja, que convirtió la geometría aleatoria en un objeto serio de cálculo.جورج لويس لوكير، كونت دي بوفون كان عالم طبيعة ورياضيات فرنسي في القرن الثامن عشر، ويُعرف بشكل رئيسي بعمله الواسع "تاريخ طبيعي". امتدت أعماله من علم الحيوانات والجيولوجيا إلى رياضيات الحظ. نشر في عام 1777 مسألة الإبرة التي جعلت الهندسة العشوائية موضوعًا جادًا للحساب.Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon foi um naturalista e matemático francês do século XVIII, mais conhecido por sua vasta Histoire naturelle. Seu trabalho abrangia desde a zoologia e a geologia até a matemática da casualidade. Em 1777 publicou o problema da agulha, que tornou a geometria aleatória um objeto sério de cálculo.जीओर्ज-लुई लेक्लेर, काउंट डी बफ़ॉन अठारहवीं शताब्दी के फ़्रांसीसी प्राकृतिक विज्ञानी और गणितज्ञ थे, जिनके लिए उनकी विशाल "हिस्तोयर नैचुरेल" के कारण वे प्रसिद्ध हैं। उनका कार्य जीवविज्ञान और भूविज्ञान से लेकर संभाव्यता के गणित तक फैला हुआ था। 1777 में उन्होंने एक समस्या प्रकाशित की, जिसके कारण यादृच्छिक ज्यामिति गणना का गम्भीर विषय बन गई।Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon adalah seorang naturalis dan matematikawan Prancis abad keduabelas, yang paling dikenal karena karyanya yang luas, Histoire naturelle. Karyanya mencakup berbagai bidang, dari zoologi dan geologi hingga matematika peluang. Pada tahun 1777 ia menerbitkan masalah jarum yang membuat geometri acak menjadi objek serius dalam perhitungan.Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon, fut un naturaliste et mathématicien français du xviiie siècle, surtout connu pour son vaste ouvrage intitulé Histoire naturelle. Son œuvre s'étendait de la zoologie et de la géologie aux mathématiques du hasard. En 1777, il publia le problème de l'aiguille, qui fit de la géométrie aléatoire un objet sérieux de calcul.ジョルジュ＝ルイ・レクルール、バフオン男爵は18世紀のフランスの自然学者で、大規模な『自然史』で最も知られている。彼の研究は動物学や地質学から確率の数学に至るまで幅広かった。1777年、彼はランダム幾何学を真剣な計算対象とした針の問題を発表した。Жорж-Луи Леклерк, граф Бюффон, был французским натурописцем и математиком XVIII века, наиболее известным своей обширной «Натуральной историей». Его работы охватывали зоологию и геологию, а также математику вероятностей. В 1777 году он опубликовал задачу о игле, которая сделала случайную геометрию серьёзным объектом вычислений.Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon, war ein französischer Naturforscher und Mathematiker des 18. Jahrhunderts, am besten bekannt für sein umfassendes Werk Histoire naturelle. Seine Arbeit erstreckte sich von der Zoologie und Geologie bis hin zur Mathematik des Zufalls. 1777 veröffentlichte er das Nadelproblem, das die zufällige Geometrie zu einem ernstzunehmenden Gegenstand der Berechnung machte.조르주 루이 르클레르 코뮌 드 뷔퐁은 18세기 프랑스의 자연주의자이자 수학자로, 방대한 『자연사』로 가장 유명하다. 그의 연구 분야는 동물학과 지질학에서부터 확률의 수학에 이르기까지 폭넓었다. 1777년 그는 확률 기하학을 진지한 계산 대상으로 만든 핀 문제를 발표했다.提出了一个简单得可以用一张纸和一根缝衣针演示的问题。画出等距的平行线。让针随机落下。问它与某条线相交的概率是多少。这是一场带有尖锐边角的客厅实验：答案中包含了piConceptpiPi is the ratio of a circle's circumference to its diameter, approximately 3.14159. It appears first as a fact of circular geometry, but it recurs through analysis, probability, physics and number theory. In Buffon's needle problem it arises from averaging all possible orientations of a line segment.圆周率π是一个圆的周长与直径的比值，约为3.14159。它最初作为圆的几何特性出现，但随后在分析学、概率论、物理学和数论中反复出现。在布丰投针问题中，它来源于对线段所有可能方向的平均计算。Pi es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, aproximadamente 3,14159. Aparece en un primer momento como un hecho de la geometría circular, pero vuelve a aparecer a lo largo del análisis, la probabilidad, la física y la teoría de números. En el problema de la aguja de Buffon surge al promediar todas las orientaciones posibles de un segmento de línea.العدد باي هو نسبة محيط الدائرة إلى قطرها، ويُقدر بحوالي 3.14159. يظهر لأول مرة كمعلومة هندسية تتعلق بالدوائر، لكنه يتكرر في التحليل والاحتمالات والفيزياء ونظرية الأعداد. في مسألة إبرة بوفون، يظهر من متوسط جميع الاتجاهات الممكنة لقطعة مستقيمة.Pi é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro, aproximadamente 3,14159. Aparece pela primeira vez como fato da geometria circular, mas recorre através da análise, probabilidade, física e teoria dos números. No problema da agulha de Buffon, surge a partir da média de todas as orientações possíveis de um segmento de reta.π एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात है, लगभग 3.14159। यह सर्वप्रथम वृत्तीय ज्यामिति के तथ्य के रूप में प्रकट होता है, लेकिन विश्लेषण, संभाव्यता, भौतिकी और संख्या सिद्धांत में इसकी पुनरावृत्ति होती है। बफ़ोन की सुई की समस्या में एक रेखाखंड की सभी संभावित दिशाओं के औसत से यह उत्पन्न होता है।Pi adalah rasio keliling lingkaran terhadap diameternya, sekitar 3,14159. Pi muncul pertama kali sebagai fakta dalam geometri lingkaran, tetapi muncul kembali dalam analisis, probabilitas, fisika, dan teori bilangan. Dalam permasalahan jarum Buffon, Pi muncul dari rata-rata semua orientasi yang mungkin dari sebuah segmen garis.Pi est le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre, environ 3,14159. Il apparaît d'abord comme une propriété géométrique des cercles, mais il se retrouve ensuite en analyse, en probabilité, en physique et en théorie des nombres. Dans le problème de l'aiguille de Buffon, il émerge en prenant la moyenne de toutes les orientations possibles d'un segment de droite.円周率（パイ）は、円の円周長とその直径の比であり、約3.14159である。これは最初に円形幾何学における事実として現れるが、解析学、確率論、物理学および数論においても繰り返し登場する。バッフォンの針の問題では、線分の可能なすべての方位を平均することによって現れる。Число π представляет собой отношение длины окружности к её диаметру, приблизительно 3,14159. Оно впервые появляется как геометрический факт, связанный с окружностью, но затем встречается в анализе, теории вероятностей, физике и теории чисел. В задаче Бюффона о булавле оно возникает при усреднении всех возможных ориентаций отрезка прямой.π ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser und beträgt ungefähr 3,14159. Es tritt zuerst als geometrische Eigenschaft von Kreisen auf, taucht jedoch wiederholt in der Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Physik und Zahlentheorie auf. Beim Buffonschen Nadelproblem entsteht es aus der Durchschnittsbildung aller möglichen Ausrichtungen eines Liniensegments.원주율(π)은 원의 둘레와 지름의 비율로, 약 3.14159이다. 원의 기하학적 성질로서 처음 등장하지만, 해석학, 확률론, 물리학, 수론 등 여러 분야에서 반복적으로 나타난다. 버프론의 바늘 문제에서는 선분의 가능한 모든 방향의 평균을 구하면서 등장한다.。
布丰并不是在设计一个课堂上的小把戏。他的《道德算术论文集》属于对概率、效用和期望的新焦虑时期，这是probabilityConceptprobabilityProbability is the mathematics of uncertain events. It began with problems in games of chance and grew into a language for risk, evidence, physics and statistics. By the eighteenth century, mathematicians were extending it beyond dice and cards into continuous settings where outcomes form regions rather than countable cases.概率论是对不确定事件的数学研究。它最初起源于对机会游戏问题的研究，后来发展成为描述风险、证据、物理和统计学的一种语言。到18世纪时，数学家们已将其应用范围从骰子和纸牌扩展到连续情形，其中结果形成区域而非可数的情况。La probabilidad es la matemática de los eventos inciertos. Comenzó con problemas en juegos de azar y se convirtió en un lenguaje para el riesgo, la evidencia, la física y la estadística. Para el siglo XVIII, los matemáticos ya la estaban extendiendo más allá de los dados y las cartas hacia contextos continuos donde los resultados forman regiones en lugar de casos contables.الاحتمال هو رياضيات الأحداث غير المؤكدة. بدأ مع مشاكل في ألعاب المقامرة، وانتهى بتصبح لغة للخطر والدلائل والفيزياء والإحصاء. بحلول القرن الثامن عشر، كان الرياضياتيون يمتدون بها إلى ما وراء النرد والبطاقات إلى الأوضاع المستمرة حيث تشكل النتائج مناطق بدلًا من الحالات العدديّة.A probabilidade é a matemática dos eventos incertos. Começou com problemas em jogos de azar e evoluiu para uma linguagem para risco, evidência, física e estatística. Até o século XVIII, matemáticos estavam a estendê-la além dos dados e cartas para situações contínuas, onde os resultados formam regiões em vez de casos contáveis.संभाव्यता अनिश्चित घटनाओं की गणित है। इसकी शुरुआत संभावना के खेलों से हुई और यह जोखिम, साक्ष्य, भौतिकी और सांख्यिकी की भाषा में विकसित हुई। अठारहवीं शताब्दी तक, गणितज्ञ इसे पासे और ताश के पत्तों से आगे बढ़ाकर ऐसे निरंतर स्थितियों में लागू करने लगे जहां परिणाम क्षेत्र बनाते हैं जबकि गिने जा सकने वाले मामले नहीं।Probabilitas adalah matematika dari kejadian yang tidak pasti. Awalnya muncul dari masalah dalam permainan keberuntungan, lalu berkembang menjadi bahasa untuk risiko, bukti, fisika, dan statistik. Pada abad kedelapan belas, para matematikawan mulai mengembangkannya melebihi dadu dan kartu ke dalam konteks kontinu di mana hasilnya membentuk daerah daripada kasus yang dapat dihitung.La probabilité est la mathématique des événements incertains. Elle a débuté avec des problèmes liés aux jeux de hasard et s'est développée en un langage pour exprimer le risque, les preuves, la physique et la statistique. Dès le XVIIIe siècle, les mathématiciens l'étendaient au-delà des dés et des cartes vers des contextes continus où les résultats forment des régions plutôt que des cas dénombrables.確率とは、不確実な事象を扱う数学の分野である。当初は、賭け事の問題から始まり、やがてリスク、証拠、物理学、統計学を表現する言語として発展した。18世紀までに、数学者たちはサイコロやトランプの問題にとどまらず、結果が個別に数えられるケースではなく領域を形成する連続的な設定へとその応用範囲を広げていた。Вероятность — это математика неопределённых событий. Она возникла из задач, связанных с азартными играми, и превратилась в язык для описания риска, доказательств, физики и статистики. К XVIII веку математики уже применяли её за пределами игральных костей и карт в непрерывных ситуациях, где результаты образуют области, а не счётные случаи.Wahrscheinlichkeit ist die Mathematik unsicherer Ereignisse. Sie begann mit Problemen in Glücksspielen und entwickelte sich zu einer Sprache für Risiko, Beweise, Physik und Statistik. Bis ins achtzehnte Jahrhundert hinüber erweiterten Mathematiker sie jenseits von Würfeln und Karten auf kontinuierliche Bereiche, in denen Ergebnisse Regionen statt abzählbarer Fälle bilden.확률은 불확실한 사건의 수학이다. 확률은 기회의 게임에서의 문제에서 시작하여 위험, 증거, 물리학 및 통계학의 언어로 발전하였다. 18세기까지 수학자들은 주사위와 카드를 넘어서 연속적인 상황으로 확률을 확장하여, 결과가 개수를 세어 셀 수 있는 경우가 아니라 영역을 이루는 경우를 다루게 되었다.从赌博桌走向法律、保险和自然哲学的时代。针的问题将概率从骰子上取下，放入了空间之中。它不再问立方体可能显示多少面，而是问一个物理物体如何在一个连续的位置场中落下。
A human hand releases a slender metal needle above a wooden surface featuring parallel inlIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
这就是geometric probabilityConceptgeometric probabilityGeometric probability studies chance by measuring lengths, areas, volumes or other geometric sets of possible outcomes. Buffon's needle is its classic early example: the answer comes from comparing a favourable region under a sine curve with a rectangle of all possible needle positions and angles.几何概率通过测量长度、面积、体积或其他几何集合的可能结果来研究概率。布丰的投针问题是其经典的早期例子：答案来自于将正弦曲线下的有利区域与所有可能的针的位置和角度所组成的矩形进行比较。La probabilidad geométrica estudia el azar midiendo longitudes, áreas, volúmenes u otros conjuntos geométricos de resultados posibles. La aguja de Buffon es su ejemplo clásico temprano: la respuesta proviene al comparar una región favorable bajo una curva seno con un rectángulo que contiene todas las posiciones y ángulos posibles de la aguja.تدرس الاحتمالات الهندسية الاحتمال من خلال قياس الطول أو المساحة أو الحجم أو مجموعات هندسية أخرى من النتائج الممكنة. تُعد مسألة إبرة بوفون مثالاً كلاسيكياً مبكرًا: حيث يُستنتج الجواب من خلال مقارنة منطقة مواتية تحت منحنى الجيب بمستطيل يمثل جميع مواقف الإبرة الممكنة وزواياها.A probabilidade geométrica estuda a chance medindo comprimentos, áreas, volumes ou outros conjuntos geométricos de resultados possíveis. A agulha de Buffon é seu exemplo clássico inicial: a resposta surge ao comparar uma região favorável sob uma curva senoidal com um retângulo contendo todas as posições e ângulos possíveis da agulha.ज्यामितीय संभाव्यता परिणामों के संभावित समुच्चय के रूप में लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन या अन्य ज्यामितीय समुच्चय के मापन द्वारा संभावना का अध्ययन करती है। बफ़न की सुई इसका एक प्रारंभिक उदाहरण है: उत्तर एक साइन वक्र के तहत एक लाभप्रद क्षेत्र की तुलना सभी संभावित सुई स्थितियों और कोणों के एक आयत के साथ करके प्राप्त होता है।Probabilitas geometris mempelajari peluang dengan mengukur panjang, luas, volume, atau himpunan geometris lain dari hasil yang mungkin. Contoh klasik awalnya adalah jarum Buffon: jawabannya diperoleh dengan membandingkan daerah yang menguntungkan di bawah kurva sinus dengan persegi panjang yang mencakup semua posisi dan sudut jarum yang mungkin.La probabilité géométrique étudie le hasard en mesurant des longueurs, des aires, des volumes ou d'autres ensembles géométriques d'événements possibles. L'aiguille de Buffon en est un exemple classique du début de cette discipline : la réponse provient d'une comparaison d'une région favorable sous une courbe sinus avec un rectangle contenant toutes les positions et angles possibles de l'aiguille.幾何確率論は、長さや面積、体積、あるいはその他の幾何的集合を測定することによって確率を研究する。バッフォンの針問題はその古典的な初期の例である。この問題の答えは、正弦曲線の下にある有利な領域を、針の位置と角度のすべての可能な長方形領域と比較することによって得られる。Геометрическая вероятность изучает вероятность, измеряя длины, площади, объемы или другие геометрические множества возможных исходов. Примером классической ранней задачи является игла Бюффона: ответ находится путем сравнения благоприятной области под синусоидальной кривой с прямоугольником всех возможных положений и углов иглы.Die geometrische Wahrscheinlichkeit untersucht das Zufallsereignis durch die Messung von Längen, Flächen, Volumina oder anderen geometrischen Mengen möglicher Ergebnisse. Das „Nadelproblem“ von Buffon ist ihr klassisches frühes Beispiel: die Lösung ergibt sich aus dem Vergleich einer günstigen Region unter einer Sinuslinie mit einem Rechteck aller möglichen Nadelpositionen und Winkel.기하 확률은 길이, 면적, 부피 또는 다른 기하학적 집합의 가능한 결과를 측정함으로써 확률을 연구한다. 버퐁의 바늘은 이 분야의 고전적인 초기 예시로, 정현 곡선 아래의 유리한 영역을 바늘의 가능한 모든 위치와 각도를 포함하는 직사각형과 비교함으로써 답을 얻는다.的小型诞生。普通的离散概率可以计算案例：正面或反面，骰子的六个面，52张牌。布丰的问题需要对连续体进行度量。它询问的是几何空间中多少部分对应成功。后来的数学家会将这种语言变得更正式，但针中已经包含了关键的转变：用面积代替计数，概率就变成了几何。
A close macro view shows one metal needle crossing a deep groove in a wooden board while aIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
19世纪的实验者们仍然尝试这样做。瑞士天文学家鲁道夫·沃尔夫在1850年左右报告了5000次投掷，得到了约3.1596的值。A. Hall在1873年发表了一项实验测定。1901年，Mario LazzariniPersonMario LazzariniMario Lazzarini was an Italian mathematician associated with a celebrated 1901 report on Buffon's needle. He claimed to have estimated pi as 355/113 from 3,408 needle drops, an accuracy so striking that later writers have questioned whether the experiment was stopped, selected or intended as a mathematical joke.马里奥·拉扎里尼是一位意大利数学家，因1901年关于布丰针问题的著名报告而知名。他声称通过3408次投针实验，将圆周率π估算为355/113，其精度之高令人惊讶，后来的作者因此质疑该实验是否被人为停止或选择性记录，甚至可能是出于数学玩笑的目的而设计的。Mario Lazzarini fue un matemático italiano asociado con un celebrado informe de 1901 sobre la aguja de Buffon. Afirmó haber estimado pi como 355/113 tras 3 408 lanzamientos de agujas, una precisión tan notable que escritores posteriores se han preguntado si el experimento fue interrumpido, seleccionado o si se pretendía como una broma matemática.مARIO لازاريني هو عالم رياضيات إيطالي تربطه صلة بالรายงาน المشهور لعام 1901 حول إبرة بوفون. فقد زعم أنه حسب قيمة باي على أنها 355/113 من خلال 3408 تجربة إسقاط إبرة، ودقة هذا التقدير كانت هائلة لدرجة أن المؤلفين اللاحقين شككوا فيما إذا تم إيقاف التجربة، أو اختيار النتائج، أو أن التجربة كانت مزحة رياضية مقصودة.Mario Lazzarini foi um matemático italiano associado a um celebrado relatório de 1901 sobre o problema da agulha de Buffon. Ele alegou ter estimado pi como 355/113 a partir de 3.408 lançamentos de agulhas, uma precisão tão notável que escritores posteriores questionaram se o experimento foi interrompido, selecionado ou se destinava a ser uma brincadeira matemática.मारियो लाज़ारिनी एक इतालवी गणितज्ञ थे जो बफ़न की सुई पर 1901 की प्रसिद्ध रिपोर्ट से जुड़े हुए थे। उन्होंने 3,408 सुई गिराने के बाद दावा किया कि वे pi को 355/113 के रूप में अनुमानित कर सकते हैं, जो इतनी शानदार सटीकता के साथ है कि बाद के लेखकों ने यह सवाल उठाया है कि क्या प्रयोग बंद कर दिया गया था, चयनित किया गया था या गणितीय उपहास के रूप में निर्धारित किया गया था।Mario Lazzarini adalah seorang matematikawan Italia yang dikaitkan dengan laporan terkenal tahun 1901 mengenai jarum Buffon. Ia mengklaim telah memperkirakan nilai pi sebagai 355/113 dari 3.408 kali melemparkan jarum, sebuah akurasi yang begitu mengejutkan sehingga penulis-penulis selanjutnya mempertanyakan apakah eksperimen tersebut dihentikan, disaring, atau dimaksudkan sebagai lelucon matematis.Mario Lazzarini fut un mathématicien italien associé à un célèbre rapport de 1901 sur l’aiguille de Buffon. Il affirma avoir estimé pi comme étant égal à 355/113 à partir de 3 408 lancers d’aiguille, une précision si remarquable que des auteurs ultérieurs se sont interrogés sur le fait de savoir si l’expérience avait été arrêtée, sélectionnée ou conçue comme une plaisanterie mathématique.マリオ・ラザリニは、1901年のバッフォンの針に関する著名な報告書に関連したイタリアの数学者である。彼は3,408回の針を落とす実験を通じて、円周率を355/113と推定した。その精度は際立っており、後年の研究者はこの実験が終了した時点で結果が選定されたのか、あるいは単なる数学的ジョークであったのかを疑問視している。Марио Лазарини — итальянский математик, связанный с известным докладом 1901 года о игле Бюффона. Он утверждал, что оценил число пи как 355/113, используя 3408 бросков иглы, что настолько удивительно точно, что позднейшие авторы поставили под сомнение, не было ли эксперимент остановлен, подобран или же задуман как математический шут.Mario Lazzarini war ein italienischer Mathematiker, der mit einem berühmten Bericht von 1901 über das Nadelproblem von Buffon in Verbindung gebracht wird. Er behauptete, er habe π durch 355/113 aus 3408 Nadelwürfen geschätzt, eine Genauigkeit, die so bemerkenswert ist, dass spätere Autoren sich gefragt haben, ob das Experiment beendet, ausgewählt oder als mathematischer Witz gemeint war.마리오 라자리니(Mario Lazzarini)는 버논의 바늘(Buffon's needle)에 관한 1901년 유명한 보고서와 관련된 이탈리아 수학자이다. 그는 3,408번의 바늘 던지기 실험을 통해 원주율을 355/113으로 추정하였다. 이는 놀랄 만큼 정확한 수치로, 후에 이 실험이 중단되었거나 일부러 선택되었거나, 혹은 수학적 농담이 의도되었는지에 대해 의문을 제기하는 이들이 있었다.声称得到了一个更精确的结果：3408次投掷，针长25毫米，线间距30毫米，结果是355/113，著名的六位小数近似值3.1415929。
1940年代末，“Monte Carlo methodConceptMonte Carlo methodThe Monte Carlo method uses repeated random sampling to estimate quantities that are hard to compute directly. The name was coined in the mid-twentieth century during work at Los Alamos, but its ancestry reaches back to experiments such as Buffon's needle, where chance is used as a calculating device.蒙特卡罗方法利用重复的随机抽样来估算难以直接计算的数量。这一名称诞生于二十世纪中期洛斯阿拉莫斯的研究工作，但它的起源可以追溯到布丰针实验等早期实验，在这些实验中，概率被用作计算工具。El método Monte Carlo utiliza muestreo aleatorio repetido para estimar cantidades que resultan difíciles de calcular directamente. El nombre fue acuñado a mediados del siglo veinte durante trabajos en Los Alamos, pero su ascendencia se remonta a experimentos como la aguja de Buffon, donde el azar se emplea como dispositivo de cálculo.تستخدم طريقة مونتي كارلو أخذ العينات العشوائية المتكررة لتقدير الكميات التي من الصعب حسابها مباشرة. سُمِّيت الطريقة بهذا الاسم في منتصف القرن العشرين أثناء العمل في لوس ألاموس، لكن جذورها تعود إلى تجارب مثل عود بافون، حيث تُستخدم الفرصة كجهاز حسابي.O método Monte Carlo utiliza amostragem aleatória repetida para estimar quantidades difíceis de serem calculadas diretamente. O nome foi cunhado na segunda metade do século XX durante trabalhos em Los Alamos, mas sua ascendência remonta a experimentos como a agulha de Buffon, nos quais o acaso é usado como um dispositivo de cálculo.मॉन्टे कार्लो विधि के उपयोग से द्वारा सीधे गणना करने में कठिन मात्राओं का अनुमान बनाया जाता है। इसका नाम मध्य बीसवीं शताब्दी में लॉस एलमोस में कार्य के दौरान रखा गया था, लेकिन इसकी वंशवृति बफोन की सुई जैसे प्रयोगों तक पहुंचती है, जहां अवसर के उपयोग की गणना करने की एक युक्ति के रूप में की गई थी।Metode Monte Carlo menggunakan pengambilan sampel acak berulang untuk memperkirakan kuantitas yang sulit dihitung secara langsung. Nama ini diciptakan pada pertengahan abad kedua puluh selama pekerjaan di Los Alamos, tetapi asal usulnya dapat dilacak kembali ke eksperimen seperti jarum Buffon, di mana kebetulan digunakan sebagai alat perhitungan.La méthode Monte Carlo utilise un échantillonnage aléatoire répété pour estimer des quantités difficiles à calculer directement. Le nom a été forgé au milieu du vingtième siècle lors des travaux à Los Alamos, mais ses origines remontent à des expériences telles que l'aiguille de Buffon, où le hasard est utilisé comme dispositif de calcul.モンテカルロ法は、直接計算するのが困難な数量を推定するために、繰り返し無作為サンプリングを行う手法である。この名称は20世紀半ばにロスアラモスでの研究中に造られたが、その起源はバッフォンの針などの実験にまで遡り、これらは確率を計算装置として用いるものである。Метод Монте-Карло использует многократное случайное выборочное исследование для оценки величин, которые сложно вычислить напрямую. Название метода появилось в середине двадцатого века во время работ в Лос-Аламосе, но его происхождение связано с такими экспериментами, как игла Бюффона, где случайность используется как вычислительное устройство.Die Monte-Carlo-Methode verwendet wiederholte zufällige Stichproben, um Größen zu schätzen, die sich direkt schwer berechnen lassen. Der Name wurde Mitte des zwanzigsten Jahrhunderts während der Arbeit am Los Alamos National Laboratory geprägt, doch ihre Ursprünge reichen bis zu Experimenten wie dem Nadelproblem von Buffon zurück, bei dem das Zufallsprinzip als Rechenhilfe eingesetzt wird.몬테카를로 방법은 직접 계산하기 어려운 수량을 추정하기 위해 반복적인 확률적 표본추출을 사용한다. 이 방법의 이름은 20세기 중반 로스앨러모스에서의 연구 중 지어졌지만, 그 기원은 버퐁의 바늘 실험과 같이 확률을 계산 도구로 활용한 이전의 실험들로까지 거슬러 올라간다.”一词在洛斯阿拉莫斯获得了现代含义，John von NeumannPersonJohn von NeumannHungarian-American polymath (1903–1957) who made foundational contributions to set theory, quantum mechanics, game theory, computing, and nuclear weapons design. Present at the 1930 Königsberg conference where Gödel first hinted at incompleteness, he was reportedly the only attendee who grasped the result on the spot and independently derived the second incompleteness theorem within weeks.匈牙利裔美国博学者（1903—1957），在集合论、量子力学、博弈论、计算与核武器设计等领域作出奠基性贡献。1930 年哥廷根会议上，哥德尔首次暗示不完备性结果时他在场，据称是当场唯一领会其要义的与会者，并在数周内独立推导出第二不完备性定理。Polímata húngaro-estadounidense (1903-1957) que realizó contribuciones fundamentales a la teoría de conjuntos, la mecánica cuántica, la teoría de juegos, la computación y el diseño de armas nucleares. Presente en la conferencia de Königsberg de 1930, donde Gödel insinuó por primera vez la incompletitud, fue, según se dice, el único asistente que captó el resultado en el acto y dedujo de forma independiente el segundo teorema de incompletitud en cuestión de semanas.عالم موسوعي مجري-أمريكي (1903–1957) قدّم إسهامات تأسيسية في نظرية المجموعات وميكانيكا الكم ونظرية الألعاب والحوسبة وتصميم الأسلحة النووية. حضر مؤتمر كونيغسبرغ عام 1930 حيث ألمح غودل لأول مرة إلى نظرية عدم الاكتمال، ويُقال إنه كان الحاضر الوحيد الذي استوعب النتيجة على الفور، واستنتج بشكل مستقل نظرية عدم الاكتمال الثانية في غضون أسابيع.Polímata húngaro-americano (1903–1957) que deu contribuições fundamentais à teoria dos conjuntos, à mecânica quântica, à teoria dos jogos, à computação e ao projeto de armas nucleares. Presente na conferência de Königsberg de 1930, onde Gödel insinuou pela primeira vez a incompletude, foi, segundo relatos, o único participante a captar o resultado imediatamente e a deduzir de forma independente o segundo teorema da incompletude em poucas semanas.हंगेरियाई-अमेरिकी बहुश्रुत विद्वान (1903–1957) जिन्होंने समुच्चय सिद्धांत, क्वांटम यांत्रिकी, खेल सिद्धांत, संगणन और परमाणु हथियार अभिकल्पना में आधारभूत योगदान दिए। 1930 के कोनिग्सबर्ग सम्मेलन में उपस्थित, जहाँ गोडेल ने पहली बार अपूर्णता का संकेत दिया था, वे कथित रूप से एकमात्र ऐसे श्रोता थे जिन्होंने उसी क्षण इस परिणाम को समझ लिया और कुछ ही सप्ताहों के भीतर स्वतंत्र रूप से द्वितीय अपूर्णता प्रमेय की व्युत्पत्ति कर ली।Polimat Hungaria-Amerika (1903–1957) yang memberikan kontribusi fundamental pada teori himpunan, mekanika kuantum, teori permainan, komputasi, dan desain senjata nuklir. Hadir pada konferensi Königsberg 1930 ketika Gödel pertama kali mengisyaratkan ketidaklengkapan, ia dilaporkan sebagai satu-satunya peserta yang langsung memahami hasil tersebut di tempat dan secara independen menurunkan teorema ketidaklengkapan kedua dalam hitungan minggu.Polymathe américano-hongrois (1903-1957) qui apporta des contributions fondamentales à la théorie des ensembles, à la mécanique quantique, à la théorie des jeux, à l'informatique et à la conception des armes nucléaires. Présent à la conférence de Königsberg de 1930 où Gödel évoqua pour la première fois l'incomplétude, il fut, dit-on, le seul participant à saisir le résultat sur-le-champ et à dériver indépendamment le second théorème d'incomplétude en l'espace de quelques semaines.ハンガリー系アメリカ人の博学者（1903–1957）。集合論、量子力学、ゲーム理論、計算機科学、核兵器設計に基礎的な貢献をなした。1930年のケーニヒスベルク会議に出席し、ゲーデルが不完全性を初めて示唆した際、その結果をその場で把握した唯一の参加者であったと伝えられ、数週間のうちに第二不完全性定理を独自に導出した。Венгеро-американский эрудит (1903–1957), внёсший фундаментальный вклад в теорию множеств, квантовую механику, теорию игр, вычислительную технику и конструирование ядерного оружия. Присутствовал на Кёнигсбергской конференции 1930 года, где Гёдель впервые намекнул на неполноту; по имеющимся свидетельствам, он был единственным из участников, кто сразу осознал результат, и в течение нескольких недель самостоятельно вывел вторую теорему о неполноте.Ungarisch-amerikanischer Universalgelehrter (1903–1957), der grundlegende Beiträge zur Mengenlehre, Quantenmechanik, Spieltheorie, Informatik und zum Entwurf von Kernwaffen leistete. Anwesend auf der Königsberger Tagung 1930, auf der Gödel erstmals die Unvollständigkeit andeutete, soll er der einzige Teilnehmer gewesen sein, der das Ergebnis sofort erfasste, und leitete innerhalb weniger Wochen unabhängig den zweiten Unvollständigkeitssatz her.헝가리계 미국인 박학다식가(1903–1957)로, 집합론, 양자역학, 게임이론, 컴퓨팅, 핵무기 설계에 기초적인 기여를 했다. 1930년 쾨니히스베르크 회의에서 괴델이 불완전성을 처음 시사했을 때 참석했으며, 그 자리에서 결과를 즉시 이해한 유일한 참석자였다고 전해지고, 몇 주 만에 독자적으로 제2 불완전성 정리를 도출했다.、Stanisław UlamPersonStanisław UlamStanisław Ulam was a Polish-American mathematician who worked at Los Alamos after the Second World War. He helped shape the modern Monte Carlo method, using random sampling to study problems in nuclear physics and computation. His career also touched set theory, topology, cellular automata and the design of early thermonuclear weapons.斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆（Stanisław Ulam）是一位波兰裔美国数学家，第二次世界大战后在洛斯阿拉莫斯工作。他帮助创立了现代蒙特卡洛方法，利用随机抽样研究核物理和计算中的问题。他的职业生涯还涉及集合论、拓扑学、细胞自动机以及早期热核武器的设计。Stanisław Ulam fue un matemático polaco-estadounidense que trabajó en Los Alamos tras la Segunda Guerra Mundial. Ayudó a desarrollar el moderno método Monte Carlo, que utiliza muestreo aleatorio para estudiar problemas de física nuclear y cálculo. Su carrera también abarcó la teoría de conjuntos, la topología, las máquinas celulares y el diseño de armas termonucleares tempranas.كان ستانيسلاف أولام عالم رياضيات بولندي-أمريكي عمل في لوس ألموس بعد الحرب العالمية الثانية. ساعد في تشكيل الطريقة الحديثة لمنطقة مونتي كارلو، باستخدام العينات العشوائية لدراسة المشكلات في الفيزياء النووية والحساب. شملت مسيرته المهنية أيضًا نظرية المجموعات والטופولوجيا والآلات الخلوية التلقائية والتصميم المبكر للأسلحة الحرارية النووية.Stanislaw Ulam foi um matemático polonês-americano que trabalhou em Los Alamos após a Segunda Guerra Mundial. Ele ajudou a desenvolver o método Monte Carlo moderno, usando amostragem aleatória para estudar problemas na física nuclear e computação. Sua carreira também abrangeu a teoria dos conjuntos, a topologia, os autômatos celulares e o desenho das primeiras armas termonucleares.स्टैनिस्लाव उलाम एक पोलिश-अमेरिकी गणितज्ञ थे जिन्होंने द्वितीय विश्व युद्ध के बाद लॉस एलमोस में काम किया। उन्होंने आधुनिक मॉन्टे कार्लो विधि का विकास किया, जिसमें नाभिकीय भौतिकी और कंप्यूटेशन में समस्याओं के अध्ययन के लिए यादृच्छिक नमूना लेने का उपयोग किया गया। उनके करियर में समुच्चय सिद्धांत, टोपोलॉजी, सेलुलर ऑटोमेटा और प्रारंभिक थर्मोन्यूक्लियर हथियारों के डिज़ाइन को भी छू लिया।Stanisław Ulam adalah seorang matematikawan Polandia-Amerika yang bekerja di Los Alamos setelah Perang Dunia Kedua. Ia membantu membentuk metode Monte Carlo modern, yang menggunakan sampel acak untuk mempelajari masalah dalam fisika nuklir dan komputasi. Kariernya juga meliputi teori himpunan, topologi, otomata seluler, serta desain senjata termonuklir awal.Stanisław Ulam fut un mathématicien polonais-américain qui travailla à Los Alamos après la Seconde Guerre mondiale. Il contribua à l'élaboration de la méthode moderne de Monte Carlo, utilisant l'échantillonnage aléatoire pour étudier des problèmes de physique nucléaire et de calcul. Sa carrière toucha également la théorie des ensembles, la topologie, les automates cellulaires et la conception des premières armes thermonucléaires.スタニスワフ・ウラムは第二次世界大戦後にロスアラモスで研究したポーランド出身のアメリカ人数学者である。モンテカルロ法の現代的な形を築くのに貢献し、核物理および計算における問題を確率的サンプリングによって研究した。彼の研究分野は集合論、位相幾何学、セル・オートマトンおよび初期の熱核融合兵器の設計にも及んでいる。Станислав Улам — польский и американский математик, работавший в Лос-Аламосе после Второй мировой войны. Он помог сформировать современный метод Монте-Карло, используя случайную выборку для изучения проблем в ядерной физике и вычислениях. Его карьера также касалась теории множеств, топологии, клеточных автоматов и разработки ранних термоядерных оружий.Stanisław Ulam war ein polnisch-amerikanischer Mathematiker, der nach dem Zweiten Weltkrieg am Los Alamos National Laboratory arbeitete. Er trug wesentlich zur Entwicklung der modernen Monte-Carlo-Methode bei, bei der zufällige Stichproben zur Untersuchung von Problemen in der Kernphysik und der Berechnung eingesetzt werden. Seine Karriere umfasste zudem die Mengenlehre, Topologie, zelluläre Automaten und das Design früher thermonuklearer Waffen.스테파니우 슐람(Stanisław Ulam)은 제2차 세계대전 이후 로스앨러모스에서 일한 폴란드계 미국 수학자였다. 그는 핵물리학과 계산 문제를 연구하기 위해 무작위 표집을 사용하는 현대 몬테카를로 방법의 발전에 기여했다. 그의 경력은 집합론, 위상수학, 세포 자동기 및 초기 열핵무기 설계에도 걸쳐졌다.、Nicholas MetropolisPersonNicholas MetropolisNicholas Metropolis was a Greek-American physicist and computing pioneer at Los Alamos. He worked on early electronic computation and gave the Monte Carlo method its casino-derived name. His later work on sampling algorithms became central to computational physics, statistics and many forms of simulation.尼古拉斯·梅特罗波利斯（Nicholas Metropolis）是一位希腊裔美国物理学家，也是洛斯阿拉莫斯的计算机先驱。他从事早期电子计算的研究，并为蒙特卡洛方法起了这个源自赌场名称的方法。他后来在抽样算法方面的研究成为计算物理、统计学以及多种模拟方法的核心。Nicholas Metrópolis fue un físico y pionero de la computación griego-estadounidense que trabajó en Los Álamos. Trabajó en cálculos electrónicos tempranos y dio al método Monte Carlo su nombre derivado del casino. Su trabajo posterior sobre algoritmos de muestreo se convirtió en fundamental para la física computacional, la estadística y muchas formas de simulación.كان نيكولاس متروبوليس فيزيائيًا أمريكيًا من أصل يوناني وواحدًا من رواد الحواسيب في لوس ألاموس. عمل على الحوسبة الإلكترونية المبكرة وأعطى للطريقة الإحصائية "مونتي كارلو" اسمها المشتق من الكازينو. ساهمت أعماله اللاحقة على خوارزميات أخذ العينات في تشكيل جوهر الفيزياء الحاسوبية والإحصاء والكثير من أشكال المحاكاة.Nicholas Metropolis foi um físico e pioneiro da computação grego-americano que trabalhou no Laboratório de Los Alamos. Trabalhou na computação eletrônica inicial e deu ao método Monte Carlo seu nome derivado de cassino. Seu trabalho posterior sobre algoritmos de amostragem tornou-se central para a física computacional, estatística e muitas formas de simulação.निकोलस मेट्रोपोलिस एक यूनानी-अमेरिकी भौतिकविद और लॉस एलमोस में कम्प्यूटिंग के प्रारंभिक दौर के विशिष्ट व्यक्ति थे। उन्होंने प्रारंभिक इलेक्ट्रॉनिक कम्प्यूटेशन पर कार्य किया और मोंटे कार्लो विधि का उस जुए के नाम पर आधारित नाम दिया। उनके बाद के कार्य नमूना एल्गोरिदम पर केंद्रित थे, जो भौतिकी के कम्प्यूटेशनल, सांख्यिकी और अनेक प्रकार की सिमुलेशन में केंद्रीय भूमिका निभाते हैं।Nicholas Metropolis adalah seorang fisikawan dan pelopor komputasi berkebangsaan Yunani-Amerika yang bekerja di Los Alamos. Ia meneliti komputasi elektronik awal dan memberi nama metode Monte Carlo dengan sebutan yang berasal dari kasino. Karyanya kemudian tentang algoritma pengambilan sampel menjadi pusat dalam fisika komputasi, statistik, dan berbagai bentuk simulasi.Nicholas Metropolis fut un physicien grec-américain et un pionnier de l'informatique à Los Alamos. Il travailla sur les premiers calculs électroniques et donna à la méthode Monte Carlo son nom inspiré des casinos. Son travail ultérieur sur les algorithmes d'échantillonnage devint central en physique computationnelle, en statistique et dans de nombreuses formes de simulation.ニコラス・メトロポリスは、ギリシャ系アメリカ人の物理学者で、ロスアラモスで活躍した計算機科学の先駆者である。彼は初期の電子計算機の開発に携わり、「モンテカルロ法」というカジノ由来の名称を考案した。その後、サンプリングアルゴリズムに関する研究は、計算物理学、統計学およびさまざまなシミュレーションにおいて中心的な役割を果たすことになった。Николас Метрополис был греко-американским физиком и пионером вычислительной техники в Лос-Аламосе. Он работал над ранними электронными вычислениями и дал методу Монте-Карло его название, происходящее от казино. Его более поздняя работа по алгоритмам выборки стала центральной для вычислительной физики, статистики и многих видов моделирования.Nicholas Metropolis war ein griechisch-amerikanischer Physiker und Pionier der Informatik am Los Alamos National Laboratory. Er arbeitete an frühen elektronischen Rechenverfahren und gab der Monte-Carlo-Methode ihren namensgebenden Bezug zum Casino. Seine späteren Arbeiten zu Sampling-Algorithmen wurden zentral für die theoretische Physik, Statistik und viele Formen der Simulation.니콜라스 메트로폴리스는 그리스계 미국인 물리학자이자 로스앨러모스에서 활동한 컴퓨팅 분야의 선구자였다. 그는 초기 전자 계산기에 참여했으며, 몬테카를로 방법에 도박장에서 유래된 이름을 붙였다. 이후 그가 개발한 샘플링 알고리즘은 계산 물리학, 통계학 및 다양한 시뮬레이션 분야의 핵심이 되었다.和其他人使用随机抽样来解决那些过于复杂而无法直接计算的问题。中子穿过物质，高维积分，可能未来分支的链：这些不是纸上针的问题，但它们共享同样的赌注。诚实地抽样空间，隐藏在几何中的数量就会逐渐显现。
A nineteenth-century wooden experiment table is covered with many scattered brass needlesIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Sobre una mesa reglada, una aguja cayendo transforma un círculo en una cuenta. Deja caerla con frecuencia, cuenta las intersecciones, y la antigua constante pi comienza a surgir de arañazos, errores y el estrecho accidente del ángulo.
En 1777, Georges-Louis Leclerc, Comte de BuffonPersonGeorges-Louis Leclerc, Comte de BuffonGeorges-Louis Leclerc, Comte de Buffon was an eighteenth-century French naturalist and mathematician, best known for his vast Histoire naturelle. His work ranged from zoology and geology to the mathematics of chance. In 1777 he published the needle problem that made random geometry a serious object of calculation.乔治-路易·勒克莱尔，布封伯爵是18世纪法国的博物学家和数学家，以其宏大的《自然史》最为著名。他的研究范围涵盖了动物学、地质学以及概率数学。1777年，他发表了“布丰投针问题”，使随机几何成为严肃的计算对象。Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon fue un naturalista y matemático francés del siglo XVIII, más conocido por su extensa Histoire naturelle. Su obra abarcó desde la zoología y la geología hasta las matemáticas de la probabilidad. En 1777 publicó el problema de la aguja, que convirtió la geometría aleatoria en un objeto serio de cálculo.جورج لويس لوكير، كونت دي بوفون كان عالم طبيعة ورياضيات فرنسي في القرن الثامن عشر، ويُعرف بشكل رئيسي بعمله الواسع "تاريخ طبيعي". امتدت أعماله من علم الحيوانات والجيولوجيا إلى رياضيات الحظ. نشر في عام 1777 مسألة الإبرة التي جعلت الهندسة العشوائية موضوعًا جادًا للحساب.Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon foi um naturalista e matemático francês do século XVIII, mais conhecido por sua vasta Histoire naturelle. Seu trabalho abrangia desde a zoologia e a geologia até a matemática da casualidade. Em 1777 publicou o problema da agulha, que tornou a geometria aleatória um objeto sério de cálculo.जीओर्ज-लुई लेक्लेर, काउंट डी बफ़ॉन अठारहवीं शताब्दी के फ़्रांसीसी प्राकृतिक विज्ञानी और गणितज्ञ थे, जिनके लिए उनकी विशाल "हिस्तोयर नैचुरेल" के कारण वे प्रसिद्ध हैं। उनका कार्य जीवविज्ञान और भूविज्ञान से लेकर संभाव्यता के गणित तक फैला हुआ था। 1777 में उन्होंने एक समस्या प्रकाशित की, जिसके कारण यादृच्छिक ज्यामिति गणना का गम्भीर विषय बन गई।Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon adalah seorang naturalis dan matematikawan Prancis abad keduabelas, yang paling dikenal karena karyanya yang luas, Histoire naturelle. Karyanya mencakup berbagai bidang, dari zoologi dan geologi hingga matematika peluang. Pada tahun 1777 ia menerbitkan masalah jarum yang membuat geometri acak menjadi objek serius dalam perhitungan.Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon, fut un naturaliste et mathématicien français du xviiie siècle, surtout connu pour son vaste ouvrage intitulé Histoire naturelle. Son œuvre s'étendait de la zoologie et de la géologie aux mathématiques du hasard. En 1777, il publia le problème de l'aiguille, qui fit de la géométrie aléatoire un objet sérieux de calcul.ジョルジュ＝ルイ・レクルール、バフオン男爵は18世紀のフランスの自然学者で、大規模な『自然史』で最も知られている。彼の研究は動物学や地質学から確率の数学に至るまで幅広かった。1777年、彼はランダム幾何学を真剣な計算対象とした針の問題を発表した。Жорж-Луи Леклерк, граф Бюффон, был французским натурописцем и математиком XVIII века, наиболее известным своей обширной «Натуральной историей». Его работы охватывали зоологию и геологию, а также математику вероятностей. В 1777 году он опубликовал задачу о игле, которая сделала случайную геометрию серьёзным объектом вычислений.Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon, war ein französischer Naturforscher und Mathematiker des 18. Jahrhunderts, am besten bekannt für sein umfassendes Werk Histoire naturelle. Seine Arbeit erstreckte sich von der Zoologie und Geologie bis hin zur Mathematik des Zufalls. 1777 veröffentlichte er das Nadelproblem, das die zufällige Geometrie zu einem ernstzunehmenden Gegenstand der Berechnung machte.조르주 루이 르클레르 코뮌 드 뷔퐁은 18세기 프랑스의 자연주의자이자 수학자로, 방대한 『자연사』로 가장 유명하다. 그의 연구 분야는 동물학과 지질학에서부터 확률의 수학에 이르기까지 폭넓었다. 1777년 그는 확률 기하학을 진지한 계산 대상으로 만든 핀 문제를 발표했다. planteó un problema tan sencillo que podía representarse con una hoja de papel y una aguja de coser. Dibujar líneas paralelas a distancias iguales. Dejar caer una aguja al azar. Preguntar por la probabilidad de que cruce una de las líneas. Era un experimento de salón con una dureza oculta: la respuesta contenía piConceptpiPi is the ratio of a circle's circumference to its diameter, approximately 3.14159. It appears first as a fact of circular geometry, but it recurs through analysis, probability, physics and number theory. In Buffon's needle problem it arises from averaging all possible orientations of a line segment.圆周率π是一个圆的周长与直径的比值，约为3.14159。它最初作为圆的几何特性出现，但随后在分析学、概率论、物理学和数论中反复出现。在布丰投针问题中，它来源于对线段所有可能方向的平均计算。Pi es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, aproximadamente 3,14159. Aparece en un primer momento como un hecho de la geometría circular, pero vuelve a aparecer a lo largo del análisis, la probabilidad, la física y la teoría de números. En el problema de la aguja de Buffon surge al promediar todas las orientaciones posibles de un segmento de línea.العدد باي هو نسبة محيط الدائرة إلى قطرها، ويُقدر بحوالي 3.14159. يظهر لأول مرة كمعلومة هندسية تتعلق بالدوائر، لكنه يتكرر في التحليل والاحتمالات والفيزياء ونظرية الأعداد. في مسألة إبرة بوفون، يظهر من متوسط جميع الاتجاهات الممكنة لقطعة مستقيمة.Pi é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro, aproximadamente 3,14159. Aparece pela primeira vez como fato da geometria circular, mas recorre através da análise, probabilidade, física e teoria dos números. No problema da agulha de Buffon, surge a partir da média de todas as orientações possíveis de um segmento de reta.π एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात है, लगभग 3.14159। यह सर्वप्रथम वृत्तीय ज्यामिति के तथ्य के रूप में प्रकट होता है, लेकिन विश्लेषण, संभाव्यता, भौतिकी और संख्या सिद्धांत में इसकी पुनरावृत्ति होती है। बफ़ोन की सुई की समस्या में एक रेखाखंड की सभी संभावित दिशाओं के औसत से यह उत्पन्न होता है।Pi adalah rasio keliling lingkaran terhadap diameternya, sekitar 3,14159. Pi muncul pertama kali sebagai fakta dalam geometri lingkaran, tetapi muncul kembali dalam analisis, probabilitas, fisika, dan teori bilangan. Dalam permasalahan jarum Buffon, Pi muncul dari rata-rata semua orientasi yang mungkin dari sebuah segmen garis.Pi est le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre, environ 3,14159. Il apparaît d'abord comme une propriété géométrique des cercles, mais il se retrouve ensuite en analyse, en probabilité, en physique et en théorie des nombres. Dans le problème de l'aiguille de Buffon, il émerge en prenant la moyenne de toutes les orientations possibles d'un segment de droite.円周率（パイ）は、円の円周長とその直径の比であり、約3.14159である。これは最初に円形幾何学における事実として現れるが、解析学、確率論、物理学および数論においても繰り返し登場する。バッフォンの針の問題では、線分の可能なすべての方位を平均することによって現れる。Число π представляет собой отношение длины окружности к её диаметру, приблизительно 3,14159. Оно впервые появляется как геометрический факт, связанный с окружностью, но затем встречается в анализе, теории вероятностей, физике и теории чисел. В задаче Бюффона о булавле оно возникает при усреднении всех возможных ориентаций отрезка прямой.π ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser und beträgt ungefähr 3,14159. Es tritt zuerst als geometrische Eigenschaft von Kreisen auf, taucht jedoch wiederholt in der Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Physik und Zahlentheorie auf. Beim Buffonschen Nadelproblem entsteht es aus der Durchschnittsbildung aller möglichen Ausrichtungen eines Liniensegments.원주율(π)은 원의 둘레와 지름의 비율로, 약 3.14159이다. 원의 기하학적 성질로서 처음 등장하지만, 해석학, 확률론, 물리학, 수론 등 여러 분야에서 반복적으로 나타난다. 버프론의 바늘 문제에서는 선분의 가능한 모든 방향의 평균을 구하면서 등장한다..
Buffon no pretendía crear un truco escolar. Su Essai d'arithmétique morale pertenecía a una nueva inquietud sobre la casualidad, la utilidad y la expectativa, una época en la que probabilityConceptprobabilityProbability is the mathematics of uncertain events. It began with problems in games of chance and grew into a language for risk, evidence, physics and statistics. By the eighteenth century, mathematicians were extending it beyond dice and cards into continuous settings where outcomes form regions rather than countable cases.概率论是对不确定事件的数学研究。它最初起源于对机会游戏问题的研究，后来发展成为描述风险、证据、物理和统计学的一种语言。到18世纪时，数学家们已将其应用范围从骰子和纸牌扩展到连续情形，其中结果形成区域而非可数的情况。La probabilidad es la matemática de los eventos inciertos. Comenzó con problemas en juegos de azar y se convirtió en un lenguaje para el riesgo, la evidencia, la física y la estadística. Para el siglo XVIII, los matemáticos ya la estaban extendiendo más allá de los dados y las cartas hacia contextos continuos donde los resultados forman regiones en lugar de casos contables.الاحتمال هو رياضيات الأحداث غير المؤكدة. بدأ مع مشاكل في ألعاب المقامرة، وانتهى بتصبح لغة للخطر والدلائل والفيزياء والإحصاء. بحلول القرن الثامن عشر، كان الرياضياتيون يمتدون بها إلى ما وراء النرد والبطاقات إلى الأوضاع المستمرة حيث تشكل النتائج مناطق بدلًا من الحالات العدديّة.A probabilidade é a matemática dos eventos incertos. Começou com problemas em jogos de azar e evoluiu para uma linguagem para risco, evidência, física e estatística. Até o século XVIII, matemáticos estavam a estendê-la além dos dados e cartas para situações contínuas, onde os resultados formam regiões em vez de casos contáveis.संभाव्यता अनिश्चित घटनाओं की गणित है। इसकी शुरुआत संभावना के खेलों से हुई और यह जोखिम, साक्ष्य, भौतिकी और सांख्यिकी की भाषा में विकसित हुई। अठारहवीं शताब्दी तक, गणितज्ञ इसे पासे और ताश के पत्तों से आगे बढ़ाकर ऐसे निरंतर स्थितियों में लागू करने लगे जहां परिणाम क्षेत्र बनाते हैं जबकि गिने जा सकने वाले मामले नहीं।Probabilitas adalah matematika dari kejadian yang tidak pasti. Awalnya muncul dari masalah dalam permainan keberuntungan, lalu berkembang menjadi bahasa untuk risiko, bukti, fisika, dan statistik. Pada abad kedelapan belas, para matematikawan mulai mengembangkannya melebihi dadu dan kartu ke dalam konteks kontinu di mana hasilnya membentuk daerah daripada kasus yang dapat dihitung.La probabilité est la mathématique des événements incertains. Elle a débuté avec des problèmes liés aux jeux de hasard et s'est développée en un langage pour exprimer le risque, les preuves, la physique et la statistique. Dès le XVIIIe siècle, les mathématiciens l'étendaient au-delà des dés et des cartes vers des contextes continus où les résultats forment des régions plutôt que des cas dénombrables.確率とは、不確実な事象を扱う数学の分野である。当初は、賭け事の問題から始まり、やがてリスク、証拠、物理学、統計学を表現する言語として発展した。18世紀までに、数学者たちはサイコロやトランプの問題にとどまらず、結果が個別に数えられるケースではなく領域を形成する連続的な設定へとその応用範囲を広げていた。Вероятность — это математика неопределённых событий. Она возникла из задач, связанных с азартными играми, и превратилась в язык для описания риска, доказательств, физики и статистики. К XVIII веку математики уже применяли её за пределами игральных костей и карт в непрерывных ситуациях, где результаты образуют области, а не счётные случаи.Wahrscheinlichkeit ist die Mathematik unsicherer Ereignisse. Sie begann mit Problemen in Glücksspielen und entwickelte sich zu einer Sprache für Risiko, Beweise, Physik und Statistik. Bis ins achtzehnte Jahrhundert hinüber erweiterten Mathematiker sie jenseits von Würfeln und Karten auf kontinuierliche Bereiche, in denen Ergebnisse Regionen statt abzählbarer Fälle bilden.확률은 불확실한 사건의 수학이다. 확률은 기회의 게임에서의 문제에서 시작하여 위험, 증거, 물리학 및 통계학의 언어로 발전하였다. 18세기까지 수학자들은 주사위와 카드를 넘어서 연속적인 상황으로 확률을 확장하여, 결과가 개수를 세어 셀 수 있는 경우가 아니라 영역을 이루는 경우를 다루게 되었다. pasaba de las mesas de juego a la ley, al seguro y a la filosofía natural. El problema de la aguja sacó la casualidad de los dados y la puso en el espacio. En lugar de preguntar cuántas caras podría mostrar un cubo, preguntaba cómo podía caer un objeto físico en un campo continuo de posibles posiciones.
Tomemos el caso más sencillo. Las líneas están separadas por una distancia d. La aguja tiene una longitud l, no mayor que d. Una vez que cae, dos magnitudes importan: la distancia x desde su centro a la línea más cercana, y el ángulo agudo theta que forma la aguja con las líneas trazadas. La aguja cruza si x no es mayor que la mitad de su altura proyectada: (l/2) sen theta.
A linen-covered eighteenth-century writing desk holds a sheet of paper ruled with evenly sIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
El área bajo el seno
El cálculo es breve, pero cambió el tipo de objeto que podía ser la probabilidad. El centro de la aguja puede encontrarse en cualquier lugar entre 0 y d/2 de distancia de la línea más cercana. El ángulo puede encontrarse en cualquier lugar entre 0 y pi/2. Estas dos variables forman un rectángulo de posibilidades. Dentro de él se halla la región curva donde x <= (l/2) sen theta. Su área es la integral de (l/2) sen theta desde 0 a pi/2, que es simplemente l/2.
Dividir esa área favorable por el rectángulo completo, (d/2)(pi/2), da como resultado la probabilidad de cruce, 2l/(pi d). Si la aguja tiene exactamente la misma longitud que el espacio entre las líneas, l = d, la expresión se reduce a 2/pi. Una constante redonda ha entrado por la puerta trasera, no porque nadie haya medido un círculo, sino porque todas las orientaciones de la aguja deben contarse.
A human hand releases a slender metal needle above a wooden surface featuring parallel inlIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Esa fue la nacimiento pequeño de geometric probabilityConceptgeometric probabilityGeometric probability studies chance by measuring lengths, areas, volumes or other geometric sets of possible outcomes. Buffon's needle is its classic early example: the answer comes from comparing a favourable region under a sine curve with a rectangle of all possible needle positions and angles.几何概率通过测量长度、面积、体积或其他几何集合的可能结果来研究概率。布丰的投针问题是其经典的早期例子：答案来自于将正弦曲线下的有利区域与所有可能的针的位置和角度所组成的矩形进行比较。La probabilidad geométrica estudia el azar midiendo longitudes, áreas, volúmenes u otros conjuntos geométricos de resultados posibles. La aguja de Buffon es su ejemplo clásico temprano: la respuesta proviene al comparar una región favorable bajo una curva seno con un rectángulo que contiene todas las posiciones y ángulos posibles de la aguja.تدرس الاحتمالات الهندسية الاحتمال من خلال قياس الطول أو المساحة أو الحجم أو مجموعات هندسية أخرى من النتائج الممكنة. تُعد مسألة إبرة بوفون مثالاً كلاسيكياً مبكرًا: حيث يُستنتج الجواب من خلال مقارنة منطقة مواتية تحت منحنى الجيب بمستطيل يمثل جميع مواقف الإبرة الممكنة وزواياها.A probabilidade geométrica estuda a chance medindo comprimentos, áreas, volumes ou outros conjuntos geométricos de resultados possíveis. A agulha de Buffon é seu exemplo clássico inicial: a resposta surge ao comparar uma região favorável sob uma curva senoidal com um retângulo contendo todas as posições e ângulos possíveis da agulha.ज्यामितीय संभाव्यता परिणामों के संभावित समुच्चय के रूप में लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन या अन्य ज्यामितीय समुच्चय के मापन द्वारा संभावना का अध्ययन करती है। बफ़न की सुई इसका एक प्रारंभिक उदाहरण है: उत्तर एक साइन वक्र के तहत एक लाभप्रद क्षेत्र की तुलना सभी संभावित सुई स्थितियों और कोणों के एक आयत के साथ करके प्राप्त होता है।Probabilitas geometris mempelajari peluang dengan mengukur panjang, luas, volume, atau himpunan geometris lain dari hasil yang mungkin. Contoh klasik awalnya adalah jarum Buffon: jawabannya diperoleh dengan membandingkan daerah yang menguntungkan di bawah kurva sinus dengan persegi panjang yang mencakup semua posisi dan sudut jarum yang mungkin.La probabilité géométrique étudie le hasard en mesurant des longueurs, des aires, des volumes ou d'autres ensembles géométriques d'événements possibles. L'aiguille de Buffon en est un exemple classique du début de cette discipline : la réponse provient d'une comparaison d'une région favorable sous une courbe sinus avec un rectangle contenant toutes les positions et angles possibles de l'aiguille.幾何確率論は、長さや面積、体積、あるいはその他の幾何的集合を測定することによって確率を研究する。バッフォンの針問題はその古典的な初期の例である。この問題の答えは、正弦曲線の下にある有利な領域を、針の位置と角度のすべての可能な長方形領域と比較することによって得られる。Геометрическая вероятность изучает вероятность, измеряя длины, площади, объемы или другие геометрические множества возможных исходов. Примером классической ранней задачи является игла Бюффона: ответ находится путем сравнения благоприятной области под синусоидальной кривой с прямоугольником всех возможных положений и углов иглы.Die geometrische Wahrscheinlichkeit untersucht das Zufallsereignis durch die Messung von Längen, Flächen, Volumina oder anderen geometrischen Mengen möglicher Ergebnisse. Das „Nadelproblem“ von Buffon ist ihr klassisches frühes Beispiel: die Lösung ergibt sich aus dem Vergleich einer günstigen Region unter einer Sinuslinie mit einem Rechteck aller möglichen Nadelpositionen und Winkel.기하 확률은 길이, 면적, 부피 또는 다른 기하학적 집합의 가능한 결과를 측정함으로써 확률을 연구한다. 버퐁의 바늘은 이 분야의 고전적인 초기 예시로, 정현 곡선 아래의 유리한 영역을 바늘의 가능한 모든 위치와 각도를 포함하는 직사각형과 비교함으로써 답을 얻는다.. La probabilidad discreta ordinaria puede contar casos: cara o cruz, seis caras de un dado, cincuenta y dos cartas. El problema de Buffon requirió una medida sobre un continuo. Preguntó qué parte de un espacio geométrico correspondía al éxito. Matemáticos posteriores harían más formal ese lenguaje, pero el movimiento esencial ya estaba allí en la aguja: reemplazar el conteo por el área, y la casualidad se convierte en geometría.
Lanzar para pi
La fórmula puede invertirse. Si se dejan caer n agujas y h cruzan una línea, entonces h/n estima la probabilidad de cruce. Reorganizando se obtiene que pi es aproximadamente igual a 2ln/(dh). La aritmética es casi ofensivamente simple. El trabajo está en hacer que las caídas sean genuinamente aleatorias y en aceptar lo lentamente que la aleatoriedad paga sus deudas.
A close macro view shows one metal needle crossing a deep groove in a wooden board while aIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Experimentadores del siglo XIX lo intentaron de todas formas. El astrónomo suizo Rudolf Wolf reportó 5,000 lanzamientos alrededor de 1850 y obtuvo un valor cercano a 3.1596. A. Hall publicó una determinación experimental en 1873. En 1901, Mario LazzariniPersonMario LazzariniMario Lazzarini was an Italian mathematician associated with a celebrated 1901 report on Buffon's needle. He claimed to have estimated pi as 355/113 from 3,408 needle drops, an accuracy so striking that later writers have questioned whether the experiment was stopped, selected or intended as a mathematical joke.马里奥·拉扎里尼是一位意大利数学家，因1901年关于布丰针问题的著名报告而知名。他声称通过3408次投针实验，将圆周率π估算为355/113，其精度之高令人惊讶，后来的作者因此质疑该实验是否被人为停止或选择性记录，甚至可能是出于数学玩笑的目的而设计的。Mario Lazzarini fue un matemático italiano asociado con un celebrado informe de 1901 sobre la aguja de Buffon. Afirmó haber estimado pi como 355/113 tras 3 408 lanzamientos de agujas, una precisión tan notable que escritores posteriores se han preguntado si el experimento fue interrumpido, seleccionado o si se pretendía como una broma matemática.مARIO لازاريني هو عالم رياضيات إيطالي تربطه صلة بالรายงาน المشهور لعام 1901 حول إبرة بوفون. فقد زعم أنه حسب قيمة باي على أنها 355/113 من خلال 3408 تجربة إسقاط إبرة، ودقة هذا التقدير كانت هائلة لدرجة أن المؤلفين اللاحقين شككوا فيما إذا تم إيقاف التجربة، أو اختيار النتائج، أو أن التجربة كانت مزحة رياضية مقصودة.Mario Lazzarini foi um matemático italiano associado a um celebrado relatório de 1901 sobre o problema da agulha de Buffon. Ele alegou ter estimado pi como 355/113 a partir de 3.408 lançamentos de agulhas, uma precisão tão notável que escritores posteriores questionaram se o experimento foi interrompido, selecionado ou se destinava a ser uma brincadeira matemática.मारियो लाज़ारिनी एक इतालवी गणितज्ञ थे जो बफ़न की सुई पर 1901 की प्रसिद्ध रिपोर्ट से जुड़े हुए थे। उन्होंने 3,408 सुई गिराने के बाद दावा किया कि वे pi को 355/113 के रूप में अनुमानित कर सकते हैं, जो इतनी शानदार सटीकता के साथ है कि बाद के लेखकों ने यह सवाल उठाया है कि क्या प्रयोग बंद कर दिया गया था, चयनित किया गया था या गणितीय उपहास के रूप में निर्धारित किया गया था।Mario Lazzarini adalah seorang matematikawan Italia yang dikaitkan dengan laporan terkenal tahun 1901 mengenai jarum Buffon. Ia mengklaim telah memperkirakan nilai pi sebagai 355/113 dari 3.408 kali melemparkan jarum, sebuah akurasi yang begitu mengejutkan sehingga penulis-penulis selanjutnya mempertanyakan apakah eksperimen tersebut dihentikan, disaring, atau dimaksudkan sebagai lelucon matematis.Mario Lazzarini fut un mathématicien italien associé à un célèbre rapport de 1901 sur l’aiguille de Buffon. Il affirma avoir estimé pi comme étant égal à 355/113 à partir de 3 408 lancers d’aiguille, une précision si remarquable que des auteurs ultérieurs se sont interrogés sur le fait de savoir si l’expérience avait été arrêtée, sélectionnée ou conçue comme une plaisanterie mathématique.マリオ・ラザリニは、1901年のバッフォンの針に関する著名な報告書に関連したイタリアの数学者である。彼は3,408回の針を落とす実験を通じて、円周率を355/113と推定した。その精度は際立っており、後年の研究者はこの実験が終了した時点で結果が選定されたのか、あるいは単なる数学的ジョークであったのかを疑問視している。Марио Лазарини — итальянский математик, связанный с известным докладом 1901 года о игле Бюффона. Он утверждал, что оценил число пи как 355/113, используя 3408 бросков иглы, что настолько удивительно точно, что позднейшие авторы поставили под сомнение, не было ли эксперимент остановлен, подобран или же задуман как математический шут.Mario Lazzarini war ein italienischer Mathematiker, der mit einem berühmten Bericht von 1901 über das Nadelproblem von Buffon in Verbindung gebracht wird. Er behauptete, er habe π durch 355/113 aus 3408 Nadelwürfen geschätzt, eine Genauigkeit, die so bemerkenswert ist, dass spätere Autoren sich gefragt haben, ob das Experiment beendet, ausgewählt oder als mathematischer Witz gemeint war.마리오 라자리니(Mario Lazzarini)는 버논의 바늘(Buffon's needle)에 관한 1901년 유명한 보고서와 관련된 이탈리아 수학자이다. 그는 3,408번의 바늘 던지기 실험을 통해 원주율을 355/113으로 추정하였다. 이는 놀랄 만큼 정확한 수치로, 후에 이 실험이 중단되었거나 일부러 선택되었거나, 혹은 수학적 농담이 의도되었는지에 대해 의문을 제기하는 이들이 있었다. afirmó algo mucho más preciso: 3,408 lanzamientos de agujas de 25 milímetros de largo sobre líneas separadas por 30 milímetros, produciendo 355/113, la famosa aproximación de seis decimales 3.1415929.
El resultado de Lazzarini siempre ha parecido demasiado pulido. Con su relación l/d = 5/6, la fórmula se vuelve especialmente amistosa para 355/113, y estadísticos posteriores han tratado el informe con sospecha: quizás se detuvo en un momento conveniente, quizás se seleccionó, quizás se escribió con un guiño para profesores en lugar de como una medición seria. El punto no es que la fórmula de Buffon falle. Es que la aleatoriedad física es un pobre siervo cuando se le pide demasiados decimales.
Aun así, la acción importó. Estimar pi contando cruces de agujas es calcular con la casualidad. Mucho antes de las computadoras electrónicas, la mesa de Buffon ofrecía una simulación análoga: una máquina estocástica hecha de madera, tinta y metal cayendo.
De agujas a Monte Carlo
A finales de los años 40, la frase Monte Carlo methodConceptMonte Carlo methodThe Monte Carlo method uses repeated random sampling to estimate quantities that are hard to compute directly. The name was coined in the mid-twentieth century during work at Los Alamos, but its ancestry reaches back to experiments such as Buffon's needle, where chance is used as a calculating device.蒙特卡罗方法利用重复的随机抽样来估算难以直接计算的数量。这一名称诞生于二十世纪中期洛斯阿拉莫斯的研究工作，但它的起源可以追溯到布丰针实验等早期实验，在这些实验中，概率被用作计算工具。El método Monte Carlo utiliza muestreo aleatorio repetido para estimar cantidades que resultan difíciles de calcular directamente. El nombre fue acuñado a mediados del siglo veinte durante trabajos en Los Alamos, pero su ascendencia se remonta a experimentos como la aguja de Buffon, donde el azar se emplea como dispositivo de cálculo.تستخدم طريقة مونتي كارلو أخذ العينات العشوائية المتكررة لتقدير الكميات التي من الصعب حسابها مباشرة. سُمِّيت الطريقة بهذا الاسم في منتصف القرن العشرين أثناء العمل في لوس ألاموس، لكن جذورها تعود إلى تجارب مثل عود بافون، حيث تُستخدم الفرصة كجهاز حسابي.O método Monte Carlo utiliza amostragem aleatória repetida para estimar quantidades difíceis de serem calculadas diretamente. O nome foi cunhado na segunda metade do século XX durante trabalhos em Los Alamos, mas sua ascendência remonta a experimentos como a agulha de Buffon, nos quais o acaso é usado como um dispositivo de cálculo.मॉन्टे कार्लो विधि के उपयोग से द्वारा सीधे गणना करने में कठिन मात्राओं का अनुमान बनाया जाता है। इसका नाम मध्य बीसवीं शताब्दी में लॉस एलमोस में कार्य के दौरान रखा गया था, लेकिन इसकी वंशवृति बफोन की सुई जैसे प्रयोगों तक पहुंचती है, जहां अवसर के उपयोग की गणना करने की एक युक्ति के रूप में की गई थी।Metode Monte Carlo menggunakan pengambilan sampel acak berulang untuk memperkirakan kuantitas yang sulit dihitung secara langsung. Nama ini diciptakan pada pertengahan abad kedua puluh selama pekerjaan di Los Alamos, tetapi asal usulnya dapat dilacak kembali ke eksperimen seperti jarum Buffon, di mana kebetulan digunakan sebagai alat perhitungan.La méthode Monte Carlo utilise un échantillonnage aléatoire répété pour estimer des quantités difficiles à calculer directement. Le nom a été forgé au milieu du vingtième siècle lors des travaux à Los Alamos, mais ses origines remontent à des expériences telles que l'aiguille de Buffon, où le hasard est utilisé comme dispositif de calcul.モンテカルロ法は、直接計算するのが困難な数量を推定するために、繰り返し無作為サンプリングを行う手法である。この名称は20世紀半ばにロスアラモスでの研究中に造られたが、その起源はバッフォンの針などの実験にまで遡り、これらは確率を計算装置として用いるものである。Метод Монте-Карло использует многократное случайное выборочное исследование для оценки величин, которые сложно вычислить напрямую. Название метода появилось в середине двадцатого века во время работ в Лос-Аламосе, но его происхождение связано с такими экспериментами, как игла Бюффона, где случайность используется как вычислительное устройство.Die Monte-Carlo-Methode verwendet wiederholte zufällige Stichproben, um Größen zu schätzen, die sich direkt schwer berechnen lassen. Der Name wurde Mitte des zwanzigsten Jahrhunderts während der Arbeit am Los Alamos National Laboratory geprägt, doch ihre Ursprünge reichen bis zu Experimenten wie dem Nadelproblem von Buffon zurück, bei dem das Zufallsprinzip als Rechenhilfe eingesetzt wird.몬테카를로 방법은 직접 계산하기 어려운 수량을 추정하기 위해 반복적인 확률적 표본추출을 사용한다. 이 방법의 이름은 20세기 중반 로스앨러모스에서의 연구 중 지어졌지만, 그 기원은 버퐁의 바늘 실험과 같이 확률을 계산 도구로 활용한 이전의 실험들로까지 거슬러 올라간다. adquirió su significado moderno en Los Álamos, donde John von NeumannPersonJohn von NeumannHungarian-American polymath (1903–1957) who made foundational contributions to set theory, quantum mechanics, game theory, computing, and nuclear weapons design. Present at the 1930 Königsberg conference where Gödel first hinted at incompleteness, he was reportedly the only attendee who grasped the result on the spot and independently derived the second incompleteness theorem within weeks.匈牙利裔美国博学者（1903—1957），在集合论、量子力学、博弈论、计算与核武器设计等领域作出奠基性贡献。1930 年哥廷根会议上，哥德尔首次暗示不完备性结果时他在场，据称是当场唯一领会其要义的与会者，并在数周内独立推导出第二不完备性定理。Polímata húngaro-estadounidense (1903-1957) que realizó contribuciones fundamentales a la teoría de conjuntos, la mecánica cuántica, la teoría de juegos, la computación y el diseño de armas nucleares. Presente en la conferencia de Königsberg de 1930, donde Gödel insinuó por primera vez la incompletitud, fue, según se dice, el único asistente que captó el resultado en el acto y dedujo de forma independiente el segundo teorema de incompletitud en cuestión de semanas.عالم موسوعي مجري-أمريكي (1903–1957) قدّم إسهامات تأسيسية في نظرية المجموعات وميكانيكا الكم ونظرية الألعاب والحوسبة وتصميم الأسلحة النووية. حضر مؤتمر كونيغسبرغ عام 1930 حيث ألمح غودل لأول مرة إلى نظرية عدم الاكتمال، ويُقال إنه كان الحاضر الوحيد الذي استوعب النتيجة على الفور، واستنتج بشكل مستقل نظرية عدم الاكتمال الثانية في غضون أسابيع.Polímata húngaro-americano (1903–1957) que deu contribuições fundamentais à teoria dos conjuntos, à mecânica quântica, à teoria dos jogos, à computação e ao projeto de armas nucleares. Presente na conferência de Königsberg de 1930, onde Gödel insinuou pela primeira vez a incompletude, foi, segundo relatos, o único participante a captar o resultado imediatamente e a deduzir de forma independente o segundo teorema da incompletude em poucas semanas.हंगेरियाई-अमेरिकी बहुश्रुत विद्वान (1903–1957) जिन्होंने समुच्चय सिद्धांत, क्वांटम यांत्रिकी, खेल सिद्धांत, संगणन और परमाणु हथियार अभिकल्पना में आधारभूत योगदान दिए। 1930 के कोनिग्सबर्ग सम्मेलन में उपस्थित, जहाँ गोडेल ने पहली बार अपूर्णता का संकेत दिया था, वे कथित रूप से एकमात्र ऐसे श्रोता थे जिन्होंने उसी क्षण इस परिणाम को समझ लिया और कुछ ही सप्ताहों के भीतर स्वतंत्र रूप से द्वितीय अपूर्णता प्रमेय की व्युत्पत्ति कर ली।Polimat Hungaria-Amerika (1903–1957) yang memberikan kontribusi fundamental pada teori himpunan, mekanika kuantum, teori permainan, komputasi, dan desain senjata nuklir. Hadir pada konferensi Königsberg 1930 ketika Gödel pertama kali mengisyaratkan ketidaklengkapan, ia dilaporkan sebagai satu-satunya peserta yang langsung memahami hasil tersebut di tempat dan secara independen menurunkan teorema ketidaklengkapan kedua dalam hitungan minggu.Polymathe américano-hongrois (1903-1957) qui apporta des contributions fondamentales à la théorie des ensembles, à la mécanique quantique, à la théorie des jeux, à l'informatique et à la conception des armes nucléaires. Présent à la conférence de Königsberg de 1930 où Gödel évoqua pour la première fois l'incomplétude, il fut, dit-on, le seul participant à saisir le résultat sur-le-champ et à dériver indépendamment le second théorème d'incomplétude en l'espace de quelques semaines.ハンガリー系アメリカ人の博学者（1903–1957）。集合論、量子力学、ゲーム理論、計算機科学、核兵器設計に基礎的な貢献をなした。1930年のケーニヒスベルク会議に出席し、ゲーデルが不完全性を初めて示唆した際、その結果をその場で把握した唯一の参加者であったと伝えられ、数週間のうちに第二不完全性定理を独自に導出した。Венгеро-американский эрудит (1903–1957), внёсший фундаментальный вклад в теорию множеств, квантовую механику, теорию игр, вычислительную технику и конструирование ядерного оружия. Присутствовал на Кёнигсбергской конференции 1930 года, где Гёдель впервые намекнул на неполноту; по имеющимся свидетельствам, он был единственным из участников, кто сразу осознал результат, и в течение нескольких недель самостоятельно вывел вторую теорему о неполноте.Ungarisch-amerikanischer Universalgelehrter (1903–1957), der grundlegende Beiträge zur Mengenlehre, Quantenmechanik, Spieltheorie, Informatik und zum Entwurf von Kernwaffen leistete. Anwesend auf der Königsberger Tagung 1930, auf der Gödel erstmals die Unvollständigkeit andeutete, soll er der einzige Teilnehmer gewesen sein, der das Ergebnis sofort erfasste, und leitete innerhalb weniger Wochen unabhängig den zweiten Unvollständigkeitssatz her.헝가리계 미국인 박학다식가(1903–1957)로, 집합론, 양자역학, 게임이론, 컴퓨팅, 핵무기 설계에 기초적인 기여를 했다. 1930년 쾨니히스베르크 회의에서 괴델이 불완전성을 처음 시사했을 때 참석했으며, 그 자리에서 결과를 즉시 이해한 유일한 참석자였다고 전해지고, 몇 주 만에 독자적으로 제2 불완전성 정리를 도출했다., Stanisław UlamPersonStanisław UlamStanisław Ulam was a Polish-American mathematician who worked at Los Alamos after the Second World War. He helped shape the modern Monte Carlo method, using random sampling to study problems in nuclear physics and computation. His career also touched set theory, topology, cellular automata and the design of early thermonuclear weapons.斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆（Stanisław Ulam）是一位波兰裔美国数学家，第二次世界大战后在洛斯阿拉莫斯工作。他帮助创立了现代蒙特卡洛方法，利用随机抽样研究核物理和计算中的问题。他的职业生涯还涉及集合论、拓扑学、细胞自动机以及早期热核武器的设计。Stanisław Ulam fue un matemático polaco-estadounidense que trabajó en Los Alamos tras la Segunda Guerra Mundial. Ayudó a desarrollar el moderno método Monte Carlo, que utiliza muestreo aleatorio para estudiar problemas de física nuclear y cálculo. Su carrera también abarcó la teoría de conjuntos, la topología, las máquinas celulares y el diseño de armas termonucleares tempranas.كان ستانيسلاف أولام عالم رياضيات بولندي-أمريكي عمل في لوس ألموس بعد الحرب العالمية الثانية. ساعد في تشكيل الطريقة الحديثة لمنطقة مونتي كارلو، باستخدام العينات العشوائية لدراسة المشكلات في الفيزياء النووية والحساب. شملت مسيرته المهنية أيضًا نظرية المجموعات والטופولوجيا والآلات الخلوية التلقائية والتصميم المبكر للأسلحة الحرارية النووية.Stanislaw Ulam foi um matemático polonês-americano que trabalhou em Los Alamos após a Segunda Guerra Mundial. Ele ajudou a desenvolver o método Monte Carlo moderno, usando amostragem aleatória para estudar problemas na física nuclear e computação. Sua carreira também abrangeu a teoria dos conjuntos, a topologia, os autômatos celulares e o desenho das primeiras armas termonucleares.स्टैनिस्लाव उलाम एक पोलिश-अमेरिकी गणितज्ञ थे जिन्होंने द्वितीय विश्व युद्ध के बाद लॉस एलमोस में काम किया। उन्होंने आधुनिक मॉन्टे कार्लो विधि का विकास किया, जिसमें नाभिकीय भौतिकी और कंप्यूटेशन में समस्याओं के अध्ययन के लिए यादृच्छिक नमूना लेने का उपयोग किया गया। उनके करियर में समुच्चय सिद्धांत, टोपोलॉजी, सेलुलर ऑटोमेटा और प्रारंभिक थर्मोन्यूक्लियर हथियारों के डिज़ाइन को भी छू लिया।Stanisław Ulam adalah seorang matematikawan Polandia-Amerika yang bekerja di Los Alamos setelah Perang Dunia Kedua. Ia membantu membentuk metode Monte Carlo modern, yang menggunakan sampel acak untuk mempelajari masalah dalam fisika nuklir dan komputasi. Kariernya juga meliputi teori himpunan, topologi, otomata seluler, serta desain senjata termonuklir awal.Stanisław Ulam fut un mathématicien polonais-américain qui travailla à Los Alamos après la Seconde Guerre mondiale. Il contribua à l'élaboration de la méthode moderne de Monte Carlo, utilisant l'échantillonnage aléatoire pour étudier des problèmes de physique nucléaire et de calcul. Sa carrière toucha également la théorie des ensembles, la topologie, les automates cellulaires et la conception des premières armes thermonucléaires.スタニスワフ・ウラムは第二次世界大戦後にロスアラモスで研究したポーランド出身のアメリカ人数学者である。モンテカルロ法の現代的な形を築くのに貢献し、核物理および計算における問題を確率的サンプリングによって研究した。彼の研究分野は集合論、位相幾何学、セル・オートマトンおよび初期の熱核融合兵器の設計にも及んでいる。Станислав Улам — польский и американский математик, работавший в Лос-Аламосе после Второй мировой войны. Он помог сформировать современный метод Монте-Карло, используя случайную выборку для изучения проблем в ядерной физике и вычислениях. Его карьера также касалась теории множеств, топологии, клеточных автоматов и разработки ранних термоядерных оружий.Stanisław Ulam war ein polnisch-amerikanischer Mathematiker, der nach dem Zweiten Weltkrieg am Los Alamos National Laboratory arbeitete. Er trug wesentlich zur Entwicklung der modernen Monte-Carlo-Methode bei, bei der zufällige Stichproben zur Untersuchung von Problemen in der Kernphysik und der Berechnung eingesetzt werden. Seine Karriere umfasste zudem die Mengenlehre, Topologie, zelluläre Automaten und das Design früher thermonuklearer Waffen.스테파니우 슐람(Stanisław Ulam)은 제2차 세계대전 이후 로스앨러모스에서 일한 폴란드계 미국 수학자였다. 그는 핵물리학과 계산 문제를 연구하기 위해 무작위 표집을 사용하는 현대 몬테카를로 방법의 발전에 기여했다. 그의 경력은 집합론, 위상수학, 세포 자동기 및 초기 열핵무기 설계에도 걸쳐졌다., Nicholas MetropolisPersonNicholas MetropolisNicholas Metropolis was a Greek-American physicist and computing pioneer at Los Alamos. He worked on early electronic computation and gave the Monte Carlo method its casino-derived name. His later work on sampling algorithms became central to computational physics, statistics and many forms of simulation.尼古拉斯·梅特罗波利斯（Nicholas Metropolis）是一位希腊裔美国物理学家，也是洛斯阿拉莫斯的计算机先驱。他从事早期电子计算的研究，并为蒙特卡洛方法起了这个源自赌场名称的方法。他后来在抽样算法方面的研究成为计算物理、统计学以及多种模拟方法的核心。Nicholas Metrópolis fue un físico y pionero de la computación griego-estadounidense que trabajó en Los Álamos. Trabajó en cálculos electrónicos tempranos y dio al método Monte Carlo su nombre derivado del casino. Su trabajo posterior sobre algoritmos de muestreo se convirtió en fundamental para la física computacional, la estadística y muchas formas de simulación.كان نيكولاس متروبوليس فيزيائيًا أمريكيًا من أصل يوناني وواحدًا من رواد الحواسيب في لوس ألاموس. عمل على الحوسبة الإلكترونية المبكرة وأعطى للطريقة الإحصائية "مونتي كارلو" اسمها المشتق من الكازينو. ساهمت أعماله اللاحقة على خوارزميات أخذ العينات في تشكيل جوهر الفيزياء الحاسوبية والإحصاء والكثير من أشكال المحاكاة.Nicholas Metropolis foi um físico e pioneiro da computação grego-americano que trabalhou no Laboratório de Los Alamos. Trabalhou na computação eletrônica inicial e deu ao método Monte Carlo seu nome derivado de cassino. Seu trabalho posterior sobre algoritmos de amostragem tornou-se central para a física computacional, estatística e muitas formas de simulação.निकोलस मेट्रोपोलिस एक यूनानी-अमेरिकी भौतिकविद और लॉस एलमोस में कम्प्यूटिंग के प्रारंभिक दौर के विशिष्ट व्यक्ति थे। उन्होंने प्रारंभिक इलेक्ट्रॉनिक कम्प्यूटेशन पर कार्य किया और मोंटे कार्लो विधि का उस जुए के नाम पर आधारित नाम दिया। उनके बाद के कार्य नमूना एल्गोरिदम पर केंद्रित थे, जो भौतिकी के कम्प्यूटेशनल, सांख्यिकी और अनेक प्रकार की सिमुलेशन में केंद्रीय भूमिका निभाते हैं।Nicholas Metropolis adalah seorang fisikawan dan pelopor komputasi berkebangsaan Yunani-Amerika yang bekerja di Los Alamos. Ia meneliti komputasi elektronik awal dan memberi nama metode Monte Carlo dengan sebutan yang berasal dari kasino. Karyanya kemudian tentang algoritma pengambilan sampel menjadi pusat dalam fisika komputasi, statistik, dan berbagai bentuk simulasi.Nicholas Metropolis fut un physicien grec-américain et un pionnier de l'informatique à Los Alamos. Il travailla sur les premiers calculs électroniques et donna à la méthode Monte Carlo son nom inspiré des casinos. Son travail ultérieur sur les algorithmes d'échantillonnage devint central en physique computationnelle, en statistique et dans de nombreuses formes de simulation.ニコラス・メトロポリスは、ギリシャ系アメリカ人の物理学者で、ロスアラモスで活躍した計算機科学の先駆者である。彼は初期の電子計算機の開発に携わり、「モンテカルロ法」というカジノ由来の名称を考案した。その後、サンプリングアルゴリズムに関する研究は、計算物理学、統計学およびさまざまなシミュレーションにおいて中心的な役割を果たすことになった。Николас Метрополис был греко-американским физиком и пионером вычислительной техники в Лос-Аламосе. Он работал над ранними электронными вычислениями и дал методу Монте-Карло его название, происходящее от казино. Его более поздняя работа по алгоритмам выборки стала центральной для вычислительной физики, статистики и многих видов моделирования.Nicholas Metropolis war ein griechisch-amerikanischer Physiker und Pionier der Informatik am Los Alamos National Laboratory. Er arbeitete an frühen elektronischen Rechenverfahren und gab der Monte-Carlo-Methode ihren namensgebenden Bezug zum Casino. Seine späteren Arbeiten zu Sampling-Algorithmen wurden zentral für die theoretische Physik, Statistik und viele Formen der Simulation.니콜라스 메트로폴리스는 그리스계 미국인 물리학자이자 로스앨러모스에서 활동한 컴퓨팅 분야의 선구자였다. 그는 초기 전자 계산기에 참여했으며, 몬테카를로 방법에 도박장에서 유래된 이름을 붙였다. 이후 그가 개발한 샘플링 알고리즘은 계산 물리학, 통계학 및 다양한 시뮬레이션 분야의 핵심이 되었다. y otros usaron muestreo aleatorio para abordar problemas demasiado entrelazados para cálculos directos. Neutrones moviéndose a través de la materia, integrales de alta dimensión, cadenas ramificadas de posibles futuros: estos no eran problemas de aguja sobre papel, pero compartían la misma apuesta. Muestrear el espacio con honestidad suficiente, y una cantidad oculta en la geometría comenzará a revelarse.
A nineteenth-century wooden experiment table is covered with many scattered brass needlesIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
La aguja de Buffon es, por tanto, tanto antepasada como advertencia. Demuestra el instinto Monte Carlo con casi ninguna maquinaria, pero también muestra el costo. Las estimaciones aleatorias convergen a una velocidad proporcional a uno dividido por la raíz cuadrada del número de ensayos. Para ganar un decimal adicional, uno no necesita diez veces más lanzamientos, sino aproximadamente cien veces más. Un millón de agujas seguiría siendo una manera torpe de aprender lo que una circunferencia ya conoce.
El método sobrevivió porque pi nunca fue el verdadero premio. El hecho importante era que una probabilidad podía sustituir a una integral. El conteo de cruces de Buffon mide el área bajo una curva de seno sin dibujar directamente esa área. Las simulaciones modernas hacen lo mismo en espacios más hostiles, donde la integral puede tener miles de dimensiones y ninguna imagen humana en absoluto.
A tidy tabletop reconstruction uses a set of identical metal needles and a board with grooIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Lo que la aguja deja abierto
La palabra aleatorio hace más trabajo del que parece. La derivación de Buffon asume que la posición central y el ángulo están uniformemente distribuidos. Una mano humana soltando una aguja puede favorecer ciertos ángulos; un tablero puede tener bordes; una aguja puede rebotar, rodar o quedar atrapada.
También hay la cuestión de lo que Buffon realmente hizo, en lugar de lo que demostró. Las historias sobre rebanadas de pan lanzadas sobre un piso de baldosas han circulado durante generaciones, pero la base documental es delgada. La matemática es más firme que la anécdota.
A mid-century laboratory tabletop uses diceIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Lazzarini sigue siendo otro caso abierto. Sus números de 1901 son famosos en parte porque son tan buenos, y sospechosos por la misma razón. Un resultado puede ser matemáticamente compatible con un experimento y aún así ser difícil de confiar históricamente.
La incertidumbre más profunda es filosófica. Cuando un mundo determinista suministra una dispersión de resultados, ¿dónde exactamente entra la casualidad: en la ignorancia, en el desorden físico, o en el modelo que elegimos imponer? La aguja de Buffon no resuelve la pregunta. Le da un piso limpio y una línea para cruzar.
Una aguja caída no tiene idea de qué es pi. Caen, o fallan. Solo después de muchos movimientos indiferentes se anuncia el círculo, en silencio, en el libro de cruces.
Numa mesa traçada, uma agulha caindo transforma um círculo em uma contagem. Deixe-a cair com frequência suficiente, conte as interseções, e a antiga constante pi começa a surgir dos riscos, dos erros e do estreito acaso do ângulo.
Em 1777, Georges-Louis Leclerc, Comte de BuffonPersonGeorges-Louis Leclerc, Comte de BuffonGeorges-Louis Leclerc, Comte de Buffon was an eighteenth-century French naturalist and mathematician, best known for his vast Histoire naturelle. His work ranged from zoology and geology to the mathematics of chance. In 1777 he published the needle problem that made random geometry a serious object of calculation.乔治-路易·勒克莱尔，布封伯爵是18世纪法国的博物学家和数学家，以其宏大的《自然史》最为著名。他的研究范围涵盖了动物学、地质学以及概率数学。1777年，他发表了“布丰投针问题”，使随机几何成为严肃的计算对象。Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon fue un naturalista y matemático francés del siglo XVIII, más conocido por su extensa Histoire naturelle. Su obra abarcó desde la zoología y la geología hasta las matemáticas de la probabilidad. En 1777 publicó el problema de la aguja, que convirtió la geometría aleatoria en un objeto serio de cálculo.جورج لويس لوكير، كونت دي بوفون كان عالم طبيعة ورياضيات فرنسي في القرن الثامن عشر، ويُعرف بشكل رئيسي بعمله الواسع "تاريخ طبيعي". امتدت أعماله من علم الحيوانات والجيولوجيا إلى رياضيات الحظ. نشر في عام 1777 مسألة الإبرة التي جعلت الهندسة العشوائية موضوعًا جادًا للحساب.Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon foi um naturalista e matemático francês do século XVIII, mais conhecido por sua vasta Histoire naturelle. Seu trabalho abrangia desde a zoologia e a geologia até a matemática da casualidade. Em 1777 publicou o problema da agulha, que tornou a geometria aleatória um objeto sério de cálculo.जीओर्ज-लुई लेक्लेर, काउंट डी बफ़ॉन अठारहवीं शताब्दी के फ़्रांसीसी प्राकृतिक विज्ञानी और गणितज्ञ थे, जिनके लिए उनकी विशाल "हिस्तोयर नैचुरेल" के कारण वे प्रसिद्ध हैं। उनका कार्य जीवविज्ञान और भूविज्ञान से लेकर संभाव्यता के गणित तक फैला हुआ था। 1777 में उन्होंने एक समस्या प्रकाशित की, जिसके कारण यादृच्छिक ज्यामिति गणना का गम्भीर विषय बन गई।Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon adalah seorang naturalis dan matematikawan Prancis abad keduabelas, yang paling dikenal karena karyanya yang luas, Histoire naturelle. Karyanya mencakup berbagai bidang, dari zoologi dan geologi hingga matematika peluang. Pada tahun 1777 ia menerbitkan masalah jarum yang membuat geometri acak menjadi objek serius dalam perhitungan.Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon, fut un naturaliste et mathématicien français du xviiie siècle, surtout connu pour son vaste ouvrage intitulé Histoire naturelle. Son œuvre s'étendait de la zoologie et de la géologie aux mathématiques du hasard. En 1777, il publia le problème de l'aiguille, qui fit de la géométrie aléatoire un objet sérieux de calcul.ジョルジュ＝ルイ・レクルール、バフオン男爵は18世紀のフランスの自然学者で、大規模な『自然史』で最も知られている。彼の研究は動物学や地質学から確率の数学に至るまで幅広かった。1777年、彼はランダム幾何学を真剣な計算対象とした針の問題を発表した。Жорж-Луи Леклерк, граф Бюффон, был французским натурописцем и математиком XVIII века, наиболее известным своей обширной «Натуральной историей». Его работы охватывали зоологию и геологию, а также математику вероятностей. В 1777 году он опубликовал задачу о игле, которая сделала случайную геометрию серьёзным объектом вычислений.Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon, war ein französischer Naturforscher und Mathematiker des 18. Jahrhunderts, am besten bekannt für sein umfassendes Werk Histoire naturelle. Seine Arbeit erstreckte sich von der Zoologie und Geologie bis hin zur Mathematik des Zufalls. 1777 veröffentlichte er das Nadelproblem, das die zufällige Geometrie zu einem ernstzunehmenden Gegenstand der Berechnung machte.조르주 루이 르클레르 코뮌 드 뷔퐁은 18세기 프랑스의 자연주의자이자 수학자로, 방대한 『자연사』로 가장 유명하다. 그의 연구 분야는 동물학과 지질학에서부터 확률의 수학에 이르기까지 폭넓었다. 1777년 그는 확률 기하학을 진지한 계산 대상으로 만든 핀 문제를 발표했다. formulou um problema tão simples que podia ser realizado com uma folha de papel e uma agulha de costura. Desenhe linhas paralelas a distâncias iguais. Deixe cair uma agulha ao acaso. Peça a probabilidade de que ela cruze uma das linhas. Era um experimento de salão com uma aresta dura: a resposta continha piConceptpiPi is the ratio of a circle's circumference to its diameter, approximately 3.14159. It appears first as a fact of circular geometry, but it recurs through analysis, probability, physics and number theory. In Buffon's needle problem it arises from averaging all possible orientations of a line segment.圆周率π是一个圆的周长与直径的比值，约为3.14159。它最初作为圆的几何特性出现，但随后在分析学、概率论、物理学和数论中反复出现。在布丰投针问题中，它来源于对线段所有可能方向的平均计算。Pi es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, aproximadamente 3,14159. Aparece en un primer momento como un hecho de la geometría circular, pero vuelve a aparecer a lo largo del análisis, la probabilidad, la física y la teoría de números. En el problema de la aguja de Buffon surge al promediar todas las orientaciones posibles de un segmento de línea.العدد باي هو نسبة محيط الدائرة إلى قطرها، ويُقدر بحوالي 3.14159. يظهر لأول مرة كمعلومة هندسية تتعلق بالدوائر، لكنه يتكرر في التحليل والاحتمالات والفيزياء ونظرية الأعداد. في مسألة إبرة بوفون، يظهر من متوسط جميع الاتجاهات الممكنة لقطعة مستقيمة.Pi é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro, aproximadamente 3,14159. Aparece pela primeira vez como fato da geometria circular, mas recorre através da análise, probabilidade, física e teoria dos números. No problema da agulha de Buffon, surge a partir da média de todas as orientações possíveis de um segmento de reta.π एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात है, लगभग 3.14159। यह सर्वप्रथम वृत्तीय ज्यामिति के तथ्य के रूप में प्रकट होता है, लेकिन विश्लेषण, संभाव्यता, भौतिकी और संख्या सिद्धांत में इसकी पुनरावृत्ति होती है। बफ़ोन की सुई की समस्या में एक रेखाखंड की सभी संभावित दिशाओं के औसत से यह उत्पन्न होता है।Pi adalah rasio keliling lingkaran terhadap diameternya, sekitar 3,14159. Pi muncul pertama kali sebagai fakta dalam geometri lingkaran, tetapi muncul kembali dalam analisis, probabilitas, fisika, dan teori bilangan. Dalam permasalahan jarum Buffon, Pi muncul dari rata-rata semua orientasi yang mungkin dari sebuah segmen garis.Pi est le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre, environ 3,14159. Il apparaît d'abord comme une propriété géométrique des cercles, mais il se retrouve ensuite en analyse, en probabilité, en physique et en théorie des nombres. Dans le problème de l'aiguille de Buffon, il émerge en prenant la moyenne de toutes les orientations possibles d'un segment de droite.円周率（パイ）は、円の円周長とその直径の比であり、約3.14159である。これは最初に円形幾何学における事実として現れるが、解析学、確率論、物理学および数論においても繰り返し登場する。バッフォンの針の問題では、線分の可能なすべての方位を平均することによって現れる。Число π представляет собой отношение длины окружности к её диаметру, приблизительно 3,14159. Оно впервые появляется как геометрический факт, связанный с окружностью, но затем встречается в анализе, теории вероятностей, физике и теории чисел. В задаче Бюффона о булавле оно возникает при усреднении всех возможных ориентаций отрезка прямой.π ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser und beträgt ungefähr 3,14159. Es tritt zuerst als geometrische Eigenschaft von Kreisen auf, taucht jedoch wiederholt in der Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Physik und Zahlentheorie auf. Beim Buffonschen Nadelproblem entsteht es aus der Durchschnittsbildung aller möglichen Ausrichtungen eines Liniensegments.원주율(π)은 원의 둘레와 지름의 비율로, 약 3.14159이다. 원의 기하학적 성질로서 처음 등장하지만, 해석학, 확률론, 물리학, 수론 등 여러 분야에서 반복적으로 나타난다. 버프론의 바늘 문제에서는 선분의 가능한 모든 방향의 평균을 구하면서 등장한다..
Buffon não estava tentando criar um truque escolar. Seu Essai d'arithmetique morale pertencia a uma nova inquietação sobre acaso, utilidade e expectativa, uma época em que probabilityConceptprobabilityProbability is the mathematics of uncertain events. It began with problems in games of chance and grew into a language for risk, evidence, physics and statistics. By the eighteenth century, mathematicians were extending it beyond dice and cards into continuous settings where outcomes form regions rather than countable cases.概率论是对不确定事件的数学研究。它最初起源于对机会游戏问题的研究，后来发展成为描述风险、证据、物理和统计学的一种语言。到18世纪时，数学家们已将其应用范围从骰子和纸牌扩展到连续情形，其中结果形成区域而非可数的情况。La probabilidad es la matemática de los eventos inciertos. Comenzó con problemas en juegos de azar y se convirtió en un lenguaje para el riesgo, la evidencia, la física y la estadística. Para el siglo XVIII, los matemáticos ya la estaban extendiendo más allá de los dados y las cartas hacia contextos continuos donde los resultados forman regiones en lugar de casos contables.الاحتمال هو رياضيات الأحداث غير المؤكدة. بدأ مع مشاكل في ألعاب المقامرة، وانتهى بتصبح لغة للخطر والدلائل والفيزياء والإحصاء. بحلول القرن الثامن عشر، كان الرياضياتيون يمتدون بها إلى ما وراء النرد والبطاقات إلى الأوضاع المستمرة حيث تشكل النتائج مناطق بدلًا من الحالات العدديّة.A probabilidade é a matemática dos eventos incertos. Começou com problemas em jogos de azar e evoluiu para uma linguagem para risco, evidência, física e estatística. Até o século XVIII, matemáticos estavam a estendê-la além dos dados e cartas para situações contínuas, onde os resultados formam regiões em vez de casos contáveis.संभाव्यता अनिश्चित घटनाओं की गणित है। इसकी शुरुआत संभावना के खेलों से हुई और यह जोखिम, साक्ष्य, भौतिकी और सांख्यिकी की भाषा में विकसित हुई। अठारहवीं शताब्दी तक, गणितज्ञ इसे पासे और ताश के पत्तों से आगे बढ़ाकर ऐसे निरंतर स्थितियों में लागू करने लगे जहां परिणाम क्षेत्र बनाते हैं जबकि गिने जा सकने वाले मामले नहीं।Probabilitas adalah matematika dari kejadian yang tidak pasti. Awalnya muncul dari masalah dalam permainan keberuntungan, lalu berkembang menjadi bahasa untuk risiko, bukti, fisika, dan statistik. Pada abad kedelapan belas, para matematikawan mulai mengembangkannya melebihi dadu dan kartu ke dalam konteks kontinu di mana hasilnya membentuk daerah daripada kasus yang dapat dihitung.La probabilité est la mathématique des événements incertains. Elle a débuté avec des problèmes liés aux jeux de hasard et s'est développée en un langage pour exprimer le risque, les preuves, la physique et la statistique. Dès le XVIIIe siècle, les mathématiciens l'étendaient au-delà des dés et des cartes vers des contextes continus où les résultats forment des régions plutôt que des cas dénombrables.確率とは、不確実な事象を扱う数学の分野である。当初は、賭け事の問題から始まり、やがてリスク、証拠、物理学、統計学を表現する言語として発展した。18世紀までに、数学者たちはサイコロやトランプの問題にとどまらず、結果が個別に数えられるケースではなく領域を形成する連続的な設定へとその応用範囲を広げていた。Вероятность — это математика неопределённых событий. Она возникла из задач, связанных с азартными играми, и превратилась в язык для описания риска, доказательств, физики и статистики. К XVIII веку математики уже применяли её за пределами игральных костей и карт в непрерывных ситуациях, где результаты образуют области, а не счётные случаи.Wahrscheinlichkeit ist die Mathematik unsicherer Ereignisse. Sie begann mit Problemen in Glücksspielen und entwickelte sich zu einer Sprache für Risiko, Beweise, Physik und Statistik. Bis ins achtzehnte Jahrhundert hinüber erweiterten Mathematiker sie jenseits von Würfeln und Karten auf kontinuierliche Bereiche, in denen Ergebnisse Regionen statt abzählbarer Fälle bilden.확률은 불확실한 사건의 수학이다. 확률은 기회의 게임에서의 문제에서 시작하여 위험, 증거, 물리학 및 통계학의 언어로 발전하였다. 18세기까지 수학자들은 주사위와 카드를 넘어서 연속적인 상황으로 확률을 확장하여, 결과가 개수를 세어 셀 수 있는 경우가 아니라 영역을 이루는 경우를 다루게 되었다. estava se deslocando das mesas de jogo para a lei, a seguridade e a filosofia natural. O problema da agulha tirou o acaso dos dados e o colocou no espaço. Em vez de perguntar quantas faces um cubo poderia mostrar, perguntou como um objeto físico poderia cair em um campo contínuo de posições possíveis.
Considere o caso mais simples. As linhas estão separadas por uma distância d. A agulha tem comprimento l, não maior que d. Uma vez que ela cai, duas quantidades importam: a distância x de seu centro até a linha mais próxima, e o ângulo agudo theta que a agulha forma com as linhas traçadas. A agulha cruza se x não for maior que a metade de sua altura projetada: (l/2) sen theta.
A linen-covered eighteenth-century writing desk holds a sheet of paper ruled with evenly sIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
A área sob o seno
O cálculo é breve, mas mudou o tipo de objeto que a probabilidade podia ser. O centro da agulha pode estar em qualquer lugar entre 0 e d/2 da linha mais próxima. O ângulo pode estar em qualquer lugar entre 0 e pi/2. Essas duas variáveis formam um retângulo de possibilidades. Dentro dele está a região curva onde x <= (l/2) sen theta. Sua área é a integral de (l/2) sen theta de 0 a pi/2, que é simplesmente l/2.
Divida essa área favorável pela área total do retângulo, (d/2)(pi/2), e a probabilidade de uma interseção é 2l/(pi d). Se a agulha tiver exatamente o mesmo comprimento que a distância entre as linhas, l = d, a expressão se reduz a 2/pi. Uma constante redonda entrou pela porta dos fundos, não porque alguém mediu um círculo, mas porque todas as orientações da agulha precisavam ser contadas.
A human hand releases a slender metal needle above a wooden surface featuring parallel inlIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Foi esse o pequeno nascimento de geometric probabilityConceptgeometric probabilityGeometric probability studies chance by measuring lengths, areas, volumes or other geometric sets of possible outcomes. Buffon's needle is its classic early example: the answer comes from comparing a favourable region under a sine curve with a rectangle of all possible needle positions and angles.几何概率通过测量长度、面积、体积或其他几何集合的可能结果来研究概率。布丰的投针问题是其经典的早期例子：答案来自于将正弦曲线下的有利区域与所有可能的针的位置和角度所组成的矩形进行比较。La probabilidad geométrica estudia el azar midiendo longitudes, áreas, volúmenes u otros conjuntos geométricos de resultados posibles. La aguja de Buffon es su ejemplo clásico temprano: la respuesta proviene al comparar una región favorable bajo una curva seno con un rectángulo que contiene todas las posiciones y ángulos posibles de la aguja.تدرس الاحتمالات الهندسية الاحتمال من خلال قياس الطول أو المساحة أو الحجم أو مجموعات هندسية أخرى من النتائج الممكنة. تُعد مسألة إبرة بوفون مثالاً كلاسيكياً مبكرًا: حيث يُستنتج الجواب من خلال مقارنة منطقة مواتية تحت منحنى الجيب بمستطيل يمثل جميع مواقف الإبرة الممكنة وزواياها.A probabilidade geométrica estuda a chance medindo comprimentos, áreas, volumes ou outros conjuntos geométricos de resultados possíveis. A agulha de Buffon é seu exemplo clássico inicial: a resposta surge ao comparar uma região favorável sob uma curva senoidal com um retângulo contendo todas as posições e ângulos possíveis da agulha.ज्यामितीय संभाव्यता परिणामों के संभावित समुच्चय के रूप में लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन या अन्य ज्यामितीय समुच्चय के मापन द्वारा संभावना का अध्ययन करती है। बफ़न की सुई इसका एक प्रारंभिक उदाहरण है: उत्तर एक साइन वक्र के तहत एक लाभप्रद क्षेत्र की तुलना सभी संभावित सुई स्थितियों और कोणों के एक आयत के साथ करके प्राप्त होता है।Probabilitas geometris mempelajari peluang dengan mengukur panjang, luas, volume, atau himpunan geometris lain dari hasil yang mungkin. Contoh klasik awalnya adalah jarum Buffon: jawabannya diperoleh dengan membandingkan daerah yang menguntungkan di bawah kurva sinus dengan persegi panjang yang mencakup semua posisi dan sudut jarum yang mungkin.La probabilité géométrique étudie le hasard en mesurant des longueurs, des aires, des volumes ou d'autres ensembles géométriques d'événements possibles. L'aiguille de Buffon en est un exemple classique du début de cette discipline : la réponse provient d'une comparaison d'une région favorable sous une courbe sinus avec un rectangle contenant toutes les positions et angles possibles de l'aiguille.幾何確率論は、長さや面積、体積、あるいはその他の幾何的集合を測定することによって確率を研究する。バッフォンの針問題はその古典的な初期の例である。この問題の答えは、正弦曲線の下にある有利な領域を、針の位置と角度のすべての可能な長方形領域と比較することによって得られる。Геометрическая вероятность изучает вероятность, измеряя длины, площади, объемы или другие геометрические множества возможных исходов. Примером классической ранней задачи является игла Бюффона: ответ находится путем сравнения благоприятной области под синусоидальной кривой с прямоугольником всех возможных положений и углов иглы.Die geometrische Wahrscheinlichkeit untersucht das Zufallsereignis durch die Messung von Längen, Flächen, Volumina oder anderen geometrischen Mengen möglicher Ergebnisse. Das „Nadelproblem“ von Buffon ist ihr klassisches frühes Beispiel: die Lösung ergibt sich aus dem Vergleich einer günstigen Region unter einer Sinuslinie mit einem Rechteck aller möglichen Nadelpositionen und Winkel.기하 확률은 길이, 면적, 부피 또는 다른 기하학적 집합의 가능한 결과를 측정함으로써 확률을 연구한다. 버퐁의 바늘은 이 분야의 고전적인 초기 예시로, 정현 곡선 아래의 유리한 영역을 바늘의 가능한 모든 위치와 각도를 포함하는 직사각형과 비교함으로써 답을 얻는다.. A probabilidade discreta comum pode contar casos: cara ou coroa, seis lados de um dado, 52 cartas. O problema de Buffon exigiu uma medida sobre um contínuo. Ele perguntou quanto de um espaço geométrico correspondia ao sucesso. Matemáticos posteriores formalizariam essa linguagem, mas o movimento essencial já está lá na agulha: substituir a contagem pela área, e a chance torna-se geometria.
Lançando para pi
A fórmula pode ser invertida. Se n agulhas forem lançadas e h cruzar uma linha, então h/n estima a probabilidade de interseção. Reorganizando, temos pi aproximadamente igual a 2ln/(dh). A aritmética é quase ofensivamente simples. O trabalho está em tornar as quedas verdadeiramente aleatórias e em aceitar o quão lentamente o acaso paga suas dívidas.
A close macro view shows one metal needle crossing a deep groove in a wooden board while aIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Experimentadores do século XIX tentaram mesmo assim. O astrônomo suíço Rudolf Wolf relatou 5.000 lançamentos em torno de 1850 e obteve um valor próximo a 3,1596. A. Hall publicou uma determinação experimental em 1873. Em 1901, Mario LazzariniPersonMario LazzariniMario Lazzarini was an Italian mathematician associated with a celebrated 1901 report on Buffon's needle. He claimed to have estimated pi as 355/113 from 3,408 needle drops, an accuracy so striking that later writers have questioned whether the experiment was stopped, selected or intended as a mathematical joke.马里奥·拉扎里尼是一位意大利数学家，因1901年关于布丰针问题的著名报告而知名。他声称通过3408次投针实验，将圆周率π估算为355/113，其精度之高令人惊讶，后来的作者因此质疑该实验是否被人为停止或选择性记录，甚至可能是出于数学玩笑的目的而设计的。Mario Lazzarini fue un matemático italiano asociado con un celebrado informe de 1901 sobre la aguja de Buffon. Afirmó haber estimado pi como 355/113 tras 3 408 lanzamientos de agujas, una precisión tan notable que escritores posteriores se han preguntado si el experimento fue interrumpido, seleccionado o si se pretendía como una broma matemática.مARIO لازاريني هو عالم رياضيات إيطالي تربطه صلة بالรายงาน المشهور لعام 1901 حول إبرة بوفون. فقد زعم أنه حسب قيمة باي على أنها 355/113 من خلال 3408 تجربة إسقاط إبرة، ودقة هذا التقدير كانت هائلة لدرجة أن المؤلفين اللاحقين شككوا فيما إذا تم إيقاف التجربة، أو اختيار النتائج، أو أن التجربة كانت مزحة رياضية مقصودة.Mario Lazzarini foi um matemático italiano associado a um celebrado relatório de 1901 sobre o problema da agulha de Buffon. Ele alegou ter estimado pi como 355/113 a partir de 3.408 lançamentos de agulhas, uma precisão tão notável que escritores posteriores questionaram se o experimento foi interrompido, selecionado ou se destinava a ser uma brincadeira matemática.मारियो लाज़ारिनी एक इतालवी गणितज्ञ थे जो बफ़न की सुई पर 1901 की प्रसिद्ध रिपोर्ट से जुड़े हुए थे। उन्होंने 3,408 सुई गिराने के बाद दावा किया कि वे pi को 355/113 के रूप में अनुमानित कर सकते हैं, जो इतनी शानदार सटीकता के साथ है कि बाद के लेखकों ने यह सवाल उठाया है कि क्या प्रयोग बंद कर दिया गया था, चयनित किया गया था या गणितीय उपहास के रूप में निर्धारित किया गया था।Mario Lazzarini adalah seorang matematikawan Italia yang dikaitkan dengan laporan terkenal tahun 1901 mengenai jarum Buffon. Ia mengklaim telah memperkirakan nilai pi sebagai 355/113 dari 3.408 kali melemparkan jarum, sebuah akurasi yang begitu mengejutkan sehingga penulis-penulis selanjutnya mempertanyakan apakah eksperimen tersebut dihentikan, disaring, atau dimaksudkan sebagai lelucon matematis.Mario Lazzarini fut un mathématicien italien associé à un célèbre rapport de 1901 sur l’aiguille de Buffon. Il affirma avoir estimé pi comme étant égal à 355/113 à partir de 3 408 lancers d’aiguille, une précision si remarquable que des auteurs ultérieurs se sont interrogés sur le fait de savoir si l’expérience avait été arrêtée, sélectionnée ou conçue comme une plaisanterie mathématique.マリオ・ラザリニは、1901年のバッフォンの針に関する著名な報告書に関連したイタリアの数学者である。彼は3,408回の針を落とす実験を通じて、円周率を355/113と推定した。その精度は際立っており、後年の研究者はこの実験が終了した時点で結果が選定されたのか、あるいは単なる数学的ジョークであったのかを疑問視している。Марио Лазарини — итальянский математик, связанный с известным докладом 1901 года о игле Бюффона. Он утверждал, что оценил число пи как 355/113, используя 3408 бросков иглы, что настолько удивительно точно, что позднейшие авторы поставили под сомнение, не было ли эксперимент остановлен, подобран или же задуман как математический шут.Mario Lazzarini war ein italienischer Mathematiker, der mit einem berühmten Bericht von 1901 über das Nadelproblem von Buffon in Verbindung gebracht wird. Er behauptete, er habe π durch 355/113 aus 3408 Nadelwürfen geschätzt, eine Genauigkeit, die so bemerkenswert ist, dass spätere Autoren sich gefragt haben, ob das Experiment beendet, ausgewählt oder als mathematischer Witz gemeint war.마리오 라자리니(Mario Lazzarini)는 버논의 바늘(Buffon's needle)에 관한 1901년 유명한 보고서와 관련된 이탈리아 수학자이다. 그는 3,408번의 바늘 던지기 실험을 통해 원주율을 355/113으로 추정하였다. 이는 놀랄 만큼 정확한 수치로, 후에 이 실험이 중단되었거나 일부러 선택되었거나, 혹은 수학적 농담이 의도되었는지에 대해 의문을 제기하는 이들이 있었다. afirmou algo muito mais preciso: 3.408 lançamentos de agulhas de 25 milímetros em linhas espaçadas 30 milímetros, produzindo 355/113, a famosa aproximação de seis casas decimais 3,1415929.
O resultado de Lazzarini sempre pareceu excessivamente polido. Com sua razão l/d = 5/6, a fórmula torna-se particularmente amigável a 355/113, e estatísticos posteriores trataram o relato com suspeita: talvez interrompido em um momento conveniente, talvez selecionado, talvez escrito com um sorriso para professores em vez de como uma medição séria. O ponto não é que a fórmula de Buffon falhe. É que o acaso físico é um servo pobre quando se pede muitas casas decimais.
Ainda assim, a ação importou. Estimar pi contando cruzamentos de agulhas é calcular com acaso. Muito antes dos computadores eletrônicos, a mesa de Buffon oferecia uma simulação analógica: uma máquina estocástica feita de madeira, tinta e metal caindo.
Das agulhas a Monte Carlo
No final dos anos 1940, a expressão Monte Carlo methodConceptMonte Carlo methodThe Monte Carlo method uses repeated random sampling to estimate quantities that are hard to compute directly. The name was coined in the mid-twentieth century during work at Los Alamos, but its ancestry reaches back to experiments such as Buffon's needle, where chance is used as a calculating device.蒙特卡罗方法利用重复的随机抽样来估算难以直接计算的数量。这一名称诞生于二十世纪中期洛斯阿拉莫斯的研究工作，但它的起源可以追溯到布丰针实验等早期实验，在这些实验中，概率被用作计算工具。El método Monte Carlo utiliza muestreo aleatorio repetido para estimar cantidades que resultan difíciles de calcular directamente. El nombre fue acuñado a mediados del siglo veinte durante trabajos en Los Alamos, pero su ascendencia se remonta a experimentos como la aguja de Buffon, donde el azar se emplea como dispositivo de cálculo.تستخدم طريقة مونتي كارلو أخذ العينات العشوائية المتكررة لتقدير الكميات التي من الصعب حسابها مباشرة. سُمِّيت الطريقة بهذا الاسم في منتصف القرن العشرين أثناء العمل في لوس ألاموس، لكن جذورها تعود إلى تجارب مثل عود بافون، حيث تُستخدم الفرصة كجهاز حسابي.O método Monte Carlo utiliza amostragem aleatória repetida para estimar quantidades difíceis de serem calculadas diretamente. O nome foi cunhado na segunda metade do século XX durante trabalhos em Los Alamos, mas sua ascendência remonta a experimentos como a agulha de Buffon, nos quais o acaso é usado como um dispositivo de cálculo.मॉन्टे कार्लो विधि के उपयोग से द्वारा सीधे गणना करने में कठिन मात्राओं का अनुमान बनाया जाता है। इसका नाम मध्य बीसवीं शताब्दी में लॉस एलमोस में कार्य के दौरान रखा गया था, लेकिन इसकी वंशवृति बफोन की सुई जैसे प्रयोगों तक पहुंचती है, जहां अवसर के उपयोग की गणना करने की एक युक्ति के रूप में की गई थी।Metode Monte Carlo menggunakan pengambilan sampel acak berulang untuk memperkirakan kuantitas yang sulit dihitung secara langsung. Nama ini diciptakan pada pertengahan abad kedua puluh selama pekerjaan di Los Alamos, tetapi asal usulnya dapat dilacak kembali ke eksperimen seperti jarum Buffon, di mana kebetulan digunakan sebagai alat perhitungan.La méthode Monte Carlo utilise un échantillonnage aléatoire répété pour estimer des quantités difficiles à calculer directement. Le nom a été forgé au milieu du vingtième siècle lors des travaux à Los Alamos, mais ses origines remontent à des expériences telles que l'aiguille de Buffon, où le hasard est utilisé comme dispositif de calcul.モンテカルロ法は、直接計算するのが困難な数量を推定するために、繰り返し無作為サンプリングを行う手法である。この名称は20世紀半ばにロスアラモスでの研究中に造られたが、その起源はバッフォンの針などの実験にまで遡り、これらは確率を計算装置として用いるものである。Метод Монте-Карло использует многократное случайное выборочное исследование для оценки величин, которые сложно вычислить напрямую. Название метода появилось в середине двадцатого века во время работ в Лос-Аламосе, но его происхождение связано с такими экспериментами, как игла Бюффона, где случайность используется как вычислительное устройство.Die Monte-Carlo-Methode verwendet wiederholte zufällige Stichproben, um Größen zu schätzen, die sich direkt schwer berechnen lassen. Der Name wurde Mitte des zwanzigsten Jahrhunderts während der Arbeit am Los Alamos National Laboratory geprägt, doch ihre Ursprünge reichen bis zu Experimenten wie dem Nadelproblem von Buffon zurück, bei dem das Zufallsprinzip als Rechenhilfe eingesetzt wird.몬테카를로 방법은 직접 계산하기 어려운 수량을 추정하기 위해 반복적인 확률적 표본추출을 사용한다. 이 방법의 이름은 20세기 중반 로스앨러모스에서의 연구 중 지어졌지만, 그 기원은 버퐁의 바늘 실험과 같이 확률을 계산 도구로 활용한 이전의 실험들로까지 거슬러 올라간다. adquiriu seu significado moderno em Los Alamos, onde John von NeumannPersonJohn von NeumannHungarian-American polymath (1903–1957) who made foundational contributions to set theory, quantum mechanics, game theory, computing, and nuclear weapons design. Present at the 1930 Königsberg conference where Gödel first hinted at incompleteness, he was reportedly the only attendee who grasped the result on the spot and independently derived the second incompleteness theorem within weeks.匈牙利裔美国博学者（1903—1957），在集合论、量子力学、博弈论、计算与核武器设计等领域作出奠基性贡献。1930 年哥廷根会议上，哥德尔首次暗示不完备性结果时他在场，据称是当场唯一领会其要义的与会者，并在数周内独立推导出第二不完备性定理。Polímata húngaro-estadounidense (1903-1957) que realizó contribuciones fundamentales a la teoría de conjuntos, la mecánica cuántica, la teoría de juegos, la computación y el diseño de armas nucleares. Presente en la conferencia de Königsberg de 1930, donde Gödel insinuó por primera vez la incompletitud, fue, según se dice, el único asistente que captó el resultado en el acto y dedujo de forma independiente el segundo teorema de incompletitud en cuestión de semanas.عالم موسوعي مجري-أمريكي (1903–1957) قدّم إسهامات تأسيسية في نظرية المجموعات وميكانيكا الكم ونظرية الألعاب والحوسبة وتصميم الأسلحة النووية. حضر مؤتمر كونيغسبرغ عام 1930 حيث ألمح غودل لأول مرة إلى نظرية عدم الاكتمال، ويُقال إنه كان الحاضر الوحيد الذي استوعب النتيجة على الفور، واستنتج بشكل مستقل نظرية عدم الاكتمال الثانية في غضون أسابيع.Polímata húngaro-americano (1903–1957) que deu contribuições fundamentais à teoria dos conjuntos, à mecânica quântica, à teoria dos jogos, à computação e ao projeto de armas nucleares. Presente na conferência de Königsberg de 1930, onde Gödel insinuou pela primeira vez a incompletude, foi, segundo relatos, o único participante a captar o resultado imediatamente e a deduzir de forma independente o segundo teorema da incompletude em poucas semanas.हंगेरियाई-अमेरिकी बहुश्रुत विद्वान (1903–1957) जिन्होंने समुच्चय सिद्धांत, क्वांटम यांत्रिकी, खेल सिद्धांत, संगणन और परमाणु हथियार अभिकल्पना में आधारभूत योगदान दिए। 1930 के कोनिग्सबर्ग सम्मेलन में उपस्थित, जहाँ गोडेल ने पहली बार अपूर्णता का संकेत दिया था, वे कथित रूप से एकमात्र ऐसे श्रोता थे जिन्होंने उसी क्षण इस परिणाम को समझ लिया और कुछ ही सप्ताहों के भीतर स्वतंत्र रूप से द्वितीय अपूर्णता प्रमेय की व्युत्पत्ति कर ली।Polimat Hungaria-Amerika (1903–1957) yang memberikan kontribusi fundamental pada teori himpunan, mekanika kuantum, teori permainan, komputasi, dan desain senjata nuklir. Hadir pada konferensi Königsberg 1930 ketika Gödel pertama kali mengisyaratkan ketidaklengkapan, ia dilaporkan sebagai satu-satunya peserta yang langsung memahami hasil tersebut di tempat dan secara independen menurunkan teorema ketidaklengkapan kedua dalam hitungan minggu.Polymathe américano-hongrois (1903-1957) qui apporta des contributions fondamentales à la théorie des ensembles, à la mécanique quantique, à la théorie des jeux, à l'informatique et à la conception des armes nucléaires. Présent à la conférence de Königsberg de 1930 où Gödel évoqua pour la première fois l'incomplétude, il fut, dit-on, le seul participant à saisir le résultat sur-le-champ et à dériver indépendamment le second théorème d'incomplétude en l'espace de quelques semaines.ハンガリー系アメリカ人の博学者（1903–1957）。集合論、量子力学、ゲーム理論、計算機科学、核兵器設計に基礎的な貢献をなした。1930年のケーニヒスベルク会議に出席し、ゲーデルが不完全性を初めて示唆した際、その結果をその場で把握した唯一の参加者であったと伝えられ、数週間のうちに第二不完全性定理を独自に導出した。Венгеро-американский эрудит (1903–1957), внёсший фундаментальный вклад в теорию множеств, квантовую механику, теорию игр, вычислительную технику и конструирование ядерного оружия. Присутствовал на Кёнигсбергской конференции 1930 года, где Гёдель впервые намекнул на неполноту; по имеющимся свидетельствам, он был единственным из участников, кто сразу осознал результат, и в течение нескольких недель самостоятельно вывел вторую теорему о неполноте.Ungarisch-amerikanischer Universalgelehrter (1903–1957), der grundlegende Beiträge zur Mengenlehre, Quantenmechanik, Spieltheorie, Informatik und zum Entwurf von Kernwaffen leistete. Anwesend auf der Königsberger Tagung 1930, auf der Gödel erstmals die Unvollständigkeit andeutete, soll er der einzige Teilnehmer gewesen sein, der das Ergebnis sofort erfasste, und leitete innerhalb weniger Wochen unabhängig den zweiten Unvollständigkeitssatz her.헝가리계 미국인 박학다식가(1903–1957)로, 집합론, 양자역학, 게임이론, 컴퓨팅, 핵무기 설계에 기초적인 기여를 했다. 1930년 쾨니히스베르크 회의에서 괴델이 불완전성을 처음 시사했을 때 참석했으며, 그 자리에서 결과를 즉시 이해한 유일한 참석자였다고 전해지고, 몇 주 만에 독자적으로 제2 불완전성 정리를 도출했다., Stanisław UlamPersonStanisław UlamStanisław Ulam was a Polish-American mathematician who worked at Los Alamos after the Second World War. He helped shape the modern Monte Carlo method, using random sampling to study problems in nuclear physics and computation. His career also touched set theory, topology, cellular automata and the design of early thermonuclear weapons.斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆（Stanisław Ulam）是一位波兰裔美国数学家，第二次世界大战后在洛斯阿拉莫斯工作。他帮助创立了现代蒙特卡洛方法，利用随机抽样研究核物理和计算中的问题。他的职业生涯还涉及集合论、拓扑学、细胞自动机以及早期热核武器的设计。Stanisław Ulam fue un matemático polaco-estadounidense que trabajó en Los Alamos tras la Segunda Guerra Mundial. Ayudó a desarrollar el moderno método Monte Carlo, que utiliza muestreo aleatorio para estudiar problemas de física nuclear y cálculo. Su carrera también abarcó la teoría de conjuntos, la topología, las máquinas celulares y el diseño de armas termonucleares tempranas.كان ستانيسلاف أولام عالم رياضيات بولندي-أمريكي عمل في لوس ألموس بعد الحرب العالمية الثانية. ساعد في تشكيل الطريقة الحديثة لمنطقة مونتي كارلو، باستخدام العينات العشوائية لدراسة المشكلات في الفيزياء النووية والحساب. شملت مسيرته المهنية أيضًا نظرية المجموعات والטופولوجيا والآلات الخلوية التلقائية والتصميم المبكر للأسلحة الحرارية النووية.Stanislaw Ulam foi um matemático polonês-americano que trabalhou em Los Alamos após a Segunda Guerra Mundial. Ele ajudou a desenvolver o método Monte Carlo moderno, usando amostragem aleatória para estudar problemas na física nuclear e computação. Sua carreira também abrangeu a teoria dos conjuntos, a topologia, os autômatos celulares e o desenho das primeiras armas termonucleares.स्टैनिस्लाव उलाम एक पोलिश-अमेरिकी गणितज्ञ थे जिन्होंने द्वितीय विश्व युद्ध के बाद लॉस एलमोस में काम किया। उन्होंने आधुनिक मॉन्टे कार्लो विधि का विकास किया, जिसमें नाभिकीय भौतिकी और कंप्यूटेशन में समस्याओं के अध्ययन के लिए यादृच्छिक नमूना लेने का उपयोग किया गया। उनके करियर में समुच्चय सिद्धांत, टोपोलॉजी, सेलुलर ऑटोमेटा और प्रारंभिक थर्मोन्यूक्लियर हथियारों के डिज़ाइन को भी छू लिया।Stanisław Ulam adalah seorang matematikawan Polandia-Amerika yang bekerja di Los Alamos setelah Perang Dunia Kedua. Ia membantu membentuk metode Monte Carlo modern, yang menggunakan sampel acak untuk mempelajari masalah dalam fisika nuklir dan komputasi. Kariernya juga meliputi teori himpunan, topologi, otomata seluler, serta desain senjata termonuklir awal.Stanisław Ulam fut un mathématicien polonais-américain qui travailla à Los Alamos après la Seconde Guerre mondiale. Il contribua à l'élaboration de la méthode moderne de Monte Carlo, utilisant l'échantillonnage aléatoire pour étudier des problèmes de physique nucléaire et de calcul. Sa carrière toucha également la théorie des ensembles, la topologie, les automates cellulaires et la conception des premières armes thermonucléaires.スタニスワフ・ウラムは第二次世界大戦後にロスアラモスで研究したポーランド出身のアメリカ人数学者である。モンテカルロ法の現代的な形を築くのに貢献し、核物理および計算における問題を確率的サンプリングによって研究した。彼の研究分野は集合論、位相幾何学、セル・オートマトンおよび初期の熱核融合兵器の設計にも及んでいる。Станислав Улам — польский и американский математик, работавший в Лос-Аламосе после Второй мировой войны. Он помог сформировать современный метод Монте-Карло, используя случайную выборку для изучения проблем в ядерной физике и вычислениях. Его карьера также касалась теории множеств, топологии, клеточных автоматов и разработки ранних термоядерных оружий.Stanisław Ulam war ein polnisch-amerikanischer Mathematiker, der nach dem Zweiten Weltkrieg am Los Alamos National Laboratory arbeitete. Er trug wesentlich zur Entwicklung der modernen Monte-Carlo-Methode bei, bei der zufällige Stichproben zur Untersuchung von Problemen in der Kernphysik und der Berechnung eingesetzt werden. Seine Karriere umfasste zudem die Mengenlehre, Topologie, zelluläre Automaten und das Design früher thermonuklearer Waffen.스테파니우 슐람(Stanisław Ulam)은 제2차 세계대전 이후 로스앨러모스에서 일한 폴란드계 미국 수학자였다. 그는 핵물리학과 계산 문제를 연구하기 위해 무작위 표집을 사용하는 현대 몬테카를로 방법의 발전에 기여했다. 그의 경력은 집합론, 위상수학, 세포 자동기 및 초기 열핵무기 설계에도 걸쳐졌다., Nicholas MetropolisPersonNicholas MetropolisNicholas Metropolis was a Greek-American physicist and computing pioneer at Los Alamos. He worked on early electronic computation and gave the Monte Carlo method its casino-derived name. His later work on sampling algorithms became central to computational physics, statistics and many forms of simulation.尼古拉斯·梅特罗波利斯（Nicholas Metropolis）是一位希腊裔美国物理学家，也是洛斯阿拉莫斯的计算机先驱。他从事早期电子计算的研究，并为蒙特卡洛方法起了这个源自赌场名称的方法。他后来在抽样算法方面的研究成为计算物理、统计学以及多种模拟方法的核心。Nicholas Metrópolis fue un físico y pionero de la computación griego-estadounidense que trabajó en Los Álamos. Trabajó en cálculos electrónicos tempranos y dio al método Monte Carlo su nombre derivado del casino. Su trabajo posterior sobre algoritmos de muestreo se convirtió en fundamental para la física computacional, la estadística y muchas formas de simulación.كان نيكولاس متروبوليس فيزيائيًا أمريكيًا من أصل يوناني وواحدًا من رواد الحواسيب في لوس ألاموس. عمل على الحوسبة الإلكترونية المبكرة وأعطى للطريقة الإحصائية "مونتي كارلو" اسمها المشتق من الكازينو. ساهمت أعماله اللاحقة على خوارزميات أخذ العينات في تشكيل جوهر الفيزياء الحاسوبية والإحصاء والكثير من أشكال المحاكاة.Nicholas Metropolis foi um físico e pioneiro da computação grego-americano que trabalhou no Laboratório de Los Alamos. Trabalhou na computação eletrônica inicial e deu ao método Monte Carlo seu nome derivado de cassino. Seu trabalho posterior sobre algoritmos de amostragem tornou-se central para a física computacional, estatística e muitas formas de simulação.निकोलस मेट्रोपोलिस एक यूनानी-अमेरिकी भौतिकविद और लॉस एलमोस में कम्प्यूटिंग के प्रारंभिक दौर के विशिष्ट व्यक्ति थे। उन्होंने प्रारंभिक इलेक्ट्रॉनिक कम्प्यूटेशन पर कार्य किया और मोंटे कार्लो विधि का उस जुए के नाम पर आधारित नाम दिया। उनके बाद के कार्य नमूना एल्गोरिदम पर केंद्रित थे, जो भौतिकी के कम्प्यूटेशनल, सांख्यिकी और अनेक प्रकार की सिमुलेशन में केंद्रीय भूमिका निभाते हैं।Nicholas Metropolis adalah seorang fisikawan dan pelopor komputasi berkebangsaan Yunani-Amerika yang bekerja di Los Alamos. Ia meneliti komputasi elektronik awal dan memberi nama metode Monte Carlo dengan sebutan yang berasal dari kasino. Karyanya kemudian tentang algoritma pengambilan sampel menjadi pusat dalam fisika komputasi, statistik, dan berbagai bentuk simulasi.Nicholas Metropolis fut un physicien grec-américain et un pionnier de l'informatique à Los Alamos. Il travailla sur les premiers calculs électroniques et donna à la méthode Monte Carlo son nom inspiré des casinos. Son travail ultérieur sur les algorithmes d'échantillonnage devint central en physique computationnelle, en statistique et dans de nombreuses formes de simulation.ニコラス・メトロポリスは、ギリシャ系アメリカ人の物理学者で、ロスアラモスで活躍した計算機科学の先駆者である。彼は初期の電子計算機の開発に携わり、「モンテカルロ法」というカジノ由来の名称を考案した。その後、サンプリングアルゴリズムに関する研究は、計算物理学、統計学およびさまざまなシミュレーションにおいて中心的な役割を果たすことになった。Николас Метрополис был греко-американским физиком и пионером вычислительной техники в Лос-Аламосе. Он работал над ранними электронными вычислениями и дал методу Монте-Карло его название, происходящее от казино. Его более поздняя работа по алгоритмам выборки стала центральной для вычислительной физики, статистики и многих видов моделирования.Nicholas Metropolis war ein griechisch-amerikanischer Physiker und Pionier der Informatik am Los Alamos National Laboratory. Er arbeitete an frühen elektronischen Rechenverfahren und gab der Monte-Carlo-Methode ihren namensgebenden Bezug zum Casino. Seine späteren Arbeiten zu Sampling-Algorithmen wurden zentral für die theoretische Physik, Statistik und viele Formen der Simulation.니콜라스 메트로폴리스는 그리스계 미국인 물리학자이자 로스앨러모스에서 활동한 컴퓨팅 분야의 선구자였다. 그는 초기 전자 계산기에 참여했으며, 몬테카를로 방법에 도박장에서 유래된 이름을 붙였다. 이후 그가 개발한 샘플링 알고리즘은 계산 물리학, 통계학 및 다양한 시뮬레이션 분야의 핵심이 되었다. e outros usaram amostragem aleatória para atacar problemas entrelaçados demais para cálculo direto. Nêutrons se movendo através da matéria, integrais de alta dimensão, cadeias ramificadas de possíveis futuros: esses não eram problemas de agulha-em-papel, mas compartilhavam a mesma aposta. Amostrando o espaço com honestidade suficiente, uma quantidade escondida na geometria começará a se revelar.
A nineteenth-century wooden experiment table is covered with many scattered brass needlesIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
A agulha de Buffon é, portanto, tanto ancestral quanto aviso. Ela demonstra a intuição Monte Carlo com quase nenhuma maquinaria, mas também mostra o custo. Estimativas aleatórias convergem a uma taxa proporcional a um sobre a raiz quadrada do número de tentativas. Para ganhar uma casa decimal a mais, não se precisa de dez vezes mais lançamentos, mas de aproximadamente cem vezes mais. Um milhão de agulhas ainda seria um meio tosco de aprender o que uma circunferência já sabe.
O método sobreviveu porque pi nunca foi o verdadeiro prêmio. O fato importante era que uma probabilidade poderia substituir uma integral. A contagem de cruzamentos de Buffon mede a área sob uma curva de seno sem desenhar diretamente essa área. As simulações modernas fazem o mesmo em espaços mais desafiadores, onde a integral pode ter milhares de dimensões e nenhuma imagem humana alguma.
A tidy tabletop reconstruction uses a set of identical metal needles and a board with grooIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
O que a agulha deixa aberto
A palavra aleatório faz mais trabalho do que aparenta. A derivação de Buffon assume que a posição central e o ângulo estão uniformemente distribuídos. Uma mão humana soltando uma agulha pode favorecer certos ângulos; um tabuleiro pode ter bordas; uma agulha pode rolar, saltar ou se enganchar.
Há também a questão do que Buffon realmente fez, em oposição ao que provou. Histórias sobre pães de forma caídos sobre um piso de azulejos circularam por gerações, mas a base documental é fraca. A matemática é mais sólida do que a anedota.
A mid-century laboratory tabletop uses diceIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Lazzarini permanece outro caso aberto. Seus números de 1901 são famosos em parte porque são tão bons, e suspeitos pelo mesmo motivo. Um resultado pode ser matematicamente compatível com um experimento e ainda ser historicamente difícil de confiar.
A incerteza mais profunda é filosófica. Quando um mundo determinístico fornece uma dispersão de resultados, onde exatamente o acaso entra: na ignorância, no desordem físico, ou no modelo que escolhemos impor? A agulha de Buffon não resolve a questão. Dá-lhe um piso limpo e uma linha para cruzar.
Uma agulha caída não tem a menor ideia do que é pi. Ela cai, ou ela erra. Apenas após muitos tais movimentos indiferentes é que o círculo se anuncia, quietamente, no registro dos cruzamentos.
1777年、Georges-Louis Leclerc, Comte de BuffonPersonGeorges-Louis Leclerc, Comte de BuffonGeorges-Louis Leclerc, Comte de Buffon was an eighteenth-century French naturalist and mathematician, best known for his vast Histoire naturelle. His work ranged from zoology and geology to the mathematics of chance. In 1777 he published the needle problem that made random geometry a serious object of calculation.乔治-路易·勒克莱尔，布封伯爵是18世纪法国的博物学家和数学家，以其宏大的《自然史》最为著名。他的研究范围涵盖了动物学、地质学以及概率数学。1777年，他发表了“布丰投针问题”，使随机几何成为严肃的计算对象。Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon fue un naturalista y matemático francés del siglo XVIII, más conocido por su extensa Histoire naturelle. Su obra abarcó desde la zoología y la geología hasta las matemáticas de la probabilidad. En 1777 publicó el problema de la aguja, que convirtió la geometría aleatoria en un objeto serio de cálculo.جورج لويس لوكير، كونت دي بوفون كان عالم طبيعة ورياضيات فرنسي في القرن الثامن عشر، ويُعرف بشكل رئيسي بعمله الواسع "تاريخ طبيعي". امتدت أعماله من علم الحيوانات والجيولوجيا إلى رياضيات الحظ. نشر في عام 1777 مسألة الإبرة التي جعلت الهندسة العشوائية موضوعًا جادًا للحساب.Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon foi um naturalista e matemático francês do século XVIII, mais conhecido por sua vasta Histoire naturelle. Seu trabalho abrangia desde a zoologia e a geologia até a matemática da casualidade. Em 1777 publicou o problema da agulha, que tornou a geometria aleatória um objeto sério de cálculo.जीओर्ज-लुई लेक्लेर, काउंट डी बफ़ॉन अठारहवीं शताब्दी के फ़्रांसीसी प्राकृतिक विज्ञानी और गणितज्ञ थे, जिनके लिए उनकी विशाल "हिस्तोयर नैचुरेल" के कारण वे प्रसिद्ध हैं। उनका कार्य जीवविज्ञान और भूविज्ञान से लेकर संभाव्यता के गणित तक फैला हुआ था। 1777 में उन्होंने एक समस्या प्रकाशित की, जिसके कारण यादृच्छिक ज्यामिति गणना का गम्भीर विषय बन गई।Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon adalah seorang naturalis dan matematikawan Prancis abad keduabelas, yang paling dikenal karena karyanya yang luas, Histoire naturelle. Karyanya mencakup berbagai bidang, dari zoologi dan geologi hingga matematika peluang. Pada tahun 1777 ia menerbitkan masalah jarum yang membuat geometri acak menjadi objek serius dalam perhitungan.Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon, fut un naturaliste et mathématicien français du xviiie siècle, surtout connu pour son vaste ouvrage intitulé Histoire naturelle. Son œuvre s'étendait de la zoologie et de la géologie aux mathématiques du hasard. En 1777, il publia le problème de l'aiguille, qui fit de la géométrie aléatoire un objet sérieux de calcul.ジョルジュ＝ルイ・レクルール、バフオン男爵は18世紀のフランスの自然学者で、大規模な『自然史』で最も知られている。彼の研究は動物学や地質学から確率の数学に至るまで幅広かった。1777年、彼はランダム幾何学を真剣な計算対象とした針の問題を発表した。Жорж-Луи Леклерк, граф Бюффон, был французским натурописцем и математиком XVIII века, наиболее известным своей обширной «Натуральной историей». Его работы охватывали зоологию и геологию, а также математику вероятностей. В 1777 году он опубликовал задачу о игле, которая сделала случайную геометрию серьёзным объектом вычислений.Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon, war ein französischer Naturforscher und Mathematiker des 18. Jahrhunderts, am besten bekannt für sein umfassendes Werk Histoire naturelle. Seine Arbeit erstreckte sich von der Zoologie und Geologie bis hin zur Mathematik des Zufalls. 1777 veröffentlichte er das Nadelproblem, das die zufällige Geometrie zu einem ernstzunehmenden Gegenstand der Berechnung machte.조르주 루이 르클레르 코뮌 드 뷔퐁은 18세기 프랑스의 자연주의자이자 수학자로, 방대한 『자연사』로 가장 유명하다. 그의 연구 분야는 동물학과 지질학에서부터 확률의 수학에 이르기까지 폭넓었다. 1777년 그는 확률 기하학을 진지한 계산 대상으로 만든 핀 문제를 발표했다.は非常に軽微な問題を提示した。それは一枚の紙と針で行うこともできた。平行な線を等間隔に描く。針をランダムに落下させる。それが線に交わる確率を問う。これは、パラドール的な実験でありながら、鋭い鋭さを持っていた。その答えにはpiConceptpiPi is the ratio of a circle's circumference to its diameter, approximately 3.14159. It appears first as a fact of circular geometry, but it recurs through analysis, probability, physics and number theory. In Buffon's needle problem it arises from averaging all possible orientations of a line segment.圆周率π是一个圆的周长与直径的比值，约为3.14159。它最初作为圆的几何特性出现，但随后在分析学、概率论、物理学和数论中反复出现。在布丰投针问题中，它来源于对线段所有可能方向的平均计算。Pi es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, aproximadamente 3,14159. Aparece en un primer momento como un hecho de la geometría circular, pero vuelve a aparecer a lo largo del análisis, la probabilidad, la física y la teoría de números. En el problema de la aguja de Buffon surge al promediar todas las orientaciones posibles de un segmento de línea.العدد باي هو نسبة محيط الدائرة إلى قطرها، ويُقدر بحوالي 3.14159. يظهر لأول مرة كمعلومة هندسية تتعلق بالدوائر، لكنه يتكرر في التحليل والاحتمالات والفيزياء ونظرية الأعداد. في مسألة إبرة بوفون، يظهر من متوسط جميع الاتجاهات الممكنة لقطعة مستقيمة.Pi é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro, aproximadamente 3,14159. Aparece pela primeira vez como fato da geometria circular, mas recorre através da análise, probabilidade, física e teoria dos números. No problema da agulha de Buffon, surge a partir da média de todas as orientações possíveis de um segmento de reta.π एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात है, लगभग 3.14159। यह सर्वप्रथम वृत्तीय ज्यामिति के तथ्य के रूप में प्रकट होता है, लेकिन विश्लेषण, संभाव्यता, भौतिकी और संख्या सिद्धांत में इसकी पुनरावृत्ति होती है। बफ़ोन की सुई की समस्या में एक रेखाखंड की सभी संभावित दिशाओं के औसत से यह उत्पन्न होता है।Pi adalah rasio keliling lingkaran terhadap diameternya, sekitar 3,14159. Pi muncul pertama kali sebagai fakta dalam geometri lingkaran, tetapi muncul kembali dalam analisis, probabilitas, fisika, dan teori bilangan. Dalam permasalahan jarum Buffon, Pi muncul dari rata-rata semua orientasi yang mungkin dari sebuah segmen garis.Pi est le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre, environ 3,14159. Il apparaît d'abord comme une propriété géométrique des cercles, mais il se retrouve ensuite en analyse, en probabilité, en physique et en théorie des nombres. Dans le problème de l'aiguille de Buffon, il émerge en prenant la moyenne de toutes les orientations possibles d'un segment de droite.円周率（パイ）は、円の円周長とその直径の比であり、約3.14159である。これは最初に円形幾何学における事実として現れるが、解析学、確率論、物理学および数論においても繰り返し登場する。バッフォンの針の問題では、線分の可能なすべての方位を平均することによって現れる。Число π представляет собой отношение длины окружности к её диаметру, приблизительно 3,14159. Оно впервые появляется как геометрический факт, связанный с окружностью, но затем встречается в анализе, теории вероятностей, физике и теории чисел. В задаче Бюффона о булавле оно возникает при усреднении всех возможных ориентаций отрезка прямой.π ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser und beträgt ungefähr 3,14159. Es tritt zuerst als geometrische Eigenschaft von Kreisen auf, taucht jedoch wiederholt in der Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Physik und Zahlentheorie auf. Beim Buffonschen Nadelproblem entsteht es aus der Durchschnittsbildung aller möglichen Ausrichtungen eines Liniensegments.원주율(π)은 원의 둘레와 지름의 비율로, 약 3.14159이다. 원의 기하학적 성질로서 처음 등장하지만, 해석학, 확률론, 물리학, 수론 등 여러 분야에서 반복적으로 나타난다. 버프론의 바늘 문제에서는 선분의 가능한 모든 방향의 평균을 구하면서 등장한다.が含まれていた。
バッフォンは学校のトリックを試していたわけではない。彼の『Essai d'arithmetique morale』（道徳算術の試論）は、偶然、効用、期待に関する新たな不安の一部だった。この時代は、probabilityConceptprobabilityProbability is the mathematics of uncertain events. It began with problems in games of chance and grew into a language for risk, evidence, physics and statistics. By the eighteenth century, mathematicians were extending it beyond dice and cards into continuous settings where outcomes form regions rather than countable cases.概率论是对不确定事件的数学研究。它最初起源于对机会游戏问题的研究，后来发展成为描述风险、证据、物理和统计学的一种语言。到18世纪时，数学家们已将其应用范围从骰子和纸牌扩展到连续情形，其中结果形成区域而非可数的情况。La probabilidad es la matemática de los eventos inciertos. Comenzó con problemas en juegos de azar y se convirtió en un lenguaje para el riesgo, la evidencia, la física y la estadística. Para el siglo XVIII, los matemáticos ya la estaban extendiendo más allá de los dados y las cartas hacia contextos continuos donde los resultados forman regiones en lugar de casos contables.الاحتمال هو رياضيات الأحداث غير المؤكدة. بدأ مع مشاكل في ألعاب المقامرة، وانتهى بتصبح لغة للخطر والدلائل والفيزياء والإحصاء. بحلول القرن الثامن عشر، كان الرياضياتيون يمتدون بها إلى ما وراء النرد والبطاقات إلى الأوضاع المستمرة حيث تشكل النتائج مناطق بدلًا من الحالات العدديّة.A probabilidade é a matemática dos eventos incertos. Começou com problemas em jogos de azar e evoluiu para uma linguagem para risco, evidência, física e estatística. Até o século XVIII, matemáticos estavam a estendê-la além dos dados e cartas para situações contínuas, onde os resultados formam regiões em vez de casos contáveis.संभाव्यता अनिश्चित घटनाओं की गणित है। इसकी शुरुआत संभावना के खेलों से हुई और यह जोखिम, साक्ष्य, भौतिकी और सांख्यिकी की भाषा में विकसित हुई। अठारहवीं शताब्दी तक, गणितज्ञ इसे पासे और ताश के पत्तों से आगे बढ़ाकर ऐसे निरंतर स्थितियों में लागू करने लगे जहां परिणाम क्षेत्र बनाते हैं जबकि गिने जा सकने वाले मामले नहीं।Probabilitas adalah matematika dari kejadian yang tidak pasti. Awalnya muncul dari masalah dalam permainan keberuntungan, lalu berkembang menjadi bahasa untuk risiko, bukti, fisika, dan statistik. Pada abad kedelapan belas, para matematikawan mulai mengembangkannya melebihi dadu dan kartu ke dalam konteks kontinu di mana hasilnya membentuk daerah daripada kasus yang dapat dihitung.La probabilité est la mathématique des événements incertains. Elle a débuté avec des problèmes liés aux jeux de hasard et s'est développée en un langage pour exprimer le risque, les preuves, la physique et la statistique. Dès le XVIIIe siècle, les mathématiciens l'étendaient au-delà des dés et des cartes vers des contextes continus où les résultats forment des régions plutôt que des cas dénombrables.確率とは、不確実な事象を扱う数学の分野である。当初は、賭け事の問題から始まり、やがてリスク、証拠、物理学、統計学を表現する言語として発展した。18世紀までに、数学者たちはサイコロやトランプの問題にとどまらず、結果が個別に数えられるケースではなく領域を形成する連続的な設定へとその応用範囲を広げていた。Вероятность — это математика неопределённых событий. Она возникла из задач, связанных с азартными играми, и превратилась в язык для описания риска, доказательств, физики и статистики. К XVIII веку математики уже применяли её за пределами игральных костей и карт в непрерывных ситуациях, где результаты образуют области, а не счётные случаи.Wahrscheinlichkeit ist die Mathematik unsicherer Ereignisse. Sie begann mit Problemen in Glücksspielen und entwickelte sich zu einer Sprache für Risiko, Beweise, Physik und Statistik. Bis ins achtzehnte Jahrhundert hinüber erweiterten Mathematiker sie jenseits von Würfeln und Karten auf kontinuierliche Bereiche, in denen Ergebnisse Regionen statt abzählbarer Fälle bilden.확률은 불확실한 사건의 수학이다. 확률은 기회의 게임에서의 문제에서 시작하여 위험, 증거, 물리학 및 통계학의 언어로 발전하였다. 18세기까지 수학자들은 주사위와 카드를 넘어서 연속적인 상황으로 확률을 확장하여, 결과가 개수를 세어 셀 수 있는 경우가 아니라 영역을 이루는 경우를 다루게 되었다.が賭け事のテーブルから法、保険、自然哲学へと移行しつつあった。針の問題は、サイコロから偶然を引き離し、空間に置いた。立方体が何面を示すかを問うのではなく、物理的な対象が連続的な位置の場にどのように落ちるかを問った。
最も単純なケースを取ってみよう。線の間隔を距離dとし、針の長さをlとするが、dより長くはない。一旦落ちた後、二つの量が重要になる。中心から最も近い線までの距離xと、針が描かれた線と作る鋭角thetaである。針が交わるのはxが投影された高さの半分より大きくないとき、つまり(l/2) sin theta以下であるときである。
A linen-covered eighteenth-century writing desk holds a sheet of paper ruled with evenly sIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
正弦曲線の下の面積
計算は短いが、確率が取り得る対象の種類を変化させた。針の中心は最も近い線から0からd/2のどこにでも存在しうる。角度は0からpi/2のどこにでも存在しうる。この二つの変数は可能性の長方形を形成する。その中にx <= (l/2) sin thetaの曲がった領域がある。その面積は0からpi/2における(l/2) sin thetaの積分、つまり単純にl/2である。
A human hand releases a slender metal needle above a wooden surface featuring parallel inlIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
これがgeometric probabilityConceptgeometric probabilityGeometric probability studies chance by measuring lengths, areas, volumes or other geometric sets of possible outcomes. Buffon's needle is its classic early example: the answer comes from comparing a favourable region under a sine curve with a rectangle of all possible needle positions and angles.几何概率通过测量长度、面积、体积或其他几何集合的可能结果来研究概率。布丰的投针问题是其经典的早期例子：答案来自于将正弦曲线下的有利区域与所有可能的针的位置和角度所组成的矩形进行比较。La probabilidad geométrica estudia el azar midiendo longitudes, áreas, volúmenes u otros conjuntos geométricos de resultados posibles. La aguja de Buffon es su ejemplo clásico temprano: la respuesta proviene al comparar una región favorable bajo una curva seno con un rectángulo que contiene todas las posiciones y ángulos posibles de la aguja.تدرس الاحتمالات الهندسية الاحتمال من خلال قياس الطول أو المساحة أو الحجم أو مجموعات هندسية أخرى من النتائج الممكنة. تُعد مسألة إبرة بوفون مثالاً كلاسيكياً مبكرًا: حيث يُستنتج الجواب من خلال مقارنة منطقة مواتية تحت منحنى الجيب بمستطيل يمثل جميع مواقف الإبرة الممكنة وزواياها.A probabilidade geométrica estuda a chance medindo comprimentos, áreas, volumes ou outros conjuntos geométricos de resultados possíveis. A agulha de Buffon é seu exemplo clássico inicial: a resposta surge ao comparar uma região favorável sob uma curva senoidal com um retângulo contendo todas as posições e ângulos possíveis da agulha.ज्यामितीय संभाव्यता परिणामों के संभावित समुच्चय के रूप में लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन या अन्य ज्यामितीय समुच्चय के मापन द्वारा संभावना का अध्ययन करती है। बफ़न की सुई इसका एक प्रारंभिक उदाहरण है: उत्तर एक साइन वक्र के तहत एक लाभप्रद क्षेत्र की तुलना सभी संभावित सुई स्थितियों और कोणों के एक आयत के साथ करके प्राप्त होता है।Probabilitas geometris mempelajari peluang dengan mengukur panjang, luas, volume, atau himpunan geometris lain dari hasil yang mungkin. Contoh klasik awalnya adalah jarum Buffon: jawabannya diperoleh dengan membandingkan daerah yang menguntungkan di bawah kurva sinus dengan persegi panjang yang mencakup semua posisi dan sudut jarum yang mungkin.La probabilité géométrique étudie le hasard en mesurant des longueurs, des aires, des volumes ou d'autres ensembles géométriques d'événements possibles. L'aiguille de Buffon en est un exemple classique du début de cette discipline : la réponse provient d'une comparaison d'une région favorable sous une courbe sinus avec un rectangle contenant toutes les positions et angles possibles de l'aiguille.幾何確率論は、長さや面積、体積、あるいはその他の幾何的集合を測定することによって確率を研究する。バッフォンの針問題はその古典的な初期の例である。この問題の答えは、正弦曲線の下にある有利な領域を、針の位置と角度のすべての可能な長方形領域と比較することによって得られる。Геометрическая вероятность изучает вероятность, измеряя длины, площади, объемы или другие геометрические множества возможных исходов. Примером классической ранней задачи является игла Бюффона: ответ находится путем сравнения благоприятной области под синусоидальной кривой с прямоугольником всех возможных положений и углов иглы.Die geometrische Wahrscheinlichkeit untersucht das Zufallsereignis durch die Messung von Längen, Flächen, Volumina oder anderen geometrischen Mengen möglicher Ergebnisse. Das „Nadelproblem“ von Buffon ist ihr klassisches frühes Beispiel: die Lösung ergibt sich aus dem Vergleich einer günstigen Region unter einer Sinuslinie mit einem Rechteck aller möglichen Nadelpositionen und Winkel.기하 확률은 길이, 면적, 부피 또는 다른 기하학적 집합의 가능한 결과를 측정함으로써 확률을 연구한다. 버퐁의 바늘은 이 분야의 고전적인 초기 예시로, 정현 곡선 아래의 유리한 영역을 바늘의 가능한 모든 위치와 각도를 포함하는 직사각형과 비교함으로써 답을 얻는다.の小さな誕生だった。通常の離散的な確率はケースを数えることができる。表か裏、サイコロの六つの面、トランプの五十二枚。バッフォンの問題は連続体上の測度を必要とした。それは幾何学的空間のどのくらいが成功に対応するかを問った。後の数学者たちはその言語をより形式的にしたが、本質的な動きは針にすでに含まれている。数えを面積に置き換えれば、偶然は幾何学になる。
A close macro view shows one metal needle crossing a deep groove in a wooden board while aIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
19世紀の実験者たちはそれでも挑戦した。スイスの天文学者ルドルフ・ヴォルフは1850年頃、5,000回の投げを報告し、3.1596に近い値を得た。A.ホールは1873年に実験的決定を発表した。1901年、Mario LazzariniPersonMario LazzariniMario Lazzarini was an Italian mathematician associated with a celebrated 1901 report on Buffon's needle. He claimed to have estimated pi as 355/113 from 3,408 needle drops, an accuracy so striking that later writers have questioned whether the experiment was stopped, selected or intended as a mathematical joke.马里奥·拉扎里尼是一位意大利数学家，因1901年关于布丰针问题的著名报告而知名。他声称通过3408次投针实验，将圆周率π估算为355/113，其精度之高令人惊讶，后来的作者因此质疑该实验是否被人为停止或选择性记录，甚至可能是出于数学玩笑的目的而设计的。Mario Lazzarini fue un matemático italiano asociado con un celebrado informe de 1901 sobre la aguja de Buffon. Afirmó haber estimado pi como 355/113 tras 3 408 lanzamientos de agujas, una precisión tan notable que escritores posteriores se han preguntado si el experimento fue interrumpido, seleccionado o si se pretendía como una broma matemática.مARIO لازاريني هو عالم رياضيات إيطالي تربطه صلة بالรายงาน المشهور لعام 1901 حول إبرة بوفون. فقد زعم أنه حسب قيمة باي على أنها 355/113 من خلال 3408 تجربة إسقاط إبرة، ودقة هذا التقدير كانت هائلة لدرجة أن المؤلفين اللاحقين شككوا فيما إذا تم إيقاف التجربة، أو اختيار النتائج، أو أن التجربة كانت مزحة رياضية مقصودة.Mario Lazzarini foi um matemático italiano associado a um celebrado relatório de 1901 sobre o problema da agulha de Buffon. Ele alegou ter estimado pi como 355/113 a partir de 3.408 lançamentos de agulhas, uma precisão tão notável que escritores posteriores questionaram se o experimento foi interrompido, selecionado ou se destinava a ser uma brincadeira matemática.मारियो लाज़ारिनी एक इतालवी गणितज्ञ थे जो बफ़न की सुई पर 1901 की प्रसिद्ध रिपोर्ट से जुड़े हुए थे। उन्होंने 3,408 सुई गिराने के बाद दावा किया कि वे pi को 355/113 के रूप में अनुमानित कर सकते हैं, जो इतनी शानदार सटीकता के साथ है कि बाद के लेखकों ने यह सवाल उठाया है कि क्या प्रयोग बंद कर दिया गया था, चयनित किया गया था या गणितीय उपहास के रूप में निर्धारित किया गया था।Mario Lazzarini adalah seorang matematikawan Italia yang dikaitkan dengan laporan terkenal tahun 1901 mengenai jarum Buffon. Ia mengklaim telah memperkirakan nilai pi sebagai 355/113 dari 3.408 kali melemparkan jarum, sebuah akurasi yang begitu mengejutkan sehingga penulis-penulis selanjutnya mempertanyakan apakah eksperimen tersebut dihentikan, disaring, atau dimaksudkan sebagai lelucon matematis.Mario Lazzarini fut un mathématicien italien associé à un célèbre rapport de 1901 sur l’aiguille de Buffon. Il affirma avoir estimé pi comme étant égal à 355/113 à partir de 3 408 lancers d’aiguille, une précision si remarquable que des auteurs ultérieurs se sont interrogés sur le fait de savoir si l’expérience avait été arrêtée, sélectionnée ou conçue comme une plaisanterie mathématique.マリオ・ラザリニは、1901年のバッフォンの針に関する著名な報告書に関連したイタリアの数学者である。彼は3,408回の針を落とす実験を通じて、円周率を355/113と推定した。その精度は際立っており、後年の研究者はこの実験が終了した時点で結果が選定されたのか、あるいは単なる数学的ジョークであったのかを疑問視している。Марио Лазарини — итальянский математик, связанный с известным докладом 1901 года о игле Бюффона. Он утверждал, что оценил число пи как 355/113, используя 3408 бросков иглы, что настолько удивительно точно, что позднейшие авторы поставили под сомнение, не было ли эксперимент остановлен, подобран или же задуман как математический шут.Mario Lazzarini war ein italienischer Mathematiker, der mit einem berühmten Bericht von 1901 über das Nadelproblem von Buffon in Verbindung gebracht wird. Er behauptete, er habe π durch 355/113 aus 3408 Nadelwürfen geschätzt, eine Genauigkeit, die so bemerkenswert ist, dass spätere Autoren sich gefragt haben, ob das Experiment beendet, ausgewählt oder als mathematischer Witz gemeint war.마리오 라자리니(Mario Lazzarini)는 버논의 바늘(Buffon's needle)에 관한 1901년 유명한 보고서와 관련된 이탈리아 수학자이다. 그는 3,408번의 바늘 던지기 실험을 통해 원주율을 355/113으로 추정하였다. 이는 놀랄 만큼 정확한 수치로, 후에 이 실험이 중단되었거나 일부러 선택되었거나, 혹은 수학적 농담이 의도되었는지에 대해 의문을 제기하는 이들이 있었다.ははるかに鋭いもの主張した。長さ25ミリメートルの針を30ミリメートル間隔の線に3,408回投げ、355/113、すなわち有名な六小数近似値3.1415929を生み出した。
1940年代後半、Monte Carlo methodConceptMonte Carlo methodThe Monte Carlo method uses repeated random sampling to estimate quantities that are hard to compute directly. The name was coined in the mid-twentieth century during work at Los Alamos, but its ancestry reaches back to experiments such as Buffon's needle, where chance is used as a calculating device.蒙特卡罗方法利用重复的随机抽样来估算难以直接计算的数量。这一名称诞生于二十世纪中期洛斯阿拉莫斯的研究工作，但它的起源可以追溯到布丰针实验等早期实验，在这些实验中，概率被用作计算工具。El método Monte Carlo utiliza muestreo aleatorio repetido para estimar cantidades que resultan difíciles de calcular directamente. El nombre fue acuñado a mediados del siglo veinte durante trabajos en Los Alamos, pero su ascendencia se remonta a experimentos como la aguja de Buffon, donde el azar se emplea como dispositivo de cálculo.تستخدم طريقة مونتي كارلو أخذ العينات العشوائية المتكررة لتقدير الكميات التي من الصعب حسابها مباشرة. سُمِّيت الطريقة بهذا الاسم في منتصف القرن العشرين أثناء العمل في لوس ألاموس، لكن جذورها تعود إلى تجارب مثل عود بافون، حيث تُستخدم الفرصة كجهاز حسابي.O método Monte Carlo utiliza amostragem aleatória repetida para estimar quantidades difíceis de serem calculadas diretamente. O nome foi cunhado na segunda metade do século XX durante trabalhos em Los Alamos, mas sua ascendência remonta a experimentos como a agulha de Buffon, nos quais o acaso é usado como um dispositivo de cálculo.मॉन्टे कार्लो विधि के उपयोग से द्वारा सीधे गणना करने में कठिन मात्राओं का अनुमान बनाया जाता है। इसका नाम मध्य बीसवीं शताब्दी में लॉस एलमोस में कार्य के दौरान रखा गया था, लेकिन इसकी वंशवृति बफोन की सुई जैसे प्रयोगों तक पहुंचती है, जहां अवसर के उपयोग की गणना करने की एक युक्ति के रूप में की गई थी।Metode Monte Carlo menggunakan pengambilan sampel acak berulang untuk memperkirakan kuantitas yang sulit dihitung secara langsung. Nama ini diciptakan pada pertengahan abad kedua puluh selama pekerjaan di Los Alamos, tetapi asal usulnya dapat dilacak kembali ke eksperimen seperti jarum Buffon, di mana kebetulan digunakan sebagai alat perhitungan.La méthode Monte Carlo utilise un échantillonnage aléatoire répété pour estimer des quantités difficiles à calculer directement. Le nom a été forgé au milieu du vingtième siècle lors des travaux à Los Alamos, mais ses origines remontent à des expériences telles que l'aiguille de Buffon, où le hasard est utilisé comme dispositif de calcul.モンテカルロ法は、直接計算するのが困難な数量を推定するために、繰り返し無作為サンプリングを行う手法である。この名称は20世紀半ばにロスアラモスでの研究中に造られたが、その起源はバッフォンの針などの実験にまで遡り、これらは確率を計算装置として用いるものである。Метод Монте-Карло использует многократное случайное выборочное исследование для оценки величин, которые сложно вычислить напрямую. Название метода появилось в середине двадцатого века во время работ в Лос-Аламосе, но его происхождение связано с такими экспериментами, как игла Бюффона, где случайность используется как вычислительное устройство.Die Monte-Carlo-Methode verwendet wiederholte zufällige Stichproben, um Größen zu schätzen, die sich direkt schwer berechnen lassen. Der Name wurde Mitte des zwanzigsten Jahrhunderts während der Arbeit am Los Alamos National Laboratory geprägt, doch ihre Ursprünge reichen bis zu Experimenten wie dem Nadelproblem von Buffon zurück, bei dem das Zufallsprinzip als Rechenhilfe eingesetzt wird.몬테카를로 방법은 직접 계산하기 어려운 수량을 추정하기 위해 반복적인 확률적 표본추출을 사용한다. 이 방법의 이름은 20세기 중반 로스앨러모스에서의 연구 중 지어졌지만, 그 기원은 버퐁의 바늘 실험과 같이 확률을 계산 도구로 활용한 이전의 실험들로까지 거슬러 올라간다.という語は現代的な意味をロスアラモスで獲得した。John von NeumannPersonJohn von NeumannHungarian-American polymath (1903–1957) who made foundational contributions to set theory, quantum mechanics, game theory, computing, and nuclear weapons design. Present at the 1930 Königsberg conference where Gödel first hinted at incompleteness, he was reportedly the only attendee who grasped the result on the spot and independently derived the second incompleteness theorem within weeks.匈牙利裔美国博学者（1903—1957），在集合论、量子力学、博弈论、计算与核武器设计等领域作出奠基性贡献。1930 年哥廷根会议上，哥德尔首次暗示不完备性结果时他在场，据称是当场唯一领会其要义的与会者，并在数周内独立推导出第二不完备性定理。Polímata húngaro-estadounidense (1903-1957) que realizó contribuciones fundamentales a la teoría de conjuntos, la mecánica cuántica, la teoría de juegos, la computación y el diseño de armas nucleares. Presente en la conferencia de Königsberg de 1930, donde Gödel insinuó por primera vez la incompletitud, fue, según se dice, el único asistente que captó el resultado en el acto y dedujo de forma independiente el segundo teorema de incompletitud en cuestión de semanas.عالم موسوعي مجري-أمريكي (1903–1957) قدّم إسهامات تأسيسية في نظرية المجموعات وميكانيكا الكم ونظرية الألعاب والحوسبة وتصميم الأسلحة النووية. حضر مؤتمر كونيغسبرغ عام 1930 حيث ألمح غودل لأول مرة إلى نظرية عدم الاكتمال، ويُقال إنه كان الحاضر الوحيد الذي استوعب النتيجة على الفور، واستنتج بشكل مستقل نظرية عدم الاكتمال الثانية في غضون أسابيع.Polímata húngaro-americano (1903–1957) que deu contribuições fundamentais à teoria dos conjuntos, à mecânica quântica, à teoria dos jogos, à computação e ao projeto de armas nucleares. Presente na conferência de Königsberg de 1930, onde Gödel insinuou pela primeira vez a incompletude, foi, segundo relatos, o único participante a captar o resultado imediatamente e a deduzir de forma independente o segundo teorema da incompletude em poucas semanas.हंगेरियाई-अमेरिकी बहुश्रुत विद्वान (1903–1957) जिन्होंने समुच्चय सिद्धांत, क्वांटम यांत्रिकी, खेल सिद्धांत, संगणन और परमाणु हथियार अभिकल्पना में आधारभूत योगदान दिए। 1930 के कोनिग्सबर्ग सम्मेलन में उपस्थित, जहाँ गोडेल ने पहली बार अपूर्णता का संकेत दिया था, वे कथित रूप से एकमात्र ऐसे श्रोता थे जिन्होंने उसी क्षण इस परिणाम को समझ लिया और कुछ ही सप्ताहों के भीतर स्वतंत्र रूप से द्वितीय अपूर्णता प्रमेय की व्युत्पत्ति कर ली।Polimat Hungaria-Amerika (1903–1957) yang memberikan kontribusi fundamental pada teori himpunan, mekanika kuantum, teori permainan, komputasi, dan desain senjata nuklir. Hadir pada konferensi Königsberg 1930 ketika Gödel pertama kali mengisyaratkan ketidaklengkapan, ia dilaporkan sebagai satu-satunya peserta yang langsung memahami hasil tersebut di tempat dan secara independen menurunkan teorema ketidaklengkapan kedua dalam hitungan minggu.Polymathe américano-hongrois (1903-1957) qui apporta des contributions fondamentales à la théorie des ensembles, à la mécanique quantique, à la théorie des jeux, à l'informatique et à la conception des armes nucléaires. Présent à la conférence de Königsberg de 1930 où Gödel évoqua pour la première fois l'incomplétude, il fut, dit-on, le seul participant à saisir le résultat sur-le-champ et à dériver indépendamment le second théorème d'incomplétude en l'espace de quelques semaines.ハンガリー系アメリカ人の博学者（1903–1957）。集合論、量子力学、ゲーム理論、計算機科学、核兵器設計に基礎的な貢献をなした。1930年のケーニヒスベルク会議に出席し、ゲーデルが不完全性を初めて示唆した際、その結果をその場で把握した唯一の参加者であったと伝えられ、数週間のうちに第二不完全性定理を独自に導出した。Венгеро-американский эрудит (1903–1957), внёсший фундаментальный вклад в теорию множеств, квантовую механику, теорию игр, вычислительную технику и конструирование ядерного оружия. Присутствовал на Кёнигсбергской конференции 1930 года, где Гёдель впервые намекнул на неполноту; по имеющимся свидетельствам, он был единственным из участников, кто сразу осознал результат, и в течение нескольких недель самостоятельно вывел вторую теорему о неполноте.Ungarisch-amerikanischer Universalgelehrter (1903–1957), der grundlegende Beiträge zur Mengenlehre, Quantenmechanik, Spieltheorie, Informatik und zum Entwurf von Kernwaffen leistete. Anwesend auf der Königsberger Tagung 1930, auf der Gödel erstmals die Unvollständigkeit andeutete, soll er der einzige Teilnehmer gewesen sein, der das Ergebnis sofort erfasste, und leitete innerhalb weniger Wochen unabhängig den zweiten Unvollständigkeitssatz her.헝가리계 미국인 박학다식가(1903–1957)로, 집합론, 양자역학, 게임이론, 컴퓨팅, 핵무기 설계에 기초적인 기여를 했다. 1930년 쾨니히스베르크 회의에서 괴델이 불완전성을 처음 시사했을 때 참석했으며, 그 자리에서 결과를 즉시 이해한 유일한 참석자였다고 전해지고, 몇 주 만에 독자적으로 제2 불완전성 정리를 도출했다.、Stanisław UlamPersonStanisław UlamStanisław Ulam was a Polish-American mathematician who worked at Los Alamos after the Second World War. He helped shape the modern Monte Carlo method, using random sampling to study problems in nuclear physics and computation. His career also touched set theory, topology, cellular automata and the design of early thermonuclear weapons.斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆（Stanisław Ulam）是一位波兰裔美国数学家，第二次世界大战后在洛斯阿拉莫斯工作。他帮助创立了现代蒙特卡洛方法，利用随机抽样研究核物理和计算中的问题。他的职业生涯还涉及集合论、拓扑学、细胞自动机以及早期热核武器的设计。Stanisław Ulam fue un matemático polaco-estadounidense que trabajó en Los Alamos tras la Segunda Guerra Mundial. Ayudó a desarrollar el moderno método Monte Carlo, que utiliza muestreo aleatorio para estudiar problemas de física nuclear y cálculo. Su carrera también abarcó la teoría de conjuntos, la topología, las máquinas celulares y el diseño de armas termonucleares tempranas.كان ستانيسلاف أولام عالم رياضيات بولندي-أمريكي عمل في لوس ألموس بعد الحرب العالمية الثانية. ساعد في تشكيل الطريقة الحديثة لمنطقة مونتي كارلو، باستخدام العينات العشوائية لدراسة المشكلات في الفيزياء النووية والحساب. شملت مسيرته المهنية أيضًا نظرية المجموعات والטופولوجيا والآلات الخلوية التلقائية والتصميم المبكر للأسلحة الحرارية النووية.Stanislaw Ulam foi um matemático polonês-americano que trabalhou em Los Alamos após a Segunda Guerra Mundial. Ele ajudou a desenvolver o método Monte Carlo moderno, usando amostragem aleatória para estudar problemas na física nuclear e computação. Sua carreira também abrangeu a teoria dos conjuntos, a topologia, os autômatos celulares e o desenho das primeiras armas termonucleares.स्टैनिस्लाव उलाम एक पोलिश-अमेरिकी गणितज्ञ थे जिन्होंने द्वितीय विश्व युद्ध के बाद लॉस एलमोस में काम किया। उन्होंने आधुनिक मॉन्टे कार्लो विधि का विकास किया, जिसमें नाभिकीय भौतिकी और कंप्यूटेशन में समस्याओं के अध्ययन के लिए यादृच्छिक नमूना लेने का उपयोग किया गया। उनके करियर में समुच्चय सिद्धांत, टोपोलॉजी, सेलुलर ऑटोमेटा और प्रारंभिक थर्मोन्यूक्लियर हथियारों के डिज़ाइन को भी छू लिया।Stanisław Ulam adalah seorang matematikawan Polandia-Amerika yang bekerja di Los Alamos setelah Perang Dunia Kedua. Ia membantu membentuk metode Monte Carlo modern, yang menggunakan sampel acak untuk mempelajari masalah dalam fisika nuklir dan komputasi. Kariernya juga meliputi teori himpunan, topologi, otomata seluler, serta desain senjata termonuklir awal.Stanisław Ulam fut un mathématicien polonais-américain qui travailla à Los Alamos après la Seconde Guerre mondiale. Il contribua à l'élaboration de la méthode moderne de Monte Carlo, utilisant l'échantillonnage aléatoire pour étudier des problèmes de physique nucléaire et de calcul. Sa carrière toucha également la théorie des ensembles, la topologie, les automates cellulaires et la conception des premières armes thermonucléaires.スタニスワフ・ウラムは第二次世界大戦後にロスアラモスで研究したポーランド出身のアメリカ人数学者である。モンテカルロ法の現代的な形を築くのに貢献し、核物理および計算における問題を確率的サンプリングによって研究した。彼の研究分野は集合論、位相幾何学、セル・オートマトンおよび初期の熱核融合兵器の設計にも及んでいる。Станислав Улам — польский и американский математик, работавший в Лос-Аламосе после Второй мировой войны. Он помог сформировать современный метод Монте-Карло, используя случайную выборку для изучения проблем в ядерной физике и вычислениях. Его карьера также касалась теории множеств, топологии, клеточных автоматов и разработки ранних термоядерных оружий.Stanisław Ulam war ein polnisch-amerikanischer Mathematiker, der nach dem Zweiten Weltkrieg am Los Alamos National Laboratory arbeitete. Er trug wesentlich zur Entwicklung der modernen Monte-Carlo-Methode bei, bei der zufällige Stichproben zur Untersuchung von Problemen in der Kernphysik und der Berechnung eingesetzt werden. Seine Karriere umfasste zudem die Mengenlehre, Topologie, zelluläre Automaten und das Design früher thermonuklearer Waffen.스테파니우 슐람(Stanisław Ulam)은 제2차 세계대전 이후 로스앨러모스에서 일한 폴란드계 미국 수학자였다. 그는 핵물리학과 계산 문제를 연구하기 위해 무작위 표집을 사용하는 현대 몬테카를로 방법의 발전에 기여했다. 그의 경력은 집합론, 위상수학, 세포 자동기 및 초기 열핵무기 설계에도 걸쳐졌다.、Nicholas MetropolisPersonNicholas MetropolisNicholas Metropolis was a Greek-American physicist and computing pioneer at Los Alamos. He worked on early electronic computation and gave the Monte Carlo method its casino-derived name. His later work on sampling algorithms became central to computational physics, statistics and many forms of simulation.尼古拉斯·梅特罗波利斯（Nicholas Metropolis）是一位希腊裔美国物理学家，也是洛斯阿拉莫斯的计算机先驱。他从事早期电子计算的研究，并为蒙特卡洛方法起了这个源自赌场名称的方法。他后来在抽样算法方面的研究成为计算物理、统计学以及多种模拟方法的核心。Nicholas Metrópolis fue un físico y pionero de la computación griego-estadounidense que trabajó en Los Álamos. Trabajó en cálculos electrónicos tempranos y dio al método Monte Carlo su nombre derivado del casino. Su trabajo posterior sobre algoritmos de muestreo se convirtió en fundamental para la física computacional, la estadística y muchas formas de simulación.كان نيكولاس متروبوليس فيزيائيًا أمريكيًا من أصل يوناني وواحدًا من رواد الحواسيب في لوس ألاموس. عمل على الحوسبة الإلكترونية المبكرة وأعطى للطريقة الإحصائية "مونتي كارلو" اسمها المشتق من الكازينو. ساهمت أعماله اللاحقة على خوارزميات أخذ العينات في تشكيل جوهر الفيزياء الحاسوبية والإحصاء والكثير من أشكال المحاكاة.Nicholas Metropolis foi um físico e pioneiro da computação grego-americano que trabalhou no Laboratório de Los Alamos. Trabalhou na computação eletrônica inicial e deu ao método Monte Carlo seu nome derivado de cassino. Seu trabalho posterior sobre algoritmos de amostragem tornou-se central para a física computacional, estatística e muitas formas de simulação.निकोलस मेट्रोपोलिस एक यूनानी-अमेरिकी भौतिकविद और लॉस एलमोस में कम्प्यूटिंग के प्रारंभिक दौर के विशिष्ट व्यक्ति थे। उन्होंने प्रारंभिक इलेक्ट्रॉनिक कम्प्यूटेशन पर कार्य किया और मोंटे कार्लो विधि का उस जुए के नाम पर आधारित नाम दिया। उनके बाद के कार्य नमूना एल्गोरिदम पर केंद्रित थे, जो भौतिकी के कम्प्यूटेशनल, सांख्यिकी और अनेक प्रकार की सिमुलेशन में केंद्रीय भूमिका निभाते हैं।Nicholas Metropolis adalah seorang fisikawan dan pelopor komputasi berkebangsaan Yunani-Amerika yang bekerja di Los Alamos. Ia meneliti komputasi elektronik awal dan memberi nama metode Monte Carlo dengan sebutan yang berasal dari kasino. Karyanya kemudian tentang algoritma pengambilan sampel menjadi pusat dalam fisika komputasi, statistik, dan berbagai bentuk simulasi.Nicholas Metropolis fut un physicien grec-américain et un pionnier de l'informatique à Los Alamos. Il travailla sur les premiers calculs électroniques et donna à la méthode Monte Carlo son nom inspiré des casinos. Son travail ultérieur sur les algorithmes d'échantillonnage devint central en physique computationnelle, en statistique et dans de nombreuses formes de simulation.ニコラス・メトロポリスは、ギリシャ系アメリカ人の物理学者で、ロスアラモスで活躍した計算機科学の先駆者である。彼は初期の電子計算機の開発に携わり、「モンテカルロ法」というカジノ由来の名称を考案した。その後、サンプリングアルゴリズムに関する研究は、計算物理学、統計学およびさまざまなシミュレーションにおいて中心的な役割を果たすことになった。Николас Метрополис был греко-американским физиком и пионером вычислительной техники в Лос-Аламосе. Он работал над ранними электронными вычислениями и дал методу Монте-Карло его название, происходящее от казино. Его более поздняя работа по алгоритмам выборки стала центральной для вычислительной физики, статистики и многих видов моделирования.Nicholas Metropolis war ein griechisch-amerikanischer Physiker und Pionier der Informatik am Los Alamos National Laboratory. Er arbeitete an frühen elektronischen Rechenverfahren und gab der Monte-Carlo-Methode ihren namensgebenden Bezug zum Casino. Seine späteren Arbeiten zu Sampling-Algorithmen wurden zentral für die theoretische Physik, Statistik und viele Formen der Simulation.니콜라스 메트로폴리스는 그리스계 미국인 물리학자이자 로스앨러모스에서 활동한 컴퓨팅 분야의 선구자였다. 그는 초기 전자 계산기에 참여했으며, 몬테카를로 방법에 도박장에서 유래된 이름을 붙였다. 이후 그가 개발한 샘플링 알고리즘은 계산 물리학, 통계학 및 다양한 시뮬레이션 분야의 핵심이 되었다.らは、直接計算できないほど複雑な問題にランダムサンプリングを用いた。物質の中を移動する中性子、高次元の積分、可能性のある未来の分岐連鎖。これらは紙上の針の問題ではなかったが、同じ賭けを共有していた。空間を正直にサンプリングすれば、幾何学の中に隠された量が明らかになる。
A nineteenth-century wooden experiment table is covered with many scattered brass needlesIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Sur une table tracée, une aiguille qui tombe transforme un cercle en comptage. Laissez-la tomber assez souvent, comptez les intersections, et la constante ancienne π commence à apparaître des griffures, des manques et du hasard étroit de l'angle.
En 1777, Georges-Louis Leclerc, Comte de BuffonPersonGeorges-Louis Leclerc, Comte de BuffonGeorges-Louis Leclerc, Comte de Buffon was an eighteenth-century French naturalist and mathematician, best known for his vast Histoire naturelle. His work ranged from zoology and geology to the mathematics of chance. In 1777 he published the needle problem that made random geometry a serious object of calculation.乔治-路易·勒克莱尔，布封伯爵是18世纪法国的博物学家和数学家，以其宏大的《自然史》最为著名。他的研究范围涵盖了动物学、地质学以及概率数学。1777年，他发表了“布丰投针问题”，使随机几何成为严肃的计算对象。Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon fue un naturalista y matemático francés del siglo XVIII, más conocido por su extensa Histoire naturelle. Su obra abarcó desde la zoología y la geología hasta las matemáticas de la probabilidad. En 1777 publicó el problema de la aguja, que convirtió la geometría aleatoria en un objeto serio de cálculo.جورج لويس لوكير، كونت دي بوفون كان عالم طبيعة ورياضيات فرنسي في القرن الثامن عشر، ويُعرف بشكل رئيسي بعمله الواسع "تاريخ طبيعي". امتدت أعماله من علم الحيوانات والجيولوجيا إلى رياضيات الحظ. نشر في عام 1777 مسألة الإبرة التي جعلت الهندسة العشوائية موضوعًا جادًا للحساب.Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon foi um naturalista e matemático francês do século XVIII, mais conhecido por sua vasta Histoire naturelle. Seu trabalho abrangia desde a zoologia e a geologia até a matemática da casualidade. Em 1777 publicou o problema da agulha, que tornou a geometria aleatória um objeto sério de cálculo.जीओर्ज-लुई लेक्लेर, काउंट डी बफ़ॉन अठारहवीं शताब्दी के फ़्रांसीसी प्राकृतिक विज्ञानी और गणितज्ञ थे, जिनके लिए उनकी विशाल "हिस्तोयर नैचुरेल" के कारण वे प्रसिद्ध हैं। उनका कार्य जीवविज्ञान और भूविज्ञान से लेकर संभाव्यता के गणित तक फैला हुआ था। 1777 में उन्होंने एक समस्या प्रकाशित की, जिसके कारण यादृच्छिक ज्यामिति गणना का गम्भीर विषय बन गई।Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon adalah seorang naturalis dan matematikawan Prancis abad keduabelas, yang paling dikenal karena karyanya yang luas, Histoire naturelle. Karyanya mencakup berbagai bidang, dari zoologi dan geologi hingga matematika peluang. Pada tahun 1777 ia menerbitkan masalah jarum yang membuat geometri acak menjadi objek serius dalam perhitungan.Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon, fut un naturaliste et mathématicien français du xviiie siècle, surtout connu pour son vaste ouvrage intitulé Histoire naturelle. Son œuvre s'étendait de la zoologie et de la géologie aux mathématiques du hasard. En 1777, il publia le problème de l'aiguille, qui fit de la géométrie aléatoire un objet sérieux de calcul.ジョルジュ＝ルイ・レクルール、バフオン男爵は18世紀のフランスの自然学者で、大規模な『自然史』で最も知られている。彼の研究は動物学や地質学から確率の数学に至るまで幅広かった。1777年、彼はランダム幾何学を真剣な計算対象とした針の問題を発表した。Жорж-Луи Леклерк, граф Бюффон, был французским натурописцем и математиком XVIII века, наиболее известным своей обширной «Натуральной историей». Его работы охватывали зоологию и геологию, а также математику вероятностей. В 1777 году он опубликовал задачу о игле, которая сделала случайную геометрию серьёзным объектом вычислений.Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon, war ein französischer Naturforscher und Mathematiker des 18. Jahrhunderts, am besten bekannt für sein umfassendes Werk Histoire naturelle. Seine Arbeit erstreckte sich von der Zoologie und Geologie bis hin zur Mathematik des Zufalls. 1777 veröffentlichte er das Nadelproblem, das die zufällige Geometrie zu einem ernstzunehmenden Gegenstand der Berechnung machte.조르주 루이 르클레르 코뮌 드 뷔퐁은 18세기 프랑스의 자연주의자이자 수학자로, 방대한 『자연사』로 가장 유명하다. 그의 연구 분야는 동물학과 지질학에서부터 확률의 수학에 이르기까지 폭넓었다. 1777년 그는 확률 기하학을 진지한 계산 대상으로 만든 핀 문제를 발표했다. posa un problème si simple qu'on pouvait le mettre en scène sur une feuille de papier et avec une aiguille à coudre. Tracer des lignes parallèles à des distances égales. Laisser tomber une aiguille au hasard. Demander quelle est la probabilité qu'elle croise l'une des lignes. C'était une expérience de salon au bord du sérieux : la réponse contenait piConceptpiPi is the ratio of a circle's circumference to its diameter, approximately 3.14159. It appears first as a fact of circular geometry, but it recurs through analysis, probability, physics and number theory. In Buffon's needle problem it arises from averaging all possible orientations of a line segment.圆周率π是一个圆的周长与直径的比值，约为3.14159。它最初作为圆的几何特性出现，但随后在分析学、概率论、物理学和数论中反复出现。在布丰投针问题中，它来源于对线段所有可能方向的平均计算。Pi es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, aproximadamente 3,14159. Aparece en un primer momento como un hecho de la geometría circular, pero vuelve a aparecer a lo largo del análisis, la probabilidad, la física y la teoría de números. En el problema de la aguja de Buffon surge al promediar todas las orientaciones posibles de un segmento de línea.العدد باي هو نسبة محيط الدائرة إلى قطرها، ويُقدر بحوالي 3.14159. يظهر لأول مرة كمعلومة هندسية تتعلق بالدوائر، لكنه يتكرر في التحليل والاحتمالات والفيزياء ونظرية الأعداد. في مسألة إبرة بوفون، يظهر من متوسط جميع الاتجاهات الممكنة لقطعة مستقيمة.Pi é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro, aproximadamente 3,14159. Aparece pela primeira vez como fato da geometria circular, mas recorre através da análise, probabilidade, física e teoria dos números. No problema da agulha de Buffon, surge a partir da média de todas as orientações possíveis de um segmento de reta.π एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात है, लगभग 3.14159। यह सर्वप्रथम वृत्तीय ज्यामिति के तथ्य के रूप में प्रकट होता है, लेकिन विश्लेषण, संभाव्यता, भौतिकी और संख्या सिद्धांत में इसकी पुनरावृत्ति होती है। बफ़ोन की सुई की समस्या में एक रेखाखंड की सभी संभावित दिशाओं के औसत से यह उत्पन्न होता है।Pi adalah rasio keliling lingkaran terhadap diameternya, sekitar 3,14159. Pi muncul pertama kali sebagai fakta dalam geometri lingkaran, tetapi muncul kembali dalam analisis, probabilitas, fisika, dan teori bilangan. Dalam permasalahan jarum Buffon, Pi muncul dari rata-rata semua orientasi yang mungkin dari sebuah segmen garis.Pi est le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre, environ 3,14159. Il apparaît d'abord comme une propriété géométrique des cercles, mais il se retrouve ensuite en analyse, en probabilité, en physique et en théorie des nombres. Dans le problème de l'aiguille de Buffon, il émerge en prenant la moyenne de toutes les orientations possibles d'un segment de droite.円周率（パイ）は、円の円周長とその直径の比であり、約3.14159である。これは最初に円形幾何学における事実として現れるが、解析学、確率論、物理学および数論においても繰り返し登場する。バッフォンの針の問題では、線分の可能なすべての方位を平均することによって現れる。Число π представляет собой отношение длины окружности к её диаметру, приблизительно 3,14159. Оно впервые появляется как геометрический факт, связанный с окружностью, но затем встречается в анализе, теории вероятностей, физике и теории чисел. В задаче Бюффона о булавле оно возникает при усреднении всех возможных ориентаций отрезка прямой.π ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser und beträgt ungefähr 3,14159. Es tritt zuerst als geometrische Eigenschaft von Kreisen auf, taucht jedoch wiederholt in der Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Physik und Zahlentheorie auf. Beim Buffonschen Nadelproblem entsteht es aus der Durchschnittsbildung aller möglichen Ausrichtungen eines Liniensegments.원주율(π)은 원의 둘레와 지름의 비율로, 약 3.14159이다. 원의 기하학적 성질로서 처음 등장하지만, 해석학, 확률론, 물리학, 수론 등 여러 분야에서 반복적으로 나타난다. 버프론의 바늘 문제에서는 선분의 가능한 모든 방향의 평균을 구하면서 등장한다..
Buffon ne cherchait pas à créer un tour de prestidigitation scolaire. Son Essai d'arithmétique morale appartenait à une nouvelle inquiétude concernant le hasard, l'utilité et l'espérance, une époque où probabilityConceptprobabilityProbability is the mathematics of uncertain events. It began with problems in games of chance and grew into a language for risk, evidence, physics and statistics. By the eighteenth century, mathematicians were extending it beyond dice and cards into continuous settings where outcomes form regions rather than countable cases.概率论是对不确定事件的数学研究。它最初起源于对机会游戏问题的研究，后来发展成为描述风险、证据、物理和统计学的一种语言。到18世纪时，数学家们已将其应用范围从骰子和纸牌扩展到连续情形，其中结果形成区域而非可数的情况。La probabilidad es la matemática de los eventos inciertos. Comenzó con problemas en juegos de azar y se convirtió en un lenguaje para el riesgo, la evidencia, la física y la estadística. Para el siglo XVIII, los matemáticos ya la estaban extendiendo más allá de los dados y las cartas hacia contextos continuos donde los resultados forman regiones en lugar de casos contables.الاحتمال هو رياضيات الأحداث غير المؤكدة. بدأ مع مشاكل في ألعاب المقامرة، وانتهى بتصبح لغة للخطر والدلائل والفيزياء والإحصاء. بحلول القرن الثامن عشر، كان الرياضياتيون يمتدون بها إلى ما وراء النرد والبطاقات إلى الأوضاع المستمرة حيث تشكل النتائج مناطق بدلًا من الحالات العدديّة.A probabilidade é a matemática dos eventos incertos. Começou com problemas em jogos de azar e evoluiu para uma linguagem para risco, evidência, física e estatística. Até o século XVIII, matemáticos estavam a estendê-la além dos dados e cartas para situações contínuas, onde os resultados formam regiões em vez de casos contáveis.संभाव्यता अनिश्चित घटनाओं की गणित है। इसकी शुरुआत संभावना के खेलों से हुई और यह जोखिम, साक्ष्य, भौतिकी और सांख्यिकी की भाषा में विकसित हुई। अठारहवीं शताब्दी तक, गणितज्ञ इसे पासे और ताश के पत्तों से आगे बढ़ाकर ऐसे निरंतर स्थितियों में लागू करने लगे जहां परिणाम क्षेत्र बनाते हैं जबकि गिने जा सकने वाले मामले नहीं।Probabilitas adalah matematika dari kejadian yang tidak pasti. Awalnya muncul dari masalah dalam permainan keberuntungan, lalu berkembang menjadi bahasa untuk risiko, bukti, fisika, dan statistik. Pada abad kedelapan belas, para matematikawan mulai mengembangkannya melebihi dadu dan kartu ke dalam konteks kontinu di mana hasilnya membentuk daerah daripada kasus yang dapat dihitung.La probabilité est la mathématique des événements incertains. Elle a débuté avec des problèmes liés aux jeux de hasard et s'est développée en un langage pour exprimer le risque, les preuves, la physique et la statistique. Dès le XVIIIe siècle, les mathématiciens l'étendaient au-delà des dés et des cartes vers des contextes continus où les résultats forment des régions plutôt que des cas dénombrables.確率とは、不確実な事象を扱う数学の分野である。当初は、賭け事の問題から始まり、やがてリスク、証拠、物理学、統計学を表現する言語として発展した。18世紀までに、数学者たちはサイコロやトランプの問題にとどまらず、結果が個別に数えられるケースではなく領域を形成する連続的な設定へとその応用範囲を広げていた。Вероятность — это математика неопределённых событий. Она возникла из задач, связанных с азартными играми, и превратилась в язык для описания риска, доказательств, физики и статистики. К XVIII веку математики уже применяли её за пределами игральных костей и карт в непрерывных ситуациях, где результаты образуют области, а не счётные случаи.Wahrscheinlichkeit ist die Mathematik unsicherer Ereignisse. Sie begann mit Problemen in Glücksspielen und entwickelte sich zu einer Sprache für Risiko, Beweise, Physik und Statistik. Bis ins achtzehnte Jahrhundert hinüber erweiterten Mathematiker sie jenseits von Würfeln und Karten auf kontinuierliche Bereiche, in denen Ergebnisse Regionen statt abzählbarer Fälle bilden.확률은 불확실한 사건의 수학이다. 확률은 기회의 게임에서의 문제에서 시작하여 위험, 증거, 물리학 및 통계학의 언어로 발전하였다. 18세기까지 수학자들은 주사위와 카드를 넘어서 연속적인 상황으로 확률을 확장하여, 결과가 개수를 세어 셀 수 있는 경우가 아니라 영역을 이루는 경우를 다루게 되었다. passait des tables de jeu vers la loi, l'assurance et la philosophie naturelle. Le problème de l'aiguille déplaça le hasard des dés vers l'espace. Au lieu de se demander combien de faces un cube pouvait montrer, il interrogeait sur la manière dont un objet physique pouvait atterrir dans un champ continu de positions possibles.
Prenons le cas le plus simple. Les lignes sont séparées par une distance d. L'aiguille a une longueur l, pas plus grande que d. Une fois qu'elle tombe, deux quantités importent : la distance x entre son centre et la ligne la plus proche, et l'angle aigu theta que l'aiguille forme avec les lignes tracées. L'aiguille croise si x est inférieur ou égal à la moitié de sa hauteur projetée : (l/2) sin theta.
A linen-covered eighteenth-century writing desk holds a sheet of paper ruled with evenly sIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
L'aire sous la sinusoïde
Le calcul est court, mais il change la nature même de l'objet probabiliste. Le centre de l'aiguille peut se situer n'importe où entre 0 et d/2 par rapport à la ligne la plus proche. L'angle peut varier entre 0 et pi/2. Ces deux variables forment un rectangle de possibilités. À l'intérieur se trouve la région courbe où x <= (l/2) sin theta. Son aire est l'intégrale de (l/2) sin theta de 0 à pi/2, qui est simplement l/2.
Diviser cette aire favorable par l'aire totale du rectangle, (d/2)(pi/2), donne la probabilité d'une intersection égale à 2l/(pi d). Si l'aiguille a exactement la longueur de l'écart entre les lignes, l = d, l'expression se réduit à 2/pi. Une constante ronde est entrée par la porte de derrière, non pas parce que quelqu'un avait mesuré un cercle, mais parce que toutes les orientations de l'aiguille devaient être comptabilisées.
A human hand releases a slender metal needle above a wooden surface featuring parallel inlIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
C'était la naissance modeste de geometric probabilityConceptgeometric probabilityGeometric probability studies chance by measuring lengths, areas, volumes or other geometric sets of possible outcomes. Buffon's needle is its classic early example: the answer comes from comparing a favourable region under a sine curve with a rectangle of all possible needle positions and angles.几何概率通过测量长度、面积、体积或其他几何集合的可能结果来研究概率。布丰的投针问题是其经典的早期例子：答案来自于将正弦曲线下的有利区域与所有可能的针的位置和角度所组成的矩形进行比较。La probabilidad geométrica estudia el azar midiendo longitudes, áreas, volúmenes u otros conjuntos geométricos de resultados posibles. La aguja de Buffon es su ejemplo clásico temprano: la respuesta proviene al comparar una región favorable bajo una curva seno con un rectángulo que contiene todas las posiciones y ángulos posibles de la aguja.تدرس الاحتمالات الهندسية الاحتمال من خلال قياس الطول أو المساحة أو الحجم أو مجموعات هندسية أخرى من النتائج الممكنة. تُعد مسألة إبرة بوفون مثالاً كلاسيكياً مبكرًا: حيث يُستنتج الجواب من خلال مقارنة منطقة مواتية تحت منحنى الجيب بمستطيل يمثل جميع مواقف الإبرة الممكنة وزواياها.A probabilidade geométrica estuda a chance medindo comprimentos, áreas, volumes ou outros conjuntos geométricos de resultados possíveis. A agulha de Buffon é seu exemplo clássico inicial: a resposta surge ao comparar uma região favorável sob uma curva senoidal com um retângulo contendo todas as posições e ângulos possíveis da agulha.ज्यामितीय संभाव्यता परिणामों के संभावित समुच्चय के रूप में लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन या अन्य ज्यामितीय समुच्चय के मापन द्वारा संभावना का अध्ययन करती है। बफ़न की सुई इसका एक प्रारंभिक उदाहरण है: उत्तर एक साइन वक्र के तहत एक लाभप्रद क्षेत्र की तुलना सभी संभावित सुई स्थितियों और कोणों के एक आयत के साथ करके प्राप्त होता है।Probabilitas geometris mempelajari peluang dengan mengukur panjang, luas, volume, atau himpunan geometris lain dari hasil yang mungkin. Contoh klasik awalnya adalah jarum Buffon: jawabannya diperoleh dengan membandingkan daerah yang menguntungkan di bawah kurva sinus dengan persegi panjang yang mencakup semua posisi dan sudut jarum yang mungkin.La probabilité géométrique étudie le hasard en mesurant des longueurs, des aires, des volumes ou d'autres ensembles géométriques d'événements possibles. L'aiguille de Buffon en est un exemple classique du début de cette discipline : la réponse provient d'une comparaison d'une région favorable sous une courbe sinus avec un rectangle contenant toutes les positions et angles possibles de l'aiguille.幾何確率論は、長さや面積、体積、あるいはその他の幾何的集合を測定することによって確率を研究する。バッフォンの針問題はその古典的な初期の例である。この問題の答えは、正弦曲線の下にある有利な領域を、針の位置と角度のすべての可能な長方形領域と比較することによって得られる。Геометрическая вероятность изучает вероятность, измеряя длины, площади, объемы или другие геометрические множества возможных исходов. Примером классической ранней задачи является игла Бюффона: ответ находится путем сравнения благоприятной области под синусоидальной кривой с прямоугольником всех возможных положений и углов иглы.Die geometrische Wahrscheinlichkeit untersucht das Zufallsereignis durch die Messung von Längen, Flächen, Volumina oder anderen geometrischen Mengen möglicher Ergebnisse. Das „Nadelproblem“ von Buffon ist ihr klassisches frühes Beispiel: die Lösung ergibt sich aus dem Vergleich einer günstigen Region unter einer Sinuslinie mit einem Rechteck aller möglichen Nadelpositionen und Winkel.기하 확률은 길이, 면적, 부피 또는 다른 기하학적 집합의 가능한 결과를 측정함으로써 확률을 연구한다. 버퐁의 바늘은 이 분야의 고전적인 초기 예시로, 정현 곡선 아래의 유리한 영역을 바늘의 가능한 모든 위치와 각도를 포함하는 직사각형과 비교함으로써 답을 얻는다.. La probabilité discrète ordinaire peut compter des cas : pile ou face, six faces d'un dé, cinquante-deux cartes. Le problème de Buffon exigeait une mesure sur un continuum. Il demandait quelle portion d'un espace géométrique correspondait à une réussite. Des mathématiciens ultérieurs rendraient cette langue plus formelle, mais le mouvement essentiel est déjà présent dans l'aiguille : remplacer le dénombrement par l'aire, et le hasard devient géométrie.
Lancer pour pi
La formule peut être inversée. Si n aiguilles sont lâchées et que h croisent une ligne, alors h/n estime la probabilité d'intersection. En réorganisant, on obtient pi approximativement égal à 2ln/(dh). L'arithmétique est presque offensivement simple. Le labeur réside dans la réalisation d'une chute vraiment aléatoire et dans l'acceptation de la lenteur avec laquelle le hasard paie ses dettes.
A close macro view shows one metal needle crossing a deep groove in a wooden board while aIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Les expérimentateurs du XIXe siècle ont tout de même essayé. L'astronome suisse Rudolf Wolf rapporta 5 000 lancers vers 1850 et obtint une valeur proche de 3,1596. A. Hall publia une détermination expérimentale en 1873. En 1901, Mario LazzariniPersonMario LazzariniMario Lazzarini was an Italian mathematician associated with a celebrated 1901 report on Buffon's needle. He claimed to have estimated pi as 355/113 from 3,408 needle drops, an accuracy so striking that later writers have questioned whether the experiment was stopped, selected or intended as a mathematical joke.马里奥·拉扎里尼是一位意大利数学家，因1901年关于布丰针问题的著名报告而知名。他声称通过3408次投针实验，将圆周率π估算为355/113，其精度之高令人惊讶，后来的作者因此质疑该实验是否被人为停止或选择性记录，甚至可能是出于数学玩笑的目的而设计的。Mario Lazzarini fue un matemático italiano asociado con un celebrado informe de 1901 sobre la aguja de Buffon. Afirmó haber estimado pi como 355/113 tras 3 408 lanzamientos de agujas, una precisión tan notable que escritores posteriores se han preguntado si el experimento fue interrumpido, seleccionado o si se pretendía como una broma matemática.مARIO لازاريني هو عالم رياضيات إيطالي تربطه صلة بالรายงาน المشهور لعام 1901 حول إبرة بوفون. فقد زعم أنه حسب قيمة باي على أنها 355/113 من خلال 3408 تجربة إسقاط إبرة، ودقة هذا التقدير كانت هائلة لدرجة أن المؤلفين اللاحقين شككوا فيما إذا تم إيقاف التجربة، أو اختيار النتائج، أو أن التجربة كانت مزحة رياضية مقصودة.Mario Lazzarini foi um matemático italiano associado a um celebrado relatório de 1901 sobre o problema da agulha de Buffon. Ele alegou ter estimado pi como 355/113 a partir de 3.408 lançamentos de agulhas, uma precisão tão notável que escritores posteriores questionaram se o experimento foi interrompido, selecionado ou se destinava a ser uma brincadeira matemática.मारियो लाज़ारिनी एक इतालवी गणितज्ञ थे जो बफ़न की सुई पर 1901 की प्रसिद्ध रिपोर्ट से जुड़े हुए थे। उन्होंने 3,408 सुई गिराने के बाद दावा किया कि वे pi को 355/113 के रूप में अनुमानित कर सकते हैं, जो इतनी शानदार सटीकता के साथ है कि बाद के लेखकों ने यह सवाल उठाया है कि क्या प्रयोग बंद कर दिया गया था, चयनित किया गया था या गणितीय उपहास के रूप में निर्धारित किया गया था।Mario Lazzarini adalah seorang matematikawan Italia yang dikaitkan dengan laporan terkenal tahun 1901 mengenai jarum Buffon. Ia mengklaim telah memperkirakan nilai pi sebagai 355/113 dari 3.408 kali melemparkan jarum, sebuah akurasi yang begitu mengejutkan sehingga penulis-penulis selanjutnya mempertanyakan apakah eksperimen tersebut dihentikan, disaring, atau dimaksudkan sebagai lelucon matematis.Mario Lazzarini fut un mathématicien italien associé à un célèbre rapport de 1901 sur l’aiguille de Buffon. Il affirma avoir estimé pi comme étant égal à 355/113 à partir de 3 408 lancers d’aiguille, une précision si remarquable que des auteurs ultérieurs se sont interrogés sur le fait de savoir si l’expérience avait été arrêtée, sélectionnée ou conçue comme une plaisanterie mathématique.マリオ・ラザリニは、1901年のバッフォンの針に関する著名な報告書に関連したイタリアの数学者である。彼は3,408回の針を落とす実験を通じて、円周率を355/113と推定した。その精度は際立っており、後年の研究者はこの実験が終了した時点で結果が選定されたのか、あるいは単なる数学的ジョークであったのかを疑問視している。Марио Лазарини — итальянский математик, связанный с известным докладом 1901 года о игле Бюффона. Он утверждал, что оценил число пи как 355/113, используя 3408 бросков иглы, что настолько удивительно точно, что позднейшие авторы поставили под сомнение, не было ли эксперимент остановлен, подобран или же задуман как математический шут.Mario Lazzarini war ein italienischer Mathematiker, der mit einem berühmten Bericht von 1901 über das Nadelproblem von Buffon in Verbindung gebracht wird. Er behauptete, er habe π durch 355/113 aus 3408 Nadelwürfen geschätzt, eine Genauigkeit, die so bemerkenswert ist, dass spätere Autoren sich gefragt haben, ob das Experiment beendet, ausgewählt oder als mathematischer Witz gemeint war.마리오 라자리니(Mario Lazzarini)는 버논의 바늘(Buffon's needle)에 관한 1901년 유명한 보고서와 관련된 이탈리아 수학자이다. 그는 3,408번의 바늘 던지기 실험을 통해 원주율을 355/113으로 추정하였다. 이는 놀랄 만큼 정확한 수치로, 후에 이 실험이 중단되었거나 일부러 선택되었거나, 혹은 수학적 농담이 의도되었는지에 대해 의문을 제기하는 이들이 있었다. affirma quelque chose de beaucoup plus précis : 3 408 lancers d'aiguilles de 25 millimètres sur des lignes distantes de 30 millimètres, produisant 355/113, l'approximation célèbre à six décimales 3,1415929.
Le résultat de Lazzarini a toujours semblé trop lisse. Avec son rapport l/d = 5/6, la formule devient particulièrement bienveillante envers 355/113, et des statisticiens ultérieurs ont traité le rapport avec suspicion : peut-être arrêté à un moment commode, peut-être sélectionné, peut-être rédigé avec un clin d'œil pour des instituteurs plutôt qu'en tant que mesure sérieuse. Le point n'est pas que la formule de Buffon échoue. C'est que le hasard physique est un serviteur médiocre lorsqu'on lui demande trop de décimales.
Cependant, l'acte avait de l'importance. Estimer pi en comptant les intersections d'aiguilles est de calculer avec le hasard. Longtemps avant les ordinateurs électroniques, la table de Buffon offrait une simulation analogique : une machine stochastique faite de bois, d'encre et de métal tombant.
Des aiguilles à Monte Carlo
À la fin des années 1940, l'expression Monte Carlo methodConceptMonte Carlo methodThe Monte Carlo method uses repeated random sampling to estimate quantities that are hard to compute directly. The name was coined in the mid-twentieth century during work at Los Alamos, but its ancestry reaches back to experiments such as Buffon's needle, where chance is used as a calculating device.蒙特卡罗方法利用重复的随机抽样来估算难以直接计算的数量。这一名称诞生于二十世纪中期洛斯阿拉莫斯的研究工作，但它的起源可以追溯到布丰针实验等早期实验，在这些实验中，概率被用作计算工具。El método Monte Carlo utiliza muestreo aleatorio repetido para estimar cantidades que resultan difíciles de calcular directamente. El nombre fue acuñado a mediados del siglo veinte durante trabajos en Los Alamos, pero su ascendencia se remonta a experimentos como la aguja de Buffon, donde el azar se emplea como dispositivo de cálculo.تستخدم طريقة مونتي كارلو أخذ العينات العشوائية المتكررة لتقدير الكميات التي من الصعب حسابها مباشرة. سُمِّيت الطريقة بهذا الاسم في منتصف القرن العشرين أثناء العمل في لوس ألاموس، لكن جذورها تعود إلى تجارب مثل عود بافون، حيث تُستخدم الفرصة كجهاز حسابي.O método Monte Carlo utiliza amostragem aleatória repetida para estimar quantidades difíceis de serem calculadas diretamente. O nome foi cunhado na segunda metade do século XX durante trabalhos em Los Alamos, mas sua ascendência remonta a experimentos como a agulha de Buffon, nos quais o acaso é usado como um dispositivo de cálculo.मॉन्टे कार्लो विधि के उपयोग से द्वारा सीधे गणना करने में कठिन मात्राओं का अनुमान बनाया जाता है। इसका नाम मध्य बीसवीं शताब्दी में लॉस एलमोस में कार्य के दौरान रखा गया था, लेकिन इसकी वंशवृति बफोन की सुई जैसे प्रयोगों तक पहुंचती है, जहां अवसर के उपयोग की गणना करने की एक युक्ति के रूप में की गई थी।Metode Monte Carlo menggunakan pengambilan sampel acak berulang untuk memperkirakan kuantitas yang sulit dihitung secara langsung. Nama ini diciptakan pada pertengahan abad kedua puluh selama pekerjaan di Los Alamos, tetapi asal usulnya dapat dilacak kembali ke eksperimen seperti jarum Buffon, di mana kebetulan digunakan sebagai alat perhitungan.La méthode Monte Carlo utilise un échantillonnage aléatoire répété pour estimer des quantités difficiles à calculer directement. Le nom a été forgé au milieu du vingtième siècle lors des travaux à Los Alamos, mais ses origines remontent à des expériences telles que l'aiguille de Buffon, où le hasard est utilisé comme dispositif de calcul.モンテカルロ法は、直接計算するのが困難な数量を推定するために、繰り返し無作為サンプリングを行う手法である。この名称は20世紀半ばにロスアラモスでの研究中に造られたが、その起源はバッフォンの針などの実験にまで遡り、これらは確率を計算装置として用いるものである。Метод Монте-Карло использует многократное случайное выборочное исследование для оценки величин, которые сложно вычислить напрямую. Название метода появилось в середине двадцатого века во время работ в Лос-Аламосе, но его происхождение связано с такими экспериментами, как игла Бюффона, где случайность используется как вычислительное устройство.Die Monte-Carlo-Methode verwendet wiederholte zufällige Stichproben, um Größen zu schätzen, die sich direkt schwer berechnen lassen. Der Name wurde Mitte des zwanzigsten Jahrhunderts während der Arbeit am Los Alamos National Laboratory geprägt, doch ihre Ursprünge reichen bis zu Experimenten wie dem Nadelproblem von Buffon zurück, bei dem das Zufallsprinzip als Rechenhilfe eingesetzt wird.몬테카를로 방법은 직접 계산하기 어려운 수량을 추정하기 위해 반복적인 확률적 표본추출을 사용한다. 이 방법의 이름은 20세기 중반 로스앨러모스에서의 연구 중 지어졌지만, 그 기원은 버퐁의 바늘 실험과 같이 확률을 계산 도구로 활용한 이전의 실험들로까지 거슬러 올라간다. acquit son sens moderne à Los Alamos, où John von NeumannPersonJohn von NeumannHungarian-American polymath (1903–1957) who made foundational contributions to set theory, quantum mechanics, game theory, computing, and nuclear weapons design. Present at the 1930 Königsberg conference where Gödel first hinted at incompleteness, he was reportedly the only attendee who grasped the result on the spot and independently derived the second incompleteness theorem within weeks.匈牙利裔美国博学者（1903—1957），在集合论、量子力学、博弈论、计算与核武器设计等领域作出奠基性贡献。1930 年哥廷根会议上，哥德尔首次暗示不完备性结果时他在场，据称是当场唯一领会其要义的与会者，并在数周内独立推导出第二不完备性定理。Polímata húngaro-estadounidense (1903-1957) que realizó contribuciones fundamentales a la teoría de conjuntos, la mecánica cuántica, la teoría de juegos, la computación y el diseño de armas nucleares. Presente en la conferencia de Königsberg de 1930, donde Gödel insinuó por primera vez la incompletitud, fue, según se dice, el único asistente que captó el resultado en el acto y dedujo de forma independiente el segundo teorema de incompletitud en cuestión de semanas.عالم موسوعي مجري-أمريكي (1903–1957) قدّم إسهامات تأسيسية في نظرية المجموعات وميكانيكا الكم ونظرية الألعاب والحوسبة وتصميم الأسلحة النووية. حضر مؤتمر كونيغسبرغ عام 1930 حيث ألمح غودل لأول مرة إلى نظرية عدم الاكتمال، ويُقال إنه كان الحاضر الوحيد الذي استوعب النتيجة على الفور، واستنتج بشكل مستقل نظرية عدم الاكتمال الثانية في غضون أسابيع.Polímata húngaro-americano (1903–1957) que deu contribuições fundamentais à teoria dos conjuntos, à mecânica quântica, à teoria dos jogos, à computação e ao projeto de armas nucleares. Presente na conferência de Königsberg de 1930, onde Gödel insinuou pela primeira vez a incompletude, foi, segundo relatos, o único participante a captar o resultado imediatamente e a deduzir de forma independente o segundo teorema da incompletude em poucas semanas.हंगेरियाई-अमेरिकी बहुश्रुत विद्वान (1903–1957) जिन्होंने समुच्चय सिद्धांत, क्वांटम यांत्रिकी, खेल सिद्धांत, संगणन और परमाणु हथियार अभिकल्पना में आधारभूत योगदान दिए। 1930 के कोनिग्सबर्ग सम्मेलन में उपस्थित, जहाँ गोडेल ने पहली बार अपूर्णता का संकेत दिया था, वे कथित रूप से एकमात्र ऐसे श्रोता थे जिन्होंने उसी क्षण इस परिणाम को समझ लिया और कुछ ही सप्ताहों के भीतर स्वतंत्र रूप से द्वितीय अपूर्णता प्रमेय की व्युत्पत्ति कर ली।Polimat Hungaria-Amerika (1903–1957) yang memberikan kontribusi fundamental pada teori himpunan, mekanika kuantum, teori permainan, komputasi, dan desain senjata nuklir. Hadir pada konferensi Königsberg 1930 ketika Gödel pertama kali mengisyaratkan ketidaklengkapan, ia dilaporkan sebagai satu-satunya peserta yang langsung memahami hasil tersebut di tempat dan secara independen menurunkan teorema ketidaklengkapan kedua dalam hitungan minggu.Polymathe américano-hongrois (1903-1957) qui apporta des contributions fondamentales à la théorie des ensembles, à la mécanique quantique, à la théorie des jeux, à l'informatique et à la conception des armes nucléaires. Présent à la conférence de Königsberg de 1930 où Gödel évoqua pour la première fois l'incomplétude, il fut, dit-on, le seul participant à saisir le résultat sur-le-champ et à dériver indépendamment le second théorème d'incomplétude en l'espace de quelques semaines.ハンガリー系アメリカ人の博学者（1903–1957）。集合論、量子力学、ゲーム理論、計算機科学、核兵器設計に基礎的な貢献をなした。1930年のケーニヒスベルク会議に出席し、ゲーデルが不完全性を初めて示唆した際、その結果をその場で把握した唯一の参加者であったと伝えられ、数週間のうちに第二不完全性定理を独自に導出した。Венгеро-американский эрудит (1903–1957), внёсший фундаментальный вклад в теорию множеств, квантовую механику, теорию игр, вычислительную технику и конструирование ядерного оружия. Присутствовал на Кёнигсбергской конференции 1930 года, где Гёдель впервые намекнул на неполноту; по имеющимся свидетельствам, он был единственным из участников, кто сразу осознал результат, и в течение нескольких недель самостоятельно вывел вторую теорему о неполноте.Ungarisch-amerikanischer Universalgelehrter (1903–1957), der grundlegende Beiträge zur Mengenlehre, Quantenmechanik, Spieltheorie, Informatik und zum Entwurf von Kernwaffen leistete. Anwesend auf der Königsberger Tagung 1930, auf der Gödel erstmals die Unvollständigkeit andeutete, soll er der einzige Teilnehmer gewesen sein, der das Ergebnis sofort erfasste, und leitete innerhalb weniger Wochen unabhängig den zweiten Unvollständigkeitssatz her.헝가리계 미국인 박학다식가(1903–1957)로, 집합론, 양자역학, 게임이론, 컴퓨팅, 핵무기 설계에 기초적인 기여를 했다. 1930년 쾨니히스베르크 회의에서 괴델이 불완전성을 처음 시사했을 때 참석했으며, 그 자리에서 결과를 즉시 이해한 유일한 참석자였다고 전해지고, 몇 주 만에 독자적으로 제2 불완전성 정리를 도출했다., Stanisław UlamPersonStanisław UlamStanisław Ulam was a Polish-American mathematician who worked at Los Alamos after the Second World War. He helped shape the modern Monte Carlo method, using random sampling to study problems in nuclear physics and computation. His career also touched set theory, topology, cellular automata and the design of early thermonuclear weapons.斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆（Stanisław Ulam）是一位波兰裔美国数学家，第二次世界大战后在洛斯阿拉莫斯工作。他帮助创立了现代蒙特卡洛方法，利用随机抽样研究核物理和计算中的问题。他的职业生涯还涉及集合论、拓扑学、细胞自动机以及早期热核武器的设计。Stanisław Ulam fue un matemático polaco-estadounidense que trabajó en Los Alamos tras la Segunda Guerra Mundial. Ayudó a desarrollar el moderno método Monte Carlo, que utiliza muestreo aleatorio para estudiar problemas de física nuclear y cálculo. Su carrera también abarcó la teoría de conjuntos, la topología, las máquinas celulares y el diseño de armas termonucleares tempranas.كان ستانيسلاف أولام عالم رياضيات بولندي-أمريكي عمل في لوس ألموس بعد الحرب العالمية الثانية. ساعد في تشكيل الطريقة الحديثة لمنطقة مونتي كارلو، باستخدام العينات العشوائية لدراسة المشكلات في الفيزياء النووية والحساب. شملت مسيرته المهنية أيضًا نظرية المجموعات والטופولوجيا والآلات الخلوية التلقائية والتصميم المبكر للأسلحة الحرارية النووية.Stanislaw Ulam foi um matemático polonês-americano que trabalhou em Los Alamos após a Segunda Guerra Mundial. Ele ajudou a desenvolver o método Monte Carlo moderno, usando amostragem aleatória para estudar problemas na física nuclear e computação. Sua carreira também abrangeu a teoria dos conjuntos, a topologia, os autômatos celulares e o desenho das primeiras armas termonucleares.स्टैनिस्लाव उलाम एक पोलिश-अमेरिकी गणितज्ञ थे जिन्होंने द्वितीय विश्व युद्ध के बाद लॉस एलमोस में काम किया। उन्होंने आधुनिक मॉन्टे कार्लो विधि का विकास किया, जिसमें नाभिकीय भौतिकी और कंप्यूटेशन में समस्याओं के अध्ययन के लिए यादृच्छिक नमूना लेने का उपयोग किया गया। उनके करियर में समुच्चय सिद्धांत, टोपोलॉजी, सेलुलर ऑटोमेटा और प्रारंभिक थर्मोन्यूक्लियर हथियारों के डिज़ाइन को भी छू लिया।Stanisław Ulam adalah seorang matematikawan Polandia-Amerika yang bekerja di Los Alamos setelah Perang Dunia Kedua. Ia membantu membentuk metode Monte Carlo modern, yang menggunakan sampel acak untuk mempelajari masalah dalam fisika nuklir dan komputasi. Kariernya juga meliputi teori himpunan, topologi, otomata seluler, serta desain senjata termonuklir awal.Stanisław Ulam fut un mathématicien polonais-américain qui travailla à Los Alamos après la Seconde Guerre mondiale. Il contribua à l'élaboration de la méthode moderne de Monte Carlo, utilisant l'échantillonnage aléatoire pour étudier des problèmes de physique nucléaire et de calcul. Sa carrière toucha également la théorie des ensembles, la topologie, les automates cellulaires et la conception des premières armes thermonucléaires.スタニスワフ・ウラムは第二次世界大戦後にロスアラモスで研究したポーランド出身のアメリカ人数学者である。モンテカルロ法の現代的な形を築くのに貢献し、核物理および計算における問題を確率的サンプリングによって研究した。彼の研究分野は集合論、位相幾何学、セル・オートマトンおよび初期の熱核融合兵器の設計にも及んでいる。Станислав Улам — польский и американский математик, работавший в Лос-Аламосе после Второй мировой войны. Он помог сформировать современный метод Монте-Карло, используя случайную выборку для изучения проблем в ядерной физике и вычислениях. Его карьера также касалась теории множеств, топологии, клеточных автоматов и разработки ранних термоядерных оружий.Stanisław Ulam war ein polnisch-amerikanischer Mathematiker, der nach dem Zweiten Weltkrieg am Los Alamos National Laboratory arbeitete. Er trug wesentlich zur Entwicklung der modernen Monte-Carlo-Methode bei, bei der zufällige Stichproben zur Untersuchung von Problemen in der Kernphysik und der Berechnung eingesetzt werden. Seine Karriere umfasste zudem die Mengenlehre, Topologie, zelluläre Automaten und das Design früher thermonuklearer Waffen.스테파니우 슐람(Stanisław Ulam)은 제2차 세계대전 이후 로스앨러모스에서 일한 폴란드계 미국 수학자였다. 그는 핵물리학과 계산 문제를 연구하기 위해 무작위 표집을 사용하는 현대 몬테카를로 방법의 발전에 기여했다. 그의 경력은 집합론, 위상수학, 세포 자동기 및 초기 열핵무기 설계에도 걸쳐졌다., Nicholas MetropolisPersonNicholas MetropolisNicholas Metropolis was a Greek-American physicist and computing pioneer at Los Alamos. He worked on early electronic computation and gave the Monte Carlo method its casino-derived name. His later work on sampling algorithms became central to computational physics, statistics and many forms of simulation.尼古拉斯·梅特罗波利斯（Nicholas Metropolis）是一位希腊裔美国物理学家，也是洛斯阿拉莫斯的计算机先驱。他从事早期电子计算的研究，并为蒙特卡洛方法起了这个源自赌场名称的方法。他后来在抽样算法方面的研究成为计算物理、统计学以及多种模拟方法的核心。Nicholas Metrópolis fue un físico y pionero de la computación griego-estadounidense que trabajó en Los Álamos. Trabajó en cálculos electrónicos tempranos y dio al método Monte Carlo su nombre derivado del casino. Su trabajo posterior sobre algoritmos de muestreo se convirtió en fundamental para la física computacional, la estadística y muchas formas de simulación.كان نيكولاس متروبوليس فيزيائيًا أمريكيًا من أصل يوناني وواحدًا من رواد الحواسيب في لوس ألاموس. عمل على الحوسبة الإلكترونية المبكرة وأعطى للطريقة الإحصائية "مونتي كارلو" اسمها المشتق من الكازينو. ساهمت أعماله اللاحقة على خوارزميات أخذ العينات في تشكيل جوهر الفيزياء الحاسوبية والإحصاء والكثير من أشكال المحاكاة.Nicholas Metropolis foi um físico e pioneiro da computação grego-americano que trabalhou no Laboratório de Los Alamos. Trabalhou na computação eletrônica inicial e deu ao método Monte Carlo seu nome derivado de cassino. Seu trabalho posterior sobre algoritmos de amostragem tornou-se central para a física computacional, estatística e muitas formas de simulação.निकोलस मेट्रोपोलिस एक यूनानी-अमेरिकी भौतिकविद और लॉस एलमोस में कम्प्यूटिंग के प्रारंभिक दौर के विशिष्ट व्यक्ति थे। उन्होंने प्रारंभिक इलेक्ट्रॉनिक कम्प्यूटेशन पर कार्य किया और मोंटे कार्लो विधि का उस जुए के नाम पर आधारित नाम दिया। उनके बाद के कार्य नमूना एल्गोरिदम पर केंद्रित थे, जो भौतिकी के कम्प्यूटेशनल, सांख्यिकी और अनेक प्रकार की सिमुलेशन में केंद्रीय भूमिका निभाते हैं।Nicholas Metropolis adalah seorang fisikawan dan pelopor komputasi berkebangsaan Yunani-Amerika yang bekerja di Los Alamos. Ia meneliti komputasi elektronik awal dan memberi nama metode Monte Carlo dengan sebutan yang berasal dari kasino. Karyanya kemudian tentang algoritma pengambilan sampel menjadi pusat dalam fisika komputasi, statistik, dan berbagai bentuk simulasi.Nicholas Metropolis fut un physicien grec-américain et un pionnier de l'informatique à Los Alamos. Il travailla sur les premiers calculs électroniques et donna à la méthode Monte Carlo son nom inspiré des casinos. Son travail ultérieur sur les algorithmes d'échantillonnage devint central en physique computationnelle, en statistique et dans de nombreuses formes de simulation.ニコラス・メトロポリスは、ギリシャ系アメリカ人の物理学者で、ロスアラモスで活躍した計算機科学の先駆者である。彼は初期の電子計算機の開発に携わり、「モンテカルロ法」というカジノ由来の名称を考案した。その後、サンプリングアルゴリズムに関する研究は、計算物理学、統計学およびさまざまなシミュレーションにおいて中心的な役割を果たすことになった。Николас Метрополис был греко-американским физиком и пионером вычислительной техники в Лос-Аламосе. Он работал над ранними электронными вычислениями и дал методу Монте-Карло его название, происходящее от казино. Его более поздняя работа по алгоритмам выборки стала центральной для вычислительной физики, статистики и многих видов моделирования.Nicholas Metropolis war ein griechisch-amerikanischer Physiker und Pionier der Informatik am Los Alamos National Laboratory. Er arbeitete an frühen elektronischen Rechenverfahren und gab der Monte-Carlo-Methode ihren namensgebenden Bezug zum Casino. Seine späteren Arbeiten zu Sampling-Algorithmen wurden zentral für die theoretische Physik, Statistik und viele Formen der Simulation.니콜라스 메트로폴리스는 그리스계 미국인 물리학자이자 로스앨러모스에서 활동한 컴퓨팅 분야의 선구자였다. 그는 초기 전자 계산기에 참여했으며, 몬테카를로 방법에 도박장에서 유래된 이름을 붙였다. 이후 그가 개발한 샘플링 알고리즘은 계산 물리학, 통계학 및 다양한 시뮬레이션 분야의 핵심이 되었다. et d'autres utilisèrent l'échantillonnage aléatoire pour attaquer des problèmes trop enchevêtrés pour un calcul direct. Les neutrons se déplaçant dans la matière, les intégrales à haute dimension, les chaînes de possibles : ce n'étaient pas des problèmes d'aiguille sur du papier, mais ils partageaient le même pari. Échantillonner l'espace honnêtement assez longtemps, et une quantité cachée dans la géométrie commence à se révéler.
A nineteenth-century wooden experiment table is covered with many scattered brass needlesIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
L'aiguille de Buffon est donc à la fois ancêtre et avertissement. Elle démontre l'instinct Monte Carlo avec presque aucune machinerie, mais elle montre aussi le prix à payer. Les estimations aléatoires convergent à un rythme proportionnel à l'inverse de la racine carrée du nombre d'essais. Pour gagner une décimale supplémentaire, il ne faut pas dix fois plus de lancers, mais environ cent fois plus. Un million d'aiguilles resterait une méthode maladroite pour apprendre ce qu'une circonférence connaît déjà.
La méthode a survécu parce que pi n'était jamais le vrai trésor. Le fait important était que l'on pouvait substituer une probabilité à une intégrale. Le compte des intersections de Buffon mesure l'aire sous une courbe sinusoïdale sans la dessiner directement. Les simulations modernes font de même dans des espaces plus redoutables, où l'intégrale peut avoir des milliers de dimensions et aucune image humaine.
A tidy tabletop reconstruction uses a set of identical metal needles and a board with grooIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Ce que l'aiguille laisse ouvert
Le mot aléatoire fait plus de travail qu'il n'y paraît. La dérivation de Buffon suppose que la position centrale et l'angle sont uniformément distribués. Une main humaine laissant tomber une aiguille peut favoriser certains angles ; un plateau peut avoir des bords ; une aiguille peut rebondir, rouler, ou s'accrocher.
Il y a aussi la question de ce que Buffon a réellement fait, par opposition à ce qu'il a prouvé. Les histoires de pains de boulanger lâchés sur un sol carrelé circulent depuis des générations, mais les preuves documentaires sont minces. La mathématique est plus solide que l'anecdote.
A mid-century laboratory tabletop uses diceIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Lazzarini reste un autre cas ouvert. Ses chiffres de 1901 sont célèbres en partie parce qu'ils sont si bons, et suspects pour la même raison. Un résultat peut être mathématiquement compatible avec une expérience et pourtant historiquement difficile à croire.
L'incertitude plus profonde est philosophique. Quand un monde déterministe fournit un éparpillement de résultats, où exactement entre-t-il le hasard : dans l'ignorance, dans le désordre physique, ou dans le modèle que nous choisissons d'imposer ? L'aiguille de Buffon ne résout pas la question. Elle lui donne un plancher propre et une ligne à franchir.
Une aiguille tombée n'a pas la moindre idée de ce qu'est pi. Elle atterrit, ou elle rate. Ce n'est qu'après de nombreux mouvements indifférents que le cercle s'annonce, silencieux, dans le registre des intersections.
Di atas meja yang berpetak, sebuah jarum yang jatuh mengubah lingkaran menjadi angka. Jatuhkan berulang kali, hitunglah titik temu, dan konstanta kuno pi mulai muncul dari goresan, kelewat, dan kebetulan sempit sudut.
Pada tahun 1777, Georges-Louis Leclerc, Comte de BuffonPersonGeorges-Louis Leclerc, Comte de BuffonGeorges-Louis Leclerc, Comte de Buffon was an eighteenth-century French naturalist and mathematician, best known for his vast Histoire naturelle. His work ranged from zoology and geology to the mathematics of chance. In 1777 he published the needle problem that made random geometry a serious object of calculation.乔治-路易·勒克莱尔，布封伯爵是18世纪法国的博物学家和数学家，以其宏大的《自然史》最为著名。他的研究范围涵盖了动物学、地质学以及概率数学。1777年，他发表了“布丰投针问题”，使随机几何成为严肃的计算对象。Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon fue un naturalista y matemático francés del siglo XVIII, más conocido por su extensa Histoire naturelle. Su obra abarcó desde la zoología y la geología hasta las matemáticas de la probabilidad. En 1777 publicó el problema de la aguja, que convirtió la geometría aleatoria en un objeto serio de cálculo.جورج لويس لوكير، كونت دي بوفون كان عالم طبيعة ورياضيات فرنسي في القرن الثامن عشر، ويُعرف بشكل رئيسي بعمله الواسع "تاريخ طبيعي". امتدت أعماله من علم الحيوانات والجيولوجيا إلى رياضيات الحظ. نشر في عام 1777 مسألة الإبرة التي جعلت الهندسة العشوائية موضوعًا جادًا للحساب.Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon foi um naturalista e matemático francês do século XVIII, mais conhecido por sua vasta Histoire naturelle. Seu trabalho abrangia desde a zoologia e a geologia até a matemática da casualidade. Em 1777 publicou o problema da agulha, que tornou a geometria aleatória um objeto sério de cálculo.जीओर्ज-लुई लेक्लेर, काउंट डी बफ़ॉन अठारहवीं शताब्दी के फ़्रांसीसी प्राकृतिक विज्ञानी और गणितज्ञ थे, जिनके लिए उनकी विशाल "हिस्तोयर नैचुरेल" के कारण वे प्रसिद्ध हैं। उनका कार्य जीवविज्ञान और भूविज्ञान से लेकर संभाव्यता के गणित तक फैला हुआ था। 1777 में उन्होंने एक समस्या प्रकाशित की, जिसके कारण यादृच्छिक ज्यामिति गणना का गम्भीर विषय बन गई।Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon adalah seorang naturalis dan matematikawan Prancis abad keduabelas, yang paling dikenal karena karyanya yang luas, Histoire naturelle. Karyanya mencakup berbagai bidang, dari zoologi dan geologi hingga matematika peluang. Pada tahun 1777 ia menerbitkan masalah jarum yang membuat geometri acak menjadi objek serius dalam perhitungan.Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon, fut un naturaliste et mathématicien français du xviiie siècle, surtout connu pour son vaste ouvrage intitulé Histoire naturelle. Son œuvre s'étendait de la zoologie et de la géologie aux mathématiques du hasard. En 1777, il publia le problème de l'aiguille, qui fit de la géométrie aléatoire un objet sérieux de calcul.ジョルジュ＝ルイ・レクルール、バフオン男爵は18世紀のフランスの自然学者で、大規模な『自然史』で最も知られている。彼の研究は動物学や地質学から確率の数学に至るまで幅広かった。1777年、彼はランダム幾何学を真剣な計算対象とした針の問題を発表した。Жорж-Луи Леклерк, граф Бюффон, был французским натурописцем и математиком XVIII века, наиболее известным своей обширной «Натуральной историей». Его работы охватывали зоологию и геологию, а также математику вероятностей. В 1777 году он опубликовал задачу о игле, которая сделала случайную геометрию серьёзным объектом вычислений.Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon, war ein französischer Naturforscher und Mathematiker des 18. Jahrhunderts, am besten bekannt für sein umfassendes Werk Histoire naturelle. Seine Arbeit erstreckte sich von der Zoologie und Geologie bis hin zur Mathematik des Zufalls. 1777 veröffentlichte er das Nadelproblem, das die zufällige Geometrie zu einem ernstzunehmenden Gegenstand der Berechnung machte.조르주 루이 르클레르 코뮌 드 뷔퐁은 18세기 프랑스의 자연주의자이자 수학자로, 방대한 『자연사』로 가장 유명하다. 그의 연구 분야는 동물학과 지질학에서부터 확률의 수학에 이르기까지 폭넓었다. 1777년 그는 확률 기하학을 진지한 계산 대상으로 만든 핀 문제를 발표했다. mengemukakan suatu masalah yang begitu sederhana sehingga bisa dimainkan dengan selembar kertas dan jarum jahit. Gambarlah garis-garis sejajar pada jarak yang sama. Biarkan jarum jatuh secara acak. Tanyakan peluang jarum tersebut memotong salah satu garis. Ini adalah percobaan kamar yang memiliki sisi keras: jawabannya mengandung piConceptpiPi is the ratio of a circle's circumference to its diameter, approximately 3.14159. It appears first as a fact of circular geometry, but it recurs through analysis, probability, physics and number theory. In Buffon's needle problem it arises from averaging all possible orientations of a line segment.圆周率π是一个圆的周长与直径的比值，约为3.14159。它最初作为圆的几何特性出现，但随后在分析学、概率论、物理学和数论中反复出现。在布丰投针问题中，它来源于对线段所有可能方向的平均计算。Pi es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, aproximadamente 3,14159. Aparece en un primer momento como un hecho de la geometría circular, pero vuelve a aparecer a lo largo del análisis, la probabilidad, la física y la teoría de números. En el problema de la aguja de Buffon surge al promediar todas las orientaciones posibles de un segmento de línea.العدد باي هو نسبة محيط الدائرة إلى قطرها، ويُقدر بحوالي 3.14159. يظهر لأول مرة كمعلومة هندسية تتعلق بالدوائر، لكنه يتكرر في التحليل والاحتمالات والفيزياء ونظرية الأعداد. في مسألة إبرة بوفون، يظهر من متوسط جميع الاتجاهات الممكنة لقطعة مستقيمة.Pi é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro, aproximadamente 3,14159. Aparece pela primeira vez como fato da geometria circular, mas recorre através da análise, probabilidade, física e teoria dos números. No problema da agulha de Buffon, surge a partir da média de todas as orientações possíveis de um segmento de reta.π एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात है, लगभग 3.14159। यह सर्वप्रथम वृत्तीय ज्यामिति के तथ्य के रूप में प्रकट होता है, लेकिन विश्लेषण, संभाव्यता, भौतिकी और संख्या सिद्धांत में इसकी पुनरावृत्ति होती है। बफ़ोन की सुई की समस्या में एक रेखाखंड की सभी संभावित दिशाओं के औसत से यह उत्पन्न होता है।Pi adalah rasio keliling lingkaran terhadap diameternya, sekitar 3,14159. Pi muncul pertama kali sebagai fakta dalam geometri lingkaran, tetapi muncul kembali dalam analisis, probabilitas, fisika, dan teori bilangan. Dalam permasalahan jarum Buffon, Pi muncul dari rata-rata semua orientasi yang mungkin dari sebuah segmen garis.Pi est le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre, environ 3,14159. Il apparaît d'abord comme une propriété géométrique des cercles, mais il se retrouve ensuite en analyse, en probabilité, en physique et en théorie des nombres. Dans le problème de l'aiguille de Buffon, il émerge en prenant la moyenne de toutes les orientations possibles d'un segment de droite.円周率（パイ）は、円の円周長とその直径の比であり、約3.14159である。これは最初に円形幾何学における事実として現れるが、解析学、確率論、物理学および数論においても繰り返し登場する。バッフォンの針の問題では、線分の可能なすべての方位を平均することによって現れる。Число π представляет собой отношение длины окружности к её диаметру, приблизительно 3,14159. Оно впервые появляется как геометрический факт, связанный с окружностью, но затем встречается в анализе, теории вероятностей, физике и теории чисел. В задаче Бюффона о булавле оно возникает при усреднении всех возможных ориентаций отрезка прямой.π ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser und beträgt ungefähr 3,14159. Es tritt zuerst als geometrische Eigenschaft von Kreisen auf, taucht jedoch wiederholt in der Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Physik und Zahlentheorie auf. Beim Buffonschen Nadelproblem entsteht es aus der Durchschnittsbildung aller möglichen Ausrichtungen eines Liniensegments.원주율(π)은 원의 둘레와 지름의 비율로, 약 3.14159이다. 원의 기하학적 성질로서 처음 등장하지만, 해석학, 확률론, 물리학, 수론 등 여러 분야에서 반복적으로 나타난다. 버프론의 바늘 문제에서는 선분의 가능한 모든 방향의 평균을 구하면서 등장한다..
Buffon bukan sedang mencoba membuat trik di kelas. Essai d'arithmetique morale-nya termasuk ke dalam kecemasan baru tentang kebetulan, utilitas, dan ekspektasi, sebuah periode di mana probabilityConceptprobabilityProbability is the mathematics of uncertain events. It began with problems in games of chance and grew into a language for risk, evidence, physics and statistics. By the eighteenth century, mathematicians were extending it beyond dice and cards into continuous settings where outcomes form regions rather than countable cases.概率论是对不确定事件的数学研究。它最初起源于对机会游戏问题的研究，后来发展成为描述风险、证据、物理和统计学的一种语言。到18世纪时，数学家们已将其应用范围从骰子和纸牌扩展到连续情形，其中结果形成区域而非可数的情况。La probabilidad es la matemática de los eventos inciertos. Comenzó con problemas en juegos de azar y se convirtió en un lenguaje para el riesgo, la evidencia, la física y la estadística. Para el siglo XVIII, los matemáticos ya la estaban extendiendo más allá de los dados y las cartas hacia contextos continuos donde los resultados forman regiones en lugar de casos contables.الاحتمال هو رياضيات الأحداث غير المؤكدة. بدأ مع مشاكل في ألعاب المقامرة، وانتهى بتصبح لغة للخطر والدلائل والفيزياء والإحصاء. بحلول القرن الثامن عشر، كان الرياضياتيون يمتدون بها إلى ما وراء النرد والبطاقات إلى الأوضاع المستمرة حيث تشكل النتائج مناطق بدلًا من الحالات العدديّة.A probabilidade é a matemática dos eventos incertos. Começou com problemas em jogos de azar e evoluiu para uma linguagem para risco, evidência, física e estatística. Até o século XVIII, matemáticos estavam a estendê-la além dos dados e cartas para situações contínuas, onde os resultados formam regiões em vez de casos contáveis.संभाव्यता अनिश्चित घटनाओं की गणित है। इसकी शुरुआत संभावना के खेलों से हुई और यह जोखिम, साक्ष्य, भौतिकी और सांख्यिकी की भाषा में विकसित हुई। अठारहवीं शताब्दी तक, गणितज्ञ इसे पासे और ताश के पत्तों से आगे बढ़ाकर ऐसे निरंतर स्थितियों में लागू करने लगे जहां परिणाम क्षेत्र बनाते हैं जबकि गिने जा सकने वाले मामले नहीं।Probabilitas adalah matematika dari kejadian yang tidak pasti. Awalnya muncul dari masalah dalam permainan keberuntungan, lalu berkembang menjadi bahasa untuk risiko, bukti, fisika, dan statistik. Pada abad kedelapan belas, para matematikawan mulai mengembangkannya melebihi dadu dan kartu ke dalam konteks kontinu di mana hasilnya membentuk daerah daripada kasus yang dapat dihitung.La probabilité est la mathématique des événements incertains. Elle a débuté avec des problèmes liés aux jeux de hasard et s'est développée en un langage pour exprimer le risque, les preuves, la physique et la statistique. Dès le XVIIIe siècle, les mathématiciens l'étendaient au-delà des dés et des cartes vers des contextes continus où les résultats forment des régions plutôt que des cas dénombrables.確率とは、不確実な事象を扱う数学の分野である。当初は、賭け事の問題から始まり、やがてリスク、証拠、物理学、統計学を表現する言語として発展した。18世紀までに、数学者たちはサイコロやトランプの問題にとどまらず、結果が個別に数えられるケースではなく領域を形成する連続的な設定へとその応用範囲を広げていた。Вероятность — это математика неопределённых событий. Она возникла из задач, связанных с азартными играми, и превратилась в язык для описания риска, доказательств, физики и статистики. К XVIII веку математики уже применяли её за пределами игральных костей и карт в непрерывных ситуациях, где результаты образуют области, а не счётные случаи.Wahrscheinlichkeit ist die Mathematik unsicherer Ereignisse. Sie begann mit Problemen in Glücksspielen und entwickelte sich zu einer Sprache für Risiko, Beweise, Physik und Statistik. Bis ins achtzehnte Jahrhundert hinüber erweiterten Mathematiker sie jenseits von Würfeln und Karten auf kontinuierliche Bereiche, in denen Ergebnisse Regionen statt abzählbarer Fälle bilden.확률은 불확실한 사건의 수학이다. 확률은 기회의 게임에서의 문제에서 시작하여 위험, 증거, 물리학 및 통계학의 언어로 발전하였다. 18세기까지 수학자들은 주사위와 카드를 넘어서 연속적인 상황으로 확률을 확장하여, 결과가 개수를 세어 셀 수 있는 경우가 아니라 영역을 이루는 경우를 다루게 되었다. bergerak dari meja perjudian ke hukum, asuransi, dan filsafat alam. Masalah jarum mengambil kebetulan dari dadu dan memasukkannya ke dalam ruang. Alih-alih bertanya berapa sisi kubus yang mungkin muncul, masalah ini bertanya bagaimana sebuah benda fisik bisa jatuh dalam medan kontinu dari posisi yang mungkin.
Ambil kasus yang paling sederhana. Garis-garis berjarak sejauh d. Jarum memiliki panjang l, tidak lebih panjang dari d. Setelah jatuh, dua kuantitas yang penting: jarak x dari pusatnya ke garis terdekat, dan sudut tumpul theta yang dibentuk jarum dengan garis-garis yang diatur. Jarum memotong jika x tidak lebih besar dari setengah tingginya yang diproyeksikan: (l/2) sin theta.
A linen-covered eighteenth-century writing desk holds a sheet of paper ruled with evenly sIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Luas di bawah sinus
Perhitungan ini singkat, tetapi mengubah jenis objek yang bisa dihitung oleh probabilitas. Pusat jarum bisa terletak di mana saja antara 0 hingga d/2 dari garis terdekat. Sudut bisa berada di mana saja antara 0 hingga pi/2. Dua variabel ini membentuk persegi panjang kemungkinan. Di dalamnya terdapat wilayah melengkung di mana x <= (l/2) sin theta. Luasnya adalah integral dari (l/2) sin theta dari 0 hingga pi/2, yang secara sederhana adalah l/2.
Bagi luas yang menguntungkan itu dengan seluruh persegi panjang, (d/2)(pi/2), dan probabilitas memotong adalah 2l/(pi d). Jika jarum tepat sepanjang jarak antara garis-garis, l = d, ekspresi menyusut menjadi 2/pi. Sebuah konstanta bulat masuk melalui pintu belakang, bukan karena seseorang mengukur lingkaran, tetapi karena semua orientasi jarum harus dihitung.
A human hand releases a slender metal needle above a wooden surface featuring parallel inlIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Itulah kelahiran kecil dari geometric probabilityConceptgeometric probabilityGeometric probability studies chance by measuring lengths, areas, volumes or other geometric sets of possible outcomes. Buffon's needle is its classic early example: the answer comes from comparing a favourable region under a sine curve with a rectangle of all possible needle positions and angles.几何概率通过测量长度、面积、体积或其他几何集合的可能结果来研究概率。布丰的投针问题是其经典的早期例子：答案来自于将正弦曲线下的有利区域与所有可能的针的位置和角度所组成的矩形进行比较。La probabilidad geométrica estudia el azar midiendo longitudes, áreas, volúmenes u otros conjuntos geométricos de resultados posibles. La aguja de Buffon es su ejemplo clásico temprano: la respuesta proviene al comparar una región favorable bajo una curva seno con un rectángulo que contiene todas las posiciones y ángulos posibles de la aguja.تدرس الاحتمالات الهندسية الاحتمال من خلال قياس الطول أو المساحة أو الحجم أو مجموعات هندسية أخرى من النتائج الممكنة. تُعد مسألة إبرة بوفون مثالاً كلاسيكياً مبكرًا: حيث يُستنتج الجواب من خلال مقارنة منطقة مواتية تحت منحنى الجيب بمستطيل يمثل جميع مواقف الإبرة الممكنة وزواياها.A probabilidade geométrica estuda a chance medindo comprimentos, áreas, volumes ou outros conjuntos geométricos de resultados possíveis. A agulha de Buffon é seu exemplo clássico inicial: a resposta surge ao comparar uma região favorável sob uma curva senoidal com um retângulo contendo todas as posições e ângulos possíveis da agulha.ज्यामितीय संभाव्यता परिणामों के संभावित समुच्चय के रूप में लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन या अन्य ज्यामितीय समुच्चय के मापन द्वारा संभावना का अध्ययन करती है। बफ़न की सुई इसका एक प्रारंभिक उदाहरण है: उत्तर एक साइन वक्र के तहत एक लाभप्रद क्षेत्र की तुलना सभी संभावित सुई स्थितियों और कोणों के एक आयत के साथ करके प्राप्त होता है।Probabilitas geometris mempelajari peluang dengan mengukur panjang, luas, volume, atau himpunan geometris lain dari hasil yang mungkin. Contoh klasik awalnya adalah jarum Buffon: jawabannya diperoleh dengan membandingkan daerah yang menguntungkan di bawah kurva sinus dengan persegi panjang yang mencakup semua posisi dan sudut jarum yang mungkin.La probabilité géométrique étudie le hasard en mesurant des longueurs, des aires, des volumes ou d'autres ensembles géométriques d'événements possibles. L'aiguille de Buffon en est un exemple classique du début de cette discipline : la réponse provient d'une comparaison d'une région favorable sous une courbe sinus avec un rectangle contenant toutes les positions et angles possibles de l'aiguille.幾何確率論は、長さや面積、体積、あるいはその他の幾何的集合を測定することによって確率を研究する。バッフォンの針問題はその古典的な初期の例である。この問題の答えは、正弦曲線の下にある有利な領域を、針の位置と角度のすべての可能な長方形領域と比較することによって得られる。Геометрическая вероятность изучает вероятность, измеряя длины, площади, объемы или другие геометрические множества возможных исходов. Примером классической ранней задачи является игла Бюффона: ответ находится путем сравнения благоприятной области под синусоидальной кривой с прямоугольником всех возможных положений и углов иглы.Die geometrische Wahrscheinlichkeit untersucht das Zufallsereignis durch die Messung von Längen, Flächen, Volumina oder anderen geometrischen Mengen möglicher Ergebnisse. Das „Nadelproblem“ von Buffon ist ihr klassisches frühes Beispiel: die Lösung ergibt sich aus dem Vergleich einer günstigen Region unter einer Sinuslinie mit einem Rechteck aller möglichen Nadelpositionen und Winkel.기하 확률은 길이, 면적, 부피 또는 다른 기하학적 집합의 가능한 결과를 측정함으로써 확률을 연구한다. 버퐁의 바늘은 이 분야의 고전적인 초기 예시로, 정현 곡선 아래의 유리한 영역을 바늘의 가능한 모든 위치와 각도를 포함하는 직사각형과 비교함으로써 답을 얻는다.. Probabilitas diskrit biasa bisa menghitung kasus: kepala atau ekor, enam sisi dadu, lima puluh dua kartu. Masalah Buffon memerlukan pengukuran di atas kontinu. Ia bertanya seberapa besar ruang geometri yang bersesuaian dengan keberhasilan. Matematikawan masa depan akan membuat bahasa ini lebih formal, tetapi gerakan esensial sudah ada di jarum: ganti penghitungan dengan luas, dan kebetulan menjadi geometri.
Melempar untuk pi
Rumus ini bisa dibalik. Jika n jarum dilemparkan dan h memotong garis, maka h/n memperkirakan probabilitas memotong. Menyusun ulang memberi pi kira-kira sama dengan 2ln/(dh). Aritmetikanya hampir terlalu sederhana. Tenaga yang diperlukan adalah membuat jatuh benar-benar acak dan menerima seberapa lambat keacakan membayar utangnya.
A close macro view shows one metal needle crossing a deep groove in a wooden board while aIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Eksperimen abad kesembilan belas mencoba tetap. Astronom Swiss Rudolf Wolf melaporkan 5.000 lemparan sekitar tahun 1850 dan mendapatkan nilai dekat 3,1596. A. Hall mempublikasikan penentuan eksperimental pada tahun 1873. Pada tahun 1901, Mario LazzariniPersonMario LazzariniMario Lazzarini was an Italian mathematician associated with a celebrated 1901 report on Buffon's needle. He claimed to have estimated pi as 355/113 from 3,408 needle drops, an accuracy so striking that later writers have questioned whether the experiment was stopped, selected or intended as a mathematical joke.马里奥·拉扎里尼是一位意大利数学家，因1901年关于布丰针问题的著名报告而知名。他声称通过3408次投针实验，将圆周率π估算为355/113，其精度之高令人惊讶，后来的作者因此质疑该实验是否被人为停止或选择性记录，甚至可能是出于数学玩笑的目的而设计的。Mario Lazzarini fue un matemático italiano asociado con un celebrado informe de 1901 sobre la aguja de Buffon. Afirmó haber estimado pi como 355/113 tras 3 408 lanzamientos de agujas, una precisión tan notable que escritores posteriores se han preguntado si el experimento fue interrumpido, seleccionado o si se pretendía como una broma matemática.مARIO لازاريني هو عالم رياضيات إيطالي تربطه صلة بالรายงาน المشهور لعام 1901 حول إبرة بوفون. فقد زعم أنه حسب قيمة باي على أنها 355/113 من خلال 3408 تجربة إسقاط إبرة، ودقة هذا التقدير كانت هائلة لدرجة أن المؤلفين اللاحقين شككوا فيما إذا تم إيقاف التجربة، أو اختيار النتائج، أو أن التجربة كانت مزحة رياضية مقصودة.Mario Lazzarini foi um matemático italiano associado a um celebrado relatório de 1901 sobre o problema da agulha de Buffon. Ele alegou ter estimado pi como 355/113 a partir de 3.408 lançamentos de agulhas, uma precisão tão notável que escritores posteriores questionaram se o experimento foi interrompido, selecionado ou se destinava a ser uma brincadeira matemática.मारियो लाज़ारिनी एक इतालवी गणितज्ञ थे जो बफ़न की सुई पर 1901 की प्रसिद्ध रिपोर्ट से जुड़े हुए थे। उन्होंने 3,408 सुई गिराने के बाद दावा किया कि वे pi को 355/113 के रूप में अनुमानित कर सकते हैं, जो इतनी शानदार सटीकता के साथ है कि बाद के लेखकों ने यह सवाल उठाया है कि क्या प्रयोग बंद कर दिया गया था, चयनित किया गया था या गणितीय उपहास के रूप में निर्धारित किया गया था।Mario Lazzarini adalah seorang matematikawan Italia yang dikaitkan dengan laporan terkenal tahun 1901 mengenai jarum Buffon. Ia mengklaim telah memperkirakan nilai pi sebagai 355/113 dari 3.408 kali melemparkan jarum, sebuah akurasi yang begitu mengejutkan sehingga penulis-penulis selanjutnya mempertanyakan apakah eksperimen tersebut dihentikan, disaring, atau dimaksudkan sebagai lelucon matematis.Mario Lazzarini fut un mathématicien italien associé à un célèbre rapport de 1901 sur l’aiguille de Buffon. Il affirma avoir estimé pi comme étant égal à 355/113 à partir de 3 408 lancers d’aiguille, une précision si remarquable que des auteurs ultérieurs se sont interrogés sur le fait de savoir si l’expérience avait été arrêtée, sélectionnée ou conçue comme une plaisanterie mathématique.マリオ・ラザリニは、1901年のバッフォンの針に関する著名な報告書に関連したイタリアの数学者である。彼は3,408回の針を落とす実験を通じて、円周率を355/113と推定した。その精度は際立っており、後年の研究者はこの実験が終了した時点で結果が選定されたのか、あるいは単なる数学的ジョークであったのかを疑問視している。Марио Лазарини — итальянский математик, связанный с известным докладом 1901 года о игле Бюффона. Он утверждал, что оценил число пи как 355/113, используя 3408 бросков иглы, что настолько удивительно точно, что позднейшие авторы поставили под сомнение, не было ли эксперимент остановлен, подобран или же задуман как математический шут.Mario Lazzarini war ein italienischer Mathematiker, der mit einem berühmten Bericht von 1901 über das Nadelproblem von Buffon in Verbindung gebracht wird. Er behauptete, er habe π durch 355/113 aus 3408 Nadelwürfen geschätzt, eine Genauigkeit, die so bemerkenswert ist, dass spätere Autoren sich gefragt haben, ob das Experiment beendet, ausgewählt oder als mathematischer Witz gemeint war.마리오 라자리니(Mario Lazzarini)는 버논의 바늘(Buffon's needle)에 관한 1901년 유명한 보고서와 관련된 이탈리아 수학자이다. 그는 3,408번의 바늘 던지기 실험을 통해 원주율을 355/113으로 추정하였다. 이는 놀랄 만큼 정확한 수치로, 후에 이 실험이 중단되었거나 일부러 선택되었거나, 혹은 수학적 농담이 의도되었는지에 대해 의문을 제기하는 이들이 있었다. mengklaim sesuatu yang jauh lebih tajam: 3.408 lemparan jarum sepanjang 25 milimeter di atas garis 30 milimeter, menghasilkan 355/113, pendekatan enam desimal terkenal 3,1415929.
Hasil Lazzarini selalu terlihat terlalu rapi. Dengan rasio l/d = 5/6, rumus ini menjadi sangat ramah terhadap 355/113, dan statistikawan masa depan memperlakukan laporan ini dengan curiga: mungkin dihentikan di momen yang nyaman, mungkin dipilih, mungkin ditulis dengan senyum untuk guru sekolah daripada pengukuran serius. Titiknya bukan bahwa rumus Buffon gagal. Ini adalah bahwa keacakan fisik adalah pelayan yang buruk ketika diminta untuk terlalu banyak tempat desimal.
Tetap saja, tindakan ini penting. Menghitung pi dengan menghitung jarum yang memotong adalah menghitung dengan kebetulan. Jauh sebelum komputer elektronik, meja Buffon menawarkan simulasi analog: mesin stokastik dari kayu, tinta, dan logam yang jatuh.
Dari jarum ke Monte Carlo
Di akhir tahun 1940-an, frasa Monte Carlo methodConceptMonte Carlo methodThe Monte Carlo method uses repeated random sampling to estimate quantities that are hard to compute directly. The name was coined in the mid-twentieth century during work at Los Alamos, but its ancestry reaches back to experiments such as Buffon's needle, where chance is used as a calculating device.蒙特卡罗方法利用重复的随机抽样来估算难以直接计算的数量。这一名称诞生于二十世纪中期洛斯阿拉莫斯的研究工作，但它的起源可以追溯到布丰针实验等早期实验，在这些实验中，概率被用作计算工具。El método Monte Carlo utiliza muestreo aleatorio repetido para estimar cantidades que resultan difíciles de calcular directamente. El nombre fue acuñado a mediados del siglo veinte durante trabajos en Los Alamos, pero su ascendencia se remonta a experimentos como la aguja de Buffon, donde el azar se emplea como dispositivo de cálculo.تستخدم طريقة مونتي كارلو أخذ العينات العشوائية المتكررة لتقدير الكميات التي من الصعب حسابها مباشرة. سُمِّيت الطريقة بهذا الاسم في منتصف القرن العشرين أثناء العمل في لوس ألاموس، لكن جذورها تعود إلى تجارب مثل عود بافون، حيث تُستخدم الفرصة كجهاز حسابي.O método Monte Carlo utiliza amostragem aleatória repetida para estimar quantidades difíceis de serem calculadas diretamente. O nome foi cunhado na segunda metade do século XX durante trabalhos em Los Alamos, mas sua ascendência remonta a experimentos como a agulha de Buffon, nos quais o acaso é usado como um dispositivo de cálculo.मॉन्टे कार्लो विधि के उपयोग से द्वारा सीधे गणना करने में कठिन मात्राओं का अनुमान बनाया जाता है। इसका नाम मध्य बीसवीं शताब्दी में लॉस एलमोस में कार्य के दौरान रखा गया था, लेकिन इसकी वंशवृति बफोन की सुई जैसे प्रयोगों तक पहुंचती है, जहां अवसर के उपयोग की गणना करने की एक युक्ति के रूप में की गई थी।Metode Monte Carlo menggunakan pengambilan sampel acak berulang untuk memperkirakan kuantitas yang sulit dihitung secara langsung. Nama ini diciptakan pada pertengahan abad kedua puluh selama pekerjaan di Los Alamos, tetapi asal usulnya dapat dilacak kembali ke eksperimen seperti jarum Buffon, di mana kebetulan digunakan sebagai alat perhitungan.La méthode Monte Carlo utilise un échantillonnage aléatoire répété pour estimer des quantités difficiles à calculer directement. Le nom a été forgé au milieu du vingtième siècle lors des travaux à Los Alamos, mais ses origines remontent à des expériences telles que l'aiguille de Buffon, où le hasard est utilisé comme dispositif de calcul.モンテカルロ法は、直接計算するのが困難な数量を推定するために、繰り返し無作為サンプリングを行う手法である。この名称は20世紀半ばにロスアラモスでの研究中に造られたが、その起源はバッフォンの針などの実験にまで遡り、これらは確率を計算装置として用いるものである。Метод Монте-Карло использует многократное случайное выборочное исследование для оценки величин, которые сложно вычислить напрямую. Название метода появилось в середине двадцатого века во время работ в Лос-Аламосе, но его происхождение связано с такими экспериментами, как игла Бюффона, где случайность используется как вычислительное устройство.Die Monte-Carlo-Methode verwendet wiederholte zufällige Stichproben, um Größen zu schätzen, die sich direkt schwer berechnen lassen. Der Name wurde Mitte des zwanzigsten Jahrhunderts während der Arbeit am Los Alamos National Laboratory geprägt, doch ihre Ursprünge reichen bis zu Experimenten wie dem Nadelproblem von Buffon zurück, bei dem das Zufallsprinzip als Rechenhilfe eingesetzt wird.몬테카를로 방법은 직접 계산하기 어려운 수량을 추정하기 위해 반복적인 확률적 표본추출을 사용한다. 이 방법의 이름은 20세기 중반 로스앨러모스에서의 연구 중 지어졌지만, 그 기원은 버퐁의 바늘 실험과 같이 확률을 계산 도구로 활용한 이전의 실험들로까지 거슬러 올라간다. mendapatkan makna modernnya di Los Alamos, di mana John von NeumannPersonJohn von NeumannHungarian-American polymath (1903–1957) who made foundational contributions to set theory, quantum mechanics, game theory, computing, and nuclear weapons design. Present at the 1930 Königsberg conference where Gödel first hinted at incompleteness, he was reportedly the only attendee who grasped the result on the spot and independently derived the second incompleteness theorem within weeks.匈牙利裔美国博学者（1903—1957），在集合论、量子力学、博弈论、计算与核武器设计等领域作出奠基性贡献。1930 年哥廷根会议上，哥德尔首次暗示不完备性结果时他在场，据称是当场唯一领会其要义的与会者，并在数周内独立推导出第二不完备性定理。Polímata húngaro-estadounidense (1903-1957) que realizó contribuciones fundamentales a la teoría de conjuntos, la mecánica cuántica, la teoría de juegos, la computación y el diseño de armas nucleares. Presente en la conferencia de Königsberg de 1930, donde Gödel insinuó por primera vez la incompletitud, fue, según se dice, el único asistente que captó el resultado en el acto y dedujo de forma independiente el segundo teorema de incompletitud en cuestión de semanas.عالم موسوعي مجري-أمريكي (1903–1957) قدّم إسهامات تأسيسية في نظرية المجموعات وميكانيكا الكم ونظرية الألعاب والحوسبة وتصميم الأسلحة النووية. حضر مؤتمر كونيغسبرغ عام 1930 حيث ألمح غودل لأول مرة إلى نظرية عدم الاكتمال، ويُقال إنه كان الحاضر الوحيد الذي استوعب النتيجة على الفور، واستنتج بشكل مستقل نظرية عدم الاكتمال الثانية في غضون أسابيع.Polímata húngaro-americano (1903–1957) que deu contribuições fundamentais à teoria dos conjuntos, à mecânica quântica, à teoria dos jogos, à computação e ao projeto de armas nucleares. Presente na conferência de Königsberg de 1930, onde Gödel insinuou pela primeira vez a incompletude, foi, segundo relatos, o único participante a captar o resultado imediatamente e a deduzir de forma independente o segundo teorema da incompletude em poucas semanas.हंगेरियाई-अमेरिकी बहुश्रुत विद्वान (1903–1957) जिन्होंने समुच्चय सिद्धांत, क्वांटम यांत्रिकी, खेल सिद्धांत, संगणन और परमाणु हथियार अभिकल्पना में आधारभूत योगदान दिए। 1930 के कोनिग्सबर्ग सम्मेलन में उपस्थित, जहाँ गोडेल ने पहली बार अपूर्णता का संकेत दिया था, वे कथित रूप से एकमात्र ऐसे श्रोता थे जिन्होंने उसी क्षण इस परिणाम को समझ लिया और कुछ ही सप्ताहों के भीतर स्वतंत्र रूप से द्वितीय अपूर्णता प्रमेय की व्युत्पत्ति कर ली।Polimat Hungaria-Amerika (1903–1957) yang memberikan kontribusi fundamental pada teori himpunan, mekanika kuantum, teori permainan, komputasi, dan desain senjata nuklir. Hadir pada konferensi Königsberg 1930 ketika Gödel pertama kali mengisyaratkan ketidaklengkapan, ia dilaporkan sebagai satu-satunya peserta yang langsung memahami hasil tersebut di tempat dan secara independen menurunkan teorema ketidaklengkapan kedua dalam hitungan minggu.Polymathe américano-hongrois (1903-1957) qui apporta des contributions fondamentales à la théorie des ensembles, à la mécanique quantique, à la théorie des jeux, à l'informatique et à la conception des armes nucléaires. Présent à la conférence de Königsberg de 1930 où Gödel évoqua pour la première fois l'incomplétude, il fut, dit-on, le seul participant à saisir le résultat sur-le-champ et à dériver indépendamment le second théorème d'incomplétude en l'espace de quelques semaines.ハンガリー系アメリカ人の博学者（1903–1957）。集合論、量子力学、ゲーム理論、計算機科学、核兵器設計に基礎的な貢献をなした。1930年のケーニヒスベルク会議に出席し、ゲーデルが不完全性を初めて示唆した際、その結果をその場で把握した唯一の参加者であったと伝えられ、数週間のうちに第二不完全性定理を独自に導出した。Венгеро-американский эрудит (1903–1957), внёсший фундаментальный вклад в теорию множеств, квантовую механику, теорию игр, вычислительную технику и конструирование ядерного оружия. Присутствовал на Кёнигсбергской конференции 1930 года, где Гёдель впервые намекнул на неполноту; по имеющимся свидетельствам, он был единственным из участников, кто сразу осознал результат, и в течение нескольких недель самостоятельно вывел вторую теорему о неполноте.Ungarisch-amerikanischer Universalgelehrter (1903–1957), der grundlegende Beiträge zur Mengenlehre, Quantenmechanik, Spieltheorie, Informatik und zum Entwurf von Kernwaffen leistete. Anwesend auf der Königsberger Tagung 1930, auf der Gödel erstmals die Unvollständigkeit andeutete, soll er der einzige Teilnehmer gewesen sein, der das Ergebnis sofort erfasste, und leitete innerhalb weniger Wochen unabhängig den zweiten Unvollständigkeitssatz her.헝가리계 미국인 박학다식가(1903–1957)로, 집합론, 양자역학, 게임이론, 컴퓨팅, 핵무기 설계에 기초적인 기여를 했다. 1930년 쾨니히스베르크 회의에서 괴델이 불완전성을 처음 시사했을 때 참석했으며, 그 자리에서 결과를 즉시 이해한 유일한 참석자였다고 전해지고, 몇 주 만에 독자적으로 제2 불완전성 정리를 도출했다., Stanisław UlamPersonStanisław UlamStanisław Ulam was a Polish-American mathematician who worked at Los Alamos after the Second World War. He helped shape the modern Monte Carlo method, using random sampling to study problems in nuclear physics and computation. His career also touched set theory, topology, cellular automata and the design of early thermonuclear weapons.斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆（Stanisław Ulam）是一位波兰裔美国数学家，第二次世界大战后在洛斯阿拉莫斯工作。他帮助创立了现代蒙特卡洛方法，利用随机抽样研究核物理和计算中的问题。他的职业生涯还涉及集合论、拓扑学、细胞自动机以及早期热核武器的设计。Stanisław Ulam fue un matemático polaco-estadounidense que trabajó en Los Alamos tras la Segunda Guerra Mundial. Ayudó a desarrollar el moderno método Monte Carlo, que utiliza muestreo aleatorio para estudiar problemas de física nuclear y cálculo. Su carrera también abarcó la teoría de conjuntos, la topología, las máquinas celulares y el diseño de armas termonucleares tempranas.كان ستانيسلاف أولام عالم رياضيات بولندي-أمريكي عمل في لوس ألموس بعد الحرب العالمية الثانية. ساعد في تشكيل الطريقة الحديثة لمنطقة مونتي كارلو، باستخدام العينات العشوائية لدراسة المشكلات في الفيزياء النووية والحساب. شملت مسيرته المهنية أيضًا نظرية المجموعات والטופولوجيا والآلات الخلوية التلقائية والتصميم المبكر للأسلحة الحرارية النووية.Stanislaw Ulam foi um matemático polonês-americano que trabalhou em Los Alamos após a Segunda Guerra Mundial. Ele ajudou a desenvolver o método Monte Carlo moderno, usando amostragem aleatória para estudar problemas na física nuclear e computação. Sua carreira também abrangeu a teoria dos conjuntos, a topologia, os autômatos celulares e o desenho das primeiras armas termonucleares.स्टैनिस्लाव उलाम एक पोलिश-अमेरिकी गणितज्ञ थे जिन्होंने द्वितीय विश्व युद्ध के बाद लॉस एलमोस में काम किया। उन्होंने आधुनिक मॉन्टे कार्लो विधि का विकास किया, जिसमें नाभिकीय भौतिकी और कंप्यूटेशन में समस्याओं के अध्ययन के लिए यादृच्छिक नमूना लेने का उपयोग किया गया। उनके करियर में समुच्चय सिद्धांत, टोपोलॉजी, सेलुलर ऑटोमेटा और प्रारंभिक थर्मोन्यूक्लियर हथियारों के डिज़ाइन को भी छू लिया।Stanisław Ulam adalah seorang matematikawan Polandia-Amerika yang bekerja di Los Alamos setelah Perang Dunia Kedua. Ia membantu membentuk metode Monte Carlo modern, yang menggunakan sampel acak untuk mempelajari masalah dalam fisika nuklir dan komputasi. Kariernya juga meliputi teori himpunan, topologi, otomata seluler, serta desain senjata termonuklir awal.Stanisław Ulam fut un mathématicien polonais-américain qui travailla à Los Alamos après la Seconde Guerre mondiale. Il contribua à l'élaboration de la méthode moderne de Monte Carlo, utilisant l'échantillonnage aléatoire pour étudier des problèmes de physique nucléaire et de calcul. Sa carrière toucha également la théorie des ensembles, la topologie, les automates cellulaires et la conception des premières armes thermonucléaires.スタニスワフ・ウラムは第二次世界大戦後にロスアラモスで研究したポーランド出身のアメリカ人数学者である。モンテカルロ法の現代的な形を築くのに貢献し、核物理および計算における問題を確率的サンプリングによって研究した。彼の研究分野は集合論、位相幾何学、セル・オートマトンおよび初期の熱核融合兵器の設計にも及んでいる。Станислав Улам — польский и американский математик, работавший в Лос-Аламосе после Второй мировой войны. Он помог сформировать современный метод Монте-Карло, используя случайную выборку для изучения проблем в ядерной физике и вычислениях. Его карьера также касалась теории множеств, топологии, клеточных автоматов и разработки ранних термоядерных оружий.Stanisław Ulam war ein polnisch-amerikanischer Mathematiker, der nach dem Zweiten Weltkrieg am Los Alamos National Laboratory arbeitete. Er trug wesentlich zur Entwicklung der modernen Monte-Carlo-Methode bei, bei der zufällige Stichproben zur Untersuchung von Problemen in der Kernphysik und der Berechnung eingesetzt werden. Seine Karriere umfasste zudem die Mengenlehre, Topologie, zelluläre Automaten und das Design früher thermonuklearer Waffen.스테파니우 슐람(Stanisław Ulam)은 제2차 세계대전 이후 로스앨러모스에서 일한 폴란드계 미국 수학자였다. 그는 핵물리학과 계산 문제를 연구하기 위해 무작위 표집을 사용하는 현대 몬테카를로 방법의 발전에 기여했다. 그의 경력은 집합론, 위상수학, 세포 자동기 및 초기 열핵무기 설계에도 걸쳐졌다., Nicholas MetropolisPersonNicholas MetropolisNicholas Metropolis was a Greek-American physicist and computing pioneer at Los Alamos. He worked on early electronic computation and gave the Monte Carlo method its casino-derived name. His later work on sampling algorithms became central to computational physics, statistics and many forms of simulation.尼古拉斯·梅特罗波利斯（Nicholas Metropolis）是一位希腊裔美国物理学家，也是洛斯阿拉莫斯的计算机先驱。他从事早期电子计算的研究，并为蒙特卡洛方法起了这个源自赌场名称的方法。他后来在抽样算法方面的研究成为计算物理、统计学以及多种模拟方法的核心。Nicholas Metrópolis fue un físico y pionero de la computación griego-estadounidense que trabajó en Los Álamos. Trabajó en cálculos electrónicos tempranos y dio al método Monte Carlo su nombre derivado del casino. Su trabajo posterior sobre algoritmos de muestreo se convirtió en fundamental para la física computacional, la estadística y muchas formas de simulación.كان نيكولاس متروبوليس فيزيائيًا أمريكيًا من أصل يوناني وواحدًا من رواد الحواسيب في لوس ألاموس. عمل على الحوسبة الإلكترونية المبكرة وأعطى للطريقة الإحصائية "مونتي كارلو" اسمها المشتق من الكازينو. ساهمت أعماله اللاحقة على خوارزميات أخذ العينات في تشكيل جوهر الفيزياء الحاسوبية والإحصاء والكثير من أشكال المحاكاة.Nicholas Metropolis foi um físico e pioneiro da computação grego-americano que trabalhou no Laboratório de Los Alamos. Trabalhou na computação eletrônica inicial e deu ao método Monte Carlo seu nome derivado de cassino. Seu trabalho posterior sobre algoritmos de amostragem tornou-se central para a física computacional, estatística e muitas formas de simulação.निकोलस मेट्रोपोलिस एक यूनानी-अमेरिकी भौतिकविद और लॉस एलमोस में कम्प्यूटिंग के प्रारंभिक दौर के विशिष्ट व्यक्ति थे। उन्होंने प्रारंभिक इलेक्ट्रॉनिक कम्प्यूटेशन पर कार्य किया और मोंटे कार्लो विधि का उस जुए के नाम पर आधारित नाम दिया। उनके बाद के कार्य नमूना एल्गोरिदम पर केंद्रित थे, जो भौतिकी के कम्प्यूटेशनल, सांख्यिकी और अनेक प्रकार की सिमुलेशन में केंद्रीय भूमिका निभाते हैं।Nicholas Metropolis adalah seorang fisikawan dan pelopor komputasi berkebangsaan Yunani-Amerika yang bekerja di Los Alamos. Ia meneliti komputasi elektronik awal dan memberi nama metode Monte Carlo dengan sebutan yang berasal dari kasino. Karyanya kemudian tentang algoritma pengambilan sampel menjadi pusat dalam fisika komputasi, statistik, dan berbagai bentuk simulasi.Nicholas Metropolis fut un physicien grec-américain et un pionnier de l'informatique à Los Alamos. Il travailla sur les premiers calculs électroniques et donna à la méthode Monte Carlo son nom inspiré des casinos. Son travail ultérieur sur les algorithmes d'échantillonnage devint central en physique computationnelle, en statistique et dans de nombreuses formes de simulation.ニコラス・メトロポリスは、ギリシャ系アメリカ人の物理学者で、ロスアラモスで活躍した計算機科学の先駆者である。彼は初期の電子計算機の開発に携わり、「モンテカルロ法」というカジノ由来の名称を考案した。その後、サンプリングアルゴリズムに関する研究は、計算物理学、統計学およびさまざまなシミュレーションにおいて中心的な役割を果たすことになった。Николас Метрополис был греко-американским физиком и пионером вычислительной техники в Лос-Аламосе. Он работал над ранними электронными вычислениями и дал методу Монте-Карло его название, происходящее от казино. Его более поздняя работа по алгоритмам выборки стала центральной для вычислительной физики, статистики и многих видов моделирования.Nicholas Metropolis war ein griechisch-amerikanischer Physiker und Pionier der Informatik am Los Alamos National Laboratory. Er arbeitete an frühen elektronischen Rechenverfahren und gab der Monte-Carlo-Methode ihren namensgebenden Bezug zum Casino. Seine späteren Arbeiten zu Sampling-Algorithmen wurden zentral für die theoretische Physik, Statistik und viele Formen der Simulation.니콜라스 메트로폴리스는 그리스계 미국인 물리학자이자 로스앨러모스에서 활동한 컴퓨팅 분야의 선구자였다. 그는 초기 전자 계산기에 참여했으며, 몬테카를로 방법에 도박장에서 유래된 이름을 붙였다. 이후 그가 개발한 샘플링 알고리즘은 계산 물리학, 통계학 및 다양한 시뮬레이션 분야의 핵심이 되었다., dan yang lainnya menggunakan sampel acak untuk menyerang masalah yang terlalu rumit untuk perhitungan langsung. Neutron yang bergerak melalui materi, integral berdimensi tinggi, rantai bercabang dari masa depan yang mungkin: ini bukan masalah jarum di atas kertas, tetapi mereka memiliki taruhan yang sama. Sampel ruang dengan jujur, dan kuantitas yang tersembunyi di geometri akan mulai muncul.
A nineteenth-century wooden experiment table is covered with many scattered brass needlesIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Jarum Buffon adalah nenek moyang sekaligus peringatan. Ia menunjukkan insting Monte Carlo dengan hampir tanpa mesin, tetapi juga menunjukkan biayanya. Estimasi acak konvergen pada laju sebanding dengan satu dibagi akar kuadrat jumlah percobaan. Untuk mendapatkan satu desimal tambahan, diperlukan bukan sepuluh kali lipat lemparan, tetapi sekitar seratus kali lipat. Sejuta jarum masih merupakan cara yang tidak efisien untuk mengetahui apa yang sudah diketahui keliling lingkaran.
Metode ini bertahan karena pi bukanlah hadiah sebenarnya. Fakta penting adalah bahwa probabilitas bisa menggantikan integral. Hitungan jarum Buffon mengukur luas di bawah kurva sinus tanpa menggambar area itu langsung. Simulasi modern melakukan hal yang sama di ruang yang lebih menakutkan, di mana integral mungkin memiliki ribuan dimensi dan tidak ada gambar manusia sama sekali.
A tidy tabletop reconstruction uses a set of identical metal needles and a board with grooIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Apa yang dibiarkan terbuka oleh jarum
Kata acak melakukan lebih banyak pekerjaan daripada yang tampaknya. Derivasi Buffon mengasumsikan bahwa posisi pusat dan sudut tersebar secara merata. Tangan manusia yang menjatuhkan jarum mungkin memfavoritkan sudut tertentu; papan mungkin memiliki tepi; jarum mungkin berguling, bergeser, atau terjebak.
Ada juga pertanyaan tentang apa yang sebenarnya dilakukan Buffon, dibandingkan apa yang ia buktikan. Cerita tentang roti yang jatuh di atas lantai berubin telah beredar selama berabad-abad, tetapi dasar dokumenter tipis. Matematikanya lebih kuat daripada anekdotnya.
A mid-century laboratory tabletop uses diceIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Lazzarini tetap menjadi kasus terbuka lainnya. Angka-angkanya pada tahun 1901 terkenal sebagian karena terlalu bagus, dan dicurigai karena alasan yang sama. Hasil bisa secara matematis kompatibel dengan eksperimen dan tetap sulit dipercaya secara historis.
Ketidakpastian yang lebih dalam bersifat filosofis. Ketika dunia deterministik menyediakan sebaran hasil, di mana tepatnya kebetulan masuk: dalam ketidaktahuan, dalam ketidakteraturan fisik, atau dalam model yang kita pilih untuk diterapkan? Jarum Buffon tidak menyelesaikan pertanyaan itu. Ia memberinya lantai yang bersih dan garis yang harus dilintasi.
Sebuah jarum yang jatuh tidak tahu apa itu pi. Ia jatuh, atau ia melesat. Hanya setelah banyak gerakan tak acuh seperti itu, lingkaran mengumumkan dirinya, secara diam-diam, dalam daftar hasil yang memotong.
एक निर्मित मेज़ पर, गिरती सुई एक वृत्त को एक गणना में बदल देती है। इसे पर्याप्त बार गिराएं, पार करने की गणना करें, और पुराना नियतांक पाई अंकित किए गए चिह्नों, चूकों और कोण के संकीर्ण अपवाह के माध्यम से दिखने लगता है।
1777 में, Georges-Louis Leclerc, Comte de BuffonPersonGeorges-Louis Leclerc, Comte de BuffonGeorges-Louis Leclerc, Comte de Buffon was an eighteenth-century French naturalist and mathematician, best known for his vast Histoire naturelle. His work ranged from zoology and geology to the mathematics of chance. In 1777 he published the needle problem that made random geometry a serious object of calculation.乔治-路易·勒克莱尔，布封伯爵是18世纪法国的博物学家和数学家，以其宏大的《自然史》最为著名。他的研究范围涵盖了动物学、地质学以及概率数学。1777年，他发表了“布丰投针问题”，使随机几何成为严肃的计算对象。Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon fue un naturalista y matemático francés del siglo XVIII, más conocido por su extensa Histoire naturelle. Su obra abarcó desde la zoología y la geología hasta las matemáticas de la probabilidad. En 1777 publicó el problema de la aguja, que convirtió la geometría aleatoria en un objeto serio de cálculo.جورج لويس لوكير، كونت دي بوفون كان عالم طبيعة ورياضيات فرنسي في القرن الثامن عشر، ويُعرف بشكل رئيسي بعمله الواسع "تاريخ طبيعي". امتدت أعماله من علم الحيوانات والجيولوجيا إلى رياضيات الحظ. نشر في عام 1777 مسألة الإبرة التي جعلت الهندسة العشوائية موضوعًا جادًا للحساب.Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon foi um naturalista e matemático francês do século XVIII, mais conhecido por sua vasta Histoire naturelle. Seu trabalho abrangia desde a zoologia e a geologia até a matemática da casualidade. Em 1777 publicou o problema da agulha, que tornou a geometria aleatória um objeto sério de cálculo.जीओर्ज-लुई लेक्लेर, काउंट डी बफ़ॉन अठारहवीं शताब्दी के फ़्रांसीसी प्राकृतिक विज्ञानी और गणितज्ञ थे, जिनके लिए उनकी विशाल "हिस्तोयर नैचुरेल" के कारण वे प्रसिद्ध हैं। उनका कार्य जीवविज्ञान और भूविज्ञान से लेकर संभाव्यता के गणित तक फैला हुआ था। 1777 में उन्होंने एक समस्या प्रकाशित की, जिसके कारण यादृच्छिक ज्यामिति गणना का गम्भीर विषय बन गई।Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon adalah seorang naturalis dan matematikawan Prancis abad keduabelas, yang paling dikenal karena karyanya yang luas, Histoire naturelle. Karyanya mencakup berbagai bidang, dari zoologi dan geologi hingga matematika peluang. Pada tahun 1777 ia menerbitkan masalah jarum yang membuat geometri acak menjadi objek serius dalam perhitungan.Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon, fut un naturaliste et mathématicien français du xviiie siècle, surtout connu pour son vaste ouvrage intitulé Histoire naturelle. Son œuvre s'étendait de la zoologie et de la géologie aux mathématiques du hasard. En 1777, il publia le problème de l'aiguille, qui fit de la géométrie aléatoire un objet sérieux de calcul.ジョルジュ＝ルイ・レクルール、バフオン男爵は18世紀のフランスの自然学者で、大規模な『自然史』で最も知られている。彼の研究は動物学や地質学から確率の数学に至るまで幅広かった。1777年、彼はランダム幾何学を真剣な計算対象とした針の問題を発表した。Жорж-Луи Леклерк, граф Бюффон, был французским натурописцем и математиком XVIII века, наиболее известным своей обширной «Натуральной историей». Его работы охватывали зоологию и геологию, а также математику вероятностей. В 1777 году он опубликовал задачу о игле, которая сделала случайную геометрию серьёзным объектом вычислений.Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon, war ein französischer Naturforscher und Mathematiker des 18. Jahrhunderts, am besten bekannt für sein umfassendes Werk Histoire naturelle. Seine Arbeit erstreckte sich von der Zoologie und Geologie bis hin zur Mathematik des Zufalls. 1777 veröffentlichte er das Nadelproblem, das die zufällige Geometrie zu einem ernstzunehmenden Gegenstand der Berechnung machte.조르주 루이 르클레르 코뮌 드 뷔퐁은 18세기 프랑스의 자연주의자이자 수학자로, 방대한 『자연사』로 가장 유명하다. 그의 연구 분야는 동물학과 지질학에서부터 확률의 수학에 이르기까지 폭넓었다. 1777년 그는 확률 기하학을 진지한 계산 대상으로 만든 핀 문제를 발표했다. ने एक ऐसी समस्या रख दी जो इतनी छोटी थी कि उसे एक कागज की शीट और एक सीवन सुई के साथ प्रस्तुत किया जा सकता था। समान दूरी पर समानांतर रेखाएँ खींचें। एक सुई को यादृच्छिक रूप से गिराएं। यह पूछें कि इसके किसी रेखा को काटने की संभावना क्या है। यह एक पार्लर प्रयोग था जिसमें कठिन धारा थी: उत्तर में piConceptpiPi is the ratio of a circle's circumference to its diameter, approximately 3.14159. It appears first as a fact of circular geometry, but it recurs through analysis, probability, physics and number theory. In Buffon's needle problem it arises from averaging all possible orientations of a line segment.圆周率π是一个圆的周长与直径的比值，约为3.14159。它最初作为圆的几何特性出现，但随后在分析学、概率论、物理学和数论中反复出现。在布丰投针问题中，它来源于对线段所有可能方向的平均计算。Pi es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, aproximadamente 3,14159. Aparece en un primer momento como un hecho de la geometría circular, pero vuelve a aparecer a lo largo del análisis, la probabilidad, la física y la teoría de números. En el problema de la aguja de Buffon surge al promediar todas las orientaciones posibles de un segmento de línea.العدد باي هو نسبة محيط الدائرة إلى قطرها، ويُقدر بحوالي 3.14159. يظهر لأول مرة كمعلومة هندسية تتعلق بالدوائر، لكنه يتكرر في التحليل والاحتمالات والفيزياء ونظرية الأعداد. في مسألة إبرة بوفون، يظهر من متوسط جميع الاتجاهات الممكنة لقطعة مستقيمة.Pi é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro, aproximadamente 3,14159. Aparece pela primeira vez como fato da geometria circular, mas recorre através da análise, probabilidade, física e teoria dos números. No problema da agulha de Buffon, surge a partir da média de todas as orientações possíveis de um segmento de reta.π एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात है, लगभग 3.14159। यह सर्वप्रथम वृत्तीय ज्यामिति के तथ्य के रूप में प्रकट होता है, लेकिन विश्लेषण, संभाव्यता, भौतिकी और संख्या सिद्धांत में इसकी पुनरावृत्ति होती है। बफ़ोन की सुई की समस्या में एक रेखाखंड की सभी संभावित दिशाओं के औसत से यह उत्पन्न होता है।Pi adalah rasio keliling lingkaran terhadap diameternya, sekitar 3,14159. Pi muncul pertama kali sebagai fakta dalam geometri lingkaran, tetapi muncul kembali dalam analisis, probabilitas, fisika, dan teori bilangan. Dalam permasalahan jarum Buffon, Pi muncul dari rata-rata semua orientasi yang mungkin dari sebuah segmen garis.Pi est le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre, environ 3,14159. Il apparaît d'abord comme une propriété géométrique des cercles, mais il se retrouve ensuite en analyse, en probabilité, en physique et en théorie des nombres. Dans le problème de l'aiguille de Buffon, il émerge en prenant la moyenne de toutes les orientations possibles d'un segment de droite.円周率（パイ）は、円の円周長とその直径の比であり、約3.14159である。これは最初に円形幾何学における事実として現れるが、解析学、確率論、物理学および数論においても繰り返し登場する。バッフォンの針の問題では、線分の可能なすべての方位を平均することによって現れる。Число π представляет собой отношение длины окружности к её диаметру, приблизительно 3,14159. Оно впервые появляется как геометрический факт, связанный с окружностью, но затем встречается в анализе, теории вероятностей, физике и теории чисел. В задаче Бюффона о булавле оно возникает при усреднении всех возможных ориентаций отрезка прямой.π ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser und beträgt ungefähr 3,14159. Es tritt zuerst als geometrische Eigenschaft von Kreisen auf, taucht jedoch wiederholt in der Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Physik und Zahlentheorie auf. Beim Buffonschen Nadelproblem entsteht es aus der Durchschnittsbildung aller möglichen Ausrichtungen eines Liniensegments.원주율(π)은 원의 둘레와 지름의 비율로, 약 3.14159이다. 원의 기하학적 성질로서 처음 등장하지만, 해석학, 확률론, 물리학, 수론 등 여러 분야에서 반복적으로 나타난다. 버프론의 바늘 문제에서는 선분의 가능한 모든 방향의 평균을 구하면서 등장한다. शामिल था।
बफ़न एक स्कूल के ट्रिक को नहीं बनाने की कोशिश कर रहे थे। उनका "एस्साइ डी अरिथमेटिक मोरल" एक नई चिंता का हिस्सा था, जो अवसर, उपयोगिता और अपेक्षा के बारे में थी, एक ऐसा समय जब probabilityConceptprobabilityProbability is the mathematics of uncertain events. It began with problems in games of chance and grew into a language for risk, evidence, physics and statistics. By the eighteenth century, mathematicians were extending it beyond dice and cards into continuous settings where outcomes form regions rather than countable cases.概率论是对不确定事件的数学研究。它最初起源于对机会游戏问题的研究，后来发展成为描述风险、证据、物理和统计学的一种语言。到18世纪时，数学家们已将其应用范围从骰子和纸牌扩展到连续情形，其中结果形成区域而非可数的情况。La probabilidad es la matemática de los eventos inciertos. Comenzó con problemas en juegos de azar y se convirtió en un lenguaje para el riesgo, la evidencia, la física y la estadística. Para el siglo XVIII, los matemáticos ya la estaban extendiendo más allá de los dados y las cartas hacia contextos continuos donde los resultados forman regiones en lugar de casos contables.الاحتمال هو رياضيات الأحداث غير المؤكدة. بدأ مع مشاكل في ألعاب المقامرة، وانتهى بتصبح لغة للخطر والدلائل والفيزياء والإحصاء. بحلول القرن الثامن عشر، كان الرياضياتيون يمتدون بها إلى ما وراء النرد والبطاقات إلى الأوضاع المستمرة حيث تشكل النتائج مناطق بدلًا من الحالات العدديّة.A probabilidade é a matemática dos eventos incertos. Começou com problemas em jogos de azar e evoluiu para uma linguagem para risco, evidência, física e estatística. Até o século XVIII, matemáticos estavam a estendê-la além dos dados e cartas para situações contínuas, onde os resultados formam regiões em vez de casos contáveis.संभाव्यता अनिश्चित घटनाओं की गणित है। इसकी शुरुआत संभावना के खेलों से हुई और यह जोखिम, साक्ष्य, भौतिकी और सांख्यिकी की भाषा में विकसित हुई। अठारहवीं शताब्दी तक, गणितज्ञ इसे पासे और ताश के पत्तों से आगे बढ़ाकर ऐसे निरंतर स्थितियों में लागू करने लगे जहां परिणाम क्षेत्र बनाते हैं जबकि गिने जा सकने वाले मामले नहीं।Probabilitas adalah matematika dari kejadian yang tidak pasti. Awalnya muncul dari masalah dalam permainan keberuntungan, lalu berkembang menjadi bahasa untuk risiko, bukti, fisika, dan statistik. Pada abad kedelapan belas, para matematikawan mulai mengembangkannya melebihi dadu dan kartu ke dalam konteks kontinu di mana hasilnya membentuk daerah daripada kasus yang dapat dihitung.La probabilité est la mathématique des événements incertains. Elle a débuté avec des problèmes liés aux jeux de hasard et s'est développée en un langage pour exprimer le risque, les preuves, la physique et la statistique. Dès le XVIIIe siècle, les mathématiciens l'étendaient au-delà des dés et des cartes vers des contextes continus où les résultats forment des régions plutôt que des cas dénombrables.確率とは、不確実な事象を扱う数学の分野である。当初は、賭け事の問題から始まり、やがてリスク、証拠、物理学、統計学を表現する言語として発展した。18世紀までに、数学者たちはサイコロやトランプの問題にとどまらず、結果が個別に数えられるケースではなく領域を形成する連続的な設定へとその応用範囲を広げていた。Вероятность — это математика неопределённых событий. Она возникла из задач, связанных с азартными играми, и превратилась в язык для описания риска, доказательств, физики и статистики. К XVIII веку математики уже применяли её за пределами игральных костей и карт в непрерывных ситуациях, где результаты образуют области, а не счётные случаи.Wahrscheinlichkeit ist die Mathematik unsicherer Ereignisse. Sie begann mit Problemen in Glücksspielen und entwickelte sich zu einer Sprache für Risiko, Beweise, Physik und Statistik. Bis ins achtzehnte Jahrhundert hinüber erweiterten Mathematiker sie jenseits von Würfeln und Karten auf kontinuierliche Bereiche, in denen Ergebnisse Regionen statt abzählbarer Fälle bilden.확률은 불확실한 사건의 수학이다. 확률은 기회의 게임에서의 문제에서 시작하여 위험, 증거, 물리학 및 통계학의 언어로 발전하였다. 18세기까지 수학자들은 주사위와 카드를 넘어서 연속적인 상황으로 확률을 확장하여, 결과가 개수를 세어 셀 수 있는 경우가 아니라 영역을 이루는 경우를 다루게 되었다. डांसिंग टेबल से कानून, बीमा और प्राकृतिक दर्शन में जा रहा था। सुई की समस्या ने अवसर को पासा से निकालकर अंतरिक्ष में डाल दिया। एक घन के कितने चेहरे हो सकते हैं ऐसा पूछने के बजाय, यह पूछा कि एक भौतिक वस्तु कैसे एक संभावित स्थिति के सतत क्षेत्र में प्राप्त हो सकती है।
सबसे सरल मामला लें। रेखाएँ एक दूरी d से अलग हैं। सुई की लंबाई l है, जो d से लंबी नहीं है। एक बार जब यह गिर जाती है, तो दो मात्राएँ महत्वपूर्ण होती हैं: उसके केंद्र से निकटतम रेखा तक की दूरी x, और सुई द्वारा रेखाओं के साथ बनाया गया न्यून कोण theta। सुई काटती है यदि x अपनी प्रक्षेपित ऊंचाई के आधे से अधिक नहीं है: (l/2) sin theta।
A linen-covered eighteenth-century writing desk holds a sheet of paper ruled with evenly sIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
साइन के तहत क्षेत्र
गणना छोटी है, लेकिन यह संभावना के लिए वस्तु के प्रकार को बदल देती है। सुई का केंद्र निकटतम रेखा से 0 से d/2 के बीच कहीं भी हो सकता है। कोण 0 से pi/2 के बीच कहीं भी हो सकता है। इन दो चरों ने संभावनाओं का एक आयत बना दिया है। इसके अंदर x <= (l/2) sin theta का वक्र क्षेत्र है। इसका क्षेत्रफल 0 से pi/2 तक (l/2) sin theta के अभिन्न भाग के बराबर है, जो केवल l/2 है।
पूरे आयत (d/2)(pi/2) से इस अनुकूल क्षेत्र को विभाजित करें, और क्रॉसिंग की संभावना 2l/(pi d) होती है। यदि सुई रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर है, l = d, तो अभिव्यक्ति 2/pi तक संकुचित हो जाती है। एक गोल निरंतरता पीछे से एक दरवाजा से आ गई है, न कि किसी ने एक वृत्त को मापा हो, बल्कि क्योंकि सुई की सभी दिशाओं को गिनना आवश्यक है।
A human hand releases a slender metal needle above a wooden surface featuring parallel inlIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
यह geometric probabilityConceptgeometric probabilityGeometric probability studies chance by measuring lengths, areas, volumes or other geometric sets of possible outcomes. Buffon's needle is its classic early example: the answer comes from comparing a favourable region under a sine curve with a rectangle of all possible needle positions and angles.几何概率通过测量长度、面积、体积或其他几何集合的可能结果来研究概率。布丰的投针问题是其经典的早期例子：答案来自于将正弦曲线下的有利区域与所有可能的针的位置和角度所组成的矩形进行比较。La probabilidad geométrica estudia el azar midiendo longitudes, áreas, volúmenes u otros conjuntos geométricos de resultados posibles. La aguja de Buffon es su ejemplo clásico temprano: la respuesta proviene al comparar una región favorable bajo una curva seno con un rectángulo que contiene todas las posiciones y ángulos posibles de la aguja.تدرس الاحتمالات الهندسية الاحتمال من خلال قياس الطول أو المساحة أو الحجم أو مجموعات هندسية أخرى من النتائج الممكنة. تُعد مسألة إبرة بوفون مثالاً كلاسيكياً مبكرًا: حيث يُستنتج الجواب من خلال مقارنة منطقة مواتية تحت منحنى الجيب بمستطيل يمثل جميع مواقف الإبرة الممكنة وزواياها.A probabilidade geométrica estuda a chance medindo comprimentos, áreas, volumes ou outros conjuntos geométricos de resultados possíveis. A agulha de Buffon é seu exemplo clássico inicial: a resposta surge ao comparar uma região favorável sob uma curva senoidal com um retângulo contendo todas as posições e ângulos possíveis da agulha.ज्यामितीय संभाव्यता परिणामों के संभावित समुच्चय के रूप में लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन या अन्य ज्यामितीय समुच्चय के मापन द्वारा संभावना का अध्ययन करती है। बफ़न की सुई इसका एक प्रारंभिक उदाहरण है: उत्तर एक साइन वक्र के तहत एक लाभप्रद क्षेत्र की तुलना सभी संभावित सुई स्थितियों और कोणों के एक आयत के साथ करके प्राप्त होता है।Probabilitas geometris mempelajari peluang dengan mengukur panjang, luas, volume, atau himpunan geometris lain dari hasil yang mungkin. Contoh klasik awalnya adalah jarum Buffon: jawabannya diperoleh dengan membandingkan daerah yang menguntungkan di bawah kurva sinus dengan persegi panjang yang mencakup semua posisi dan sudut jarum yang mungkin.La probabilité géométrique étudie le hasard en mesurant des longueurs, des aires, des volumes ou d'autres ensembles géométriques d'événements possibles. L'aiguille de Buffon en est un exemple classique du début de cette discipline : la réponse provient d'une comparaison d'une région favorable sous une courbe sinus avec un rectangle contenant toutes les positions et angles possibles de l'aiguille.幾何確率論は、長さや面積、体積、あるいはその他の幾何的集合を測定することによって確率を研究する。バッフォンの針問題はその古典的な初期の例である。この問題の答えは、正弦曲線の下にある有利な領域を、針の位置と角度のすべての可能な長方形領域と比較することによって得られる。Геометрическая вероятность изучает вероятность, измеряя длины, площади, объемы или другие геометрические множества возможных исходов. Примером классической ранней задачи является игла Бюффона: ответ находится путем сравнения благоприятной области под синусоидальной кривой с прямоугольником всех возможных положений и углов иглы.Die geometrische Wahrscheinlichkeit untersucht das Zufallsereignis durch die Messung von Längen, Flächen, Volumina oder anderen geometrischen Mengen möglicher Ergebnisse. Das „Nadelproblem“ von Buffon ist ihr klassisches frühes Beispiel: die Lösung ergibt sich aus dem Vergleich einer günstigen Region unter einer Sinuslinie mit einem Rechteck aller möglichen Nadelpositionen und Winkel.기하 확률은 길이, 면적, 부피 또는 다른 기하학적 집합의 가능한 결과를 측정함으로써 확률을 연구한다. 버퐁의 바늘은 이 분야의 고전적인 초기 예시로, 정현 곡선 아래의 유리한 영역을 바늘의 가능한 모든 위치와 각도를 포함하는 직사각형과 비교함으로써 답을 얻는다. का छोटा जन्म था। सामान्य असतत संभावना मामलों की गिनती कर सकती है: सिर या पट्टा, पासे के छह पक्ष, पचास-दो कार्ड। बफ़न की समस्या ने एक निरंतरता पर माप की आवश्यकता की। यह पूछा कि एक ज्यामितीय स्थान का कितना हिस्सा सफलता के लिए उपयुक्त है। बाद के गणितज्ञ ने उस भाषा को अधिक औपचारिक बना दिया, लेकिन सुई में पहले से ही मूलभूत चाल है: गिनती को क्षेत्रफल से बदल दें, और अवसर ज्यामिति बन जाता है।
पाई के लिए फेंकना
सूत्र को उलटा भी देखा जा सकता है। यदि n सुइयाँ गिराई जाती हैं और h एक रेखा काटती हैं, तो h/n क्रॉसिंग संभावना का अनुमान लगाता है। पुनर्व्यवस्था करने पर pi लगभग 2ln/(dh) के बराबर होता है। अंकगणित लगभग अत्यधिक सरल है। काम वास्तविक रूप से यादृच्छिक ढंग से गिराने में और यह स्वीकार करने में है कि यादृच्छिकता अपने ऋणों को बहुत धीरे चुकाती है।
A close macro view shows one metal needle crossing a deep groove in a wooden board while aIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
19वीं शताब्दी के प्रयोगकर्ता फिर भी करने की कोशिश कर रहे थे। स्विस खगोलविद रुडॉल्फ वॉल्फ ने 1850 के आसपास 5,000 फेंके की रिपोर्ट की और 3.1596 के निकट मान प्राप्त किया। ए. हॉल ने 1873 में एक प्रयोगात्मक निर्धारण प्रकाशित किया। 1901 में Mario LazzariniPersonMario LazzariniMario Lazzarini was an Italian mathematician associated with a celebrated 1901 report on Buffon's needle. He claimed to have estimated pi as 355/113 from 3,408 needle drops, an accuracy so striking that later writers have questioned whether the experiment was stopped, selected or intended as a mathematical joke.马里奥·拉扎里尼是一位意大利数学家，因1901年关于布丰针问题的著名报告而知名。他声称通过3408次投针实验，将圆周率π估算为355/113，其精度之高令人惊讶，后来的作者因此质疑该实验是否被人为停止或选择性记录，甚至可能是出于数学玩笑的目的而设计的。Mario Lazzarini fue un matemático italiano asociado con un celebrado informe de 1901 sobre la aguja de Buffon. Afirmó haber estimado pi como 355/113 tras 3 408 lanzamientos de agujas, una precisión tan notable que escritores posteriores se han preguntado si el experimento fue interrumpido, seleccionado o si se pretendía como una broma matemática.مARIO لازاريني هو عالم رياضيات إيطالي تربطه صلة بالรายงาน المشهور لعام 1901 حول إبرة بوفون. فقد زعم أنه حسب قيمة باي على أنها 355/113 من خلال 3408 تجربة إسقاط إبرة، ودقة هذا التقدير كانت هائلة لدرجة أن المؤلفين اللاحقين شككوا فيما إذا تم إيقاف التجربة، أو اختيار النتائج، أو أن التجربة كانت مزحة رياضية مقصودة.Mario Lazzarini foi um matemático italiano associado a um celebrado relatório de 1901 sobre o problema da agulha de Buffon. Ele alegou ter estimado pi como 355/113 a partir de 3.408 lançamentos de agulhas, uma precisão tão notável que escritores posteriores questionaram se o experimento foi interrompido, selecionado ou se destinava a ser uma brincadeira matemática.मारियो लाज़ारिनी एक इतालवी गणितज्ञ थे जो बफ़न की सुई पर 1901 की प्रसिद्ध रिपोर्ट से जुड़े हुए थे। उन्होंने 3,408 सुई गिराने के बाद दावा किया कि वे pi को 355/113 के रूप में अनुमानित कर सकते हैं, जो इतनी शानदार सटीकता के साथ है कि बाद के लेखकों ने यह सवाल उठाया है कि क्या प्रयोग बंद कर दिया गया था, चयनित किया गया था या गणितीय उपहास के रूप में निर्धारित किया गया था।Mario Lazzarini adalah seorang matematikawan Italia yang dikaitkan dengan laporan terkenal tahun 1901 mengenai jarum Buffon. Ia mengklaim telah memperkirakan nilai pi sebagai 355/113 dari 3.408 kali melemparkan jarum, sebuah akurasi yang begitu mengejutkan sehingga penulis-penulis selanjutnya mempertanyakan apakah eksperimen tersebut dihentikan, disaring, atau dimaksudkan sebagai lelucon matematis.Mario Lazzarini fut un mathématicien italien associé à un célèbre rapport de 1901 sur l’aiguille de Buffon. Il affirma avoir estimé pi comme étant égal à 355/113 à partir de 3 408 lancers d’aiguille, une précision si remarquable que des auteurs ultérieurs se sont interrogés sur le fait de savoir si l’expérience avait été arrêtée, sélectionnée ou conçue comme une plaisanterie mathématique.マリオ・ラザリニは、1901年のバッフォンの針に関する著名な報告書に関連したイタリアの数学者である。彼は3,408回の針を落とす実験を通じて、円周率を355/113と推定した。その精度は際立っており、後年の研究者はこの実験が終了した時点で結果が選定されたのか、あるいは単なる数学的ジョークであったのかを疑問視している。Марио Лазарини — итальянский математик, связанный с известным докладом 1901 года о игле Бюффона. Он утверждал, что оценил число пи как 355/113, используя 3408 бросков иглы, что настолько удивительно точно, что позднейшие авторы поставили под сомнение, не было ли эксперимент остановлен, подобран или же задуман как математический шут.Mario Lazzarini war ein italienischer Mathematiker, der mit einem berühmten Bericht von 1901 über das Nadelproblem von Buffon in Verbindung gebracht wird. Er behauptete, er habe π durch 355/113 aus 3408 Nadelwürfen geschätzt, eine Genauigkeit, die so bemerkenswert ist, dass spätere Autoren sich gefragt haben, ob das Experiment beendet, ausgewählt oder als mathematischer Witz gemeint war.마리오 라자리니(Mario Lazzarini)는 버논의 바늘(Buffon's needle)에 관한 1901년 유명한 보고서와 관련된 이탈리아 수학자이다. 그는 3,408번의 바늘 던지기 실험을 통해 원주율을 355/113으로 추정하였다. 이는 놀랄 만큼 정확한 수치로, 후에 이 실험이 중단되었거나 일부러 선택되었거나, 혹은 수학적 농담이 의도되었는지에 대해 의문을 제기하는 이들이 있었다. ने कुछ बहुत तीव्र का दावा किया: 3,408 फेंके, 25 मिलीमीटर लंबी सुइयाँ 30 मिलीमीटर अंतराल वाली रेखाओं पर, 355/113 पैदा करने वाले, छह दशमलव अनुमान 3.1415929 के प्रसिद्ध।
लाज़ज़रिनी के परिणाम हमेशा बहुत शुद्ध लगे हैं। उनके अनुपात l/d = 5/6 के साथ सूत्र 355/113 के लिए विशेष रूप से अनुकूल हो जाता है, और बाद के सांख्यिकीविदों ने रिपोर्ट को शक के साथ उपयोग किया है: शायद एक आसान समय पर रुक गए, शायद चयनित, शायद एक नजर डालकर स्कूल शिक्षकों के लिए लिखे गए थे, बजाय एक गंभीर माप के रूप में। बिंदु यह नहीं है कि बफ़न का सूत्र विफल हो गया। यह भौतिक यादृच्छिकता के लिए एक खराब सेवक होने की बात है जब अधिक दशमलव स्थानों की मांग की जाती है।
फिर भी, कार्य महत्वपूर्ण था। सुई के क्रॉसिंग की गिनती से पाई का अनुमान लगाना अवसर के साथ गणना करना है। इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटरों के लंबे समय पहले, बफ़न के टेबल ने एक एनालॉग सिमुलेशन प्रस्तुत किया: लकड़ी, चारकल और गिरते धातु के साथ एक स्टोचैस्टिक मशीन।
सुई से मोंटे कार्लो तक
1940 के अंत में, शब्द Monte Carlo methodConceptMonte Carlo methodThe Monte Carlo method uses repeated random sampling to estimate quantities that are hard to compute directly. The name was coined in the mid-twentieth century during work at Los Alamos, but its ancestry reaches back to experiments such as Buffon's needle, where chance is used as a calculating device.蒙特卡罗方法利用重复的随机抽样来估算难以直接计算的数量。这一名称诞生于二十世纪中期洛斯阿拉莫斯的研究工作，但它的起源可以追溯到布丰针实验等早期实验，在这些实验中，概率被用作计算工具。El método Monte Carlo utiliza muestreo aleatorio repetido para estimar cantidades que resultan difíciles de calcular directamente. El nombre fue acuñado a mediados del siglo veinte durante trabajos en Los Alamos, pero su ascendencia se remonta a experimentos como la aguja de Buffon, donde el azar se emplea como dispositivo de cálculo.تستخدم طريقة مونتي كارلو أخذ العينات العشوائية المتكررة لتقدير الكميات التي من الصعب حسابها مباشرة. سُمِّيت الطريقة بهذا الاسم في منتصف القرن العشرين أثناء العمل في لوس ألاموس، لكن جذورها تعود إلى تجارب مثل عود بافون، حيث تُستخدم الفرصة كجهاز حسابي.O método Monte Carlo utiliza amostragem aleatória repetida para estimar quantidades difíceis de serem calculadas diretamente. O nome foi cunhado na segunda metade do século XX durante trabalhos em Los Alamos, mas sua ascendência remonta a experimentos como a agulha de Buffon, nos quais o acaso é usado como um dispositivo de cálculo.मॉन्टे कार्लो विधि के उपयोग से द्वारा सीधे गणना करने में कठिन मात्राओं का अनुमान बनाया जाता है। इसका नाम मध्य बीसवीं शताब्दी में लॉस एलमोस में कार्य के दौरान रखा गया था, लेकिन इसकी वंशवृति बफोन की सुई जैसे प्रयोगों तक पहुंचती है, जहां अवसर के उपयोग की गणना करने की एक युक्ति के रूप में की गई थी।Metode Monte Carlo menggunakan pengambilan sampel acak berulang untuk memperkirakan kuantitas yang sulit dihitung secara langsung. Nama ini diciptakan pada pertengahan abad kedua puluh selama pekerjaan di Los Alamos, tetapi asal usulnya dapat dilacak kembali ke eksperimen seperti jarum Buffon, di mana kebetulan digunakan sebagai alat perhitungan.La méthode Monte Carlo utilise un échantillonnage aléatoire répété pour estimer des quantités difficiles à calculer directement. Le nom a été forgé au milieu du vingtième siècle lors des travaux à Los Alamos, mais ses origines remontent à des expériences telles que l'aiguille de Buffon, où le hasard est utilisé comme dispositif de calcul.モンテカルロ法は、直接計算するのが困難な数量を推定するために、繰り返し無作為サンプリングを行う手法である。この名称は20世紀半ばにロスアラモスでの研究中に造られたが、その起源はバッフォンの針などの実験にまで遡り、これらは確率を計算装置として用いるものである。Метод Монте-Карло использует многократное случайное выборочное исследование для оценки величин, которые сложно вычислить напрямую. Название метода появилось в середине двадцатого века во время работ в Лос-Аламосе, но его происхождение связано с такими экспериментами, как игла Бюффона, где случайность используется как вычислительное устройство.Die Monte-Carlo-Methode verwendet wiederholte zufällige Stichproben, um Größen zu schätzen, die sich direkt schwer berechnen lassen. Der Name wurde Mitte des zwanzigsten Jahrhunderts während der Arbeit am Los Alamos National Laboratory geprägt, doch ihre Ursprünge reichen bis zu Experimenten wie dem Nadelproblem von Buffon zurück, bei dem das Zufallsprinzip als Rechenhilfe eingesetzt wird.몬테카를로 방법은 직접 계산하기 어려운 수량을 추정하기 위해 반복적인 확률적 표본추출을 사용한다. 이 방법의 이름은 20세기 중반 로스앨러모스에서의 연구 중 지어졌지만, 그 기원은 버퐁의 바늘 실험과 같이 확률을 계산 도구로 활용한 이전의 실험들로까지 거슬러 올라간다. ने अपना आधुनिक अर्थ लॉस एलेमोस में प्राप्त किया, जहां John von NeumannPersonJohn von NeumannHungarian-American polymath (1903–1957) who made foundational contributions to set theory, quantum mechanics, game theory, computing, and nuclear weapons design. Present at the 1930 Königsberg conference where Gödel first hinted at incompleteness, he was reportedly the only attendee who grasped the result on the spot and independently derived the second incompleteness theorem within weeks.匈牙利裔美国博学者（1903—1957），在集合论、量子力学、博弈论、计算与核武器设计等领域作出奠基性贡献。1930 年哥廷根会议上，哥德尔首次暗示不完备性结果时他在场，据称是当场唯一领会其要义的与会者，并在数周内独立推导出第二不完备性定理。Polímata húngaro-estadounidense (1903-1957) que realizó contribuciones fundamentales a la teoría de conjuntos, la mecánica cuántica, la teoría de juegos, la computación y el diseño de armas nucleares. Presente en la conferencia de Königsberg de 1930, donde Gödel insinuó por primera vez la incompletitud, fue, según se dice, el único asistente que captó el resultado en el acto y dedujo de forma independiente el segundo teorema de incompletitud en cuestión de semanas.عالم موسوعي مجري-أمريكي (1903–1957) قدّم إسهامات تأسيسية في نظرية المجموعات وميكانيكا الكم ونظرية الألعاب والحوسبة وتصميم الأسلحة النووية. حضر مؤتمر كونيغسبرغ عام 1930 حيث ألمح غودل لأول مرة إلى نظرية عدم الاكتمال، ويُقال إنه كان الحاضر الوحيد الذي استوعب النتيجة على الفور، واستنتج بشكل مستقل نظرية عدم الاكتمال الثانية في غضون أسابيع.Polímata húngaro-americano (1903–1957) que deu contribuições fundamentais à teoria dos conjuntos, à mecânica quântica, à teoria dos jogos, à computação e ao projeto de armas nucleares. Presente na conferência de Königsberg de 1930, onde Gödel insinuou pela primeira vez a incompletude, foi, segundo relatos, o único participante a captar o resultado imediatamente e a deduzir de forma independente o segundo teorema da incompletude em poucas semanas.हंगेरियाई-अमेरिकी बहुश्रुत विद्वान (1903–1957) जिन्होंने समुच्चय सिद्धांत, क्वांटम यांत्रिकी, खेल सिद्धांत, संगणन और परमाणु हथियार अभिकल्पना में आधारभूत योगदान दिए। 1930 के कोनिग्सबर्ग सम्मेलन में उपस्थित, जहाँ गोडेल ने पहली बार अपूर्णता का संकेत दिया था, वे कथित रूप से एकमात्र ऐसे श्रोता थे जिन्होंने उसी क्षण इस परिणाम को समझ लिया और कुछ ही सप्ताहों के भीतर स्वतंत्र रूप से द्वितीय अपूर्णता प्रमेय की व्युत्पत्ति कर ली।Polimat Hungaria-Amerika (1903–1957) yang memberikan kontribusi fundamental pada teori himpunan, mekanika kuantum, teori permainan, komputasi, dan desain senjata nuklir. Hadir pada konferensi Königsberg 1930 ketika Gödel pertama kali mengisyaratkan ketidaklengkapan, ia dilaporkan sebagai satu-satunya peserta yang langsung memahami hasil tersebut di tempat dan secara independen menurunkan teorema ketidaklengkapan kedua dalam hitungan minggu.Polymathe américano-hongrois (1903-1957) qui apporta des contributions fondamentales à la théorie des ensembles, à la mécanique quantique, à la théorie des jeux, à l'informatique et à la conception des armes nucléaires. Présent à la conférence de Königsberg de 1930 où Gödel évoqua pour la première fois l'incomplétude, il fut, dit-on, le seul participant à saisir le résultat sur-le-champ et à dériver indépendamment le second théorème d'incomplétude en l'espace de quelques semaines.ハンガリー系アメリカ人の博学者（1903–1957）。集合論、量子力学、ゲーム理論、計算機科学、核兵器設計に基礎的な貢献をなした。1930年のケーニヒスベルク会議に出席し、ゲーデルが不完全性を初めて示唆した際、その結果をその場で把握した唯一の参加者であったと伝えられ、数週間のうちに第二不完全性定理を独自に導出した。Венгеро-американский эрудит (1903–1957), внёсший фундаментальный вклад в теорию множеств, квантовую механику, теорию игр, вычислительную технику и конструирование ядерного оружия. Присутствовал на Кёнигсбергской конференции 1930 года, где Гёдель впервые намекнул на неполноту; по имеющимся свидетельствам, он был единственным из участников, кто сразу осознал результат, и в течение нескольких недель самостоятельно вывел вторую теорему о неполноте.Ungarisch-amerikanischer Universalgelehrter (1903–1957), der grundlegende Beiträge zur Mengenlehre, Quantenmechanik, Spieltheorie, Informatik und zum Entwurf von Kernwaffen leistete. Anwesend auf der Königsberger Tagung 1930, auf der Gödel erstmals die Unvollständigkeit andeutete, soll er der einzige Teilnehmer gewesen sein, der das Ergebnis sofort erfasste, und leitete innerhalb weniger Wochen unabhängig den zweiten Unvollständigkeitssatz her.헝가리계 미국인 박학다식가(1903–1957)로, 집합론, 양자역학, 게임이론, 컴퓨팅, 핵무기 설계에 기초적인 기여를 했다. 1930년 쾨니히스베르크 회의에서 괴델이 불완전성을 처음 시사했을 때 참석했으며, 그 자리에서 결과를 즉시 이해한 유일한 참석자였다고 전해지고, 몇 주 만에 독자적으로 제2 불완전성 정리를 도출했다., Stanisław UlamPersonStanisław UlamStanisław Ulam was a Polish-American mathematician who worked at Los Alamos after the Second World War. He helped shape the modern Monte Carlo method, using random sampling to study problems in nuclear physics and computation. His career also touched set theory, topology, cellular automata and the design of early thermonuclear weapons.斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆（Stanisław Ulam）是一位波兰裔美国数学家，第二次世界大战后在洛斯阿拉莫斯工作。他帮助创立了现代蒙特卡洛方法，利用随机抽样研究核物理和计算中的问题。他的职业生涯还涉及集合论、拓扑学、细胞自动机以及早期热核武器的设计。Stanisław Ulam fue un matemático polaco-estadounidense que trabajó en Los Alamos tras la Segunda Guerra Mundial. Ayudó a desarrollar el moderno método Monte Carlo, que utiliza muestreo aleatorio para estudiar problemas de física nuclear y cálculo. Su carrera también abarcó la teoría de conjuntos, la topología, las máquinas celulares y el diseño de armas termonucleares tempranas.كان ستانيسلاف أولام عالم رياضيات بولندي-أمريكي عمل في لوس ألموس بعد الحرب العالمية الثانية. ساعد في تشكيل الطريقة الحديثة لمنطقة مونتي كارلو، باستخدام العينات العشوائية لدراسة المشكلات في الفيزياء النووية والحساب. شملت مسيرته المهنية أيضًا نظرية المجموعات والטופولوجيا والآلات الخلوية التلقائية والتصميم المبكر للأسلحة الحرارية النووية.Stanislaw Ulam foi um matemático polonês-americano que trabalhou em Los Alamos após a Segunda Guerra Mundial. Ele ajudou a desenvolver o método Monte Carlo moderno, usando amostragem aleatória para estudar problemas na física nuclear e computação. Sua carreira também abrangeu a teoria dos conjuntos, a topologia, os autômatos celulares e o desenho das primeiras armas termonucleares.स्टैनिस्लाव उलाम एक पोलिश-अमेरिकी गणितज्ञ थे जिन्होंने द्वितीय विश्व युद्ध के बाद लॉस एलमोस में काम किया। उन्होंने आधुनिक मॉन्टे कार्लो विधि का विकास किया, जिसमें नाभिकीय भौतिकी और कंप्यूटेशन में समस्याओं के अध्ययन के लिए यादृच्छिक नमूना लेने का उपयोग किया गया। उनके करियर में समुच्चय सिद्धांत, टोपोलॉजी, सेलुलर ऑटोमेटा और प्रारंभिक थर्मोन्यूक्लियर हथियारों के डिज़ाइन को भी छू लिया।Stanisław Ulam adalah seorang matematikawan Polandia-Amerika yang bekerja di Los Alamos setelah Perang Dunia Kedua. Ia membantu membentuk metode Monte Carlo modern, yang menggunakan sampel acak untuk mempelajari masalah dalam fisika nuklir dan komputasi. Kariernya juga meliputi teori himpunan, topologi, otomata seluler, serta desain senjata termonuklir awal.Stanisław Ulam fut un mathématicien polonais-américain qui travailla à Los Alamos après la Seconde Guerre mondiale. Il contribua à l'élaboration de la méthode moderne de Monte Carlo, utilisant l'échantillonnage aléatoire pour étudier des problèmes de physique nucléaire et de calcul. Sa carrière toucha également la théorie des ensembles, la topologie, les automates cellulaires et la conception des premières armes thermonucléaires.スタニスワフ・ウラムは第二次世界大戦後にロスアラモスで研究したポーランド出身のアメリカ人数学者である。モンテカルロ法の現代的な形を築くのに貢献し、核物理および計算における問題を確率的サンプリングによって研究した。彼の研究分野は集合論、位相幾何学、セル・オートマトンおよび初期の熱核融合兵器の設計にも及んでいる。Станислав Улам — польский и американский математик, работавший в Лос-Аламосе после Второй мировой войны. Он помог сформировать современный метод Монте-Карло, используя случайную выборку для изучения проблем в ядерной физике и вычислениях. Его карьера также касалась теории множеств, топологии, клеточных автоматов и разработки ранних термоядерных оружий.Stanisław Ulam war ein polnisch-amerikanischer Mathematiker, der nach dem Zweiten Weltkrieg am Los Alamos National Laboratory arbeitete. Er trug wesentlich zur Entwicklung der modernen Monte-Carlo-Methode bei, bei der zufällige Stichproben zur Untersuchung von Problemen in der Kernphysik und der Berechnung eingesetzt werden. Seine Karriere umfasste zudem die Mengenlehre, Topologie, zelluläre Automaten und das Design früher thermonuklearer Waffen.스테파니우 슐람(Stanisław Ulam)은 제2차 세계대전 이후 로스앨러모스에서 일한 폴란드계 미국 수학자였다. 그는 핵물리학과 계산 문제를 연구하기 위해 무작위 표집을 사용하는 현대 몬테카를로 방법의 발전에 기여했다. 그의 경력은 집합론, 위상수학, 세포 자동기 및 초기 열핵무기 설계에도 걸쳐졌다., Nicholas MetropolisPersonNicholas MetropolisNicholas Metropolis was a Greek-American physicist and computing pioneer at Los Alamos. He worked on early electronic computation and gave the Monte Carlo method its casino-derived name. His later work on sampling algorithms became central to computational physics, statistics and many forms of simulation.尼古拉斯·梅特罗波利斯（Nicholas Metropolis）是一位希腊裔美国物理学家，也是洛斯阿拉莫斯的计算机先驱。他从事早期电子计算的研究，并为蒙特卡洛方法起了这个源自赌场名称的方法。他后来在抽样算法方面的研究成为计算物理、统计学以及多种模拟方法的核心。Nicholas Metrópolis fue un físico y pionero de la computación griego-estadounidense que trabajó en Los Álamos. Trabajó en cálculos electrónicos tempranos y dio al método Monte Carlo su nombre derivado del casino. Su trabajo posterior sobre algoritmos de muestreo se convirtió en fundamental para la física computacional, la estadística y muchas formas de simulación.كان نيكولاس متروبوليس فيزيائيًا أمريكيًا من أصل يوناني وواحدًا من رواد الحواسيب في لوس ألاموس. عمل على الحوسبة الإلكترونية المبكرة وأعطى للطريقة الإحصائية "مونتي كارلو" اسمها المشتق من الكازينو. ساهمت أعماله اللاحقة على خوارزميات أخذ العينات في تشكيل جوهر الفيزياء الحاسوبية والإحصاء والكثير من أشكال المحاكاة.Nicholas Metropolis foi um físico e pioneiro da computação grego-americano que trabalhou no Laboratório de Los Alamos. Trabalhou na computação eletrônica inicial e deu ao método Monte Carlo seu nome derivado de cassino. Seu trabalho posterior sobre algoritmos de amostragem tornou-se central para a física computacional, estatística e muitas formas de simulação.निकोलस मेट्रोपोलिस एक यूनानी-अमेरिकी भौतिकविद और लॉस एलमोस में कम्प्यूटिंग के प्रारंभिक दौर के विशिष्ट व्यक्ति थे। उन्होंने प्रारंभिक इलेक्ट्रॉनिक कम्प्यूटेशन पर कार्य किया और मोंटे कार्लो विधि का उस जुए के नाम पर आधारित नाम दिया। उनके बाद के कार्य नमूना एल्गोरिदम पर केंद्रित थे, जो भौतिकी के कम्प्यूटेशनल, सांख्यिकी और अनेक प्रकार की सिमुलेशन में केंद्रीय भूमिका निभाते हैं।Nicholas Metropolis adalah seorang fisikawan dan pelopor komputasi berkebangsaan Yunani-Amerika yang bekerja di Los Alamos. Ia meneliti komputasi elektronik awal dan memberi nama metode Monte Carlo dengan sebutan yang berasal dari kasino. Karyanya kemudian tentang algoritma pengambilan sampel menjadi pusat dalam fisika komputasi, statistik, dan berbagai bentuk simulasi.Nicholas Metropolis fut un physicien grec-américain et un pionnier de l'informatique à Los Alamos. Il travailla sur les premiers calculs électroniques et donna à la méthode Monte Carlo son nom inspiré des casinos. Son travail ultérieur sur les algorithmes d'échantillonnage devint central en physique computationnelle, en statistique et dans de nombreuses formes de simulation.ニコラス・メトロポリスは、ギリシャ系アメリカ人の物理学者で、ロスアラモスで活躍した計算機科学の先駆者である。彼は初期の電子計算機の開発に携わり、「モンテカルロ法」というカジノ由来の名称を考案した。その後、サンプリングアルゴリズムに関する研究は、計算物理学、統計学およびさまざまなシミュレーションにおいて中心的な役割を果たすことになった。Николас Метрополис был греко-американским физиком и пионером вычислительной техники в Лос-Аламосе. Он работал над ранними электронными вычислениями и дал методу Монте-Карло его название, происходящее от казино. Его более поздняя работа по алгоритмам выборки стала центральной для вычислительной физики, статистики и многих видов моделирования.Nicholas Metropolis war ein griechisch-amerikanischer Physiker und Pionier der Informatik am Los Alamos National Laboratory. Er arbeitete an frühen elektronischen Rechenverfahren und gab der Monte-Carlo-Methode ihren namensgebenden Bezug zum Casino. Seine späteren Arbeiten zu Sampling-Algorithmen wurden zentral für die theoretische Physik, Statistik und viele Formen der Simulation.니콜라스 메트로폴리스는 그리스계 미국인 물리학자이자 로스앨러모스에서 활동한 컴퓨팅 분야의 선구자였다. 그는 초기 전자 계산기에 참여했으며, 몬테카를로 방법에 도박장에서 유래된 이름을 붙였다. 이후 그가 개발한 샘플링 알고리즘은 계산 물리학, 통계학 및 다양한 시뮬레이션 분야의 핵심이 되었다. और अन्य ने अत्यधिक जटिल समस्याओं को निरक्षण के बिना हल करने के लिए यादृच्छिक नमूनाकरण का उपयोग किया। पदार्थ में गतिशील न्यूट्रॉन, उच्च-आयामी अभिन्न भाग, संभावित भविष्य के शाखादार श्रृंखलाएँ: ये कागज पर सुई की समस्या नहीं थीं, लेकिन वे उसी दांव पर आधारित थीं। स्पेस को ईमानदारी से नमूना लें, और ज्यामिति में छिपी एक मात्रा खुद को दिखाने लगेगी।
A nineteenth-century wooden experiment table is covered with many scattered brass needlesIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
इसलिए बफ़न की सुई एक पूर्वज और चेतावनी दोनों है। यह लगभग किसी भी मशीनरी के बिना मोंटे कार्लो की अंतर्दृष्टि को दर्शाता है, लेकिन यह लागत भी दिखाता है। यादृच्छिक अनुमान एक अनुपात के अनुसार अभिसरण करते हैं जो एक अभ्यास की संख्या के वर्गमूल के विपरीत होता है। एक अतिरिक्त दशमलव स्थान प्राप्त करने के लिए, एक को नहीं बल्कि लगभग सौ गुना अधिक फेंके की आवश्यकता होती है। एक मिलियन सुइयाँ अभी भी एक लंबाई के जोखिम के लिए एक अस्वीकृत तरीका होगा जिसे एक परिधि पहले से ही जानती है।
विधि जीवित रही क्योंकि पाई हमेशा वास्तविक पुरस्कार नहीं था। महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि एक संभावना एक अभिन्न भाग के लिए एक जगह हो सकती है। बफ़न की क्रॉसिंग गिनती एक साइन वक्र के तहत क्षेत्र को बिना उस क्षेत्र को प्रत्यक्ष रूप से खींचे मापती है। आधुनिक सिमुलेशन अधिक भयावह स्थानों में इसी तरह काम करते हैं, जहां अभिन्न भाग में हजारों आयाम हो सकते हैं और कोई मानव चित्र नहीं हो सकता है।
A tidy tabletop reconstruction uses a set of identical metal needles and a board with grooIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
जो सुई खुला छोड़ देती है
शब्द यादृच्छिक पहले दिखाई देने से अधिक काम करता है। बफ़न के निर्माण में यह मान लिया जाता है कि केंद्र स्थिति और कोण एकसमान रूप से वितरित हैं। एक हाथ से गिराई गई सुई निश्चित कोणों को पसंद कर सकती है; एक बोर्ड के किनारे हो सकते हैं; एक सुई घिस सकती है, घूम सकती है, या पकड़ सकती है।
इसके अलावा बफ़न ने वास्तव में क्या किया, इसका प्रश्न उठता है, जबकि उन्होंने साबित किया। पीटे गए रोटी के लोअफ़ के बारे में कई पीढ़ियों से कहानियाँ चल रही हैं, लेकिन दस्तावेजी पैमाना पतला है। गणित अफवाह से अधिक मजबूत है।
A mid-century laboratory tabletop uses diceIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
लाज़ज़रिनी एक और खुला मामला बना रहा है। उनकी 1901 की संख्याएँ इतनी अच्छी कारण से प्रसिद्ध हैं, और उसी कारण से संदिग्ध हैं। एक परिणाम गणितीय रूप से एक प्रयोग के साथ संगत हो सकता है और फिर भी ऐतिहासिक रूप से विश्वास करना मुश्किल हो सकता है।
गहरी अनिश्चितता दार्शनिक है। जब एक निर्धारित दुनिया एक विस्तार के परिणाम देती है, तो ठीक यहाँ अवसर कहाँ दाखिल होता है: अज्ञान में, भौतिक अव्यवस्था में, या मॉडल में जो हम लागू करने का चयन करते हैं? बफ़न की सुई इस प्रश्न को नहीं हल करती। इसे एक स्वच्छ फर्श और एक रेखा खींचकर देता है।
एक गिरी हुई सुई को पाई क्या है इसका कोई विचार नहीं है। वह गिरती है, या वह चूक जाती है। केवल बाद में अनेक ऐसे उदासीन आंदोलनों के बाद वृत्त खुद को शांति से, क्रॉसिंग के लेखे में घोषित करता है।
Auf einem gezeichneten Tisch verkehrt eine fallende Nadel den Kreis in eine Zahl. Lass sie oft genug fallen, zähle die Überschneidungen, und die alte Konstante π beginnt sich aus Kratzern, Fehlern und dem schmalen Zufall des Winkels herauszuschälen.
Im Jahr 1777 stellte Georges-Louis Leclerc, Comte de BuffonPersonGeorges-Louis Leclerc, Comte de BuffonGeorges-Louis Leclerc, Comte de Buffon was an eighteenth-century French naturalist and mathematician, best known for his vast Histoire naturelle. His work ranged from zoology and geology to the mathematics of chance. In 1777 he published the needle problem that made random geometry a serious object of calculation.乔治-路易·勒克莱尔，布封伯爵是18世纪法国的博物学家和数学家，以其宏大的《自然史》最为著名。他的研究范围涵盖了动物学、地质学以及概率数学。1777年，他发表了“布丰投针问题”，使随机几何成为严肃的计算对象。Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon fue un naturalista y matemático francés del siglo XVIII, más conocido por su extensa Histoire naturelle. Su obra abarcó desde la zoología y la geología hasta las matemáticas de la probabilidad. En 1777 publicó el problema de la aguja, que convirtió la geometría aleatoria en un objeto serio de cálculo.جورج لويس لوكير، كونت دي بوفون كان عالم طبيعة ورياضيات فرنسي في القرن الثامن عشر، ويُعرف بشكل رئيسي بعمله الواسع "تاريخ طبيعي". امتدت أعماله من علم الحيوانات والجيولوجيا إلى رياضيات الحظ. نشر في عام 1777 مسألة الإبرة التي جعلت الهندسة العشوائية موضوعًا جادًا للحساب.Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon foi um naturalista e matemático francês do século XVIII, mais conhecido por sua vasta Histoire naturelle. Seu trabalho abrangia desde a zoologia e a geologia até a matemática da casualidade. Em 1777 publicou o problema da agulha, que tornou a geometria aleatória um objeto sério de cálculo.जीओर्ज-लुई लेक्लेर, काउंट डी बफ़ॉन अठारहवीं शताब्दी के फ़्रांसीसी प्राकृतिक विज्ञानी और गणितज्ञ थे, जिनके लिए उनकी विशाल "हिस्तोयर नैचुरेल" के कारण वे प्रसिद्ध हैं। उनका कार्य जीवविज्ञान और भूविज्ञान से लेकर संभाव्यता के गणित तक फैला हुआ था। 1777 में उन्होंने एक समस्या प्रकाशित की, जिसके कारण यादृच्छिक ज्यामिति गणना का गम्भीर विषय बन गई।Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon adalah seorang naturalis dan matematikawan Prancis abad keduabelas, yang paling dikenal karena karyanya yang luas, Histoire naturelle. Karyanya mencakup berbagai bidang, dari zoologi dan geologi hingga matematika peluang. Pada tahun 1777 ia menerbitkan masalah jarum yang membuat geometri acak menjadi objek serius dalam perhitungan.Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon, fut un naturaliste et mathématicien français du xviiie siècle, surtout connu pour son vaste ouvrage intitulé Histoire naturelle. Son œuvre s'étendait de la zoologie et de la géologie aux mathématiques du hasard. En 1777, il publia le problème de l'aiguille, qui fit de la géométrie aléatoire un objet sérieux de calcul.ジョルジュ＝ルイ・レクルール、バフオン男爵は18世紀のフランスの自然学者で、大規模な『自然史』で最も知られている。彼の研究は動物学や地質学から確率の数学に至るまで幅広かった。1777年、彼はランダム幾何学を真剣な計算対象とした針の問題を発表した。Жорж-Луи Леклерк, граф Бюффон, был французским натурописцем и математиком XVIII века, наиболее известным своей обширной «Натуральной историей». Его работы охватывали зоологию и геологию, а также математику вероятностей. В 1777 году он опубликовал задачу о игле, которая сделала случайную геометрию серьёзным объектом вычислений.Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon, war ein französischer Naturforscher und Mathematiker des 18. Jahrhunderts, am besten bekannt für sein umfassendes Werk Histoire naturelle. Seine Arbeit erstreckte sich von der Zoologie und Geologie bis hin zur Mathematik des Zufalls. 1777 veröffentlichte er das Nadelproblem, das die zufällige Geometrie zu einem ernstzunehmenden Gegenstand der Berechnung machte.조르주 루이 르클레르 코뮌 드 뷔퐁은 18세기 프랑스의 자연주의자이자 수학자로, 방대한 『자연사』로 가장 유명하다. 그의 연구 분야는 동물학과 지질학에서부터 확률의 수학에 이르기까지 폭넓었다. 1777년 그는 확률 기하학을 진지한 계산 대상으로 만든 핀 문제를 발표했다. ein Problem auf, das so einfach war, dass es mit einem Blatt Papier und einer Nadel inszeniert werden konnte. Zeichne parallele Linien im gleichen Abstand. Lass eine Nadel zufällig fallen. Frage nach der Wahrscheinlichkeit, dass sie eine Linie kreuzt. Es war ein Salonexperiment mit scharfer Kante: die Antwort enthielt piConceptpiPi is the ratio of a circle's circumference to its diameter, approximately 3.14159. It appears first as a fact of circular geometry, but it recurs through analysis, probability, physics and number theory. In Buffon's needle problem it arises from averaging all possible orientations of a line segment.圆周率π是一个圆的周长与直径的比值，约为3.14159。它最初作为圆的几何特性出现，但随后在分析学、概率论、物理学和数论中反复出现。在布丰投针问题中，它来源于对线段所有可能方向的平均计算。Pi es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, aproximadamente 3,14159. Aparece en un primer momento como un hecho de la geometría circular, pero vuelve a aparecer a lo largo del análisis, la probabilidad, la física y la teoría de números. En el problema de la aguja de Buffon surge al promediar todas las orientaciones posibles de un segmento de línea.العدد باي هو نسبة محيط الدائرة إلى قطرها، ويُقدر بحوالي 3.14159. يظهر لأول مرة كمعلومة هندسية تتعلق بالدوائر، لكنه يتكرر في التحليل والاحتمالات والفيزياء ونظرية الأعداد. في مسألة إبرة بوفون، يظهر من متوسط جميع الاتجاهات الممكنة لقطعة مستقيمة.Pi é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro, aproximadamente 3,14159. Aparece pela primeira vez como fato da geometria circular, mas recorre através da análise, probabilidade, física e teoria dos números. No problema da agulha de Buffon, surge a partir da média de todas as orientações possíveis de um segmento de reta.π एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात है, लगभग 3.14159। यह सर्वप्रथम वृत्तीय ज्यामिति के तथ्य के रूप में प्रकट होता है, लेकिन विश्लेषण, संभाव्यता, भौतिकी और संख्या सिद्धांत में इसकी पुनरावृत्ति होती है। बफ़ोन की सुई की समस्या में एक रेखाखंड की सभी संभावित दिशाओं के औसत से यह उत्पन्न होता है।Pi adalah rasio keliling lingkaran terhadap diameternya, sekitar 3,14159. Pi muncul pertama kali sebagai fakta dalam geometri lingkaran, tetapi muncul kembali dalam analisis, probabilitas, fisika, dan teori bilangan. Dalam permasalahan jarum Buffon, Pi muncul dari rata-rata semua orientasi yang mungkin dari sebuah segmen garis.Pi est le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre, environ 3,14159. Il apparaît d'abord comme une propriété géométrique des cercles, mais il se retrouve ensuite en analyse, en probabilité, en physique et en théorie des nombres. Dans le problème de l'aiguille de Buffon, il émerge en prenant la moyenne de toutes les orientations possibles d'un segment de droite.円周率（パイ）は、円の円周長とその直径の比であり、約3.14159である。これは最初に円形幾何学における事実として現れるが、解析学、確率論、物理学および数論においても繰り返し登場する。バッフォンの針の問題では、線分の可能なすべての方位を平均することによって現れる。Число π представляет собой отношение длины окружности к её диаметру, приблизительно 3,14159. Оно впервые появляется как геометрический факт, связанный с окружностью, но затем встречается в анализе, теории вероятностей, физике и теории чисел. В задаче Бюффона о булавле оно возникает при усреднении всех возможных ориентаций отрезка прямой.π ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser und beträgt ungefähr 3,14159. Es tritt zuerst als geometrische Eigenschaft von Kreisen auf, taucht jedoch wiederholt in der Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Physik und Zahlentheorie auf. Beim Buffonschen Nadelproblem entsteht es aus der Durchschnittsbildung aller möglichen Ausrichtungen eines Liniensegments.원주율(π)은 원의 둘레와 지름의 비율로, 약 3.14159이다. 원의 기하학적 성질로서 처음 등장하지만, 해석학, 확률론, 물리학, 수론 등 여러 분야에서 반복적으로 나타난다. 버프론의 바늘 문제에서는 선분의 가능한 모든 방향의 평균을 구하면서 등장한다..
Buffon versuchte nicht, einen Scherz für den Unterricht zu erfinden. Sein Essai d'arithmetique morale gehörte zu einer neuen Unruhe um Zufall, Nutzen und Erwartung, einer Zeit, als probabilityConceptprobabilityProbability is the mathematics of uncertain events. It began with problems in games of chance and grew into a language for risk, evidence, physics and statistics. By the eighteenth century, mathematicians were extending it beyond dice and cards into continuous settings where outcomes form regions rather than countable cases.概率论是对不确定事件的数学研究。它最初起源于对机会游戏问题的研究，后来发展成为描述风险、证据、物理和统计学的一种语言。到18世纪时，数学家们已将其应用范围从骰子和纸牌扩展到连续情形，其中结果形成区域而非可数的情况。La probabilidad es la matemática de los eventos inciertos. Comenzó con problemas en juegos de azar y se convirtió en un lenguaje para el riesgo, la evidencia, la física y la estadística. Para el siglo XVIII, los matemáticos ya la estaban extendiendo más allá de los dados y las cartas hacia contextos continuos donde los resultados forman regiones en lugar de casos contables.الاحتمال هو رياضيات الأحداث غير المؤكدة. بدأ مع مشاكل في ألعاب المقامرة، وانتهى بتصبح لغة للخطر والدلائل والفيزياء والإحصاء. بحلول القرن الثامن عشر، كان الرياضياتيون يمتدون بها إلى ما وراء النرد والبطاقات إلى الأوضاع المستمرة حيث تشكل النتائج مناطق بدلًا من الحالات العدديّة.A probabilidade é a matemática dos eventos incertos. Começou com problemas em jogos de azar e evoluiu para uma linguagem para risco, evidência, física e estatística. Até o século XVIII, matemáticos estavam a estendê-la além dos dados e cartas para situações contínuas, onde os resultados formam regiões em vez de casos contáveis.संभाव्यता अनिश्चित घटनाओं की गणित है। इसकी शुरुआत संभावना के खेलों से हुई और यह जोखिम, साक्ष्य, भौतिकी और सांख्यिकी की भाषा में विकसित हुई। अठारहवीं शताब्दी तक, गणितज्ञ इसे पासे और ताश के पत्तों से आगे बढ़ाकर ऐसे निरंतर स्थितियों में लागू करने लगे जहां परिणाम क्षेत्र बनाते हैं जबकि गिने जा सकने वाले मामले नहीं।Probabilitas adalah matematika dari kejadian yang tidak pasti. Awalnya muncul dari masalah dalam permainan keberuntungan, lalu berkembang menjadi bahasa untuk risiko, bukti, fisika, dan statistik. Pada abad kedelapan belas, para matematikawan mulai mengembangkannya melebihi dadu dan kartu ke dalam konteks kontinu di mana hasilnya membentuk daerah daripada kasus yang dapat dihitung.La probabilité est la mathématique des événements incertains. Elle a débuté avec des problèmes liés aux jeux de hasard et s'est développée en un langage pour exprimer le risque, les preuves, la physique et la statistique. Dès le XVIIIe siècle, les mathématiciens l'étendaient au-delà des dés et des cartes vers des contextes continus où les résultats forment des régions plutôt que des cas dénombrables.確率とは、不確実な事象を扱う数学の分野である。当初は、賭け事の問題から始まり、やがてリスク、証拠、物理学、統計学を表現する言語として発展した。18世紀までに、数学者たちはサイコロやトランプの問題にとどまらず、結果が個別に数えられるケースではなく領域を形成する連続的な設定へとその応用範囲を広げていた。Вероятность — это математика неопределённых событий. Она возникла из задач, связанных с азартными играми, и превратилась в язык для описания риска, доказательств, физики и статистики. К XVIII веку математики уже применяли её за пределами игральных костей и карт в непрерывных ситуациях, где результаты образуют области, а не счётные случаи.Wahrscheinlichkeit ist die Mathematik unsicherer Ereignisse. Sie begann mit Problemen in Glücksspielen und entwickelte sich zu einer Sprache für Risiko, Beweise, Physik und Statistik. Bis ins achtzehnte Jahrhundert hinüber erweiterten Mathematiker sie jenseits von Würfeln und Karten auf kontinuierliche Bereiche, in denen Ergebnisse Regionen statt abzählbarer Fälle bilden.확률은 불확실한 사건의 수학이다. 확률은 기회의 게임에서의 문제에서 시작하여 위험, 증거, 물리학 및 통계학의 언어로 발전하였다. 18세기까지 수학자들은 주사위와 카드를 넘어서 연속적인 상황으로 확률을 확장하여, 결과가 개수를 세어 셀 수 있는 경우가 아니라 영역을 이루는 경우를 다루게 되었다. vom Glücksspiel in die Rechtswissenschaft, die Versicherungswirtschaft und die Naturphilosophie wanderte. Das Nadelproblem nahm den Zufall von den Würfeln und setzte ihn in den Raum. Statt zu fragen, wie viele Seiten ein Würfel zeigen könnte, fragte es, wie ein physisches Objekt in einem kontinuierlichen Feld möglicher Positionen landen könnte.
Nehmen wir den einfachsten Fall. Die Linien sind im Abstand d voneinander. Die Nadel hat die Länge l, nicht länger als d. Sobald sie landet, zählen zwei Größen: der Abstand x ihres Mittelpunkts von der nächsten Linie, und der spitze Winkel theta, den die Nadel mit den Linien bildet. Die Nadel kreuzt, wenn x nicht größer ist als die Hälfte ihrer projizierten Höhe: (l/2) sin theta.
A linen-covered eighteenth-century writing desk holds a sheet of paper ruled with evenly sIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Die Fläche unter der Sinuskurve
Die Berechnung ist kurz, aber sie veränderte die Art, wie Wahrscheinlichkeit als Objekt verstanden werden konnte. Der Mittelpunkt der Nadel kann überall zwischen 0 und d/2 von der nächsten Linie liegen. Der Winkel kann überall zwischen 0 und pi/2 liegen. Diese beiden Variablen bilden ein Rechteck möglicher Fälle. Innerhalb davon liegt die gekrümmte Region, in der x <= (l/2) sin theta. Ihr Flächeninhalt ist das Integral von (l/2) sin theta zwischen 0 und pi/2, was einfach l/2 ergibt.
Teilt man diese günstige Fläche durch das gesamte Rechteck, (d/2)(pi/2), dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeit einer Kreuzung zu 2l/(pi d). Wenn die Nadel genau so lang ist wie der Abstand zwischen den Linien, l = d, vereinfacht sich der Ausdruck zu 2/pi. Eine runde Konstante ist durch die Hintertür hereingekommen, nicht weil jemand einen Kreis gemessen hatte, sondern weil alle Ausrichtungen der Nadel gezählt werden mussten.
A human hand releases a slender metal needle above a wooden surface featuring parallel inlIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Das war die kleine Geburt von geometric probabilityConceptgeometric probabilityGeometric probability studies chance by measuring lengths, areas, volumes or other geometric sets of possible outcomes. Buffon's needle is its classic early example: the answer comes from comparing a favourable region under a sine curve with a rectangle of all possible needle positions and angles.几何概率通过测量长度、面积、体积或其他几何集合的可能结果来研究概率。布丰的投针问题是其经典的早期例子：答案来自于将正弦曲线下的有利区域与所有可能的针的位置和角度所组成的矩形进行比较。La probabilidad geométrica estudia el azar midiendo longitudes, áreas, volúmenes u otros conjuntos geométricos de resultados posibles. La aguja de Buffon es su ejemplo clásico temprano: la respuesta proviene al comparar una región favorable bajo una curva seno con un rectángulo que contiene todas las posiciones y ángulos posibles de la aguja.تدرس الاحتمالات الهندسية الاحتمال من خلال قياس الطول أو المساحة أو الحجم أو مجموعات هندسية أخرى من النتائج الممكنة. تُعد مسألة إبرة بوفون مثالاً كلاسيكياً مبكرًا: حيث يُستنتج الجواب من خلال مقارنة منطقة مواتية تحت منحنى الجيب بمستطيل يمثل جميع مواقف الإبرة الممكنة وزواياها.A probabilidade geométrica estuda a chance medindo comprimentos, áreas, volumes ou outros conjuntos geométricos de resultados possíveis. A agulha de Buffon é seu exemplo clássico inicial: a resposta surge ao comparar uma região favorável sob uma curva senoidal com um retângulo contendo todas as posições e ângulos possíveis da agulha.ज्यामितीय संभाव्यता परिणामों के संभावित समुच्चय के रूप में लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन या अन्य ज्यामितीय समुच्चय के मापन द्वारा संभावना का अध्ययन करती है। बफ़न की सुई इसका एक प्रारंभिक उदाहरण है: उत्तर एक साइन वक्र के तहत एक लाभप्रद क्षेत्र की तुलना सभी संभावित सुई स्थितियों और कोणों के एक आयत के साथ करके प्राप्त होता है।Probabilitas geometris mempelajari peluang dengan mengukur panjang, luas, volume, atau himpunan geometris lain dari hasil yang mungkin. Contoh klasik awalnya adalah jarum Buffon: jawabannya diperoleh dengan membandingkan daerah yang menguntungkan di bawah kurva sinus dengan persegi panjang yang mencakup semua posisi dan sudut jarum yang mungkin.La probabilité géométrique étudie le hasard en mesurant des longueurs, des aires, des volumes ou d'autres ensembles géométriques d'événements possibles. L'aiguille de Buffon en est un exemple classique du début de cette discipline : la réponse provient d'une comparaison d'une région favorable sous une courbe sinus avec un rectangle contenant toutes les positions et angles possibles de l'aiguille.幾何確率論は、長さや面積、体積、あるいはその他の幾何的集合を測定することによって確率を研究する。バッフォンの針問題はその古典的な初期の例である。この問題の答えは、正弦曲線の下にある有利な領域を、針の位置と角度のすべての可能な長方形領域と比較することによって得られる。Геометрическая вероятность изучает вероятность, измеряя длины, площади, объемы или другие геометрические множества возможных исходов. Примером классической ранней задачи является игла Бюффона: ответ находится путем сравнения благоприятной области под синусоидальной кривой с прямоугольником всех возможных положений и углов иглы.Die geometrische Wahrscheinlichkeit untersucht das Zufallsereignis durch die Messung von Längen, Flächen, Volumina oder anderen geometrischen Mengen möglicher Ergebnisse. Das „Nadelproblem“ von Buffon ist ihr klassisches frühes Beispiel: die Lösung ergibt sich aus dem Vergleich einer günstigen Region unter einer Sinuslinie mit einem Rechteck aller möglichen Nadelpositionen und Winkel.기하 확률은 길이, 면적, 부피 또는 다른 기하학적 집합의 가능한 결과를 측정함으로써 확률을 연구한다. 버퐁의 바늘은 이 분야의 고전적인 초기 예시로, 정현 곡선 아래의 유리한 영역을 바늘의 가능한 모든 위치와 각도를 포함하는 직사각형과 비교함으로써 답을 얻는다.. Diskrete Wahrscheinlichkeit kann Fälle zählen: Kopf oder Zahl, sechs Seiten eines Würfels, zweiundfünfzig Karten. Buffons Problem erforderte eine Messung über ein Kontinuum. Es fragte, wie viel eines geometrischen Raums Erfolg entsprach. Spätere Mathematiker würden diese Sprache formaler fassen, aber die entscheidende Bewegung ist bereits in der Nadel verankert: Zählen durch Fläche ersetzen, und Zufall wird Geometrie.
Für pi werfen
Die Formel lässt sich umdrehen. Wenn n Nadeln fallen gelassen werden und h eine Linie kreuzen, dann schätzt h/n die Wahrscheinlichkeit der Kreuzung ab. Umstellen ergibt pi ungefähr gleich 2ln/(dh). Die Arithmetik ist fast beleidigend einfach. Die Arbeit liegt darin, die Würfe wirklich zufällig zu machen und zu akzeptieren, wie langsam Zufall seine Schulden begleicht.
A close macro view shows one metal needle crossing a deep groove in a wooden board while aIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Nineteenth-century Experimentatoren versuchten es trotzdem. Der Schweizer Astronom Rudolf Wolf berichtete um 1850 von 5.000 Würfen und erhielt einen Wert nahe 3,1596. A. Hall veröffentlichte 1873 eine experimentelle Bestimmung. Im Jahr 1901 gab Mario LazzariniPersonMario LazzariniMario Lazzarini was an Italian mathematician associated with a celebrated 1901 report on Buffon's needle. He claimed to have estimated pi as 355/113 from 3,408 needle drops, an accuracy so striking that later writers have questioned whether the experiment was stopped, selected or intended as a mathematical joke.马里奥·拉扎里尼是一位意大利数学家，因1901年关于布丰针问题的著名报告而知名。他声称通过3408次投针实验，将圆周率π估算为355/113，其精度之高令人惊讶，后来的作者因此质疑该实验是否被人为停止或选择性记录，甚至可能是出于数学玩笑的目的而设计的。Mario Lazzarini fue un matemático italiano asociado con un celebrado informe de 1901 sobre la aguja de Buffon. Afirmó haber estimado pi como 355/113 tras 3 408 lanzamientos de agujas, una precisión tan notable que escritores posteriores se han preguntado si el experimento fue interrumpido, seleccionado o si se pretendía como una broma matemática.مARIO لازاريني هو عالم رياضيات إيطالي تربطه صلة بالรายงาน المشهور لعام 1901 حول إبرة بوفون. فقد زعم أنه حسب قيمة باي على أنها 355/113 من خلال 3408 تجربة إسقاط إبرة، ودقة هذا التقدير كانت هائلة لدرجة أن المؤلفين اللاحقين شككوا فيما إذا تم إيقاف التجربة، أو اختيار النتائج، أو أن التجربة كانت مزحة رياضية مقصودة.Mario Lazzarini foi um matemático italiano associado a um celebrado relatório de 1901 sobre o problema da agulha de Buffon. Ele alegou ter estimado pi como 355/113 a partir de 3.408 lançamentos de agulhas, uma precisão tão notável que escritores posteriores questionaram se o experimento foi interrompido, selecionado ou se destinava a ser uma brincadeira matemática.मारियो लाज़ारिनी एक इतालवी गणितज्ञ थे जो बफ़न की सुई पर 1901 की प्रसिद्ध रिपोर्ट से जुड़े हुए थे। उन्होंने 3,408 सुई गिराने के बाद दावा किया कि वे pi को 355/113 के रूप में अनुमानित कर सकते हैं, जो इतनी शानदार सटीकता के साथ है कि बाद के लेखकों ने यह सवाल उठाया है कि क्या प्रयोग बंद कर दिया गया था, चयनित किया गया था या गणितीय उपहास के रूप में निर्धारित किया गया था।Mario Lazzarini adalah seorang matematikawan Italia yang dikaitkan dengan laporan terkenal tahun 1901 mengenai jarum Buffon. Ia mengklaim telah memperkirakan nilai pi sebagai 355/113 dari 3.408 kali melemparkan jarum, sebuah akurasi yang begitu mengejutkan sehingga penulis-penulis selanjutnya mempertanyakan apakah eksperimen tersebut dihentikan, disaring, atau dimaksudkan sebagai lelucon matematis.Mario Lazzarini fut un mathématicien italien associé à un célèbre rapport de 1901 sur l’aiguille de Buffon. Il affirma avoir estimé pi comme étant égal à 355/113 à partir de 3 408 lancers d’aiguille, une précision si remarquable que des auteurs ultérieurs se sont interrogés sur le fait de savoir si l’expérience avait été arrêtée, sélectionnée ou conçue comme une plaisanterie mathématique.マリオ・ラザリニは、1901年のバッフォンの針に関する著名な報告書に関連したイタリアの数学者である。彼は3,408回の針を落とす実験を通じて、円周率を355/113と推定した。その精度は際立っており、後年の研究者はこの実験が終了した時点で結果が選定されたのか、あるいは単なる数学的ジョークであったのかを疑問視している。Марио Лазарини — итальянский математик, связанный с известным докладом 1901 года о игле Бюффона. Он утверждал, что оценил число пи как 355/113, используя 3408 бросков иглы, что настолько удивительно точно, что позднейшие авторы поставили под сомнение, не было ли эксперимент остановлен, подобран или же задуман как математический шут.Mario Lazzarini war ein italienischer Mathematiker, der mit einem berühmten Bericht von 1901 über das Nadelproblem von Buffon in Verbindung gebracht wird. Er behauptete, er habe π durch 355/113 aus 3408 Nadelwürfen geschätzt, eine Genauigkeit, die so bemerkenswert ist, dass spätere Autoren sich gefragt haben, ob das Experiment beendet, ausgewählt oder als mathematischer Witz gemeint war.마리오 라자리니(Mario Lazzarini)는 버논의 바늘(Buffon's needle)에 관한 1901년 유명한 보고서와 관련된 이탈리아 수학자이다. 그는 3,408번의 바늘 던지기 실험을 통해 원주율을 355/113으로 추정하였다. 이는 놀랄 만큼 정확한 수치로, 후에 이 실험이 중단되었거나 일부러 선택되었거나, 혹은 수학적 농담이 의도되었는지에 대해 의문을 제기하는 이들이 있었다. etwas viel Präziseres an: 3.408 Würfe von Nadeln mit 25 Millimetern Länge auf Linien mit 30 Millimetern Abstand, was 355/113 ergab, die berühmte sechsstellige Näherung 3,1415929.
Lazzarinis Ergebnis hat sich immer zu glatt angehört. Mit seinem Verhältnis l/d = 5/6 wird die Formel besonders freundlich zu 355/113, und spätere Statistiker haben den Bericht mit Misstrauen betrachtet: Vielleicht abgebrochen zu einem günstigen Zeitpunkt, vielleicht ausgewählt, vielleicht geschrieben mit einem Augenzwinkern für Lehrer statt als ernste Messung. Der Punkt ist nicht, dass Buffons Formel versagt. Es ist, dass physischer Zufall eine schlechte Dienerin ist, wenn zu viele Dezimalstellen verlangt werden.
Trotzdem war die Handlung wichtig. Eine Näherung von pi durch die Zählung von Nadelkreuzungen ist eine Berechnung mit Zufall. Lange vor elektronischen Computern bot Buffons Tisch eine Analogsimulation: eine stochastische Maschine aus Holz, Tinte und fallendem Metall.
Von Nadeln zu Monte Carlo
In den späten 1940er Jahren erhielt der Ausdruck Monte Carlo methodConceptMonte Carlo methodThe Monte Carlo method uses repeated random sampling to estimate quantities that are hard to compute directly. The name was coined in the mid-twentieth century during work at Los Alamos, but its ancestry reaches back to experiments such as Buffon's needle, where chance is used as a calculating device.蒙特卡罗方法利用重复的随机抽样来估算难以直接计算的数量。这一名称诞生于二十世纪中期洛斯阿拉莫斯的研究工作，但它的起源可以追溯到布丰针实验等早期实验，在这些实验中，概率被用作计算工具。El método Monte Carlo utiliza muestreo aleatorio repetido para estimar cantidades que resultan difíciles de calcular directamente. El nombre fue acuñado a mediados del siglo veinte durante trabajos en Los Alamos, pero su ascendencia se remonta a experimentos como la aguja de Buffon, donde el azar se emplea como dispositivo de cálculo.تستخدم طريقة مونتي كارلو أخذ العينات العشوائية المتكررة لتقدير الكميات التي من الصعب حسابها مباشرة. سُمِّيت الطريقة بهذا الاسم في منتصف القرن العشرين أثناء العمل في لوس ألاموس، لكن جذورها تعود إلى تجارب مثل عود بافون، حيث تُستخدم الفرصة كجهاز حسابي.O método Monte Carlo utiliza amostragem aleatória repetida para estimar quantidades difíceis de serem calculadas diretamente. O nome foi cunhado na segunda metade do século XX durante trabalhos em Los Alamos, mas sua ascendência remonta a experimentos como a agulha de Buffon, nos quais o acaso é usado como um dispositivo de cálculo.मॉन्टे कार्लो विधि के उपयोग से द्वारा सीधे गणना करने में कठिन मात्राओं का अनुमान बनाया जाता है। इसका नाम मध्य बीसवीं शताब्दी में लॉस एलमोस में कार्य के दौरान रखा गया था, लेकिन इसकी वंशवृति बफोन की सुई जैसे प्रयोगों तक पहुंचती है, जहां अवसर के उपयोग की गणना करने की एक युक्ति के रूप में की गई थी।Metode Monte Carlo menggunakan pengambilan sampel acak berulang untuk memperkirakan kuantitas yang sulit dihitung secara langsung. Nama ini diciptakan pada pertengahan abad kedua puluh selama pekerjaan di Los Alamos, tetapi asal usulnya dapat dilacak kembali ke eksperimen seperti jarum Buffon, di mana kebetulan digunakan sebagai alat perhitungan.La méthode Monte Carlo utilise un échantillonnage aléatoire répété pour estimer des quantités difficiles à calculer directement. Le nom a été forgé au milieu du vingtième siècle lors des travaux à Los Alamos, mais ses origines remontent à des expériences telles que l'aiguille de Buffon, où le hasard est utilisé comme dispositif de calcul.モンテカルロ法は、直接計算するのが困難な数量を推定するために、繰り返し無作為サンプリングを行う手法である。この名称は20世紀半ばにロスアラモスでの研究中に造られたが、その起源はバッフォンの針などの実験にまで遡り、これらは確率を計算装置として用いるものである。Метод Монте-Карло использует многократное случайное выборочное исследование для оценки величин, которые сложно вычислить напрямую. Название метода появилось в середине двадцатого века во время работ в Лос-Аламосе, но его происхождение связано с такими экспериментами, как игла Бюффона, где случайность используется как вычислительное устройство.Die Monte-Carlo-Methode verwendet wiederholte zufällige Stichproben, um Größen zu schätzen, die sich direkt schwer berechnen lassen. Der Name wurde Mitte des zwanzigsten Jahrhunderts während der Arbeit am Los Alamos National Laboratory geprägt, doch ihre Ursprünge reichen bis zu Experimenten wie dem Nadelproblem von Buffon zurück, bei dem das Zufallsprinzip als Rechenhilfe eingesetzt wird.몬테카를로 방법은 직접 계산하기 어려운 수량을 추정하기 위해 반복적인 확률적 표본추출을 사용한다. 이 방법의 이름은 20세기 중반 로스앨러모스에서의 연구 중 지어졌지만, 그 기원은 버퐁의 바늘 실험과 같이 확률을 계산 도구로 활용한 이전의 실험들로까지 거슬러 올라간다. seine moderne Bedeutung in Los Alamos, wo John von NeumannPersonJohn von NeumannHungarian-American polymath (1903–1957) who made foundational contributions to set theory, quantum mechanics, game theory, computing, and nuclear weapons design. Present at the 1930 Königsberg conference where Gödel first hinted at incompleteness, he was reportedly the only attendee who grasped the result on the spot and independently derived the second incompleteness theorem within weeks.匈牙利裔美国博学者（1903—1957），在集合论、量子力学、博弈论、计算与核武器设计等领域作出奠基性贡献。1930 年哥廷根会议上，哥德尔首次暗示不完备性结果时他在场，据称是当场唯一领会其要义的与会者，并在数周内独立推导出第二不完备性定理。Polímata húngaro-estadounidense (1903-1957) que realizó contribuciones fundamentales a la teoría de conjuntos, la mecánica cuántica, la teoría de juegos, la computación y el diseño de armas nucleares. Presente en la conferencia de Königsberg de 1930, donde Gödel insinuó por primera vez la incompletitud, fue, según se dice, el único asistente que captó el resultado en el acto y dedujo de forma independiente el segundo teorema de incompletitud en cuestión de semanas.عالم موسوعي مجري-أمريكي (1903–1957) قدّم إسهامات تأسيسية في نظرية المجموعات وميكانيكا الكم ونظرية الألعاب والحوسبة وتصميم الأسلحة النووية. حضر مؤتمر كونيغسبرغ عام 1930 حيث ألمح غودل لأول مرة إلى نظرية عدم الاكتمال، ويُقال إنه كان الحاضر الوحيد الذي استوعب النتيجة على الفور، واستنتج بشكل مستقل نظرية عدم الاكتمال الثانية في غضون أسابيع.Polímata húngaro-americano (1903–1957) que deu contribuições fundamentais à teoria dos conjuntos, à mecânica quântica, à teoria dos jogos, à computação e ao projeto de armas nucleares. Presente na conferência de Königsberg de 1930, onde Gödel insinuou pela primeira vez a incompletude, foi, segundo relatos, o único participante a captar o resultado imediatamente e a deduzir de forma independente o segundo teorema da incompletude em poucas semanas.हंगेरियाई-अमेरिकी बहुश्रुत विद्वान (1903–1957) जिन्होंने समुच्चय सिद्धांत, क्वांटम यांत्रिकी, खेल सिद्धांत, संगणन और परमाणु हथियार अभिकल्पना में आधारभूत योगदान दिए। 1930 के कोनिग्सबर्ग सम्मेलन में उपस्थित, जहाँ गोडेल ने पहली बार अपूर्णता का संकेत दिया था, वे कथित रूप से एकमात्र ऐसे श्रोता थे जिन्होंने उसी क्षण इस परिणाम को समझ लिया और कुछ ही सप्ताहों के भीतर स्वतंत्र रूप से द्वितीय अपूर्णता प्रमेय की व्युत्पत्ति कर ली।Polimat Hungaria-Amerika (1903–1957) yang memberikan kontribusi fundamental pada teori himpunan, mekanika kuantum, teori permainan, komputasi, dan desain senjata nuklir. Hadir pada konferensi Königsberg 1930 ketika Gödel pertama kali mengisyaratkan ketidaklengkapan, ia dilaporkan sebagai satu-satunya peserta yang langsung memahami hasil tersebut di tempat dan secara independen menurunkan teorema ketidaklengkapan kedua dalam hitungan minggu.Polymathe américano-hongrois (1903-1957) qui apporta des contributions fondamentales à la théorie des ensembles, à la mécanique quantique, à la théorie des jeux, à l'informatique et à la conception des armes nucléaires. Présent à la conférence de Königsberg de 1930 où Gödel évoqua pour la première fois l'incomplétude, il fut, dit-on, le seul participant à saisir le résultat sur-le-champ et à dériver indépendamment le second théorème d'incomplétude en l'espace de quelques semaines.ハンガリー系アメリカ人の博学者（1903–1957）。集合論、量子力学、ゲーム理論、計算機科学、核兵器設計に基礎的な貢献をなした。1930年のケーニヒスベルク会議に出席し、ゲーデルが不完全性を初めて示唆した際、その結果をその場で把握した唯一の参加者であったと伝えられ、数週間のうちに第二不完全性定理を独自に導出した。Венгеро-американский эрудит (1903–1957), внёсший фундаментальный вклад в теорию множеств, квантовую механику, теорию игр, вычислительную технику и конструирование ядерного оружия. Присутствовал на Кёнигсбергской конференции 1930 года, где Гёдель впервые намекнул на неполноту; по имеющимся свидетельствам, он был единственным из участников, кто сразу осознал результат, и в течение нескольких недель самостоятельно вывел вторую теорему о неполноте.Ungarisch-amerikanischer Universalgelehrter (1903–1957), der grundlegende Beiträge zur Mengenlehre, Quantenmechanik, Spieltheorie, Informatik und zum Entwurf von Kernwaffen leistete. Anwesend auf der Königsberger Tagung 1930, auf der Gödel erstmals die Unvollständigkeit andeutete, soll er der einzige Teilnehmer gewesen sein, der das Ergebnis sofort erfasste, und leitete innerhalb weniger Wochen unabhängig den zweiten Unvollständigkeitssatz her.헝가리계 미국인 박학다식가(1903–1957)로, 집합론, 양자역학, 게임이론, 컴퓨팅, 핵무기 설계에 기초적인 기여를 했다. 1930년 쾨니히스베르크 회의에서 괴델이 불완전성을 처음 시사했을 때 참석했으며, 그 자리에서 결과를 즉시 이해한 유일한 참석자였다고 전해지고, 몇 주 만에 독자적으로 제2 불완전성 정리를 도출했다., Stanisław UlamPersonStanisław UlamStanisław Ulam was a Polish-American mathematician who worked at Los Alamos after the Second World War. He helped shape the modern Monte Carlo method, using random sampling to study problems in nuclear physics and computation. His career also touched set theory, topology, cellular automata and the design of early thermonuclear weapons.斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆（Stanisław Ulam）是一位波兰裔美国数学家，第二次世界大战后在洛斯阿拉莫斯工作。他帮助创立了现代蒙特卡洛方法，利用随机抽样研究核物理和计算中的问题。他的职业生涯还涉及集合论、拓扑学、细胞自动机以及早期热核武器的设计。Stanisław Ulam fue un matemático polaco-estadounidense que trabajó en Los Alamos tras la Segunda Guerra Mundial. Ayudó a desarrollar el moderno método Monte Carlo, que utiliza muestreo aleatorio para estudiar problemas de física nuclear y cálculo. Su carrera también abarcó la teoría de conjuntos, la topología, las máquinas celulares y el diseño de armas termonucleares tempranas.كان ستانيسلاف أولام عالم رياضيات بولندي-أمريكي عمل في لوس ألموس بعد الحرب العالمية الثانية. ساعد في تشكيل الطريقة الحديثة لمنطقة مونتي كارلو، باستخدام العينات العشوائية لدراسة المشكلات في الفيزياء النووية والحساب. شملت مسيرته المهنية أيضًا نظرية المجموعات والטופولوجيا والآلات الخلوية التلقائية والتصميم المبكر للأسلحة الحرارية النووية.Stanislaw Ulam foi um matemático polonês-americano que trabalhou em Los Alamos após a Segunda Guerra Mundial. Ele ajudou a desenvolver o método Monte Carlo moderno, usando amostragem aleatória para estudar problemas na física nuclear e computação. Sua carreira também abrangeu a teoria dos conjuntos, a topologia, os autômatos celulares e o desenho das primeiras armas termonucleares.स्टैनिस्लाव उलाम एक पोलिश-अमेरिकी गणितज्ञ थे जिन्होंने द्वितीय विश्व युद्ध के बाद लॉस एलमोस में काम किया। उन्होंने आधुनिक मॉन्टे कार्लो विधि का विकास किया, जिसमें नाभिकीय भौतिकी और कंप्यूटेशन में समस्याओं के अध्ययन के लिए यादृच्छिक नमूना लेने का उपयोग किया गया। उनके करियर में समुच्चय सिद्धांत, टोपोलॉजी, सेलुलर ऑटोमेटा और प्रारंभिक थर्मोन्यूक्लियर हथियारों के डिज़ाइन को भी छू लिया।Stanisław Ulam adalah seorang matematikawan Polandia-Amerika yang bekerja di Los Alamos setelah Perang Dunia Kedua. Ia membantu membentuk metode Monte Carlo modern, yang menggunakan sampel acak untuk mempelajari masalah dalam fisika nuklir dan komputasi. Kariernya juga meliputi teori himpunan, topologi, otomata seluler, serta desain senjata termonuklir awal.Stanisław Ulam fut un mathématicien polonais-américain qui travailla à Los Alamos après la Seconde Guerre mondiale. Il contribua à l'élaboration de la méthode moderne de Monte Carlo, utilisant l'échantillonnage aléatoire pour étudier des problèmes de physique nucléaire et de calcul. Sa carrière toucha également la théorie des ensembles, la topologie, les automates cellulaires et la conception des premières armes thermonucléaires.スタニスワフ・ウラムは第二次世界大戦後にロスアラモスで研究したポーランド出身のアメリカ人数学者である。モンテカルロ法の現代的な形を築くのに貢献し、核物理および計算における問題を確率的サンプリングによって研究した。彼の研究分野は集合論、位相幾何学、セル・オートマトンおよび初期の熱核融合兵器の設計にも及んでいる。Станислав Улам — польский и американский математик, работавший в Лос-Аламосе после Второй мировой войны. Он помог сформировать современный метод Монте-Карло, используя случайную выборку для изучения проблем в ядерной физике и вычислениях. Его карьера также касалась теории множеств, топологии, клеточных автоматов и разработки ранних термоядерных оружий.Stanisław Ulam war ein polnisch-amerikanischer Mathematiker, der nach dem Zweiten Weltkrieg am Los Alamos National Laboratory arbeitete. Er trug wesentlich zur Entwicklung der modernen Monte-Carlo-Methode bei, bei der zufällige Stichproben zur Untersuchung von Problemen in der Kernphysik und der Berechnung eingesetzt werden. Seine Karriere umfasste zudem die Mengenlehre, Topologie, zelluläre Automaten und das Design früher thermonuklearer Waffen.스테파니우 슐람(Stanisław Ulam)은 제2차 세계대전 이후 로스앨러모스에서 일한 폴란드계 미국 수학자였다. 그는 핵물리학과 계산 문제를 연구하기 위해 무작위 표집을 사용하는 현대 몬테카를로 방법의 발전에 기여했다. 그의 경력은 집합론, 위상수학, 세포 자동기 및 초기 열핵무기 설계에도 걸쳐졌다., Nicholas MetropolisPersonNicholas MetropolisNicholas Metropolis was a Greek-American physicist and computing pioneer at Los Alamos. He worked on early electronic computation and gave the Monte Carlo method its casino-derived name. His later work on sampling algorithms became central to computational physics, statistics and many forms of simulation.尼古拉斯·梅特罗波利斯（Nicholas Metropolis）是一位希腊裔美国物理学家，也是洛斯阿拉莫斯的计算机先驱。他从事早期电子计算的研究，并为蒙特卡洛方法起了这个源自赌场名称的方法。他后来在抽样算法方面的研究成为计算物理、统计学以及多种模拟方法的核心。Nicholas Metrópolis fue un físico y pionero de la computación griego-estadounidense que trabajó en Los Álamos. Trabajó en cálculos electrónicos tempranos y dio al método Monte Carlo su nombre derivado del casino. Su trabajo posterior sobre algoritmos de muestreo se convirtió en fundamental para la física computacional, la estadística y muchas formas de simulación.كان نيكولاس متروبوليس فيزيائيًا أمريكيًا من أصل يوناني وواحدًا من رواد الحواسيب في لوس ألاموس. عمل على الحوسبة الإلكترونية المبكرة وأعطى للطريقة الإحصائية "مونتي كارلو" اسمها المشتق من الكازينو. ساهمت أعماله اللاحقة على خوارزميات أخذ العينات في تشكيل جوهر الفيزياء الحاسوبية والإحصاء والكثير من أشكال المحاكاة.Nicholas Metropolis foi um físico e pioneiro da computação grego-americano que trabalhou no Laboratório de Los Alamos. Trabalhou na computação eletrônica inicial e deu ao método Monte Carlo seu nome derivado de cassino. Seu trabalho posterior sobre algoritmos de amostragem tornou-se central para a física computacional, estatística e muitas formas de simulação.निकोलस मेट्रोपोलिस एक यूनानी-अमेरिकी भौतिकविद और लॉस एलमोस में कम्प्यूटिंग के प्रारंभिक दौर के विशिष्ट व्यक्ति थे। उन्होंने प्रारंभिक इलेक्ट्रॉनिक कम्प्यूटेशन पर कार्य किया और मोंटे कार्लो विधि का उस जुए के नाम पर आधारित नाम दिया। उनके बाद के कार्य नमूना एल्गोरिदम पर केंद्रित थे, जो भौतिकी के कम्प्यूटेशनल, सांख्यिकी और अनेक प्रकार की सिमुलेशन में केंद्रीय भूमिका निभाते हैं।Nicholas Metropolis adalah seorang fisikawan dan pelopor komputasi berkebangsaan Yunani-Amerika yang bekerja di Los Alamos. Ia meneliti komputasi elektronik awal dan memberi nama metode Monte Carlo dengan sebutan yang berasal dari kasino. Karyanya kemudian tentang algoritma pengambilan sampel menjadi pusat dalam fisika komputasi, statistik, dan berbagai bentuk simulasi.Nicholas Metropolis fut un physicien grec-américain et un pionnier de l'informatique à Los Alamos. Il travailla sur les premiers calculs électroniques et donna à la méthode Monte Carlo son nom inspiré des casinos. Son travail ultérieur sur les algorithmes d'échantillonnage devint central en physique computationnelle, en statistique et dans de nombreuses formes de simulation.ニコラス・メトロポリスは、ギリシャ系アメリカ人の物理学者で、ロスアラモスで活躍した計算機科学の先駆者である。彼は初期の電子計算機の開発に携わり、「モンテカルロ法」というカジノ由来の名称を考案した。その後、サンプリングアルゴリズムに関する研究は、計算物理学、統計学およびさまざまなシミュレーションにおいて中心的な役割を果たすことになった。Николас Метрополис был греко-американским физиком и пионером вычислительной техники в Лос-Аламосе. Он работал над ранними электронными вычислениями и дал методу Монте-Карло его название, происходящее от казино. Его более поздняя работа по алгоритмам выборки стала центральной для вычислительной физики, статистики и многих видов моделирования.Nicholas Metropolis war ein griechisch-amerikanischer Physiker und Pionier der Informatik am Los Alamos National Laboratory. Er arbeitete an frühen elektronischen Rechenverfahren und gab der Monte-Carlo-Methode ihren namensgebenden Bezug zum Casino. Seine späteren Arbeiten zu Sampling-Algorithmen wurden zentral für die theoretische Physik, Statistik und viele Formen der Simulation.니콜라스 메트로폴리스는 그리스계 미국인 물리학자이자 로스앨러모스에서 활동한 컴퓨팅 분야의 선구자였다. 그는 초기 전자 계산기에 참여했으며, 몬테카를로 방법에 도박장에서 유래된 이름을 붙였다. 이후 그가 개발한 샘플링 알고리즘은 계산 물리학, 통계학 및 다양한 시뮬레이션 분야의 핵심이 되었다. und andere zufällige Stichproben verwendeten, um Probleme angriffen, die zu kompliziert waren, um direkt berechnet zu werden. Neutronen, die durch Materie wandern, mehrdimensionale Integrale, verzweigte Ketten möglicher Zukunft: diese waren keine Nadel-auf-Papier-Probleme, aber sie teilten das gleiche Risiko. Die Stichprobe des Raums ehrlich genug, und eine Größe, die in der Geometrie verborgen ist, beginnt sich zu zeigen.
A nineteenth-century wooden experiment table is covered with many scattered brass needlesIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Buffons Nadel ist daher sowohl Vorfahr als auch Warnung. Sie demonstriert das Monte-Carlo-Instinkt mit kaum Maschinerie, zeigt aber auch den Preis. Zufallsabschätzungen konvergieren mit einer Rate proportional zu einem über die Quadratwurzel der Anzahl der Versuche. Um eine weitere Dezimalstelle zu gewinnen, braucht man nicht zehnmal so viele Würfe, sondern ungefähr hundertmal so viele. Eine Million Nadeln wären immer noch eine ungeschickte Methode, um zu lernen, was ein Umfang bereits weiß.
Die Methode überlebte, weil pi nie der wahre Preis war. Die wichtige Tatsache war, dass eine Wahrscheinlichkeit für ein Integral stehen konnte. Buffons Kreuzungszahl misst die Fläche unter einer Sinuskurve, ohne diese Fläche direkt zu zeichnen. Moderne Simulationen tun das Gleiche in furchteinflößenderen Räumen, wo das Integral tausende Dimensionen haben und kein menschliches Bild mehr sein könnte.
A tidy tabletop reconstruction uses a set of identical metal needles and a board with grooIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Was die Nadel offen lässt
Das Wort zufällig tut mehr Arbeit, als es zunächst scheint. Buffons Herleitung setzt voraus, dass die Mittelposition und der Winkel gleichmäßig verteilt sind. Eine Hand, die eine Nadel fallen lässt, kann bestimmte Winkel bevorzugen; ein Brett kann Kanten haben; eine Nadel kann prallen, rollen oder hängen bleiben.
Es gibt auch die Frage, was Buffon tatsächlich tat, anstatt was er bewies. Geschichten von Brotlaiben, die über einen gefliesten Boden geworfen wurden, kursieren seit Generationen, doch die dokumentarische Grundlage ist dünn. Die Mathematik ist fester als die Anekdote.
A mid-century laboratory tabletop uses diceIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Lazzarini bleibt ein weiterer offener Fall. Seine Zahlen von 1901 sind berühmt, unter anderem, weil sie so gut sind, und verdächtig aus dem gleichen Grund. Ein Ergebnis kann mathematisch mit einem Experiment kompatibel sein und dennoch historisch schwer zu vertrauen sein.
Die tiefere Unsicherheit ist philosophisch. Wenn eine deterministische Welt eine Streuung von Ergebnissen liefert, wo genau tritt dann der Zufall ein: in der Unkenntnis, im physischen Chaos oder im Modell, das wir darauf anwenden? Buffons Nadel klärt die Frage nicht. Sie gibt ihr einen sauberen Boden und eine Linie zum Kreuzen.
Eine gefallene Nadel weiß nicht, was pi ist. Sie landet, oder sie verfehlt. Nur nach vielen solchen gleichgültigen Bewegungen verkündet der Kreis sich leise im Ledger der Kreuzungen.
على طاولة مُقاسة، تُحوّل إبرة مُتَّسِقة سَمَكةً دائرةً إلى عددٍ. اسقِها بِكَثرةٍ، احْسبِ الملامَسات، وابدأ بِرَقْمِ الثابتِ القديمِ "باي" يظهرُ منَ الخدوشِ، والانحرافاتِ، والنَّقْطَةِ الضَّيِّقَةِ من الزَّوَايَا.
في عام 1777، وضع Georges-Louis Leclerc, Comte de BuffonPersonGeorges-Louis Leclerc, Comte de BuffonGeorges-Louis Leclerc, Comte de Buffon was an eighteenth-century French naturalist and mathematician, best known for his vast Histoire naturelle. His work ranged from zoology and geology to the mathematics of chance. In 1777 he published the needle problem that made random geometry a serious object of calculation.乔治-路易·勒克莱尔，布封伯爵是18世纪法国的博物学家和数学家，以其宏大的《自然史》最为著名。他的研究范围涵盖了动物学、地质学以及概率数学。1777年，他发表了“布丰投针问题”，使随机几何成为严肃的计算对象。Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon fue un naturalista y matemático francés del siglo XVIII, más conocido por su extensa Histoire naturelle. Su obra abarcó desde la zoología y la geología hasta las matemáticas de la probabilidad. En 1777 publicó el problema de la aguja, que convirtió la geometría aleatoria en un objeto serio de cálculo.جورج لويس لوكير، كونت دي بوفون كان عالم طبيعة ورياضيات فرنسي في القرن الثامن عشر، ويُعرف بشكل رئيسي بعمله الواسع "تاريخ طبيعي". امتدت أعماله من علم الحيوانات والجيولوجيا إلى رياضيات الحظ. نشر في عام 1777 مسألة الإبرة التي جعلت الهندسة العشوائية موضوعًا جادًا للحساب.Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon foi um naturalista e matemático francês do século XVIII, mais conhecido por sua vasta Histoire naturelle. Seu trabalho abrangia desde a zoologia e a geologia até a matemática da casualidade. Em 1777 publicou o problema da agulha, que tornou a geometria aleatória um objeto sério de cálculo.जीओर्ज-लुई लेक्लेर, काउंट डी बफ़ॉन अठारहवीं शताब्दी के फ़्रांसीसी प्राकृतिक विज्ञानी और गणितज्ञ थे, जिनके लिए उनकी विशाल "हिस्तोयर नैचुरेल" के कारण वे प्रसिद्ध हैं। उनका कार्य जीवविज्ञान और भूविज्ञान से लेकर संभाव्यता के गणित तक फैला हुआ था। 1777 में उन्होंने एक समस्या प्रकाशित की, जिसके कारण यादृच्छिक ज्यामिति गणना का गम्भीर विषय बन गई।Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon adalah seorang naturalis dan matematikawan Prancis abad keduabelas, yang paling dikenal karena karyanya yang luas, Histoire naturelle. Karyanya mencakup berbagai bidang, dari zoologi dan geologi hingga matematika peluang. Pada tahun 1777 ia menerbitkan masalah jarum yang membuat geometri acak menjadi objek serius dalam perhitungan.Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon, fut un naturaliste et mathématicien français du xviiie siècle, surtout connu pour son vaste ouvrage intitulé Histoire naturelle. Son œuvre s'étendait de la zoologie et de la géologie aux mathématiques du hasard. En 1777, il publia le problème de l'aiguille, qui fit de la géométrie aléatoire un objet sérieux de calcul.ジョルジュ＝ルイ・レクルール、バフオン男爵は18世紀のフランスの自然学者で、大規模な『自然史』で最も知られている。彼の研究は動物学や地質学から確率の数学に至るまで幅広かった。1777年、彼はランダム幾何学を真剣な計算対象とした針の問題を発表した。Жорж-Луи Леклерк, граф Бюффон, был французским натурописцем и математиком XVIII века, наиболее известным своей обширной «Натуральной историей». Его работы охватывали зоологию и геологию, а также математику вероятностей. В 1777 году он опубликовал задачу о игле, которая сделала случайную геометрию серьёзным объектом вычислений.Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon, war ein französischer Naturforscher und Mathematiker des 18. Jahrhunderts, am besten bekannt für sein umfassendes Werk Histoire naturelle. Seine Arbeit erstreckte sich von der Zoologie und Geologie bis hin zur Mathematik des Zufalls. 1777 veröffentlichte er das Nadelproblem, das die zufällige Geometrie zu einem ernstzunehmenden Gegenstand der Berechnung machte.조르주 루이 르클레르 코뮌 드 뷔퐁은 18세기 프랑스의 자연주의자이자 수학자로, 방대한 『자연사』로 가장 유명하다. 그의 연구 분야는 동물학과 지질학에서부터 확률의 수학에 이르기까지 폭넓었다. 1777년 그는 확률 기하학을 진지한 계산 대상으로 만든 핀 문제를 발표했다. مشكلة بسيطة للغاية يمكن تمثيلها بورقة وبرادة خياطة. ارسم خطوطًا متوازية بمسافات متساوية. دع البرادة تهبط عشوائيًا. اسأل عن فرصة أن تتقاطب مع إحدى الخطوط. كان هذا تجربة في الغرفة مع حافة صعبة: كانت الإجابة تحتوي على piConceptpiPi is the ratio of a circle's circumference to its diameter, approximately 3.14159. It appears first as a fact of circular geometry, but it recurs through analysis, probability, physics and number theory. In Buffon's needle problem it arises from averaging all possible orientations of a line segment.圆周率π是一个圆的周长与直径的比值，约为3.14159。它最初作为圆的几何特性出现，但随后在分析学、概率论、物理学和数论中反复出现。在布丰投针问题中，它来源于对线段所有可能方向的平均计算。Pi es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, aproximadamente 3,14159. Aparece en un primer momento como un hecho de la geometría circular, pero vuelve a aparecer a lo largo del análisis, la probabilidad, la física y la teoría de números. En el problema de la aguja de Buffon surge al promediar todas las orientaciones posibles de un segmento de línea.العدد باي هو نسبة محيط الدائرة إلى قطرها، ويُقدر بحوالي 3.14159. يظهر لأول مرة كمعلومة هندسية تتعلق بالدوائر، لكنه يتكرر في التحليل والاحتمالات والفيزياء ونظرية الأعداد. في مسألة إبرة بوفون، يظهر من متوسط جميع الاتجاهات الممكنة لقطعة مستقيمة.Pi é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro, aproximadamente 3,14159. Aparece pela primeira vez como fato da geometria circular, mas recorre através da análise, probabilidade, física e teoria dos números. No problema da agulha de Buffon, surge a partir da média de todas as orientações possíveis de um segmento de reta.π एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात है, लगभग 3.14159। यह सर्वप्रथम वृत्तीय ज्यामिति के तथ्य के रूप में प्रकट होता है, लेकिन विश्लेषण, संभाव्यता, भौतिकी और संख्या सिद्धांत में इसकी पुनरावृत्ति होती है। बफ़ोन की सुई की समस्या में एक रेखाखंड की सभी संभावित दिशाओं के औसत से यह उत्पन्न होता है।Pi adalah rasio keliling lingkaran terhadap diameternya, sekitar 3,14159. Pi muncul pertama kali sebagai fakta dalam geometri lingkaran, tetapi muncul kembali dalam analisis, probabilitas, fisika, dan teori bilangan. Dalam permasalahan jarum Buffon, Pi muncul dari rata-rata semua orientasi yang mungkin dari sebuah segmen garis.Pi est le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre, environ 3,14159. Il apparaît d'abord comme une propriété géométrique des cercles, mais il se retrouve ensuite en analyse, en probabilité, en physique et en théorie des nombres. Dans le problème de l'aiguille de Buffon, il émerge en prenant la moyenne de toutes les orientations possibles d'un segment de droite.円周率（パイ）は、円の円周長とその直径の比であり、約3.14159である。これは最初に円形幾何学における事実として現れるが、解析学、確率論、物理学および数論においても繰り返し登場する。バッフォンの針の問題では、線分の可能なすべての方位を平均することによって現れる。Число π представляет собой отношение длины окружности к её диаметру, приблизительно 3,14159. Оно впервые появляется как геометрический факт, связанный с окружностью, но затем встречается в анализе, теории вероятностей, физике и теории чисел. В задаче Бюффона о булавле оно возникает при усреднении всех возможных ориентаций отрезка прямой.π ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser und beträgt ungefähr 3,14159. Es tritt zuerst als geometrische Eigenschaft von Kreisen auf, taucht jedoch wiederholt in der Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Physik und Zahlentheorie auf. Beim Buffonschen Nadelproblem entsteht es aus der Durchschnittsbildung aller möglichen Ausrichtungen eines Liniensegments.원주율(π)은 원의 둘레와 지름의 비율로, 약 3.14159이다. 원의 기하학적 성질로서 처음 등장하지만, 해석학, 확률론, 물리학, 수론 등 여러 분야에서 반복적으로 나타난다. 버프론의 바늘 문제에서는 선분의 가능한 모든 방향의 평균을 구하면서 등장한다..
لم يكن بوفون يحاول إنشاء حيلة في الفصل الدراسي. كان محاولة "إثبات حسابية أخلاقية" تابعة لقلق جديد حول الفرصة، والประโยชนات والانتظار، وهي فترة probabilityConceptprobabilityProbability is the mathematics of uncertain events. It began with problems in games of chance and grew into a language for risk, evidence, physics and statistics. By the eighteenth century, mathematicians were extending it beyond dice and cards into continuous settings where outcomes form regions rather than countable cases.概率论是对不确定事件的数学研究。它最初起源于对机会游戏问题的研究，后来发展成为描述风险、证据、物理和统计学的一种语言。到18世纪时，数学家们已将其应用范围从骰子和纸牌扩展到连续情形，其中结果形成区域而非可数的情况。La probabilidad es la matemática de los eventos inciertos. Comenzó con problemas en juegos de azar y se convirtió en un lenguaje para el riesgo, la evidencia, la física y la estadística. Para el siglo XVIII, los matemáticos ya la estaban extendiendo más allá de los dados y las cartas hacia contextos continuos donde los resultados forman regiones en lugar de casos contables.الاحتمال هو رياضيات الأحداث غير المؤكدة. بدأ مع مشاكل في ألعاب المقامرة، وانتهى بتصبح لغة للخطر والدلائل والفيزياء والإحصاء. بحلول القرن الثامن عشر، كان الرياضياتيون يمتدون بها إلى ما وراء النرد والبطاقات إلى الأوضاع المستمرة حيث تشكل النتائج مناطق بدلًا من الحالات العدديّة.A probabilidade é a matemática dos eventos incertos. Começou com problemas em jogos de azar e evoluiu para uma linguagem para risco, evidência, física e estatística. Até o século XVIII, matemáticos estavam a estendê-la além dos dados e cartas para situações contínuas, onde os resultados formam regiões em vez de casos contáveis.संभाव्यता अनिश्चित घटनाओं की गणित है। इसकी शुरुआत संभावना के खेलों से हुई और यह जोखिम, साक्ष्य, भौतिकी और सांख्यिकी की भाषा में विकसित हुई। अठारहवीं शताब्दी तक, गणितज्ञ इसे पासे और ताश के पत्तों से आगे बढ़ाकर ऐसे निरंतर स्थितियों में लागू करने लगे जहां परिणाम क्षेत्र बनाते हैं जबकि गिने जा सकने वाले मामले नहीं।Probabilitas adalah matematika dari kejadian yang tidak pasti. Awalnya muncul dari masalah dalam permainan keberuntungan, lalu berkembang menjadi bahasa untuk risiko, bukti, fisika, dan statistik. Pada abad kedelapan belas, para matematikawan mulai mengembangkannya melebihi dadu dan kartu ke dalam konteks kontinu di mana hasilnya membentuk daerah daripada kasus yang dapat dihitung.La probabilité est la mathématique des événements incertains. Elle a débuté avec des problèmes liés aux jeux de hasard et s'est développée en un langage pour exprimer le risque, les preuves, la physique et la statistique. Dès le XVIIIe siècle, les mathématiciens l'étendaient au-delà des dés et des cartes vers des contextes continus où les résultats forment des régions plutôt que des cas dénombrables.確率とは、不確実な事象を扱う数学の分野である。当初は、賭け事の問題から始まり、やがてリスク、証拠、物理学、統計学を表現する言語として発展した。18世紀までに、数学者たちはサイコロやトランプの問題にとどまらず、結果が個別に数えられるケースではなく領域を形成する連続的な設定へとその応用範囲を広げていた。Вероятность — это математика неопределённых событий. Она возникла из задач, связанных с азартными играми, и превратилась в язык для описания риска, доказательств, физики и статистики. К XVIII веку математики уже применяли её за пределами игральных костей и карт в непрерывных ситуациях, где результаты образуют области, а не счётные случаи.Wahrscheinlichkeit ist die Mathematik unsicherer Ereignisse. Sie begann mit Problemen in Glücksspielen und entwickelte sich zu einer Sprache für Risiko, Beweise, Physik und Statistik. Bis ins achtzehnte Jahrhundert hinüber erweiterten Mathematiker sie jenseits von Würfeln und Karten auf kontinuierliche Bereiche, in denen Ergebnisse Regionen statt abzählbarer Fälle bilden.확률은 불확실한 사건의 수학이다. 확률은 기회의 게임에서의 문제에서 시작하여 위험, 증거, 물리학 및 통계학의 언어로 발전하였다. 18세기까지 수학자들은 주사위와 카드를 넘어서 연속적인 상황으로 확률을 확장하여, 결과가 개수를 세어 셀 수 있는 경우가 아니라 영역을 이루는 경우를 다루게 되었다. تحركت من طاولات المقامرة إلى القانون والتأمين والفلسفة الطبيعية. جعلت مشكلة البرادة الفرصة تخرج من النرد وتنتقل إلى الفضاء. بدلًا من طرح سؤال حول عدد الوجوه التي يمكن أن يظهرها مكعب، طرحت سؤالًا حول كيفية هبوط جسم في مجال مستمر من المواقع الممكنة.
خذ الحالة البسيطة. تكون الخطوط مفصولة بمسافة d. البرادة لها طول l، لا يزيد عن d. بمجرد هبوطها، تهمان كميتان: المسافة x من مركزها إلى الخط الأقرب، والزاوية الحادة theta التي تصنعها البرادة مع الخطوط المحددة. تتقاطب البرادة إذا لم تكن x أكبر من نصف ارتفاعها المُسقط: (l/2) sin theta.
A linen-covered eighteenth-century writing desk holds a sheet of paper ruled with evenly sIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
المساحة تحت الجيب
الحساب قصير، لكنه غير مسبوق في نوعية ما يمكن أن تكون عليه الاحتمالات. قد يقع مركز البرادة في أي مكان من 0 إلى d/2 من الخط الأقرب. قد تقع الزاوية في أي مكان من 0 إلى pi/2. تشكل هاتان المتغيرتان مستطيلًا من الاحتمالات. داخله منطقة منحنية حيث x <= (l/2) sin theta. مساحة هذه المنطقة هي تكامل (l/2) sin theta من 0 إلى pi/2، وهو ببساطة l/2.
اقسم هذه المساحة المواتية على المستطيل كله، (d/2)(pi/2)، واحتمال التقاطع هو 2l/(pi d). إذا كانت البرادة بالضبط بنفس طول المسافة بين الخطوط، l = d، يختصر التعبير إلى 2/pi. دخلت ثابتة دائرية من الباب الخلفي، ليس لأن أحدًا قاسى دائرة، بل لأن جميع اتجاهات البرادة يجب أن تُحسب.
A human hand releases a slender metal needle above a wooden surface featuring parallel inlIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
هذا كان ولادة صغير لـ geometric probabilityConceptgeometric probabilityGeometric probability studies chance by measuring lengths, areas, volumes or other geometric sets of possible outcomes. Buffon's needle is its classic early example: the answer comes from comparing a favourable region under a sine curve with a rectangle of all possible needle positions and angles.几何概率通过测量长度、面积、体积或其他几何集合的可能结果来研究概率。布丰的投针问题是其经典的早期例子：答案来自于将正弦曲线下的有利区域与所有可能的针的位置和角度所组成的矩形进行比较。La probabilidad geométrica estudia el azar midiendo longitudes, áreas, volúmenes u otros conjuntos geométricos de resultados posibles. La aguja de Buffon es su ejemplo clásico temprano: la respuesta proviene al comparar una región favorable bajo una curva seno con un rectángulo que contiene todas las posiciones y ángulos posibles de la aguja.تدرس الاحتمالات الهندسية الاحتمال من خلال قياس الطول أو المساحة أو الحجم أو مجموعات هندسية أخرى من النتائج الممكنة. تُعد مسألة إبرة بوفون مثالاً كلاسيكياً مبكرًا: حيث يُستنتج الجواب من خلال مقارنة منطقة مواتية تحت منحنى الجيب بمستطيل يمثل جميع مواقف الإبرة الممكنة وزواياها.A probabilidade geométrica estuda a chance medindo comprimentos, áreas, volumes ou outros conjuntos geométricos de resultados possíveis. A agulha de Buffon é seu exemplo clássico inicial: a resposta surge ao comparar uma região favorável sob uma curva senoidal com um retângulo contendo todas as posições e ângulos possíveis da agulha.ज्यामितीय संभाव्यता परिणामों के संभावित समुच्चय के रूप में लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन या अन्य ज्यामितीय समुच्चय के मापन द्वारा संभावना का अध्ययन करती है। बफ़न की सुई इसका एक प्रारंभिक उदाहरण है: उत्तर एक साइन वक्र के तहत एक लाभप्रद क्षेत्र की तुलना सभी संभावित सुई स्थितियों और कोणों के एक आयत के साथ करके प्राप्त होता है।Probabilitas geometris mempelajari peluang dengan mengukur panjang, luas, volume, atau himpunan geometris lain dari hasil yang mungkin. Contoh klasik awalnya adalah jarum Buffon: jawabannya diperoleh dengan membandingkan daerah yang menguntungkan di bawah kurva sinus dengan persegi panjang yang mencakup semua posisi dan sudut jarum yang mungkin.La probabilité géométrique étudie le hasard en mesurant des longueurs, des aires, des volumes ou d'autres ensembles géométriques d'événements possibles. L'aiguille de Buffon en est un exemple classique du début de cette discipline : la réponse provient d'une comparaison d'une région favorable sous une courbe sinus avec un rectangle contenant toutes les positions et angles possibles de l'aiguille.幾何確率論は、長さや面積、体積、あるいはその他の幾何的集合を測定することによって確率を研究する。バッフォンの針問題はその古典的な初期の例である。この問題の答えは、正弦曲線の下にある有利な領域を、針の位置と角度のすべての可能な長方形領域と比較することによって得られる。Геометрическая вероятность изучает вероятность, измеряя длины, площади, объемы или другие геометрические множества возможных исходов. Примером классической ранней задачи является игла Бюффона: ответ находится путем сравнения благоприятной области под синусоидальной кривой с прямоугольником всех возможных положений и углов иглы.Die geometrische Wahrscheinlichkeit untersucht das Zufallsereignis durch die Messung von Längen, Flächen, Volumina oder anderen geometrischen Mengen möglicher Ergebnisse. Das „Nadelproblem“ von Buffon ist ihr klassisches frühes Beispiel: die Lösung ergibt sich aus dem Vergleich einer günstigen Region unter einer Sinuslinie mit einem Rechteck aller möglichen Nadelpositionen und Winkel.기하 확률은 길이, 면적, 부피 또는 다른 기하학적 집합의 가능한 결과를 측정함으로써 확률을 연구한다. 버퐁의 바늘은 이 분야의 고전적인 초기 예시로, 정현 곡선 아래의 유리한 영역을 바늘의 가능한 모든 위치와 각도를 포함하는 직사각형과 비교함으로써 답을 얻는다.. يمكن للاحتمالات المنفصلة العادية أن تُحسب الحالات: رؤوس أو ذيول، ستة أوجه لمكعب، و52 ورقة. طرحت مشكلة بوفون احتمال قياس عبر استمرارية. سألت كم من الفضاء الهندسي يتوافق مع النجاح. سيجعل الرياضيون اللاحقون هذه اللغة أكثر رسمية، لكن الحركة الأساسية موجودة بالفعل في البرادة: استبدل العد بالمساحة، وتصبح الفرصة هندسة.
رمي من أجل pi
يمكن عكس الصيغة. إذا تم رمي n براذعات وتقاطبت h مع خط، فإن h/n تقدير لاحتمال التقاطع. إعادة ترتيبها تعطي pi تقريبًا يساوي 2ln/(dh). الحسابات بسيطة تقريبًا بمنتهى البساطة. العمل هو في جعل السقوط عشوائيًا حقًا وقبول كم يتأخر العشوائي في دفع ديونه.
A close macro view shows one metal needle crossing a deep groove in a wooden board while aIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
حاول المُجرّبون في القرن التاسع عشر رغم ذلك. أبلغ الفلكي السويسري رودولف وولف عن 5000 رمية حوالي عام 1850 وحصل على قيمة قريبة من 3.1596. نشر A. Hall تحديدًا تجريبيًا في عام 1873. في عام 1901، زاد Mario LazzariniPersonMario LazzariniMario Lazzarini was an Italian mathematician associated with a celebrated 1901 report on Buffon's needle. He claimed to have estimated pi as 355/113 from 3,408 needle drops, an accuracy so striking that later writers have questioned whether the experiment was stopped, selected or intended as a mathematical joke.马里奥·拉扎里尼是一位意大利数学家，因1901年关于布丰针问题的著名报告而知名。他声称通过3408次投针实验，将圆周率π估算为355/113，其精度之高令人惊讶，后来的作者因此质疑该实验是否被人为停止或选择性记录，甚至可能是出于数学玩笑的目的而设计的。Mario Lazzarini fue un matemático italiano asociado con un celebrado informe de 1901 sobre la aguja de Buffon. Afirmó haber estimado pi como 355/113 tras 3 408 lanzamientos de agujas, una precisión tan notable que escritores posteriores se han preguntado si el experimento fue interrumpido, seleccionado o si se pretendía como una broma matemática.مARIO لازاريني هو عالم رياضيات إيطالي تربطه صلة بالรายงาน المشهور لعام 1901 حول إبرة بوفون. فقد زعم أنه حسب قيمة باي على أنها 355/113 من خلال 3408 تجربة إسقاط إبرة، ودقة هذا التقدير كانت هائلة لدرجة أن المؤلفين اللاحقين شككوا فيما إذا تم إيقاف التجربة، أو اختيار النتائج، أو أن التجربة كانت مزحة رياضية مقصودة.Mario Lazzarini foi um matemático italiano associado a um celebrado relatório de 1901 sobre o problema da agulha de Buffon. Ele alegou ter estimado pi como 355/113 a partir de 3.408 lançamentos de agulhas, uma precisão tão notável que escritores posteriores questionaram se o experimento foi interrompido, selecionado ou se destinava a ser uma brincadeira matemática.मारियो लाज़ारिनी एक इतालवी गणितज्ञ थे जो बफ़न की सुई पर 1901 की प्रसिद्ध रिपोर्ट से जुड़े हुए थे। उन्होंने 3,408 सुई गिराने के बाद दावा किया कि वे pi को 355/113 के रूप में अनुमानित कर सकते हैं, जो इतनी शानदार सटीकता के साथ है कि बाद के लेखकों ने यह सवाल उठाया है कि क्या प्रयोग बंद कर दिया गया था, चयनित किया गया था या गणितीय उपहास के रूप में निर्धारित किया गया था।Mario Lazzarini adalah seorang matematikawan Italia yang dikaitkan dengan laporan terkenal tahun 1901 mengenai jarum Buffon. Ia mengklaim telah memperkirakan nilai pi sebagai 355/113 dari 3.408 kali melemparkan jarum, sebuah akurasi yang begitu mengejutkan sehingga penulis-penulis selanjutnya mempertanyakan apakah eksperimen tersebut dihentikan, disaring, atau dimaksudkan sebagai lelucon matematis.Mario Lazzarini fut un mathématicien italien associé à un célèbre rapport de 1901 sur l’aiguille de Buffon. Il affirma avoir estimé pi comme étant égal à 355/113 à partir de 3 408 lancers d’aiguille, une précision si remarquable que des auteurs ultérieurs se sont interrogés sur le fait de savoir si l’expérience avait été arrêtée, sélectionnée ou conçue comme une plaisanterie mathématique.マリオ・ラザリニは、1901年のバッフォンの針に関する著名な報告書に関連したイタリアの数学者である。彼は3,408回の針を落とす実験を通じて、円周率を355/113と推定した。その精度は際立っており、後年の研究者はこの実験が終了した時点で結果が選定されたのか、あるいは単なる数学的ジョークであったのかを疑問視している。Марио Лазарини — итальянский математик, связанный с известным докладом 1901 года о игле Бюффона. Он утверждал, что оценил число пи как 355/113, используя 3408 бросков иглы, что настолько удивительно точно, что позднейшие авторы поставили под сомнение, не было ли эксперимент остановлен, подобран или же задуман как математический шут.Mario Lazzarini war ein italienischer Mathematiker, der mit einem berühmten Bericht von 1901 über das Nadelproblem von Buffon in Verbindung gebracht wird. Er behauptete, er habe π durch 355/113 aus 3408 Nadelwürfen geschätzt, eine Genauigkeit, die so bemerkenswert ist, dass spätere Autoren sich gefragt haben, ob das Experiment beendet, ausgewählt oder als mathematischer Witz gemeint war.마리오 라자리니(Mario Lazzarini)는 버논의 바늘(Buffon's needle)에 관한 1901년 유명한 보고서와 관련된 이탈리아 수학자이다. 그는 3,408번의 바늘 던지기 실험을 통해 원주율을 355/113으로 추정하였다. 이는 놀랄 만큼 정확한 수치로, 후에 이 실험이 중단되었거나 일부러 선택되었거나, 혹은 수학적 농담이 의도되었는지에 대해 의문을 제기하는 이들이 있었다. شيئًا أدق بكثير: 3408 رمية لبراذعات طولها 25 مم على خطوط متباعدة 30 مم، مما أنتج 355/113، التقريب الشهير بستة أرقام عشري 3.1415929.
كانت نتيجة لازاريني دائمًا تبدو مصقولة جدًا. مع نسبته l/d = 5/6، تصبح الصيغة خاصة للغاية بـ 355/113، واعتبرها علماء الإحصاء اللاحقون بريبة: ربما توقفت في لحظة مريحة، ربما تم اختيارها، ربما كتبت بابتسامة للأساتذة بدلاً من قياس مهني. النقطة ليست أن صيغة بوفون فشلت. بل هي أن العشوائية الفيزيائية خادم سيء عندما يُطلب منه تقديم أماكن عشرية كثيرة.
ومع ذلك، كان الفعل مهمًا. حساب pi عن طريق عد تقاطعات البراذعات هو حساب باستخدام الفرصة. قبل الحواسيب الإلكترونية بوقت طويل، عرضت مائدة بوفون محاكاة مماثلة: آلة احتمالية مصنوعة من الخشب والطلاء والبرادة المعدنية المتساقطة.
من البراذعات إلى مونتي كارلو
في أواخر الأربعينيات من القرن العشرين، اكتسبت عبارة Monte Carlo methodConceptMonte Carlo methodThe Monte Carlo method uses repeated random sampling to estimate quantities that are hard to compute directly. The name was coined in the mid-twentieth century during work at Los Alamos, but its ancestry reaches back to experiments such as Buffon's needle, where chance is used as a calculating device.蒙特卡罗方法利用重复的随机抽样来估算难以直接计算的数量。这一名称诞生于二十世纪中期洛斯阿拉莫斯的研究工作，但它的起源可以追溯到布丰针实验等早期实验，在这些实验中，概率被用作计算工具。El método Monte Carlo utiliza muestreo aleatorio repetido para estimar cantidades que resultan difíciles de calcular directamente. El nombre fue acuñado a mediados del siglo veinte durante trabajos en Los Alamos, pero su ascendencia se remonta a experimentos como la aguja de Buffon, donde el azar se emplea como dispositivo de cálculo.تستخدم طريقة مونتي كارلو أخذ العينات العشوائية المتكررة لتقدير الكميات التي من الصعب حسابها مباشرة. سُمِّيت الطريقة بهذا الاسم في منتصف القرن العشرين أثناء العمل في لوس ألاموس، لكن جذورها تعود إلى تجارب مثل عود بافون، حيث تُستخدم الفرصة كجهاز حسابي.O método Monte Carlo utiliza amostragem aleatória repetida para estimar quantidades difíceis de serem calculadas diretamente. O nome foi cunhado na segunda metade do século XX durante trabalhos em Los Alamos, mas sua ascendência remonta a experimentos como a agulha de Buffon, nos quais o acaso é usado como um dispositivo de cálculo.मॉन्टे कार्लो विधि के उपयोग से द्वारा सीधे गणना करने में कठिन मात्राओं का अनुमान बनाया जाता है। इसका नाम मध्य बीसवीं शताब्दी में लॉस एलमोस में कार्य के दौरान रखा गया था, लेकिन इसकी वंशवृति बफोन की सुई जैसे प्रयोगों तक पहुंचती है, जहां अवसर के उपयोग की गणना करने की एक युक्ति के रूप में की गई थी।Metode Monte Carlo menggunakan pengambilan sampel acak berulang untuk memperkirakan kuantitas yang sulit dihitung secara langsung. Nama ini diciptakan pada pertengahan abad kedua puluh selama pekerjaan di Los Alamos, tetapi asal usulnya dapat dilacak kembali ke eksperimen seperti jarum Buffon, di mana kebetulan digunakan sebagai alat perhitungan.La méthode Monte Carlo utilise un échantillonnage aléatoire répété pour estimer des quantités difficiles à calculer directement. Le nom a été forgé au milieu du vingtième siècle lors des travaux à Los Alamos, mais ses origines remontent à des expériences telles que l'aiguille de Buffon, où le hasard est utilisé comme dispositif de calcul.モンテカルロ法は、直接計算するのが困難な数量を推定するために、繰り返し無作為サンプリングを行う手法である。この名称は20世紀半ばにロスアラモスでの研究中に造られたが、その起源はバッフォンの針などの実験にまで遡り、これらは確率を計算装置として用いるものである。Метод Монте-Карло использует многократное случайное выборочное исследование для оценки величин, которые сложно вычислить напрямую. Название метода появилось в середине двадцатого века во время работ в Лос-Аламосе, но его происхождение связано с такими экспериментами, как игла Бюффона, где случайность используется как вычислительное устройство.Die Monte-Carlo-Methode verwendet wiederholte zufällige Stichproben, um Größen zu schätzen, die sich direkt schwer berechnen lassen. Der Name wurde Mitte des zwanzigsten Jahrhunderts während der Arbeit am Los Alamos National Laboratory geprägt, doch ihre Ursprünge reichen bis zu Experimenten wie dem Nadelproblem von Buffon zurück, bei dem das Zufallsprinzip als Rechenhilfe eingesetzt wird.몬테카를로 방법은 직접 계산하기 어려운 수량을 추정하기 위해 반복적인 확률적 표본추출을 사용한다. 이 방법의 이름은 20세기 중반 로스앨러모스에서의 연구 중 지어졌지만, 그 기원은 버퐁의 바늘 실험과 같이 확률을 계산 도구로 활용한 이전의 실험들로까지 거슬러 올라간다. معناها الحديث في لوس ألاموس، حيث استخدم John von NeumannPersonJohn von NeumannHungarian-American polymath (1903–1957) who made foundational contributions to set theory, quantum mechanics, game theory, computing, and nuclear weapons design. Present at the 1930 Königsberg conference where Gödel first hinted at incompleteness, he was reportedly the only attendee who grasped the result on the spot and independently derived the second incompleteness theorem within weeks.匈牙利裔美国博学者（1903—1957），在集合论、量子力学、博弈论、计算与核武器设计等领域作出奠基性贡献。1930 年哥廷根会议上，哥德尔首次暗示不完备性结果时他在场，据称是当场唯一领会其要义的与会者，并在数周内独立推导出第二不完备性定理。Polímata húngaro-estadounidense (1903-1957) que realizó contribuciones fundamentales a la teoría de conjuntos, la mecánica cuántica, la teoría de juegos, la computación y el diseño de armas nucleares. Presente en la conferencia de Königsberg de 1930, donde Gödel insinuó por primera vez la incompletitud, fue, según se dice, el único asistente que captó el resultado en el acto y dedujo de forma independiente el segundo teorema de incompletitud en cuestión de semanas.عالم موسوعي مجري-أمريكي (1903–1957) قدّم إسهامات تأسيسية في نظرية المجموعات وميكانيكا الكم ونظرية الألعاب والحوسبة وتصميم الأسلحة النووية. حضر مؤتمر كونيغسبرغ عام 1930 حيث ألمح غودل لأول مرة إلى نظرية عدم الاكتمال، ويُقال إنه كان الحاضر الوحيد الذي استوعب النتيجة على الفور، واستنتج بشكل مستقل نظرية عدم الاكتمال الثانية في غضون أسابيع.Polímata húngaro-americano (1903–1957) que deu contribuições fundamentais à teoria dos conjuntos, à mecânica quântica, à teoria dos jogos, à computação e ao projeto de armas nucleares. Presente na conferência de Königsberg de 1930, onde Gödel insinuou pela primeira vez a incompletude, foi, segundo relatos, o único participante a captar o resultado imediatamente e a deduzir de forma independente o segundo teorema da incompletude em poucas semanas.हंगेरियाई-अमेरिकी बहुश्रुत विद्वान (1903–1957) जिन्होंने समुच्चय सिद्धांत, क्वांटम यांत्रिकी, खेल सिद्धांत, संगणन और परमाणु हथियार अभिकल्पना में आधारभूत योगदान दिए। 1930 के कोनिग्सबर्ग सम्मेलन में उपस्थित, जहाँ गोडेल ने पहली बार अपूर्णता का संकेत दिया था, वे कथित रूप से एकमात्र ऐसे श्रोता थे जिन्होंने उसी क्षण इस परिणाम को समझ लिया और कुछ ही सप्ताहों के भीतर स्वतंत्र रूप से द्वितीय अपूर्णता प्रमेय की व्युत्पत्ति कर ली।Polimat Hungaria-Amerika (1903–1957) yang memberikan kontribusi fundamental pada teori himpunan, mekanika kuantum, teori permainan, komputasi, dan desain senjata nuklir. Hadir pada konferensi Königsberg 1930 ketika Gödel pertama kali mengisyaratkan ketidaklengkapan, ia dilaporkan sebagai satu-satunya peserta yang langsung memahami hasil tersebut di tempat dan secara independen menurunkan teorema ketidaklengkapan kedua dalam hitungan minggu.Polymathe américano-hongrois (1903-1957) qui apporta des contributions fondamentales à la théorie des ensembles, à la mécanique quantique, à la théorie des jeux, à l'informatique et à la conception des armes nucléaires. Présent à la conférence de Königsberg de 1930 où Gödel évoqua pour la première fois l'incomplétude, il fut, dit-on, le seul participant à saisir le résultat sur-le-champ et à dériver indépendamment le second théorème d'incomplétude en l'espace de quelques semaines.ハンガリー系アメリカ人の博学者（1903–1957）。集合論、量子力学、ゲーム理論、計算機科学、核兵器設計に基礎的な貢献をなした。1930年のケーニヒスベルク会議に出席し、ゲーデルが不完全性を初めて示唆した際、その結果をその場で把握した唯一の参加者であったと伝えられ、数週間のうちに第二不完全性定理を独自に導出した。Венгеро-американский эрудит (1903–1957), внёсший фундаментальный вклад в теорию множеств, квантовую механику, теорию игр, вычислительную технику и конструирование ядерного оружия. Присутствовал на Кёнигсбергской конференции 1930 года, где Гёдель впервые намекнул на неполноту; по имеющимся свидетельствам, он был единственным из участников, кто сразу осознал результат, и в течение нескольких недель самостоятельно вывел вторую теорему о неполноте.Ungarisch-amerikanischer Universalgelehrter (1903–1957), der grundlegende Beiträge zur Mengenlehre, Quantenmechanik, Spieltheorie, Informatik und zum Entwurf von Kernwaffen leistete. Anwesend auf der Königsberger Tagung 1930, auf der Gödel erstmals die Unvollständigkeit andeutete, soll er der einzige Teilnehmer gewesen sein, der das Ergebnis sofort erfasste, und leitete innerhalb weniger Wochen unabhängig den zweiten Unvollständigkeitssatz her.헝가리계 미국인 박학다식가(1903–1957)로, 집합론, 양자역학, 게임이론, 컴퓨팅, 핵무기 설계에 기초적인 기여를 했다. 1930년 쾨니히스베르크 회의에서 괴델이 불완전성을 처음 시사했을 때 참석했으며, 그 자리에서 결과를 즉시 이해한 유일한 참석자였다고 전해지고, 몇 주 만에 독자적으로 제2 불완전성 정리를 도출했다.، Stanisław UlamPersonStanisław UlamStanisław Ulam was a Polish-American mathematician who worked at Los Alamos after the Second World War. He helped shape the modern Monte Carlo method, using random sampling to study problems in nuclear physics and computation. His career also touched set theory, topology, cellular automata and the design of early thermonuclear weapons.斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆（Stanisław Ulam）是一位波兰裔美国数学家，第二次世界大战后在洛斯阿拉莫斯工作。他帮助创立了现代蒙特卡洛方法，利用随机抽样研究核物理和计算中的问题。他的职业生涯还涉及集合论、拓扑学、细胞自动机以及早期热核武器的设计。Stanisław Ulam fue un matemático polaco-estadounidense que trabajó en Los Alamos tras la Segunda Guerra Mundial. Ayudó a desarrollar el moderno método Monte Carlo, que utiliza muestreo aleatorio para estudiar problemas de física nuclear y cálculo. Su carrera también abarcó la teoría de conjuntos, la topología, las máquinas celulares y el diseño de armas termonucleares tempranas.كان ستانيسلاف أولام عالم رياضيات بولندي-أمريكي عمل في لوس ألموس بعد الحرب العالمية الثانية. ساعد في تشكيل الطريقة الحديثة لمنطقة مونتي كارلو، باستخدام العينات العشوائية لدراسة المشكلات في الفيزياء النووية والحساب. شملت مسيرته المهنية أيضًا نظرية المجموعات والטופولوجيا والآلات الخلوية التلقائية والتصميم المبكر للأسلحة الحرارية النووية.Stanislaw Ulam foi um matemático polonês-americano que trabalhou em Los Alamos após a Segunda Guerra Mundial. Ele ajudou a desenvolver o método Monte Carlo moderno, usando amostragem aleatória para estudar problemas na física nuclear e computação. Sua carreira também abrangeu a teoria dos conjuntos, a topologia, os autômatos celulares e o desenho das primeiras armas termonucleares.स्टैनिस्लाव उलाम एक पोलिश-अमेरिकी गणितज्ञ थे जिन्होंने द्वितीय विश्व युद्ध के बाद लॉस एलमोस में काम किया। उन्होंने आधुनिक मॉन्टे कार्लो विधि का विकास किया, जिसमें नाभिकीय भौतिकी और कंप्यूटेशन में समस्याओं के अध्ययन के लिए यादृच्छिक नमूना लेने का उपयोग किया गया। उनके करियर में समुच्चय सिद्धांत, टोपोलॉजी, सेलुलर ऑटोमेटा और प्रारंभिक थर्मोन्यूक्लियर हथियारों के डिज़ाइन को भी छू लिया।Stanisław Ulam adalah seorang matematikawan Polandia-Amerika yang bekerja di Los Alamos setelah Perang Dunia Kedua. Ia membantu membentuk metode Monte Carlo modern, yang menggunakan sampel acak untuk mempelajari masalah dalam fisika nuklir dan komputasi. Kariernya juga meliputi teori himpunan, topologi, otomata seluler, serta desain senjata termonuklir awal.Stanisław Ulam fut un mathématicien polonais-américain qui travailla à Los Alamos après la Seconde Guerre mondiale. Il contribua à l'élaboration de la méthode moderne de Monte Carlo, utilisant l'échantillonnage aléatoire pour étudier des problèmes de physique nucléaire et de calcul. Sa carrière toucha également la théorie des ensembles, la topologie, les automates cellulaires et la conception des premières armes thermonucléaires.スタニスワフ・ウラムは第二次世界大戦後にロスアラモスで研究したポーランド出身のアメリカ人数学者である。モンテカルロ法の現代的な形を築くのに貢献し、核物理および計算における問題を確率的サンプリングによって研究した。彼の研究分野は集合論、位相幾何学、セル・オートマトンおよび初期の熱核融合兵器の設計にも及んでいる。Станислав Улам — польский и американский математик, работавший в Лос-Аламосе после Второй мировой войны. Он помог сформировать современный метод Монте-Карло, используя случайную выборку для изучения проблем в ядерной физике и вычислениях. Его карьера также касалась теории множеств, топологии, клеточных автоматов и разработки ранних термоядерных оружий.Stanisław Ulam war ein polnisch-amerikanischer Mathematiker, der nach dem Zweiten Weltkrieg am Los Alamos National Laboratory arbeitete. Er trug wesentlich zur Entwicklung der modernen Monte-Carlo-Methode bei, bei der zufällige Stichproben zur Untersuchung von Problemen in der Kernphysik und der Berechnung eingesetzt werden. Seine Karriere umfasste zudem die Mengenlehre, Topologie, zelluläre Automaten und das Design früher thermonuklearer Waffen.스테파니우 슐람(Stanisław Ulam)은 제2차 세계대전 이후 로스앨러모스에서 일한 폴란드계 미국 수학자였다. 그는 핵물리학과 계산 문제를 연구하기 위해 무작위 표집을 사용하는 현대 몬테카를로 방법의 발전에 기여했다. 그의 경력은 집합론, 위상수학, 세포 자동기 및 초기 열핵무기 설계에도 걸쳐졌다.، Nicholas MetropolisPersonNicholas MetropolisNicholas Metropolis was a Greek-American physicist and computing pioneer at Los Alamos. He worked on early electronic computation and gave the Monte Carlo method its casino-derived name. His later work on sampling algorithms became central to computational physics, statistics and many forms of simulation.尼古拉斯·梅特罗波利斯（Nicholas Metropolis）是一位希腊裔美国物理学家，也是洛斯阿拉莫斯的计算机先驱。他从事早期电子计算的研究，并为蒙特卡洛方法起了这个源自赌场名称的方法。他后来在抽样算法方面的研究成为计算物理、统计学以及多种模拟方法的核心。Nicholas Metrópolis fue un físico y pionero de la computación griego-estadounidense que trabajó en Los Álamos. Trabajó en cálculos electrónicos tempranos y dio al método Monte Carlo su nombre derivado del casino. Su trabajo posterior sobre algoritmos de muestreo se convirtió en fundamental para la física computacional, la estadística y muchas formas de simulación.كان نيكولاس متروبوليس فيزيائيًا أمريكيًا من أصل يوناني وواحدًا من رواد الحواسيب في لوس ألاموس. عمل على الحوسبة الإلكترونية المبكرة وأعطى للطريقة الإحصائية "مونتي كارلو" اسمها المشتق من الكازينو. ساهمت أعماله اللاحقة على خوارزميات أخذ العينات في تشكيل جوهر الفيزياء الحاسوبية والإحصاء والكثير من أشكال المحاكاة.Nicholas Metropolis foi um físico e pioneiro da computação grego-americano que trabalhou no Laboratório de Los Alamos. Trabalhou na computação eletrônica inicial e deu ao método Monte Carlo seu nome derivado de cassino. Seu trabalho posterior sobre algoritmos de amostragem tornou-se central para a física computacional, estatística e muitas formas de simulação.निकोलस मेट्रोपोलिस एक यूनानी-अमेरिकी भौतिकविद और लॉस एलमोस में कम्प्यूटिंग के प्रारंभिक दौर के विशिष्ट व्यक्ति थे। उन्होंने प्रारंभिक इलेक्ट्रॉनिक कम्प्यूटेशन पर कार्य किया और मोंटे कार्लो विधि का उस जुए के नाम पर आधारित नाम दिया। उनके बाद के कार्य नमूना एल्गोरिदम पर केंद्रित थे, जो भौतिकी के कम्प्यूटेशनल, सांख्यिकी और अनेक प्रकार की सिमुलेशन में केंद्रीय भूमिका निभाते हैं।Nicholas Metropolis adalah seorang fisikawan dan pelopor komputasi berkebangsaan Yunani-Amerika yang bekerja di Los Alamos. Ia meneliti komputasi elektronik awal dan memberi nama metode Monte Carlo dengan sebutan yang berasal dari kasino. Karyanya kemudian tentang algoritma pengambilan sampel menjadi pusat dalam fisika komputasi, statistik, dan berbagai bentuk simulasi.Nicholas Metropolis fut un physicien grec-américain et un pionnier de l'informatique à Los Alamos. Il travailla sur les premiers calculs électroniques et donna à la méthode Monte Carlo son nom inspiré des casinos. Son travail ultérieur sur les algorithmes d'échantillonnage devint central en physique computationnelle, en statistique et dans de nombreuses formes de simulation.ニコラス・メトロポリスは、ギリシャ系アメリカ人の物理学者で、ロスアラモスで活躍した計算機科学の先駆者である。彼は初期の電子計算機の開発に携わり、「モンテカルロ法」というカジノ由来の名称を考案した。その後、サンプリングアルゴリズムに関する研究は、計算物理学、統計学およびさまざまなシミュレーションにおいて中心的な役割を果たすことになった。Николас Метрополис был греко-американским физиком и пионером вычислительной техники в Лос-Аламосе. Он работал над ранними электронными вычислениями и дал методу Монте-Карло его название, происходящее от казино. Его более поздняя работа по алгоритмам выборки стала центральной для вычислительной физики, статистики и многих видов моделирования.Nicholas Metropolis war ein griechisch-amerikanischer Physiker und Pionier der Informatik am Los Alamos National Laboratory. Er arbeitete an frühen elektronischen Rechenverfahren und gab der Monte-Carlo-Methode ihren namensgebenden Bezug zum Casino. Seine späteren Arbeiten zu Sampling-Algorithmen wurden zentral für die theoretische Physik, Statistik und viele Formen der Simulation.니콜라스 메트로폴리스는 그리스계 미국인 물리학자이자 로스앨러모스에서 활동한 컴퓨팅 분야의 선구자였다. 그는 초기 전자 계산기에 참여했으며, 몬테카를로 방법에 도박장에서 유래된 이름을 붙였다. 이후 그가 개발한 샘플링 알고리즘은 계산 물리학, 통계학 및 다양한 시뮬레이션 분야의 핵심이 되었다. وآخرون العينة العشوائية لحل مشكلات معقدة جدًا لحسابها مباشرة. النيوترونات التي تتحرك عبر المادة، التكاملات ذات الأبعاد العالية، سلاسل التفرع من المستقبلات المحتملة: هذه ليست مشكلات براذعة على ورقة، لكنها تشارك نفس المخاطرة. عين الفضاء بصدق كافٍ، وستبدأ كمية مخفية في الهندسة في إظهار نفسها.
A nineteenth-century wooden experiment table is covered with many scattered brass needlesIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
لذلك، البرادة هي كلاً: أجداد وتحذير. توضح براذعة بوفون غريزة مونتي كارلو بآلات قليلة جدًا، لكنها أيضًا تظهر التكلفة. تتقاطع التقديرات العشوائية بسرعة تتناسب مع واحد على الجذر التربيعي لعدد التجارب. لزيادة خانة عشرية إضافية، لا تحتاج إلى 10 مرات عدد الرميات، بل حوالي 100 مرة. ستظل مليون براذعة طريقة متعبة لتعلم ما تعرفه المحيط بالفعل.
استمرت الطريقة لأن pi لم يكن المكافأة الحقيقية أبدًا. الحقيقة المهمة هي أن احتمالًا يمكن أن يحل محل تكامل. يقيس عد تقاطعات بوفون مساحة تحت منحنى الجيب دون رسم تلك المنطقة مباشرة. تفعل المحاكاة الحديثة الشيء نفسه في مساحات أكثر خطورة، حيث يمكن أن يكون التكامل له آلاف الأبعاد ولا صورة بشرية على الإطلاق.
A tidy tabletop reconstruction uses a set of identical metal needles and a board with grooIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
ما تتركه البراة مفتوحًا
الكلمة عشوائية تفعل عملًا أكثر مما يبدو في البداية. يفترض اشتقاق بوفون أن الموضع المركزي والزاوية موزعة بشكل موحد. قد يميل يد إنسان تهبط ببرادة إلى زوايا معينة؛ قد يكون لدى لوحة حواف؛ قد تهتز البراة، أو تتدحرج، أو تلتصق.
هناك أيضًا سؤال حول ماذا فعل بوفون بالفعل، مقارنة بما أثبته. انتشرت قصص عن خبز مقرمش ملقى على أرض مغطاة بالبلاط عبر الأجيال، لكن الأدلة ضعيفة. الرياضيات أكثر قوة من الحكاية.
A mid-century laboratory tabletop uses diceIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
يبقى لازاريني حالة مفتوحة أخرى. تشتهر أرقامه من عام 1901 جزئيًا لأنها جيدة جدًا، ومشكوك فيها لنفس السبب. يمكن أن تكون النتيجة متوافقة رياضيًا مع تجربة، وربما لا تزال صعبة الإيمان تاريخيًا.
الشك الأعمق فيلسفي. عندما يوفر عالم قائم على المبادئ التحديدية مجموعة من النتائج، أين بالضبط تدخل الفرصة: في الجهل، في الفوضى الفيزيائية، أم في النموذج الذي نختار فرضه؟ لا تحل براذعة بوفون السؤال. تمنحه أرضًا نظيفة وخطًا يعبره.
براة متساقطة لا تعرف ما هو pi. تهبط، أو تفوت. فقط بعد العديد من هذه الحركات غير المبالاة يعلن الدائرة نفسها بهدوء في سجل التقاطعات.
На разграфённом столе падающая игла превращает круг в счёт. Сбрасывай её достаточно часто, считай пересечения, и старое постоянное число пи начинает проявляться из царапин, промахов и узкого стечения обстоятельств угла.
В 1777 году Georges-Louis Leclerc, Comte de BuffonPersonGeorges-Louis Leclerc, Comte de BuffonGeorges-Louis Leclerc, Comte de Buffon was an eighteenth-century French naturalist and mathematician, best known for his vast Histoire naturelle. His work ranged from zoology and geology to the mathematics of chance. In 1777 he published the needle problem that made random geometry a serious object of calculation.乔治-路易·勒克莱尔，布封伯爵是18世纪法国的博物学家和数学家，以其宏大的《自然史》最为著名。他的研究范围涵盖了动物学、地质学以及概率数学。1777年，他发表了“布丰投针问题”，使随机几何成为严肃的计算对象。Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon fue un naturalista y matemático francés del siglo XVIII, más conocido por su extensa Histoire naturelle. Su obra abarcó desde la zoología y la geología hasta las matemáticas de la probabilidad. En 1777 publicó el problema de la aguja, que convirtió la geometría aleatoria en un objeto serio de cálculo.جورج لويس لوكير، كونت دي بوفون كان عالم طبيعة ورياضيات فرنسي في القرن الثامن عشر، ويُعرف بشكل رئيسي بعمله الواسع "تاريخ طبيعي". امتدت أعماله من علم الحيوانات والجيولوجيا إلى رياضيات الحظ. نشر في عام 1777 مسألة الإبرة التي جعلت الهندسة العشوائية موضوعًا جادًا للحساب.Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon foi um naturalista e matemático francês do século XVIII, mais conhecido por sua vasta Histoire naturelle. Seu trabalho abrangia desde a zoologia e a geologia até a matemática da casualidade. Em 1777 publicou o problema da agulha, que tornou a geometria aleatória um objeto sério de cálculo.जीओर्ज-लुई लेक्लेर, काउंट डी बफ़ॉन अठारहवीं शताब्दी के फ़्रांसीसी प्राकृतिक विज्ञानी और गणितज्ञ थे, जिनके लिए उनकी विशाल "हिस्तोयर नैचुरेल" के कारण वे प्रसिद्ध हैं। उनका कार्य जीवविज्ञान और भूविज्ञान से लेकर संभाव्यता के गणित तक फैला हुआ था। 1777 में उन्होंने एक समस्या प्रकाशित की, जिसके कारण यादृच्छिक ज्यामिति गणना का गम्भीर विषय बन गई।Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon adalah seorang naturalis dan matematikawan Prancis abad keduabelas, yang paling dikenal karena karyanya yang luas, Histoire naturelle. Karyanya mencakup berbagai bidang, dari zoologi dan geologi hingga matematika peluang. Pada tahun 1777 ia menerbitkan masalah jarum yang membuat geometri acak menjadi objek serius dalam perhitungan.Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon, fut un naturaliste et mathématicien français du xviiie siècle, surtout connu pour son vaste ouvrage intitulé Histoire naturelle. Son œuvre s'étendait de la zoologie et de la géologie aux mathématiques du hasard. En 1777, il publia le problème de l'aiguille, qui fit de la géométrie aléatoire un objet sérieux de calcul.ジョルジュ＝ルイ・レクルール、バフオン男爵は18世紀のフランスの自然学者で、大規模な『自然史』で最も知られている。彼の研究は動物学や地質学から確率の数学に至るまで幅広かった。1777年、彼はランダム幾何学を真剣な計算対象とした針の問題を発表した。Жорж-Луи Леклерк, граф Бюффон, был французским натурописцем и математиком XVIII века, наиболее известным своей обширной «Натуральной историей». Его работы охватывали зоологию и геологию, а также математику вероятностей. В 1777 году он опубликовал задачу о игле, которая сделала случайную геометрию серьёзным объектом вычислений.Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon, war ein französischer Naturforscher und Mathematiker des 18. Jahrhunderts, am besten bekannt für sein umfassendes Werk Histoire naturelle. Seine Arbeit erstreckte sich von der Zoologie und Geologie bis hin zur Mathematik des Zufalls. 1777 veröffentlichte er das Nadelproblem, das die zufällige Geometrie zu einem ernstzunehmenden Gegenstand der Berechnung machte.조르주 루이 르클레르 코뮌 드 뷔퐁은 18세기 프랑스의 자연주의자이자 수학자로, 방대한 『자연사』로 가장 유명하다. 그의 연구 분야는 동물학과 지질학에서부터 확률의 수학에 이르기까지 폭넓었다. 1777년 그는 확률 기하학을 진지한 계산 대상으로 만든 핀 문제를 발표했다. сформулировал задачу, настолько простую, что её можно было бы поставить на листе бумаги и с иголкой для шитья. Нарисуйте параллельные линии на одинаковых расстояниях. Пусть иголка упадёт случайным образом. Задайтесь вопросом: какова вероятность того, что она пересечёт одну из линий? Это был эксперимент в гостиной с острым углом: ответ содержал piConceptpiPi is the ratio of a circle's circumference to its diameter, approximately 3.14159. It appears first as a fact of circular geometry, but it recurs through analysis, probability, physics and number theory. In Buffon's needle problem it arises from averaging all possible orientations of a line segment.圆周率π是一个圆的周长与直径的比值，约为3.14159。它最初作为圆的几何特性出现，但随后在分析学、概率论、物理学和数论中反复出现。在布丰投针问题中，它来源于对线段所有可能方向的平均计算。Pi es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, aproximadamente 3,14159. Aparece en un primer momento como un hecho de la geometría circular, pero vuelve a aparecer a lo largo del análisis, la probabilidad, la física y la teoría de números. En el problema de la aguja de Buffon surge al promediar todas las orientaciones posibles de un segmento de línea.العدد باي هو نسبة محيط الدائرة إلى قطرها، ويُقدر بحوالي 3.14159. يظهر لأول مرة كمعلومة هندسية تتعلق بالدوائر، لكنه يتكرر في التحليل والاحتمالات والفيزياء ونظرية الأعداد. في مسألة إبرة بوفون، يظهر من متوسط جميع الاتجاهات الممكنة لقطعة مستقيمة.Pi é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro, aproximadamente 3,14159. Aparece pela primeira vez como fato da geometria circular, mas recorre através da análise, probabilidade, física e teoria dos números. No problema da agulha de Buffon, surge a partir da média de todas as orientações possíveis de um segmento de reta.π एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात है, लगभग 3.14159। यह सर्वप्रथम वृत्तीय ज्यामिति के तथ्य के रूप में प्रकट होता है, लेकिन विश्लेषण, संभाव्यता, भौतिकी और संख्या सिद्धांत में इसकी पुनरावृत्ति होती है। बफ़ोन की सुई की समस्या में एक रेखाखंड की सभी संभावित दिशाओं के औसत से यह उत्पन्न होता है।Pi adalah rasio keliling lingkaran terhadap diameternya, sekitar 3,14159. Pi muncul pertama kali sebagai fakta dalam geometri lingkaran, tetapi muncul kembali dalam analisis, probabilitas, fisika, dan teori bilangan. Dalam permasalahan jarum Buffon, Pi muncul dari rata-rata semua orientasi yang mungkin dari sebuah segmen garis.Pi est le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre, environ 3,14159. Il apparaît d'abord comme une propriété géométrique des cercles, mais il se retrouve ensuite en analyse, en probabilité, en physique et en théorie des nombres. Dans le problème de l'aiguille de Buffon, il émerge en prenant la moyenne de toutes les orientations possibles d'un segment de droite.円周率（パイ）は、円の円周長とその直径の比であり、約3.14159である。これは最初に円形幾何学における事実として現れるが、解析学、確率論、物理学および数論においても繰り返し登場する。バッフォンの針の問題では、線分の可能なすべての方位を平均することによって現れる。Число π представляет собой отношение длины окружности к её диаметру, приблизительно 3,14159. Оно впервые появляется как геометрический факт, связанный с окружностью, но затем встречается в анализе, теории вероятностей, физике и теории чисел. В задаче Бюффона о булавле оно возникает при усреднении всех возможных ориентаций отрезка прямой.π ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser und beträgt ungefähr 3,14159. Es tritt zuerst als geometrische Eigenschaft von Kreisen auf, taucht jedoch wiederholt in der Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Physik und Zahlentheorie auf. Beim Buffonschen Nadelproblem entsteht es aus der Durchschnittsbildung aller möglichen Ausrichtungen eines Liniensegments.원주율(π)은 원의 둘레와 지름의 비율로, 약 3.14159이다. 원의 기하학적 성질로서 처음 등장하지만, 해석학, 확률론, 물리학, 수론 등 여러 분야에서 반복적으로 나타난다. 버프론의 바늘 문제에서는 선분의 가능한 모든 방향의 평균을 구하면서 등장한다..
Бюффон не пытался создать школьный трюк. Его «Essai d'arithmetique morale» принадлежал к новой тревоге относительно случая, полезности и ожидания, к эпохе, когда probabilityConceptprobabilityProbability is the mathematics of uncertain events. It began with problems in games of chance and grew into a language for risk, evidence, physics and statistics. By the eighteenth century, mathematicians were extending it beyond dice and cards into continuous settings where outcomes form regions rather than countable cases.概率论是对不确定事件的数学研究。它最初起源于对机会游戏问题的研究，后来发展成为描述风险、证据、物理和统计学的一种语言。到18世纪时，数学家们已将其应用范围从骰子和纸牌扩展到连续情形，其中结果形成区域而非可数的情况。La probabilidad es la matemática de los eventos inciertos. Comenzó con problemas en juegos de azar y se convirtió en un lenguaje para el riesgo, la evidencia, la física y la estadística. Para el siglo XVIII, los matemáticos ya la estaban extendiendo más allá de los dados y las cartas hacia contextos continuos donde los resultados forman regiones en lugar de casos contables.الاحتمال هو رياضيات الأحداث غير المؤكدة. بدأ مع مشاكل في ألعاب المقامرة، وانتهى بتصبح لغة للخطر والدلائل والفيزياء والإحصاء. بحلول القرن الثامن عشر، كان الرياضياتيون يمتدون بها إلى ما وراء النرد والبطاقات إلى الأوضاع المستمرة حيث تشكل النتائج مناطق بدلًا من الحالات العدديّة.A probabilidade é a matemática dos eventos incertos. Começou com problemas em jogos de azar e evoluiu para uma linguagem para risco, evidência, física e estatística. Até o século XVIII, matemáticos estavam a estendê-la além dos dados e cartas para situações contínuas, onde os resultados formam regiões em vez de casos contáveis.संभाव्यता अनिश्चित घटनाओं की गणित है। इसकी शुरुआत संभावना के खेलों से हुई और यह जोखिम, साक्ष्य, भौतिकी और सांख्यिकी की भाषा में विकसित हुई। अठारहवीं शताब्दी तक, गणितज्ञ इसे पासे और ताश के पत्तों से आगे बढ़ाकर ऐसे निरंतर स्थितियों में लागू करने लगे जहां परिणाम क्षेत्र बनाते हैं जबकि गिने जा सकने वाले मामले नहीं।Probabilitas adalah matematika dari kejadian yang tidak pasti. Awalnya muncul dari masalah dalam permainan keberuntungan, lalu berkembang menjadi bahasa untuk risiko, bukti, fisika, dan statistik. Pada abad kedelapan belas, para matematikawan mulai mengembangkannya melebihi dadu dan kartu ke dalam konteks kontinu di mana hasilnya membentuk daerah daripada kasus yang dapat dihitung.La probabilité est la mathématique des événements incertains. Elle a débuté avec des problèmes liés aux jeux de hasard et s'est développée en un langage pour exprimer le risque, les preuves, la physique et la statistique. Dès le XVIIIe siècle, les mathématiciens l'étendaient au-delà des dés et des cartes vers des contextes continus où les résultats forment des régions plutôt que des cas dénombrables.確率とは、不確実な事象を扱う数学の分野である。当初は、賭け事の問題から始まり、やがてリスク、証拠、物理学、統計学を表現する言語として発展した。18世紀までに、数学者たちはサイコロやトランプの問題にとどまらず、結果が個別に数えられるケースではなく領域を形成する連続的な設定へとその応用範囲を広げていた。Вероятность — это математика неопределённых событий. Она возникла из задач, связанных с азартными играми, и превратилась в язык для описания риска, доказательств, физики и статистики. К XVIII веку математики уже применяли её за пределами игральных костей и карт в непрерывных ситуациях, где результаты образуют области, а не счётные случаи.Wahrscheinlichkeit ist die Mathematik unsicherer Ereignisse. Sie begann mit Problemen in Glücksspielen und entwickelte sich zu einer Sprache für Risiko, Beweise, Physik und Statistik. Bis ins achtzehnte Jahrhundert hinüber erweiterten Mathematiker sie jenseits von Würfeln und Karten auf kontinuierliche Bereiche, in denen Ergebnisse Regionen statt abzählbarer Fälle bilden.확률은 불확실한 사건의 수학이다. 확률은 기회의 게임에서의 문제에서 시작하여 위험, 증거, 물리학 및 통계학의 언어로 발전하였다. 18세기까지 수학자들은 주사위와 카드를 넘어서 연속적인 상황으로 확률을 확장하여, 결과가 개수를 세어 셀 수 있는 경우가 아니라 영역을 이루는 경우를 다루게 되었다. переходил с игровых столов в законодательство, страхование и естественную философию. Задача с иголкой вывела случайность с кубиков и поместила её в пространство. Вместо того чтобы спрашивать, сколько граней может показать куб, она спрашивала, как физический объект может упасть в непрерывном поле возможных позиций.
Возьмём простейший случай. Линии разделены на расстоянии d. Иголка имеет длину l, не превышающую d. Как только она упадёт, две величины будут важны: расстояние x от её центра до ближайшей линии и острый угол theta, который иголка образует с намеченными линиями. Иголка пересечёт линию, если x не превысит половину её проецируемой высоты: (l/2) sin theta.
A linen-covered eighteenth-century writing desk holds a sheet of paper ruled with evenly sIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Площадь под синусом
Расчёт короткий, но он изменил тип объекта, которым может быть вероятность. Центр иголки может находиться в любом месте от 0 до d/2 от ближайшей линии. Угол может лежать в любом месте от 0 до pi/2. Эти две переменные образуют прямоугольник возможностей. Внутри него находится изогнутая область, где x <= (l/2) sin theta. Её площадь — это интеграл (l/2) sin theta от 0 до pi/2, который просто равен l/2.
Разделив эту благоприятную площадь на всю прямоугольную, (d/2)(pi/2), мы получим вероятность пересечения 2l/(pi d). Если иголка имеет длину, точно такую же, как расстояние между линиями, l = d, выражение сокращается до 2/pi. Круговая константа вошла через черную дверь, не потому, что кто-то измерял круг, а потому, что все ориентации иголки должны быть учтены.
A human hand releases a slender metal needle above a wooden surface featuring parallel inlIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Это был маленький рождение geometric probabilityConceptgeometric probabilityGeometric probability studies chance by measuring lengths, areas, volumes or other geometric sets of possible outcomes. Buffon's needle is its classic early example: the answer comes from comparing a favourable region under a sine curve with a rectangle of all possible needle positions and angles.几何概率通过测量长度、面积、体积或其他几何集合的可能结果来研究概率。布丰的投针问题是其经典的早期例子：答案来自于将正弦曲线下的有利区域与所有可能的针的位置和角度所组成的矩形进行比较。La probabilidad geométrica estudia el azar midiendo longitudes, áreas, volúmenes u otros conjuntos geométricos de resultados posibles. La aguja de Buffon es su ejemplo clásico temprano: la respuesta proviene al comparar una región favorable bajo una curva seno con un rectángulo que contiene todas las posiciones y ángulos posibles de la aguja.تدرس الاحتمالات الهندسية الاحتمال من خلال قياس الطول أو المساحة أو الحجم أو مجموعات هندسية أخرى من النتائج الممكنة. تُعد مسألة إبرة بوفون مثالاً كلاسيكياً مبكرًا: حيث يُستنتج الجواب من خلال مقارنة منطقة مواتية تحت منحنى الجيب بمستطيل يمثل جميع مواقف الإبرة الممكنة وزواياها.A probabilidade geométrica estuda a chance medindo comprimentos, áreas, volumes ou outros conjuntos geométricos de resultados possíveis. A agulha de Buffon é seu exemplo clássico inicial: a resposta surge ao comparar uma região favorável sob uma curva senoidal com um retângulo contendo todas as posições e ângulos possíveis da agulha.ज्यामितीय संभाव्यता परिणामों के संभावित समुच्चय के रूप में लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन या अन्य ज्यामितीय समुच्चय के मापन द्वारा संभावना का अध्ययन करती है। बफ़न की सुई इसका एक प्रारंभिक उदाहरण है: उत्तर एक साइन वक्र के तहत एक लाभप्रद क्षेत्र की तुलना सभी संभावित सुई स्थितियों और कोणों के एक आयत के साथ करके प्राप्त होता है।Probabilitas geometris mempelajari peluang dengan mengukur panjang, luas, volume, atau himpunan geometris lain dari hasil yang mungkin. Contoh klasik awalnya adalah jarum Buffon: jawabannya diperoleh dengan membandingkan daerah yang menguntungkan di bawah kurva sinus dengan persegi panjang yang mencakup semua posisi dan sudut jarum yang mungkin.La probabilité géométrique étudie le hasard en mesurant des longueurs, des aires, des volumes ou d'autres ensembles géométriques d'événements possibles. L'aiguille de Buffon en est un exemple classique du début de cette discipline : la réponse provient d'une comparaison d'une région favorable sous une courbe sinus avec un rectangle contenant toutes les positions et angles possibles de l'aiguille.幾何確率論は、長さや面積、体積、あるいはその他の幾何的集合を測定することによって確率を研究する。バッフォンの針問題はその古典的な初期の例である。この問題の答えは、正弦曲線の下にある有利な領域を、針の位置と角度のすべての可能な長方形領域と比較することによって得られる。Геометрическая вероятность изучает вероятность, измеряя длины, площади, объемы или другие геометрические множества возможных исходов. Примером классической ранней задачи является игла Бюффона: ответ находится путем сравнения благоприятной области под синусоидальной кривой с прямоугольником всех возможных положений и углов иглы.Die geometrische Wahrscheinlichkeit untersucht das Zufallsereignis durch die Messung von Längen, Flächen, Volumina oder anderen geometrischen Mengen möglicher Ergebnisse. Das „Nadelproblem“ von Buffon ist ihr klassisches frühes Beispiel: die Lösung ergibt sich aus dem Vergleich einer günstigen Region unter einer Sinuslinie mit einem Rechteck aller möglichen Nadelpositionen und Winkel.기하 확률은 길이, 면적, 부피 또는 다른 기하학적 집합의 가능한 결과를 측정함으로써 확률을 연구한다. 버퐁의 바늘은 이 분야의 고전적인 초기 예시로, 정현 곡선 아래의 유리한 영역을 바늘의 가능한 모든 위치와 각도를 포함하는 직사각형과 비교함으로써 답을 얻는다.. Обычная дискретная вероятность может подсчитывать случаи: орёл или решка, шесть сторон кубика, пятьдесят две карты. Задача Бюффона потребовала измерения на непрерывной основе. Она спрашивала, какая часть геометрического пространства соответствует успеху. Позже математики сделали этот язык более формальным, но суть движения уже присутствует в иголке: замените подсчёт на площадь, и шанс становится геометрией.
Бросание ради числа пи
Формулу можно перевернуть. Если n иголок упадут и h пересекут линию, то h/n оценивает вероятность пересечения. Перестановка даёт, что пи приблизительно равно 2ln/(dh). Арифметика почти оскорбительно проста. Работа заключается в том, чтобы сделать падения действительно случайными и принять, насколько медленно случайность платит свои долги.
A close macro view shows one metal needle crossing a deep groove in a wooden board while aIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Девятнадцатые века экспериментаторы всё равно попробовали. Швейцарский астроном Рудольф Вольф сообщил о 5 000 бросках около 1850 года и получил значение около 3,1596. А. Холл опубликовал экспериментальное определение в 1873 году. В 1901 году Mario LazzariniPersonMario LazzariniMario Lazzarini was an Italian mathematician associated with a celebrated 1901 report on Buffon's needle. He claimed to have estimated pi as 355/113 from 3,408 needle drops, an accuracy so striking that later writers have questioned whether the experiment was stopped, selected or intended as a mathematical joke.马里奥·拉扎里尼是一位意大利数学家，因1901年关于布丰针问题的著名报告而知名。他声称通过3408次投针实验，将圆周率π估算为355/113，其精度之高令人惊讶，后来的作者因此质疑该实验是否被人为停止或选择性记录，甚至可能是出于数学玩笑的目的而设计的。Mario Lazzarini fue un matemático italiano asociado con un celebrado informe de 1901 sobre la aguja de Buffon. Afirmó haber estimado pi como 355/113 tras 3 408 lanzamientos de agujas, una precisión tan notable que escritores posteriores se han preguntado si el experimento fue interrumpido, seleccionado o si se pretendía como una broma matemática.مARIO لازاريني هو عالم رياضيات إيطالي تربطه صلة بالรายงาน المشهور لعام 1901 حول إبرة بوفون. فقد زعم أنه حسب قيمة باي على أنها 355/113 من خلال 3408 تجربة إسقاط إبرة، ودقة هذا التقدير كانت هائلة لدرجة أن المؤلفين اللاحقين شككوا فيما إذا تم إيقاف التجربة، أو اختيار النتائج، أو أن التجربة كانت مزحة رياضية مقصودة.Mario Lazzarini foi um matemático italiano associado a um celebrado relatório de 1901 sobre o problema da agulha de Buffon. Ele alegou ter estimado pi como 355/113 a partir de 3.408 lançamentos de agulhas, uma precisão tão notável que escritores posteriores questionaram se o experimento foi interrompido, selecionado ou se destinava a ser uma brincadeira matemática.मारियो लाज़ारिनी एक इतालवी गणितज्ञ थे जो बफ़न की सुई पर 1901 की प्रसिद्ध रिपोर्ट से जुड़े हुए थे। उन्होंने 3,408 सुई गिराने के बाद दावा किया कि वे pi को 355/113 के रूप में अनुमानित कर सकते हैं, जो इतनी शानदार सटीकता के साथ है कि बाद के लेखकों ने यह सवाल उठाया है कि क्या प्रयोग बंद कर दिया गया था, चयनित किया गया था या गणितीय उपहास के रूप में निर्धारित किया गया था।Mario Lazzarini adalah seorang matematikawan Italia yang dikaitkan dengan laporan terkenal tahun 1901 mengenai jarum Buffon. Ia mengklaim telah memperkirakan nilai pi sebagai 355/113 dari 3.408 kali melemparkan jarum, sebuah akurasi yang begitu mengejutkan sehingga penulis-penulis selanjutnya mempertanyakan apakah eksperimen tersebut dihentikan, disaring, atau dimaksudkan sebagai lelucon matematis.Mario Lazzarini fut un mathématicien italien associé à un célèbre rapport de 1901 sur l’aiguille de Buffon. Il affirma avoir estimé pi comme étant égal à 355/113 à partir de 3 408 lancers d’aiguille, une précision si remarquable que des auteurs ultérieurs se sont interrogés sur le fait de savoir si l’expérience avait été arrêtée, sélectionnée ou conçue comme une plaisanterie mathématique.マリオ・ラザリニは、1901年のバッフォンの針に関する著名な報告書に関連したイタリアの数学者である。彼は3,408回の針を落とす実験を通じて、円周率を355/113と推定した。その精度は際立っており、後年の研究者はこの実験が終了した時点で結果が選定されたのか、あるいは単なる数学的ジョークであったのかを疑問視している。Марио Лазарини — итальянский математик, связанный с известным докладом 1901 года о игле Бюффона. Он утверждал, что оценил число пи как 355/113, используя 3408 бросков иглы, что настолько удивительно точно, что позднейшие авторы поставили под сомнение, не было ли эксперимент остановлен, подобран или же задуман как математический шут.Mario Lazzarini war ein italienischer Mathematiker, der mit einem berühmten Bericht von 1901 über das Nadelproblem von Buffon in Verbindung gebracht wird. Er behauptete, er habe π durch 355/113 aus 3408 Nadelwürfen geschätzt, eine Genauigkeit, die so bemerkenswert ist, dass spätere Autoren sich gefragt haben, ob das Experiment beendet, ausgewählt oder als mathematischer Witz gemeint war.마리오 라자리니(Mario Lazzarini)는 버논의 바늘(Buffon's needle)에 관한 1901년 유명한 보고서와 관련된 이탈리아 수학자이다. 그는 3,408번의 바늘 던지기 실험을 통해 원주율을 355/113으로 추정하였다. 이는 놀랄 만큼 정확한 수치로, 후에 이 실험이 중단되었거나 일부러 선택되었거나, 혹은 수학적 농담이 의도되었는지에 대해 의문을 제기하는 이들이 있었다. заявил о чём-то намного более точном: 3408 бросков иголок длиной 25 миллиметров на линиях, разделённых на 30 миллиметров, давших 355/113, знаменитое приближение до шести десятичных знаков 3,1415929.
Результат Лаззарини всегда выглядел слишком отшлифованным. Своим соотношением l/d = 5/6 его формула особенно благоприятствовала 355/113, и позже статистики рассматривали отчёт с подозрением: возможно, он был остановлен в удобный момент, возможно, отобран, возможно, написан с улыбкой для преподавателей, а не как серьёзное измерение. Суть не в том, что формула Бюффона не работает. Просто физическая случайность — плохой слуга, когда её просят дать слишком много десятичных знаков.
Всё равно, действие имело значение. Оценить пи, подсчитывая пересечения иголок — это вычисление со случайностью. Долгое время до электронных компьютеров, стол Бюффона предлагал аналоговую симуляцию: стохастическую машину из дерева, чернил и падающего металла.
От иголок к Монте-Карло
В конце 1940-х фраза Monte Carlo methodConceptMonte Carlo methodThe Monte Carlo method uses repeated random sampling to estimate quantities that are hard to compute directly. The name was coined in the mid-twentieth century during work at Los Alamos, but its ancestry reaches back to experiments such as Buffon's needle, where chance is used as a calculating device.蒙特卡罗方法利用重复的随机抽样来估算难以直接计算的数量。这一名称诞生于二十世纪中期洛斯阿拉莫斯的研究工作，但它的起源可以追溯到布丰针实验等早期实验，在这些实验中，概率被用作计算工具。El método Monte Carlo utiliza muestreo aleatorio repetido para estimar cantidades que resultan difíciles de calcular directamente. El nombre fue acuñado a mediados del siglo veinte durante trabajos en Los Alamos, pero su ascendencia se remonta a experimentos como la aguja de Buffon, donde el azar se emplea como dispositivo de cálculo.تستخدم طريقة مونتي كارلو أخذ العينات العشوائية المتكررة لتقدير الكميات التي من الصعب حسابها مباشرة. سُمِّيت الطريقة بهذا الاسم في منتصف القرن العشرين أثناء العمل في لوس ألاموس، لكن جذورها تعود إلى تجارب مثل عود بافون، حيث تُستخدم الفرصة كجهاز حسابي.O método Monte Carlo utiliza amostragem aleatória repetida para estimar quantidades difíceis de serem calculadas diretamente. O nome foi cunhado na segunda metade do século XX durante trabalhos em Los Alamos, mas sua ascendência remonta a experimentos como a agulha de Buffon, nos quais o acaso é usado como um dispositivo de cálculo.मॉन्टे कार्लो विधि के उपयोग से द्वारा सीधे गणना करने में कठिन मात्राओं का अनुमान बनाया जाता है। इसका नाम मध्य बीसवीं शताब्दी में लॉस एलमोस में कार्य के दौरान रखा गया था, लेकिन इसकी वंशवृति बफोन की सुई जैसे प्रयोगों तक पहुंचती है, जहां अवसर के उपयोग की गणना करने की एक युक्ति के रूप में की गई थी।Metode Monte Carlo menggunakan pengambilan sampel acak berulang untuk memperkirakan kuantitas yang sulit dihitung secara langsung. Nama ini diciptakan pada pertengahan abad kedua puluh selama pekerjaan di Los Alamos, tetapi asal usulnya dapat dilacak kembali ke eksperimen seperti jarum Buffon, di mana kebetulan digunakan sebagai alat perhitungan.La méthode Monte Carlo utilise un échantillonnage aléatoire répété pour estimer des quantités difficiles à calculer directement. Le nom a été forgé au milieu du vingtième siècle lors des travaux à Los Alamos, mais ses origines remontent à des expériences telles que l'aiguille de Buffon, où le hasard est utilisé comme dispositif de calcul.モンテカルロ法は、直接計算するのが困難な数量を推定するために、繰り返し無作為サンプリングを行う手法である。この名称は20世紀半ばにロスアラモスでの研究中に造られたが、その起源はバッフォンの針などの実験にまで遡り、これらは確率を計算装置として用いるものである。Метод Монте-Карло использует многократное случайное выборочное исследование для оценки величин, которые сложно вычислить напрямую. Название метода появилось в середине двадцатого века во время работ в Лос-Аламосе, но его происхождение связано с такими экспериментами, как игла Бюффона, где случайность используется как вычислительное устройство.Die Monte-Carlo-Methode verwendet wiederholte zufällige Stichproben, um Größen zu schätzen, die sich direkt schwer berechnen lassen. Der Name wurde Mitte des zwanzigsten Jahrhunderts während der Arbeit am Los Alamos National Laboratory geprägt, doch ihre Ursprünge reichen bis zu Experimenten wie dem Nadelproblem von Buffon zurück, bei dem das Zufallsprinzip als Rechenhilfe eingesetzt wird.몬테카를로 방법은 직접 계산하기 어려운 수량을 추정하기 위해 반복적인 확률적 표본추출을 사용한다. 이 방법의 이름은 20세기 중반 로스앨러모스에서의 연구 중 지어졌지만, 그 기원은 버퐁의 바늘 실험과 같이 확률을 계산 도구로 활용한 이전의 실험들로까지 거슬러 올라간다. приобрела современное значение в Лос-Аламосе, где John von NeumannPersonJohn von NeumannHungarian-American polymath (1903–1957) who made foundational contributions to set theory, quantum mechanics, game theory, computing, and nuclear weapons design. Present at the 1930 Königsberg conference where Gödel first hinted at incompleteness, he was reportedly the only attendee who grasped the result on the spot and independently derived the second incompleteness theorem within weeks.匈牙利裔美国博学者（1903—1957），在集合论、量子力学、博弈论、计算与核武器设计等领域作出奠基性贡献。1930 年哥廷根会议上，哥德尔首次暗示不完备性结果时他在场，据称是当场唯一领会其要义的与会者，并在数周内独立推导出第二不完备性定理。Polímata húngaro-estadounidense (1903-1957) que realizó contribuciones fundamentales a la teoría de conjuntos, la mecánica cuántica, la teoría de juegos, la computación y el diseño de armas nucleares. Presente en la conferencia de Königsberg de 1930, donde Gödel insinuó por primera vez la incompletitud, fue, según se dice, el único asistente que captó el resultado en el acto y dedujo de forma independiente el segundo teorema de incompletitud en cuestión de semanas.عالم موسوعي مجري-أمريكي (1903–1957) قدّم إسهامات تأسيسية في نظرية المجموعات وميكانيكا الكم ونظرية الألعاب والحوسبة وتصميم الأسلحة النووية. حضر مؤتمر كونيغسبرغ عام 1930 حيث ألمح غودل لأول مرة إلى نظرية عدم الاكتمال، ويُقال إنه كان الحاضر الوحيد الذي استوعب النتيجة على الفور، واستنتج بشكل مستقل نظرية عدم الاكتمال الثانية في غضون أسابيع.Polímata húngaro-americano (1903–1957) que deu contribuições fundamentais à teoria dos conjuntos, à mecânica quântica, à teoria dos jogos, à computação e ao projeto de armas nucleares. Presente na conferência de Königsberg de 1930, onde Gödel insinuou pela primeira vez a incompletude, foi, segundo relatos, o único participante a captar o resultado imediatamente e a deduzir de forma independente o segundo teorema da incompletude em poucas semanas.हंगेरियाई-अमेरिकी बहुश्रुत विद्वान (1903–1957) जिन्होंने समुच्चय सिद्धांत, क्वांटम यांत्रिकी, खेल सिद्धांत, संगणन और परमाणु हथियार अभिकल्पना में आधारभूत योगदान दिए। 1930 के कोनिग्सबर्ग सम्मेलन में उपस्थित, जहाँ गोडेल ने पहली बार अपूर्णता का संकेत दिया था, वे कथित रूप से एकमात्र ऐसे श्रोता थे जिन्होंने उसी क्षण इस परिणाम को समझ लिया और कुछ ही सप्ताहों के भीतर स्वतंत्र रूप से द्वितीय अपूर्णता प्रमेय की व्युत्पत्ति कर ली।Polimat Hungaria-Amerika (1903–1957) yang memberikan kontribusi fundamental pada teori himpunan, mekanika kuantum, teori permainan, komputasi, dan desain senjata nuklir. Hadir pada konferensi Königsberg 1930 ketika Gödel pertama kali mengisyaratkan ketidaklengkapan, ia dilaporkan sebagai satu-satunya peserta yang langsung memahami hasil tersebut di tempat dan secara independen menurunkan teorema ketidaklengkapan kedua dalam hitungan minggu.Polymathe américano-hongrois (1903-1957) qui apporta des contributions fondamentales à la théorie des ensembles, à la mécanique quantique, à la théorie des jeux, à l'informatique et à la conception des armes nucléaires. Présent à la conférence de Königsberg de 1930 où Gödel évoqua pour la première fois l'incomplétude, il fut, dit-on, le seul participant à saisir le résultat sur-le-champ et à dériver indépendamment le second théorème d'incomplétude en l'espace de quelques semaines.ハンガリー系アメリカ人の博学者（1903–1957）。集合論、量子力学、ゲーム理論、計算機科学、核兵器設計に基礎的な貢献をなした。1930年のケーニヒスベルク会議に出席し、ゲーデルが不完全性を初めて示唆した際、その結果をその場で把握した唯一の参加者であったと伝えられ、数週間のうちに第二不完全性定理を独自に導出した。Венгеро-американский эрудит (1903–1957), внёсший фундаментальный вклад в теорию множеств, квантовую механику, теорию игр, вычислительную технику и конструирование ядерного оружия. Присутствовал на Кёнигсбергской конференции 1930 года, где Гёдель впервые намекнул на неполноту; по имеющимся свидетельствам, он был единственным из участников, кто сразу осознал результат, и в течение нескольких недель самостоятельно вывел вторую теорему о неполноте.Ungarisch-amerikanischer Universalgelehrter (1903–1957), der grundlegende Beiträge zur Mengenlehre, Quantenmechanik, Spieltheorie, Informatik und zum Entwurf von Kernwaffen leistete. Anwesend auf der Königsberger Tagung 1930, auf der Gödel erstmals die Unvollständigkeit andeutete, soll er der einzige Teilnehmer gewesen sein, der das Ergebnis sofort erfasste, und leitete innerhalb weniger Wochen unabhängig den zweiten Unvollständigkeitssatz her.헝가리계 미국인 박학다식가(1903–1957)로, 집합론, 양자역학, 게임이론, 컴퓨팅, 핵무기 설계에 기초적인 기여를 했다. 1930년 쾨니히스베르크 회의에서 괴델이 불완전성을 처음 시사했을 때 참석했으며, 그 자리에서 결과를 즉시 이해한 유일한 참석자였다고 전해지고, 몇 주 만에 독자적으로 제2 불완전성 정리를 도출했다., Stanisław UlamPersonStanisław UlamStanisław Ulam was a Polish-American mathematician who worked at Los Alamos after the Second World War. He helped shape the modern Monte Carlo method, using random sampling to study problems in nuclear physics and computation. His career also touched set theory, topology, cellular automata and the design of early thermonuclear weapons.斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆（Stanisław Ulam）是一位波兰裔美国数学家，第二次世界大战后在洛斯阿拉莫斯工作。他帮助创立了现代蒙特卡洛方法，利用随机抽样研究核物理和计算中的问题。他的职业生涯还涉及集合论、拓扑学、细胞自动机以及早期热核武器的设计。Stanisław Ulam fue un matemático polaco-estadounidense que trabajó en Los Alamos tras la Segunda Guerra Mundial. Ayudó a desarrollar el moderno método Monte Carlo, que utiliza muestreo aleatorio para estudiar problemas de física nuclear y cálculo. Su carrera también abarcó la teoría de conjuntos, la topología, las máquinas celulares y el diseño de armas termonucleares tempranas.كان ستانيسلاف أولام عالم رياضيات بولندي-أمريكي عمل في لوس ألموس بعد الحرب العالمية الثانية. ساعد في تشكيل الطريقة الحديثة لمنطقة مونتي كارلو، باستخدام العينات العشوائية لدراسة المشكلات في الفيزياء النووية والحساب. شملت مسيرته المهنية أيضًا نظرية المجموعات والטופولوجيا والآلات الخلوية التلقائية والتصميم المبكر للأسلحة الحرارية النووية.Stanislaw Ulam foi um matemático polonês-americano que trabalhou em Los Alamos após a Segunda Guerra Mundial. Ele ajudou a desenvolver o método Monte Carlo moderno, usando amostragem aleatória para estudar problemas na física nuclear e computação. Sua carreira também abrangeu a teoria dos conjuntos, a topologia, os autômatos celulares e o desenho das primeiras armas termonucleares.स्टैनिस्लाव उलाम एक पोलिश-अमेरिकी गणितज्ञ थे जिन्होंने द्वितीय विश्व युद्ध के बाद लॉस एलमोस में काम किया। उन्होंने आधुनिक मॉन्टे कार्लो विधि का विकास किया, जिसमें नाभिकीय भौतिकी और कंप्यूटेशन में समस्याओं के अध्ययन के लिए यादृच्छिक नमूना लेने का उपयोग किया गया। उनके करियर में समुच्चय सिद्धांत, टोपोलॉजी, सेलुलर ऑटोमेटा और प्रारंभिक थर्मोन्यूक्लियर हथियारों के डिज़ाइन को भी छू लिया।Stanisław Ulam adalah seorang matematikawan Polandia-Amerika yang bekerja di Los Alamos setelah Perang Dunia Kedua. Ia membantu membentuk metode Monte Carlo modern, yang menggunakan sampel acak untuk mempelajari masalah dalam fisika nuklir dan komputasi. Kariernya juga meliputi teori himpunan, topologi, otomata seluler, serta desain senjata termonuklir awal.Stanisław Ulam fut un mathématicien polonais-américain qui travailla à Los Alamos après la Seconde Guerre mondiale. Il contribua à l'élaboration de la méthode moderne de Monte Carlo, utilisant l'échantillonnage aléatoire pour étudier des problèmes de physique nucléaire et de calcul. Sa carrière toucha également la théorie des ensembles, la topologie, les automates cellulaires et la conception des premières armes thermonucléaires.スタニスワフ・ウラムは第二次世界大戦後にロスアラモスで研究したポーランド出身のアメリカ人数学者である。モンテカルロ法の現代的な形を築くのに貢献し、核物理および計算における問題を確率的サンプリングによって研究した。彼の研究分野は集合論、位相幾何学、セル・オートマトンおよび初期の熱核融合兵器の設計にも及んでいる。Станислав Улам — польский и американский математик, работавший в Лос-Аламосе после Второй мировой войны. Он помог сформировать современный метод Монте-Карло, используя случайную выборку для изучения проблем в ядерной физике и вычислениях. Его карьера также касалась теории множеств, топологии, клеточных автоматов и разработки ранних термоядерных оружий.Stanisław Ulam war ein polnisch-amerikanischer Mathematiker, der nach dem Zweiten Weltkrieg am Los Alamos National Laboratory arbeitete. Er trug wesentlich zur Entwicklung der modernen Monte-Carlo-Methode bei, bei der zufällige Stichproben zur Untersuchung von Problemen in der Kernphysik und der Berechnung eingesetzt werden. Seine Karriere umfasste zudem die Mengenlehre, Topologie, zelluläre Automaten und das Design früher thermonuklearer Waffen.스테파니우 슐람(Stanisław Ulam)은 제2차 세계대전 이후 로스앨러모스에서 일한 폴란드계 미국 수학자였다. 그는 핵물리학과 계산 문제를 연구하기 위해 무작위 표집을 사용하는 현대 몬테카를로 방법의 발전에 기여했다. 그의 경력은 집합론, 위상수학, 세포 자동기 및 초기 열핵무기 설계에도 걸쳐졌다., Nicholas MetropolisPersonNicholas MetropolisNicholas Metropolis was a Greek-American physicist and computing pioneer at Los Alamos. He worked on early electronic computation and gave the Monte Carlo method its casino-derived name. His later work on sampling algorithms became central to computational physics, statistics and many forms of simulation.尼古拉斯·梅特罗波利斯（Nicholas Metropolis）是一位希腊裔美国物理学家，也是洛斯阿拉莫斯的计算机先驱。他从事早期电子计算的研究，并为蒙特卡洛方法起了这个源自赌场名称的方法。他后来在抽样算法方面的研究成为计算物理、统计学以及多种模拟方法的核心。Nicholas Metrópolis fue un físico y pionero de la computación griego-estadounidense que trabajó en Los Álamos. Trabajó en cálculos electrónicos tempranos y dio al método Monte Carlo su nombre derivado del casino. Su trabajo posterior sobre algoritmos de muestreo se convirtió en fundamental para la física computacional, la estadística y muchas formas de simulación.كان نيكولاس متروبوليس فيزيائيًا أمريكيًا من أصل يوناني وواحدًا من رواد الحواسيب في لوس ألاموس. عمل على الحوسبة الإلكترونية المبكرة وأعطى للطريقة الإحصائية "مونتي كارلو" اسمها المشتق من الكازينو. ساهمت أعماله اللاحقة على خوارزميات أخذ العينات في تشكيل جوهر الفيزياء الحاسوبية والإحصاء والكثير من أشكال المحاكاة.Nicholas Metropolis foi um físico e pioneiro da computação grego-americano que trabalhou no Laboratório de Los Alamos. Trabalhou na computação eletrônica inicial e deu ao método Monte Carlo seu nome derivado de cassino. Seu trabalho posterior sobre algoritmos de amostragem tornou-se central para a física computacional, estatística e muitas formas de simulação.निकोलस मेट्रोपोलिस एक यूनानी-अमेरिकी भौतिकविद और लॉस एलमोस में कम्प्यूटिंग के प्रारंभिक दौर के विशिष्ट व्यक्ति थे। उन्होंने प्रारंभिक इलेक्ट्रॉनिक कम्प्यूटेशन पर कार्य किया और मोंटे कार्लो विधि का उस जुए के नाम पर आधारित नाम दिया। उनके बाद के कार्य नमूना एल्गोरिदम पर केंद्रित थे, जो भौतिकी के कम्प्यूटेशनल, सांख्यिकी और अनेक प्रकार की सिमुलेशन में केंद्रीय भूमिका निभाते हैं।Nicholas Metropolis adalah seorang fisikawan dan pelopor komputasi berkebangsaan Yunani-Amerika yang bekerja di Los Alamos. Ia meneliti komputasi elektronik awal dan memberi nama metode Monte Carlo dengan sebutan yang berasal dari kasino. Karyanya kemudian tentang algoritma pengambilan sampel menjadi pusat dalam fisika komputasi, statistik, dan berbagai bentuk simulasi.Nicholas Metropolis fut un physicien grec-américain et un pionnier de l'informatique à Los Alamos. Il travailla sur les premiers calculs électroniques et donna à la méthode Monte Carlo son nom inspiré des casinos. Son travail ultérieur sur les algorithmes d'échantillonnage devint central en physique computationnelle, en statistique et dans de nombreuses formes de simulation.ニコラス・メトロポリスは、ギリシャ系アメリカ人の物理学者で、ロスアラモスで活躍した計算機科学の先駆者である。彼は初期の電子計算機の開発に携わり、「モンテカルロ法」というカジノ由来の名称を考案した。その後、サンプリングアルゴリズムに関する研究は、計算物理学、統計学およびさまざまなシミュレーションにおいて中心的な役割を果たすことになった。Николас Метрополис был греко-американским физиком и пионером вычислительной техники в Лос-Аламосе. Он работал над ранними электронными вычислениями и дал методу Монте-Карло его название, происходящее от казино. Его более поздняя работа по алгоритмам выборки стала центральной для вычислительной физики, статистики и многих видов моделирования.Nicholas Metropolis war ein griechisch-amerikanischer Physiker und Pionier der Informatik am Los Alamos National Laboratory. Er arbeitete an frühen elektronischen Rechenverfahren und gab der Monte-Carlo-Methode ihren namensgebenden Bezug zum Casino. Seine späteren Arbeiten zu Sampling-Algorithmen wurden zentral für die theoretische Physik, Statistik und viele Formen der Simulation.니콜라스 메트로폴리스는 그리스계 미국인 물리학자이자 로스앨러모스에서 활동한 컴퓨팅 분야의 선구자였다. 그는 초기 전자 계산기에 참여했으며, 몬테카를로 방법에 도박장에서 유래된 이름을 붙였다. 이후 그가 개발한 샘플링 알고리즘은 계산 물리학, 통계학 및 다양한 시뮬레이션 분야의 핵심이 되었다. и другие использовали случайную выборку для решения задач, слишком запутанных для прямых вычислений. Нейтроны, движущиеся через вещество, высокомерные интегралы, ветвящиеся цепочки возможных будущих: это не были задачи иголки на бумаге, но они разделяли ту же ставку. Просто честно исследуйте пространство, и величина, скрытая в геометрии, начнёт проявляться.
A nineteenth-century wooden experiment table is covered with many scattered brass needlesIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Иголка Бюффона поэтому является и предком, и предупреждением. Она демонстрирует инстинкт Монте-Карло почти без механизмов, но также показывает цену. Случайные оценки сходятся со скоростью, пропорциональной одной из квадратного корня из количества испытаний. Чтобы получить одну дополнительную десятичную цифру, нужно не в десять раз больше бросков, а примерно в сто раз больше. Миллион иголок всё ещё был бы громоздким способом узнать то, что окружность уже знает.
Метод выжил, потому что пи никогда не было настоящей наградой. Важным фактом было то, что вероятность могла заменить интеграл. Счёт пересечений Бюффона измеряет площадь под синусоидальной кривой, не рисуя эту область напрямую. Современные симуляции делают то же самое в более устрашающих пространствах, где интеграл может иметь тысячи измерений и вообще не иметь человеческого изображения.
A tidy tabletop reconstruction uses a set of identical metal needles and a board with grooIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
То, что иголка оставляет открытым
Слово случайное делает больше работы, чем кажется на первый взгляд. Вывод Бюффона предполагает, что положение центра и угол равномерно распределены. Рука человека, бросающая иголку, может предпочитать определённые углы; доска может иметь края; иголка может отскакивать, катиться или застревать.
Есть также вопрос о том, что Бюффон на самом деле делал, а не доказал. Истории о хлебных ломтях, упавших на кафельный пол, циркулируют уже много поколений, но доказательная база тонкая. Математика более устойчива, чем анекдот.
A mid-century laboratory tabletop uses diceIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
Лаззарини остаётся ещё одним открытым вопросом. Его цифры 1901 года знамениты частично потому, что они такие хорошие, и подозрительны по той же причине. Результат может быть математически совместим с экспериментом и всё равно исторически сложно доверять.
Глубокая неопределённость философская. Когда детерминированный мир обеспечивает разброс результатов, где именно входит случайность: в невежестве, в физическом беспорядке или в модели, которую мы выбираем, чтобы наложить? Иголка Бюффона не решает вопрос. Она даёт ему чистый пол и линию, которую нужно пересечь.
Упавшая иголка не имеет понятия о том, что такое пи. Она падает или промахивается. Только после множества таких безразличных движений круг объявляет о себе, тихо, в своде пересечений.
작은 바늘은 눈금이 있는 테이블 위를 떨어지며 원을 수로 바꾼다. 충분히 여러 번 떨어뜨리고, 교차점을 세어보면 오래된 상수 파이가 긁힌 자국, 빗나간 궤적, 그리고 좁은 각도의 우연 속에서 서서히 드러난다.
1777년에 Georges-Louis Leclerc, Comte de BuffonPersonGeorges-Louis Leclerc, Comte de BuffonGeorges-Louis Leclerc, Comte de Buffon was an eighteenth-century French naturalist and mathematician, best known for his vast Histoire naturelle. His work ranged from zoology and geology to the mathematics of chance. In 1777 he published the needle problem that made random geometry a serious object of calculation.乔治-路易·勒克莱尔，布封伯爵是18世纪法国的博物学家和数学家，以其宏大的《自然史》最为著名。他的研究范围涵盖了动物学、地质学以及概率数学。1777年，他发表了“布丰投针问题”，使随机几何成为严肃的计算对象。Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon fue un naturalista y matemático francés del siglo XVIII, más conocido por su extensa Histoire naturelle. Su obra abarcó desde la zoología y la geología hasta las matemáticas de la probabilidad. En 1777 publicó el problema de la aguja, que convirtió la geometría aleatoria en un objeto serio de cálculo.جورج لويس لوكير، كونت دي بوفون كان عالم طبيعة ورياضيات فرنسي في القرن الثامن عشر، ويُعرف بشكل رئيسي بعمله الواسع "تاريخ طبيعي". امتدت أعماله من علم الحيوانات والجيولوجيا إلى رياضيات الحظ. نشر في عام 1777 مسألة الإبرة التي جعلت الهندسة العشوائية موضوعًا جادًا للحساب.Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon foi um naturalista e matemático francês do século XVIII, mais conhecido por sua vasta Histoire naturelle. Seu trabalho abrangia desde a zoologia e a geologia até a matemática da casualidade. Em 1777 publicou o problema da agulha, que tornou a geometria aleatória um objeto sério de cálculo.जीओर्ज-लुई लेक्लेर, काउंट डी बफ़ॉन अठारहवीं शताब्दी के फ़्रांसीसी प्राकृतिक विज्ञानी और गणितज्ञ थे, जिनके लिए उनकी विशाल "हिस्तोयर नैचुरेल" के कारण वे प्रसिद्ध हैं। उनका कार्य जीवविज्ञान और भूविज्ञान से लेकर संभाव्यता के गणित तक फैला हुआ था। 1777 में उन्होंने एक समस्या प्रकाशित की, जिसके कारण यादृच्छिक ज्यामिति गणना का गम्भीर विषय बन गई।Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon adalah seorang naturalis dan matematikawan Prancis abad keduabelas, yang paling dikenal karena karyanya yang luas, Histoire naturelle. Karyanya mencakup berbagai bidang, dari zoologi dan geologi hingga matematika peluang. Pada tahun 1777 ia menerbitkan masalah jarum yang membuat geometri acak menjadi objek serius dalam perhitungan.Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon, fut un naturaliste et mathématicien français du xviiie siècle, surtout connu pour son vaste ouvrage intitulé Histoire naturelle. Son œuvre s'étendait de la zoologie et de la géologie aux mathématiques du hasard. En 1777, il publia le problème de l'aiguille, qui fit de la géométrie aléatoire un objet sérieux de calcul.ジョルジュ＝ルイ・レクルール、バフオン男爵は18世紀のフランスの自然学者で、大規模な『自然史』で最も知られている。彼の研究は動物学や地質学から確率の数学に至るまで幅広かった。1777年、彼はランダム幾何学を真剣な計算対象とした針の問題を発表した。Жорж-Луи Леклерк, граф Бюффон, был французским натурописцем и математиком XVIII века, наиболее известным своей обширной «Натуральной историей». Его работы охватывали зоологию и геологию, а также математику вероятностей. В 1777 году он опубликовал задачу о игле, которая сделала случайную геометрию серьёзным объектом вычислений.Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon, war ein französischer Naturforscher und Mathematiker des 18. Jahrhunderts, am besten bekannt für sein umfassendes Werk Histoire naturelle. Seine Arbeit erstreckte sich von der Zoologie und Geologie bis hin zur Mathematik des Zufalls. 1777 veröffentlichte er das Nadelproblem, das die zufällige Geometrie zu einem ernstzunehmenden Gegenstand der Berechnung machte.조르주 루이 르클레르 코뮌 드 뷔퐁은 18세기 프랑스의 자연주의자이자 수학자로, 방대한 『자연사』로 가장 유명하다. 그의 연구 분야는 동물학과 지질학에서부터 확률의 수학에 이르기까지 폭넓었다. 1777년 그는 확률 기하학을 진지한 계산 대상으로 만든 핀 문제를 발표했다.은 종이 한 장과 바늘 하나로 실험할 수 있을 만큼 미약한 문제를 제시했다. 같은 간격으로 평행선을 그어라. 바늘을 무작위로 떨어뜨리고, 그것이 선을 건널 확률을 물어보라. 이는 단순한 놀이 실험처럼 보였지만, 그 속에는 piConceptpiPi is the ratio of a circle's circumference to its diameter, approximately 3.14159. It appears first as a fact of circular geometry, but it recurs through analysis, probability, physics and number theory. In Buffon's needle problem it arises from averaging all possible orientations of a line segment.圆周率π是一个圆的周长与直径的比值，约为3.14159。它最初作为圆的几何特性出现，但随后在分析学、概率论、物理学和数论中反复出现。在布丰投针问题中，它来源于对线段所有可能方向的平均计算。Pi es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, aproximadamente 3,14159. Aparece en un primer momento como un hecho de la geometría circular, pero vuelve a aparecer a lo largo del análisis, la probabilidad, la física y la teoría de números. En el problema de la aguja de Buffon surge al promediar todas las orientaciones posibles de un segmento de línea.العدد باي هو نسبة محيط الدائرة إلى قطرها، ويُقدر بحوالي 3.14159. يظهر لأول مرة كمعلومة هندسية تتعلق بالدوائر، لكنه يتكرر في التحليل والاحتمالات والفيزياء ونظرية الأعداد. في مسألة إبرة بوفون، يظهر من متوسط جميع الاتجاهات الممكنة لقطعة مستقيمة.Pi é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro, aproximadamente 3,14159. Aparece pela primeira vez como fato da geometria circular, mas recorre através da análise, probabilidade, física e teoria dos números. No problema da agulha de Buffon, surge a partir da média de todas as orientações possíveis de um segmento de reta.π एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात है, लगभग 3.14159। यह सर्वप्रथम वृत्तीय ज्यामिति के तथ्य के रूप में प्रकट होता है, लेकिन विश्लेषण, संभाव्यता, भौतिकी और संख्या सिद्धांत में इसकी पुनरावृत्ति होती है। बफ़ोन की सुई की समस्या में एक रेखाखंड की सभी संभावित दिशाओं के औसत से यह उत्पन्न होता है।Pi adalah rasio keliling lingkaran terhadap diameternya, sekitar 3,14159. Pi muncul pertama kali sebagai fakta dalam geometri lingkaran, tetapi muncul kembali dalam analisis, probabilitas, fisika, dan teori bilangan. Dalam permasalahan jarum Buffon, Pi muncul dari rata-rata semua orientasi yang mungkin dari sebuah segmen garis.Pi est le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre, environ 3,14159. Il apparaît d'abord comme une propriété géométrique des cercles, mais il se retrouve ensuite en analyse, en probabilité, en physique et en théorie des nombres. Dans le problème de l'aiguille de Buffon, il émerge en prenant la moyenne de toutes les orientations possibles d'un segment de droite.円周率（パイ）は、円の円周長とその直径の比であり、約3.14159である。これは最初に円形幾何学における事実として現れるが、解析学、確率論、物理学および数論においても繰り返し登場する。バッフォンの針の問題では、線分の可能なすべての方位を平均することによって現れる。Число π представляет собой отношение длины окружности к её диаметру, приблизительно 3,14159. Оно впервые появляется как геометрический факт, связанный с окружностью, но затем встречается в анализе, теории вероятностей, физике и теории чисел. В задаче Бюффона о булавле оно возникает при усреднении всех возможных ориентаций отрезка прямой.π ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser und beträgt ungefähr 3,14159. Es tritt zuerst als geometrische Eigenschaft von Kreisen auf, taucht jedoch wiederholt in der Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Physik und Zahlentheorie auf. Beim Buffonschen Nadelproblem entsteht es aus der Durchschnittsbildung aller möglichen Ausrichtungen eines Liniensegments.원주율(π)은 원의 둘레와 지름의 비율로, 약 3.14159이다. 원의 기하학적 성질로서 처음 등장하지만, 해석학, 확률론, 물리학, 수론 등 여러 분야에서 반복적으로 나타난다. 버프론의 바늘 문제에서는 선분의 가능한 모든 방향의 평균을 구하면서 등장한다.이 숨어 있었다.
버퐁은 학교에서의 놀이 도구를 만들려는 것이 아니었다. 그의 『도덕 산술론』은 확률, 효용성, 기대에 대한 새로운 불안을 반영한 것이었다. 당시 probabilityConceptprobabilityProbability is the mathematics of uncertain events. It began with problems in games of chance and grew into a language for risk, evidence, physics and statistics. By the eighteenth century, mathematicians were extending it beyond dice and cards into continuous settings where outcomes form regions rather than countable cases.概率论是对不确定事件的数学研究。它最初起源于对机会游戏问题的研究，后来发展成为描述风险、证据、物理和统计学的一种语言。到18世纪时，数学家们已将其应用范围从骰子和纸牌扩展到连续情形，其中结果形成区域而非可数的情况。La probabilidad es la matemática de los eventos inciertos. Comenzó con problemas en juegos de azar y se convirtió en un lenguaje para el riesgo, la evidencia, la física y la estadística. Para el siglo XVIII, los matemáticos ya la estaban extendiendo más allá de los dados y las cartas hacia contextos continuos donde los resultados forman regiones en lugar de casos contables.الاحتمال هو رياضيات الأحداث غير المؤكدة. بدأ مع مشاكل في ألعاب المقامرة، وانتهى بتصبح لغة للخطر والدلائل والفيزياء والإحصاء. بحلول القرن الثامن عشر، كان الرياضياتيون يمتدون بها إلى ما وراء النرد والبطاقات إلى الأوضاع المستمرة حيث تشكل النتائج مناطق بدلًا من الحالات العدديّة.A probabilidade é a matemática dos eventos incertos. Começou com problemas em jogos de azar e evoluiu para uma linguagem para risco, evidência, física e estatística. Até o século XVIII, matemáticos estavam a estendê-la além dos dados e cartas para situações contínuas, onde os resultados formam regiões em vez de casos contáveis.संभाव्यता अनिश्चित घटनाओं की गणित है। इसकी शुरुआत संभावना के खेलों से हुई और यह जोखिम, साक्ष्य, भौतिकी और सांख्यिकी की भाषा में विकसित हुई। अठारहवीं शताब्दी तक, गणितज्ञ इसे पासे और ताश के पत्तों से आगे बढ़ाकर ऐसे निरंतर स्थितियों में लागू करने लगे जहां परिणाम क्षेत्र बनाते हैं जबकि गिने जा सकने वाले मामले नहीं।Probabilitas adalah matematika dari kejadian yang tidak pasti. Awalnya muncul dari masalah dalam permainan keberuntungan, lalu berkembang menjadi bahasa untuk risiko, bukti, fisika, dan statistik. Pada abad kedelapan belas, para matematikawan mulai mengembangkannya melebihi dadu dan kartu ke dalam konteks kontinu di mana hasilnya membentuk daerah daripada kasus yang dapat dihitung.La probabilité est la mathématique des événements incertains. Elle a débuté avec des problèmes liés aux jeux de hasard et s'est développée en un langage pour exprimer le risque, les preuves, la physique et la statistique. Dès le XVIIIe siècle, les mathématiciens l'étendaient au-delà des dés et des cartes vers des contextes continus où les résultats forment des régions plutôt que des cas dénombrables.確率とは、不確実な事象を扱う数学の分野である。当初は、賭け事の問題から始まり、やがてリスク、証拠、物理学、統計学を表現する言語として発展した。18世紀までに、数学者たちはサイコロやトランプの問題にとどまらず、結果が個別に数えられるケースではなく領域を形成する連続的な設定へとその応用範囲を広げていた。Вероятность — это математика неопределённых событий. Она возникла из задач, связанных с азартными играми, и превратилась в язык для описания риска, доказательств, физики и статистики. К XVIII веку математики уже применяли её за пределами игральных костей и карт в непрерывных ситуациях, где результаты образуют области, а не счётные случаи.Wahrscheinlichkeit ist die Mathematik unsicherer Ereignisse. Sie begann mit Problemen in Glücksspielen und entwickelte sich zu einer Sprache für Risiko, Beweise, Physik und Statistik. Bis ins achtzehnte Jahrhundert hinüber erweiterten Mathematiker sie jenseits von Würfeln und Karten auf kontinuierliche Bereiche, in denen Ergebnisse Regionen statt abzählbarer Fälle bilden.확률은 불확실한 사건의 수학이다. 확률은 기회의 게임에서의 문제에서 시작하여 위험, 증거, 물리학 및 통계학의 언어로 발전하였다. 18세기까지 수학자들은 주사위와 카드를 넘어서 연속적인 상황으로 확률을 확장하여, 결과가 개수를 세어 셀 수 있는 경우가 아니라 영역을 이루는 경우를 다루게 되었다.는 도박 테이블에서 법률, 보험, 자연 철학으로 이동하고 있었다. 바늘 문제는 주사위에서 확률을 떼어내어 공간으로 옮긴 것이었다. 주사위의 면 수를 세는 대신, 물리적 대상이 연속적인 위치 공간에 어떻게 떨어질 수 있는지를 묻는 것이었다.
가장 단순한 경우를 살펴보자. 선들은 거리 d만큼 간격을 두고 있다. 바늘의 길이는 l이며, d보다는 짧거나 같다. 바늘이 떨어진 후, 두 가지 요소가 중요하다. 중심에서 가까운 선까지의 거리 x와, 바늘이 그어진 선과 이루는 예각 theta이다. 바늘이 선을 건너는 조건은 x가 최대 바늘의 반 투영 높이, 즉 (l/2) sin theta보다 작거나 같을 때이다.
A linen-covered eighteenth-century writing desk holds a sheet of paper ruled with evenly sIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
사인 곡선 아래의 면적
계산은 짧지만, 확률이 될 수 있는 대상의 종류를 바꾸어 놓았다. 바늘의 중심은 가까운 선에서 0부터 d/2까지 어디든 있을 수 있다. 각도는 0부터 pi/2까지 어떤 각도든 될 수 있다. 이 두 변수는 가능성의 직사각형을 만든다. 그 안에는 x <= (l/2) sin theta인 곡선 영역이 있다. 이 영역의 면적은 0부터 pi/2까지 (l/2) sin theta의 적분값, 즉 단순히 l/2이다.
이 유리한 면적을 전체 직사각형 (d/2)(pi/2)로 나누면, 선을 건널 확률은 2l/(pi d)가 된다. 바늘의 길이가 선 간격과 같을 경우, 즉 l = d일 때, 표현식은 2/pi로 간략화된다. 둥근 상수는 아무도 원을 측정하지 않았음에도 불구하고, 바늘의 모든 방향을 세어야 하기 때문에 뒷문을 통해 등장한 것이다.
A human hand releases a slender metal needle above a wooden surface featuring parallel inlIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
이것은 geometric probabilityConceptgeometric probabilityGeometric probability studies chance by measuring lengths, areas, volumes or other geometric sets of possible outcomes. Buffon's needle is its classic early example: the answer comes from comparing a favourable region under a sine curve with a rectangle of all possible needle positions and angles.几何概率通过测量长度、面积、体积或其他几何集合的可能结果来研究概率。布丰的投针问题是其经典的早期例子：答案来自于将正弦曲线下的有利区域与所有可能的针的位置和角度所组成的矩形进行比较。La probabilidad geométrica estudia el azar midiendo longitudes, áreas, volúmenes u otros conjuntos geométricos de resultados posibles. La aguja de Buffon es su ejemplo clásico temprano: la respuesta proviene al comparar una región favorable bajo una curva seno con un rectángulo que contiene todas las posiciones y ángulos posibles de la aguja.تدرس الاحتمالات الهندسية الاحتمال من خلال قياس الطول أو المساحة أو الحجم أو مجموعات هندسية أخرى من النتائج الممكنة. تُعد مسألة إبرة بوفون مثالاً كلاسيكياً مبكرًا: حيث يُستنتج الجواب من خلال مقارنة منطقة مواتية تحت منحنى الجيب بمستطيل يمثل جميع مواقف الإبرة الممكنة وزواياها.A probabilidade geométrica estuda a chance medindo comprimentos, áreas, volumes ou outros conjuntos geométricos de resultados possíveis. A agulha de Buffon é seu exemplo clássico inicial: a resposta surge ao comparar uma região favorável sob uma curva senoidal com um retângulo contendo todas as posições e ângulos possíveis da agulha.ज्यामितीय संभाव्यता परिणामों के संभावित समुच्चय के रूप में लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन या अन्य ज्यामितीय समुच्चय के मापन द्वारा संभावना का अध्ययन करती है। बफ़न की सुई इसका एक प्रारंभिक उदाहरण है: उत्तर एक साइन वक्र के तहत एक लाभप्रद क्षेत्र की तुलना सभी संभावित सुई स्थितियों और कोणों के एक आयत के साथ करके प्राप्त होता है।Probabilitas geometris mempelajari peluang dengan mengukur panjang, luas, volume, atau himpunan geometris lain dari hasil yang mungkin. Contoh klasik awalnya adalah jarum Buffon: jawabannya diperoleh dengan membandingkan daerah yang menguntungkan di bawah kurva sinus dengan persegi panjang yang mencakup semua posisi dan sudut jarum yang mungkin.La probabilité géométrique étudie le hasard en mesurant des longueurs, des aires, des volumes ou d'autres ensembles géométriques d'événements possibles. L'aiguille de Buffon en est un exemple classique du début de cette discipline : la réponse provient d'une comparaison d'une région favorable sous une courbe sinus avec un rectangle contenant toutes les positions et angles possibles de l'aiguille.幾何確率論は、長さや面積、体積、あるいはその他の幾何的集合を測定することによって確率を研究する。バッフォンの針問題はその古典的な初期の例である。この問題の答えは、正弦曲線の下にある有利な領域を、針の位置と角度のすべての可能な長方形領域と比較することによって得られる。Геометрическая вероятность изучает вероятность, измеряя длины, площади, объемы или другие геометрические множества возможных исходов. Примером классической ранней задачи является игла Бюффона: ответ находится путем сравнения благоприятной области под синусоидальной кривой с прямоугольником всех возможных положений и углов иглы.Die geometrische Wahrscheinlichkeit untersucht das Zufallsereignis durch die Messung von Längen, Flächen, Volumina oder anderen geometrischen Mengen möglicher Ergebnisse. Das „Nadelproblem“ von Buffon ist ihr klassisches frühes Beispiel: die Lösung ergibt sich aus dem Vergleich einer günstigen Region unter einer Sinuslinie mit einem Rechteck aller möglichen Nadelpositionen und Winkel.기하 확률은 길이, 면적, 부피 또는 다른 기하학적 집합의 가능한 결과를 측정함으로써 확률을 연구한다. 버퐁의 바늘은 이 분야의 고전적인 초기 예시로, 정현 곡선 아래의 유리한 영역을 바늘의 가능한 모든 위치와 각도를 포함하는 직사각형과 비교함으로써 답을 얻는다.의 작은 탄생이었다. 보통의 이산 확률은 경우의 수를 세는 것이 가능하다. 동전의 앞면이나 뒷면, 주사위의 여섯 면, 52장의 카드가 그렇다. 버퐁의 문제는 연속체에 대한 측도를 필요로 했다. 성공에 해당하는 기하 공간의 얼마나 많은 부분을 묻는 것이었다. 이후 수학자들은 이 언어를 더 형식화했지만, 바늘에서 이미 본질적인 움직임이 있었다. 계산을 면적으로 대체하면, 확률은 기하학이 된다.
바늘 던지기로 파이 계산
공식은 뒤집을 수도 있다. n개의 바늘을 떨어뜨리고 h개가 선을 건넜다면, h/n은 건널 확률의 추정치가 된다. 다시 정리하면, pi는 약 2ln/(dh)가 된다. 산수는 거의 공격적으로 간단하다. 노동은 바늘의 떨어짐이 진정한 무작위인지 확인하는 것과, 무작위가 빚을 갚는 속도가 얼마나 느린지를 받아들이는 데 있다.
A close macro view shows one metal needle crossing a deep groove in a wooden board while aIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
19세기 실험자들은 그래도 시도했다. 스위스 천문학자 루돌프 폰沃尔프는 1850년에 5,000번의 던지기를 보고 3.1596에 가까운 값을 얻었다. A. 홀은 1873년에 실험적 결정을 발표했다. 1901년 Mario LazzariniPersonMario LazzariniMario Lazzarini was an Italian mathematician associated with a celebrated 1901 report on Buffon's needle. He claimed to have estimated pi as 355/113 from 3,408 needle drops, an accuracy so striking that later writers have questioned whether the experiment was stopped, selected or intended as a mathematical joke.马里奥·拉扎里尼是一位意大利数学家，因1901年关于布丰针问题的著名报告而知名。他声称通过3408次投针实验，将圆周率π估算为355/113，其精度之高令人惊讶，后来的作者因此质疑该实验是否被人为停止或选择性记录，甚至可能是出于数学玩笑的目的而设计的。Mario Lazzarini fue un matemático italiano asociado con un celebrado informe de 1901 sobre la aguja de Buffon. Afirmó haber estimado pi como 355/113 tras 3 408 lanzamientos de agujas, una precisión tan notable que escritores posteriores se han preguntado si el experimento fue interrumpido, seleccionado o si se pretendía como una broma matemática.مARIO لازاريني هو عالم رياضيات إيطالي تربطه صلة بالรายงาน المشهور لعام 1901 حول إبرة بوفون. فقد زعم أنه حسب قيمة باي على أنها 355/113 من خلال 3408 تجربة إسقاط إبرة، ودقة هذا التقدير كانت هائلة لدرجة أن المؤلفين اللاحقين شككوا فيما إذا تم إيقاف التجربة، أو اختيار النتائج، أو أن التجربة كانت مزحة رياضية مقصودة.Mario Lazzarini foi um matemático italiano associado a um celebrado relatório de 1901 sobre o problema da agulha de Buffon. Ele alegou ter estimado pi como 355/113 a partir de 3.408 lançamentos de agulhas, uma precisão tão notável que escritores posteriores questionaram se o experimento foi interrompido, selecionado ou se destinava a ser uma brincadeira matemática.मारियो लाज़ारिनी एक इतालवी गणितज्ञ थे जो बफ़न की सुई पर 1901 की प्रसिद्ध रिपोर्ट से जुड़े हुए थे। उन्होंने 3,408 सुई गिराने के बाद दावा किया कि वे pi को 355/113 के रूप में अनुमानित कर सकते हैं, जो इतनी शानदार सटीकता के साथ है कि बाद के लेखकों ने यह सवाल उठाया है कि क्या प्रयोग बंद कर दिया गया था, चयनित किया गया था या गणितीय उपहास के रूप में निर्धारित किया गया था।Mario Lazzarini adalah seorang matematikawan Italia yang dikaitkan dengan laporan terkenal tahun 1901 mengenai jarum Buffon. Ia mengklaim telah memperkirakan nilai pi sebagai 355/113 dari 3.408 kali melemparkan jarum, sebuah akurasi yang begitu mengejutkan sehingga penulis-penulis selanjutnya mempertanyakan apakah eksperimen tersebut dihentikan, disaring, atau dimaksudkan sebagai lelucon matematis.Mario Lazzarini fut un mathématicien italien associé à un célèbre rapport de 1901 sur l’aiguille de Buffon. Il affirma avoir estimé pi comme étant égal à 355/113 à partir de 3 408 lancers d’aiguille, une précision si remarquable que des auteurs ultérieurs se sont interrogés sur le fait de savoir si l’expérience avait été arrêtée, sélectionnée ou conçue comme une plaisanterie mathématique.マリオ・ラザリニは、1901年のバッフォンの針に関する著名な報告書に関連したイタリアの数学者である。彼は3,408回の針を落とす実験を通じて、円周率を355/113と推定した。その精度は際立っており、後年の研究者はこの実験が終了した時点で結果が選定されたのか、あるいは単なる数学的ジョークであったのかを疑問視している。Марио Лазарини — итальянский математик, связанный с известным докладом 1901 года о игле Бюффона. Он утверждал, что оценил число пи как 355/113, используя 3408 бросков иглы, что настолько удивительно точно, что позднейшие авторы поставили под сомнение, не было ли эксперимент остановлен, подобран или же задуман как математический шут.Mario Lazzarini war ein italienischer Mathematiker, der mit einem berühmten Bericht von 1901 über das Nadelproblem von Buffon in Verbindung gebracht wird. Er behauptete, er habe π durch 355/113 aus 3408 Nadelwürfen geschätzt, eine Genauigkeit, die so bemerkenswert ist, dass spätere Autoren sich gefragt haben, ob das Experiment beendet, ausgewählt oder als mathematischer Witz gemeint war.마리오 라자리니(Mario Lazzarini)는 버논의 바늘(Buffon's needle)에 관한 1901년 유명한 보고서와 관련된 이탈리아 수학자이다. 그는 3,408번의 바늘 던지기 실험을 통해 원주율을 355/113으로 추정하였다. 이는 놀랄 만큼 정확한 수치로, 후에 이 실험이 중단되었거나 일부러 선택되었거나, 혹은 수학적 농담이 의도되었는지에 대해 의문을 제기하는 이들이 있었다.는 훨씬 날카로운 값을 주장했다. 길이 25밀리미터의 바늘을 30밀리미터 간격의 선 위에 3,408번 던져 355/113, 즉 유명한 6자리 소수 근사치 3.1415929를 산출했다.
라자리니의 결과는 항상 너무 광택이 났다. 그의 비율 l/d = 5/6은 특히 355/113에 친절하게 맞춰졌고, 후에 통계학자들은 이 보고서에 대해 의심을 품었다. 아마도 편리한 시점에서 중단되었거나, 선택적으로 기록되었거나, 교사들을 위한 장난이 아니라 진지한 측정이 아니었을 수도 있다. 문제는 버퐁의 공식이 실패했다는 것이 아니라, 물리적 무작위가 너무 많은 소수 자리를 요구받았을 때는 열등한 종이라는 것이다.
그럼에도 불구하고 이 행위는 의미가 있었다. 바늘 건널 수를 세어 파이를 추정하는 것은 확률로 계산하는 것이다. 전자 컴퓨터가 등장하기 훨씬 전, 버퐁의 테이블은 아날로그 시뮬레이션을 제공했다. 나무, 잉크, 떨어지는 금속으로 된 확률 기계였다.
바늘에서 몬테카를로까지
1940년대 말, Monte Carlo methodConceptMonte Carlo methodThe Monte Carlo method uses repeated random sampling to estimate quantities that are hard to compute directly. The name was coined in the mid-twentieth century during work at Los Alamos, but its ancestry reaches back to experiments such as Buffon's needle, where chance is used as a calculating device.蒙特卡罗方法利用重复的随机抽样来估算难以直接计算的数量。这一名称诞生于二十世纪中期洛斯阿拉莫斯的研究工作，但它的起源可以追溯到布丰针实验等早期实验，在这些实验中，概率被用作计算工具。El método Monte Carlo utiliza muestreo aleatorio repetido para estimar cantidades que resultan difíciles de calcular directamente. El nombre fue acuñado a mediados del siglo veinte durante trabajos en Los Alamos, pero su ascendencia se remonta a experimentos como la aguja de Buffon, donde el azar se emplea como dispositivo de cálculo.تستخدم طريقة مونتي كارلو أخذ العينات العشوائية المتكررة لتقدير الكميات التي من الصعب حسابها مباشرة. سُمِّيت الطريقة بهذا الاسم في منتصف القرن العشرين أثناء العمل في لوس ألاموس، لكن جذورها تعود إلى تجارب مثل عود بافون، حيث تُستخدم الفرصة كجهاز حسابي.O método Monte Carlo utiliza amostragem aleatória repetida para estimar quantidades difíceis de serem calculadas diretamente. O nome foi cunhado na segunda metade do século XX durante trabalhos em Los Alamos, mas sua ascendência remonta a experimentos como a agulha de Buffon, nos quais o acaso é usado como um dispositivo de cálculo.मॉन्टे कार्लो विधि के उपयोग से द्वारा सीधे गणना करने में कठिन मात्राओं का अनुमान बनाया जाता है। इसका नाम मध्य बीसवीं शताब्दी में लॉस एलमोस में कार्य के दौरान रखा गया था, लेकिन इसकी वंशवृति बफोन की सुई जैसे प्रयोगों तक पहुंचती है, जहां अवसर के उपयोग की गणना करने की एक युक्ति के रूप में की गई थी।Metode Monte Carlo menggunakan pengambilan sampel acak berulang untuk memperkirakan kuantitas yang sulit dihitung secara langsung. Nama ini diciptakan pada pertengahan abad kedua puluh selama pekerjaan di Los Alamos, tetapi asal usulnya dapat dilacak kembali ke eksperimen seperti jarum Buffon, di mana kebetulan digunakan sebagai alat perhitungan.La méthode Monte Carlo utilise un échantillonnage aléatoire répété pour estimer des quantités difficiles à calculer directement. Le nom a été forgé au milieu du vingtième siècle lors des travaux à Los Alamos, mais ses origines remontent à des expériences telles que l'aiguille de Buffon, où le hasard est utilisé comme dispositif de calcul.モンテカルロ法は、直接計算するのが困難な数量を推定するために、繰り返し無作為サンプリングを行う手法である。この名称は20世紀半ばにロスアラモスでの研究中に造られたが、その起源はバッフォンの針などの実験にまで遡り、これらは確率を計算装置として用いるものである。Метод Монте-Карло использует многократное случайное выборочное исследование для оценки величин, которые сложно вычислить напрямую. Название метода появилось в середине двадцатого века во время работ в Лос-Аламосе, но его происхождение связано с такими экспериментами, как игла Бюффона, где случайность используется как вычислительное устройство.Die Monte-Carlo-Methode verwendet wiederholte zufällige Stichproben, um Größen zu schätzen, die sich direkt schwer berechnen lassen. Der Name wurde Mitte des zwanzigsten Jahrhunderts während der Arbeit am Los Alamos National Laboratory geprägt, doch ihre Ursprünge reichen bis zu Experimenten wie dem Nadelproblem von Buffon zurück, bei dem das Zufallsprinzip als Rechenhilfe eingesetzt wird.몬테카를로 방법은 직접 계산하기 어려운 수량을 추정하기 위해 반복적인 확률적 표본추출을 사용한다. 이 방법의 이름은 20세기 중반 로스앨러모스에서의 연구 중 지어졌지만, 그 기원은 버퐁의 바늘 실험과 같이 확률을 계산 도구로 활용한 이전의 실험들로까지 거슬러 올라간다.라는 표현은 뉴 멕시코 주 로스 알라모스에서 현대적 의미를 얻었다. John von NeumannPersonJohn von NeumannHungarian-American polymath (1903–1957) who made foundational contributions to set theory, quantum mechanics, game theory, computing, and nuclear weapons design. Present at the 1930 Königsberg conference where Gödel first hinted at incompleteness, he was reportedly the only attendee who grasped the result on the spot and independently derived the second incompleteness theorem within weeks.匈牙利裔美国博学者（1903—1957），在集合论、量子力学、博弈论、计算与核武器设计等领域作出奠基性贡献。1930 年哥廷根会议上，哥德尔首次暗示不完备性结果时他在场，据称是当场唯一领会其要义的与会者，并在数周内独立推导出第二不完备性定理。Polímata húngaro-estadounidense (1903-1957) que realizó contribuciones fundamentales a la teoría de conjuntos, la mecánica cuántica, la teoría de juegos, la computación y el diseño de armas nucleares. Presente en la conferencia de Königsberg de 1930, donde Gödel insinuó por primera vez la incompletitud, fue, según se dice, el único asistente que captó el resultado en el acto y dedujo de forma independiente el segundo teorema de incompletitud en cuestión de semanas.عالم موسوعي مجري-أمريكي (1903–1957) قدّم إسهامات تأسيسية في نظرية المجموعات وميكانيكا الكم ونظرية الألعاب والحوسبة وتصميم الأسلحة النووية. حضر مؤتمر كونيغسبرغ عام 1930 حيث ألمح غودل لأول مرة إلى نظرية عدم الاكتمال، ويُقال إنه كان الحاضر الوحيد الذي استوعب النتيجة على الفور، واستنتج بشكل مستقل نظرية عدم الاكتمال الثانية في غضون أسابيع.Polímata húngaro-americano (1903–1957) que deu contribuições fundamentais à teoria dos conjuntos, à mecânica quântica, à teoria dos jogos, à computação e ao projeto de armas nucleares. Presente na conferência de Königsberg de 1930, onde Gödel insinuou pela primeira vez a incompletude, foi, segundo relatos, o único participante a captar o resultado imediatamente e a deduzir de forma independente o segundo teorema da incompletude em poucas semanas.हंगेरियाई-अमेरिकी बहुश्रुत विद्वान (1903–1957) जिन्होंने समुच्चय सिद्धांत, क्वांटम यांत्रिकी, खेल सिद्धांत, संगणन और परमाणु हथियार अभिकल्पना में आधारभूत योगदान दिए। 1930 के कोनिग्सबर्ग सम्मेलन में उपस्थित, जहाँ गोडेल ने पहली बार अपूर्णता का संकेत दिया था, वे कथित रूप से एकमात्र ऐसे श्रोता थे जिन्होंने उसी क्षण इस परिणाम को समझ लिया और कुछ ही सप्ताहों के भीतर स्वतंत्र रूप से द्वितीय अपूर्णता प्रमेय की व्युत्पत्ति कर ली।Polimat Hungaria-Amerika (1903–1957) yang memberikan kontribusi fundamental pada teori himpunan, mekanika kuantum, teori permainan, komputasi, dan desain senjata nuklir. Hadir pada konferensi Königsberg 1930 ketika Gödel pertama kali mengisyaratkan ketidaklengkapan, ia dilaporkan sebagai satu-satunya peserta yang langsung memahami hasil tersebut di tempat dan secara independen menurunkan teorema ketidaklengkapan kedua dalam hitungan minggu.Polymathe américano-hongrois (1903-1957) qui apporta des contributions fondamentales à la théorie des ensembles, à la mécanique quantique, à la théorie des jeux, à l'informatique et à la conception des armes nucléaires. Présent à la conférence de Königsberg de 1930 où Gödel évoqua pour la première fois l'incomplétude, il fut, dit-on, le seul participant à saisir le résultat sur-le-champ et à dériver indépendamment le second théorème d'incomplétude en l'espace de quelques semaines.ハンガリー系アメリカ人の博学者（1903–1957）。集合論、量子力学、ゲーム理論、計算機科学、核兵器設計に基礎的な貢献をなした。1930年のケーニヒスベルク会議に出席し、ゲーデルが不完全性を初めて示唆した際、その結果をその場で把握した唯一の参加者であったと伝えられ、数週間のうちに第二不完全性定理を独自に導出した。Венгеро-американский эрудит (1903–1957), внёсший фундаментальный вклад в теорию множеств, квантовую механику, теорию игр, вычислительную технику и конструирование ядерного оружия. Присутствовал на Кёнигсбергской конференции 1930 года, где Гёдель впервые намекнул на неполноту; по имеющимся свидетельствам, он был единственным из участников, кто сразу осознал результат, и в течение нескольких недель самостоятельно вывел вторую теорему о неполноте.Ungarisch-amerikanischer Universalgelehrter (1903–1957), der grundlegende Beiträge zur Mengenlehre, Quantenmechanik, Spieltheorie, Informatik und zum Entwurf von Kernwaffen leistete. Anwesend auf der Königsberger Tagung 1930, auf der Gödel erstmals die Unvollständigkeit andeutete, soll er der einzige Teilnehmer gewesen sein, der das Ergebnis sofort erfasste, und leitete innerhalb weniger Wochen unabhängig den zweiten Unvollständigkeitssatz her.헝가리계 미국인 박학다식가(1903–1957)로, 집합론, 양자역학, 게임이론, 컴퓨팅, 핵무기 설계에 기초적인 기여를 했다. 1930년 쾨니히스베르크 회의에서 괴델이 불완전성을 처음 시사했을 때 참석했으며, 그 자리에서 결과를 즉시 이해한 유일한 참석자였다고 전해지고, 몇 주 만에 독자적으로 제2 불완전성 정리를 도출했다., Stanisław UlamPersonStanisław UlamStanisław Ulam was a Polish-American mathematician who worked at Los Alamos after the Second World War. He helped shape the modern Monte Carlo method, using random sampling to study problems in nuclear physics and computation. His career also touched set theory, topology, cellular automata and the design of early thermonuclear weapons.斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆（Stanisław Ulam）是一位波兰裔美国数学家，第二次世界大战后在洛斯阿拉莫斯工作。他帮助创立了现代蒙特卡洛方法，利用随机抽样研究核物理和计算中的问题。他的职业生涯还涉及集合论、拓扑学、细胞自动机以及早期热核武器的设计。Stanisław Ulam fue un matemático polaco-estadounidense que trabajó en Los Alamos tras la Segunda Guerra Mundial. Ayudó a desarrollar el moderno método Monte Carlo, que utiliza muestreo aleatorio para estudiar problemas de física nuclear y cálculo. Su carrera también abarcó la teoría de conjuntos, la topología, las máquinas celulares y el diseño de armas termonucleares tempranas.كان ستانيسلاف أولام عالم رياضيات بولندي-أمريكي عمل في لوس ألموس بعد الحرب العالمية الثانية. ساعد في تشكيل الطريقة الحديثة لمنطقة مونتي كارلو، باستخدام العينات العشوائية لدراسة المشكلات في الفيزياء النووية والحساب. شملت مسيرته المهنية أيضًا نظرية المجموعات والטופولوجيا والآلات الخلوية التلقائية والتصميم المبكر للأسلحة الحرارية النووية.Stanislaw Ulam foi um matemático polonês-americano que trabalhou em Los Alamos após a Segunda Guerra Mundial. Ele ajudou a desenvolver o método Monte Carlo moderno, usando amostragem aleatória para estudar problemas na física nuclear e computação. Sua carreira também abrangeu a teoria dos conjuntos, a topologia, os autômatos celulares e o desenho das primeiras armas termonucleares.स्टैनिस्लाव उलाम एक पोलिश-अमेरिकी गणितज्ञ थे जिन्होंने द्वितीय विश्व युद्ध के बाद लॉस एलमोस में काम किया। उन्होंने आधुनिक मॉन्टे कार्लो विधि का विकास किया, जिसमें नाभिकीय भौतिकी और कंप्यूटेशन में समस्याओं के अध्ययन के लिए यादृच्छिक नमूना लेने का उपयोग किया गया। उनके करियर में समुच्चय सिद्धांत, टोपोलॉजी, सेलुलर ऑटोमेटा और प्रारंभिक थर्मोन्यूक्लियर हथियारों के डिज़ाइन को भी छू लिया।Stanisław Ulam adalah seorang matematikawan Polandia-Amerika yang bekerja di Los Alamos setelah Perang Dunia Kedua. Ia membantu membentuk metode Monte Carlo modern, yang menggunakan sampel acak untuk mempelajari masalah dalam fisika nuklir dan komputasi. Kariernya juga meliputi teori himpunan, topologi, otomata seluler, serta desain senjata termonuklir awal.Stanisław Ulam fut un mathématicien polonais-américain qui travailla à Los Alamos après la Seconde Guerre mondiale. Il contribua à l'élaboration de la méthode moderne de Monte Carlo, utilisant l'échantillonnage aléatoire pour étudier des problèmes de physique nucléaire et de calcul. Sa carrière toucha également la théorie des ensembles, la topologie, les automates cellulaires et la conception des premières armes thermonucléaires.スタニスワフ・ウラムは第二次世界大戦後にロスアラモスで研究したポーランド出身のアメリカ人数学者である。モンテカルロ法の現代的な形を築くのに貢献し、核物理および計算における問題を確率的サンプリングによって研究した。彼の研究分野は集合論、位相幾何学、セル・オートマトンおよび初期の熱核融合兵器の設計にも及んでいる。Станислав Улам — польский и американский математик, работавший в Лос-Аламосе после Второй мировой войны. Он помог сформировать современный метод Монте-Карло, используя случайную выборку для изучения проблем в ядерной физике и вычислениях. Его карьера также касалась теории множеств, топологии, клеточных автоматов и разработки ранних термоядерных оружий.Stanisław Ulam war ein polnisch-amerikanischer Mathematiker, der nach dem Zweiten Weltkrieg am Los Alamos National Laboratory arbeitete. Er trug wesentlich zur Entwicklung der modernen Monte-Carlo-Methode bei, bei der zufällige Stichproben zur Untersuchung von Problemen in der Kernphysik und der Berechnung eingesetzt werden. Seine Karriere umfasste zudem die Mengenlehre, Topologie, zelluläre Automaten und das Design früher thermonuklearer Waffen.스테파니우 슐람(Stanisław Ulam)은 제2차 세계대전 이후 로스앨러모스에서 일한 폴란드계 미국 수학자였다. 그는 핵물리학과 계산 문제를 연구하기 위해 무작위 표집을 사용하는 현대 몬테카를로 방법의 발전에 기여했다. 그의 경력은 집합론, 위상수학, 세포 자동기 및 초기 열핵무기 설계에도 걸쳐졌다., Nicholas MetropolisPersonNicholas MetropolisNicholas Metropolis was a Greek-American physicist and computing pioneer at Los Alamos. He worked on early electronic computation and gave the Monte Carlo method its casino-derived name. His later work on sampling algorithms became central to computational physics, statistics and many forms of simulation.尼古拉斯·梅特罗波利斯（Nicholas Metropolis）是一位希腊裔美国物理学家，也是洛斯阿拉莫斯的计算机先驱。他从事早期电子计算的研究，并为蒙特卡洛方法起了这个源自赌场名称的方法。他后来在抽样算法方面的研究成为计算物理、统计学以及多种模拟方法的核心。Nicholas Metrópolis fue un físico y pionero de la computación griego-estadounidense que trabajó en Los Álamos. Trabajó en cálculos electrónicos tempranos y dio al método Monte Carlo su nombre derivado del casino. Su trabajo posterior sobre algoritmos de muestreo se convirtió en fundamental para la física computacional, la estadística y muchas formas de simulación.كان نيكولاس متروبوليس فيزيائيًا أمريكيًا من أصل يوناني وواحدًا من رواد الحواسيب في لوس ألاموس. عمل على الحوسبة الإلكترونية المبكرة وأعطى للطريقة الإحصائية "مونتي كارلو" اسمها المشتق من الكازينو. ساهمت أعماله اللاحقة على خوارزميات أخذ العينات في تشكيل جوهر الفيزياء الحاسوبية والإحصاء والكثير من أشكال المحاكاة.Nicholas Metropolis foi um físico e pioneiro da computação grego-americano que trabalhou no Laboratório de Los Alamos. Trabalhou na computação eletrônica inicial e deu ao método Monte Carlo seu nome derivado de cassino. Seu trabalho posterior sobre algoritmos de amostragem tornou-se central para a física computacional, estatística e muitas formas de simulação.निकोलस मेट्रोपोलिस एक यूनानी-अमेरिकी भौतिकविद और लॉस एलमोस में कम्प्यूटिंग के प्रारंभिक दौर के विशिष्ट व्यक्ति थे। उन्होंने प्रारंभिक इलेक्ट्रॉनिक कम्प्यूटेशन पर कार्य किया और मोंटे कार्लो विधि का उस जुए के नाम पर आधारित नाम दिया। उनके बाद के कार्य नमूना एल्गोरिदम पर केंद्रित थे, जो भौतिकी के कम्प्यूटेशनल, सांख्यिकी और अनेक प्रकार की सिमुलेशन में केंद्रीय भूमिका निभाते हैं।Nicholas Metropolis adalah seorang fisikawan dan pelopor komputasi berkebangsaan Yunani-Amerika yang bekerja di Los Alamos. Ia meneliti komputasi elektronik awal dan memberi nama metode Monte Carlo dengan sebutan yang berasal dari kasino. Karyanya kemudian tentang algoritma pengambilan sampel menjadi pusat dalam fisika komputasi, statistik, dan berbagai bentuk simulasi.Nicholas Metropolis fut un physicien grec-américain et un pionnier de l'informatique à Los Alamos. Il travailla sur les premiers calculs électroniques et donna à la méthode Monte Carlo son nom inspiré des casinos. Son travail ultérieur sur les algorithmes d'échantillonnage devint central en physique computationnelle, en statistique et dans de nombreuses formes de simulation.ニコラス・メトロポリスは、ギリシャ系アメリカ人の物理学者で、ロスアラモスで活躍した計算機科学の先駆者である。彼は初期の電子計算機の開発に携わり、「モンテカルロ法」というカジノ由来の名称を考案した。その後、サンプリングアルゴリズムに関する研究は、計算物理学、統計学およびさまざまなシミュレーションにおいて中心的な役割を果たすことになった。Николас Метрополис был греко-американским физиком и пионером вычислительной техники в Лос-Аламосе. Он работал над ранними электронными вычислениями и дал методу Монте-Карло его название, происходящее от казино. Его более поздняя работа по алгоритмам выборки стала центральной для вычислительной физики, статистики и многих видов моделирования.Nicholas Metropolis war ein griechisch-amerikanischer Physiker und Pionier der Informatik am Los Alamos National Laboratory. Er arbeitete an frühen elektronischen Rechenverfahren und gab der Monte-Carlo-Methode ihren namensgebenden Bezug zum Casino. Seine späteren Arbeiten zu Sampling-Algorithmen wurden zentral für die theoretische Physik, Statistik und viele Formen der Simulation.니콜라스 메트로폴리스는 그리스계 미국인 물리학자이자 로스앨러모스에서 활동한 컴퓨팅 분야의 선구자였다. 그는 초기 전자 계산기에 참여했으며, 몬테카를로 방법에 도박장에서 유래된 이름을 붙였다. 이후 그가 개발한 샘플링 알고리즘은 계산 물리학, 통계학 및 다양한 시뮬레이션 분야의 핵심이 되었다.와 다른 연구자들이 직접 계산하기 어려운 복잡한 문제를 무작위 샘플링으로 해결하려 했다. 물질 속을 이동하는 중성자, 고차원 적분, 가능한 미래의 가지치기 사슬: 이들은 종이 위의 바늘 문제는 아니었지만, 같은 베팅을 공유했다. 공간을 솔직하게 샘플링하면, 기하학 속에 숨은 양이 드러나기 시작한다.
A nineteenth-century wooden experiment table is covered with many scattered brass needlesIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
따라서 버퐁의 바늘은 조상이자 경고이기도 하다. 몬테카를로 본능을 거의 아무런 장치 없이 보여주는 동시에, 그 비용도 보여준다. 무작위 추정치는 시도 횟수의 제곱근에 반비례하는 속도로 수렴한다. 소수점 한 자리를 더 얻으려면, 던지는 횟수를 10배가 아니라 약 100배 늘려야 한다. 백만 개의 바늘은 이미 알려진 원의 성질을 배우는 데는 부적절한 방식이다.
이 방법이 생존한 이유는 파이가 결코 진짜 상품이 아니었기 때문이다. 중요한 사실은 확률이 적분을 대신할 수 있다는 것이었다. 버퐁의 건널 수는 사인 곡선 아래의 면적을 직접 그리지 않고도 측정하는 것이었다. 현대 시뮬레이션은 더 위협적인 공간에서 같은 일을 수행한다. 그 적분은 수천 개의 차원을 가질 수 있고, 인간이 그릴 수 있는 그림도 없다.
A tidy tabletop reconstruction uses a set of identical metal needles and a board with grooIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
바늘이 남기는 열린 문제
무작위라는 단어는 처음 보이는 것보다 더 많은 일을 한다. 버퐁의 유도는 중심 위치와 각도가 균일하게 분포되어 있다고 가정한다. 바늘을 떨어뜨리는 손은 특정 각도를 선호할 수 있고, 판은 모서리를 가질 수 있으며, 바늘은 튀거나 굴러가거나 걸릴 수도 있다.
버퐁이 실제로 무엇을 했는지, 즉 그가 증명한 것과 실제로 한 것이 무엇인지에 대한 질문도 있다. 타일 바닥에 떨어진 빵 덩어리 이야기는 수십 년 동안 돌고 있지만, 문서적 근거는 얇다. 수학은 이야기보다 견고하다.
A mid-century laboratory tabletop uses diceIllustration · AI-generated (FLUX.1-dev)
라자리니는 또 다른 열린 사례이다. 그의 1901년 숫자는 일부러 너무 좋기 때문에 유명해졌고, 같은 이유로 의심받는다. 수학적으로 실험과 호환되더라도 역사적으로 믿기 어려운 결과일 수 있다.
더 깊은 불확실성은 철학적이다. 결정론적인 세계가 결과의 산란을 제공할 때, 확률은 어디에 정확히 등장하는가? 무지에서인가, 물리적 혼란에서인가, 아니면 우리가 선택한 모델에서인가? 버퐁의 바늘은 이 질문을 해결하지 않는다. 다만 깨끗한 바닥과 건널 수 있는 선을 제공할 뿐이다.
떨어진 바늘은 파이가 무엇인지 알지 못한다. 그저 떨어지거나 놓치는 것이다. 수많은 그러한 무관심한 움직임이 지나가야, 원이 건널 횟수의 장부에 조용히 자신을 드러낸다.
Buffon, G. L. L. (1777). "Essai d'arithmetique morale." In Supplement a l'Histoire naturelle, generale et particuliere, vol. 4. Imprimerie Royale.
Laplace, P.-S. (1812). Theorie analytique des probabilites. Mme Veuve Courcier.
Kendall, M. G. and Moran, P. A. P. (1963). Geometrical Probability. Charles Griffin.
Kahan, B. C. (1961). "A Practical Demonstration of a Needle Experiment Designed to Give a Number of Concurrent Estimates of pi." Journal of the Royal Statistical Society. Series A, 124(2), 227-239. https://doi.org/10.2307/2984132
Metropolis, N. and Ulam, S. (1949). "The Monte Carlo Method." Journal of the American Statistical Association, 44(247), 335-341.
Production storyboard
The 90-second video script behind this article.
EN script
HI script
Needles ko ek lined sheet of paper par uchhalane se Pi ki value ko sirf crossings ginate hue calculate karne ka tarika.
01
An eighteenth-century desk with a ruled sheet and a single needle
02
A hand releasing a needle over parallel seams
03
Close view of needles crossing or resting between grooves
04
Nineteenth-century experiment table with needles and tally stones
05
Tabletop reconstruction with specific needle length and spacing
06
Mid-century laboratory with dice and sampling balls
